Tăng cường các bài toán có nội dung thực tiễn trong dạy học phép tính vi phân, tích phân hàm số nhiều biến số ở trường cao đẳng sư phạm

JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE Educational Science - Mathematics, 2013, Vol. 58, pp. 147-153 This paper is available online at TĂNG CƯỜNG CÁC BÀI TOÁN CÓ NỘI DUNG THỰC TIỄN TRONG DẠY HỌC PHÉP TÍNH VI PHÂN, TÍCH PHÂN HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ Ở TRƯỜNG CAO ĐẲNG SƯ PHẠM Phan Văn Lý Khoa Tự nhiên, Trường Cao đẳng Sư phạm Bình Phước Email: pvly74@yahoo.com.vn Tóm tắt. Toán học là khoa học thực tế và ứng dụng hữu ích. Bài báo này trình bày một số tình huống phát triển thành bài toán có nội dung thực tiễn trong dạy học phép tính vi phân, tích phân hàm số nhiều biến số ở trường Cao đẳng Sư phạm. Từ khóa: Bài toán thực tiễn, phép tính vi phân - tích phân, hàm nhiều biến số. 1. Mở đầu Trong đời sống xã hội, toán học chiếm một vị trí quan trọng do sự phát triển mạnh mẽ và khả năng ứng dụng vô tận của nó. Nâng cao năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn cho học sinh (HS) là một trong những mục tiêu cơ bản của việc dạy học toán ở Trường Trung học Cơ sở. Nét nổi bật của dạy học Toán ở bậc phổ thông ngày nay là chú trọng phát triển tư duy, coi trọng tính hệ thống của tri thức và gắn chặt tri thức truyền thụ với đời sống thực tiễn. Điều khẳng định của các tác giả R.Courant; H.Robbins: “Việc thiết lập lại mối liên hệ giữa tri thức thuần túy và tri thức ứng dụng, sự cân bằng lành mạnh giữa tính khái quát trừu tượng và tính cụ thể phong phú là nhiệm vụ của Toán học trong một tương lai gần” [1], đang trở thành hiện thực. Ở nước ta, nguyên tắc xây dựng chương trình của môn Toán ở Trường Trung học Cơ sở phải đảm bảo các mục tiêu: - Tính chỉnh thể của chương trình môn Toán trong nhà trường phổ thông, chương trình Toán Trung học Cơ sở phải được xây dựng cùng với chương trình Toán tiểu học và chương trình Toán Trung học Phổ thông theo một hệ thống quan điểm chỉ đạo chung, đảm bảo tính hệ thống giữa các lớp trong toàn cấp Trung học Cơ sở. - Không quá coi trọng tính cấu trúc, tính chính xác của hệ thống kiến thức toán học trong chương trình, hạn chế đưa vào chương trình những kết quả có ý nghĩa lí thuyết thuần túy và các phép chứng minh dài dòng, phức tạp không phù hợp với đại đa số HS. Tăng tính thực tiễn và tính sư phạm, tạo điều kiện để HS được luyện tập, thực hành, rèn luyện 147 Phan Văn Lý kĩ năng tính toán và vận dụng các kiến thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác [5]. Trong những năm đầu của thế kỉ 21, các nước trong tổ chức OECD (Organisation for Economic Cooperation and Development: Tổ chức Hợp tác và Phát triển Kinh tế) đã đưa ra chương trình đánh giá quốc tế PISA (Programme for International Student Assessment) cho HS phổ thông ở lứa tuổi 15. PISA nhằm tìm câu trả lời cho câu hỏi: Cái gì có thể coi là đầu ra - kết quả cuối cùng trong nhà trường của một xã hội hiện đại (What should be the final outcomes of Schooling in modern Society). Phạm vi đánh giá năng lực HS của PISA có liên quan đến khả năng phân tích, suy luận kết nối ý tưởng một cách có hiệu quả khi họ đặt câu hỏi, lập công thức, giải quyết vấn đề trong các tình huống. Đánh giá của PISA tập trung vào vấn đề thực tế, chuyển những tình huống dạng này về vấn đề điển hình có thể gặp phải trong lớp học. Chẳng hạn, khi mua bán, tham gia giao thông, khi giải quyết những công việc liên quan đến chính trị, xã hội,... mà ở đó trình độ Toán học nhất định sẽ tạo điều kiện thuận lợi để giải quyết vấn đề [6]. Theo Trần Vui cho rằng: Ngày nay, trong bối cảnh kinh tế hội nhập và cạnh tranh toàn cầu, nâng cao và bảo đảm chất lượng giáo dục là một trong những yêu cầu mà một đất nước cần phải quan tâm. Các chương trình đánh giá HS quốc tế phần lớn không chỉ đơn thuần là sự xếp hạng mà nó còn nêu ra được những điểm mạnh và điểm yếu của hệ thống giáo dục của các quốc gia tham gia khảo sát để không ngừng cải thiện chất lượng giáo dục. Hiểu biết toán được xác định như là năng lực của HS để xác định và hiểu vai trò của toán học trong cuộc sống, để đưa ra những phán xét có cơ sở, để sử dụng và gắn kết với Toán học theo các cách đáp ứng nhu cầu của cuộc sống. Đánh giá Toán PISA mong muốn tìm kiếm HS tuổi 15 cần có những hiểu biết Toán học nào để chuẩn bị cho cuộc sống trưởng thành mà các em sắp sửa bước vào. Tổng thư kí của OECD, Angel Gurria, phát biểu rằng: “PISA là một công cụ hỗ trợ các chính phủ đưa ra các lựa chọn chính sách giáo dục. Ông cho rằng “điều tra PISA không chỉ để xếp hạng, điều quan trọng là nó chỉ ra điểm mạnh, điểm yếu của hệ thống giáo dục của các quốc gia, đồng thời chỉ ra hướng đi cải cách hệ thống giáo dục ấy”. Theo Trần Luận đề xuất về chương trình và sách giáo khoa Toán phổ thông sau 2015 là: Nội dung Toán ở nhà trường phổ thông không chỉ trang bị cho HS các kiến thức để biết (declarative knowledge) mà còn phải trang bị cho HS kiến thức để làm (procedural knowledge) và kiến thức để biết khi nào sử dụng kiến thức nào (conditional knowledge). Nội dung Toán học ở nhà trường phổ thông phải là môi trường rèn luyện năng lực giải quyết vấn đề (mathematics as problemsolving) và ứng dụng toán học trong cuộc sống hàng ngày (everyday life mathematics). Về nhiệm vụ của các trường Sư phạm, Bộ trưởng Bộ Giáo dục và Đào tạo đã ban hành chỉ thị số 15/1999/CT-BGD&ĐT ngày 20/04/1999 về việc “Đẩy mạnh hoạt động đổi mới phương pháp giảng dạy và học tập trong các trường sư phạm”, chỉ thị nhấn mạnh sự cần thiết phải đẩy mạnh nghiên cứu khoa học về đổi mới nội dung và phương pháp 148 Tăng cường các bài toán có nội dung thực tiễn trong dạy học... giảng dạy, học tập ở trường sư phạm gắn với yêu cầu đổi mới giáo dục phổ thông. Như vậy các trường Sư phạm cần phải trang bị cho giáo viên Toán tương lai tiềm năng khai thác các yếu tố thực tiễn trong dạy học Toán như thế nào để họ thực hiện một cách có hiệu quả nguyên lí giáo dục “làm rõ mối liên hệ giữa Toán học và thực tiễn” trong dạy học Toán Trung học Cơ sở sau khi tốt nghiệp? Các kiến thức về ứng dụng Toán học vào môn học khác, vào thực tiễn đời sống có thể khai thác từ những nguồn nào? Câu trả lời đó là khai thác thông qua những nội dung của các học phần Toán cơ bản và cơ sở trong chương trình đào tạo giáo viên Trung học Cơ sở ngành Toán. Chẳng hạn, các học phần: Phép tính vi phân, tích phân hàm số một biến số; Phép tính vi phân, tích phân hàm số nhiều biến số; Đại số tuyến tính; Xác suất thống kê,... là những học phần có thể dạy học theo hướng tăng cường vận dụng Toán học vào thực tiễn. Điều này đồng nghĩa với việc Giảng viên thực hiện nguyên lí giáo dục “làm rõ mối liên hệ giữa Toán học và thực tiễn” trong dạy học Toán cho Giáo sinh ngành Toán ở trường Cao đẳng Sư phạm. Các học phần Toán cơ bản và cơ sở trong chương trình đào tạo giáo viên Trung học Cơ sở hiện nay có tính trừu tượng khá cao. Các khái niệm được định nghĩa chính xác, các phép chứng minh chặt chẽ, các ví dụ mạng tính chất Toán học thuần túy. Điều đó dẫn đến việc dạy học các môn này ở trường Cao đẳng Sư phạm mang nặng tính hàn lâm, thiếu tính ứng dụng vào thực tiễn. Như vậy Giáo sinh sẽ gặp khó khăn trong việc “làm rõ mối liên hệ giữa Toán học và thực tiễn” trong dạy học Toán Trung học Cơ sở sau này. Để đáp ứng đòi hỏi của thực tiễn dạy học Toán ở Trung học Cơ sở trong giai đoạn hiện nay là đào tạo thế hệ trẻ có ý thức và khả năng ứng dụng Toán học vào đời sống thực tiễn và tham gia vào các chương trình điều tra PISA đối với các HS ở độ tuổi 15, để đánh giá khả năng ứng dụng kiến thức và kỹ năng học được vào các tình huống thực tiễn của cuộc sống thì các trường Cao đẳng Sư phạm cần phải chuẩn bị tiềm năng kiến thức về vận dụng Toán học vào thực tiễn cho Giáo sinh Toán trong toàn bộ chương trình đào tạo. 2. Nội dung nghiên cứu Chúng tôi đã xây dựng một số tình huống phát triển thành bài toán có nội dung thực tiễn dạy học trong giai đoạn xây dựng lí thuyết của bài học, củng cố bài học. Ngoài ra chúng tôi còn giới thiệu cho sinh viên bài toán thực tế được xây dựng theo quan điểm liên môn nhằm gây hứng thú trong học tập. 2.1. Bài toán thực tế được xây dựng trong giai đoạn xây dựng lí thuyết của bài học Một trong những động lực thúc đẩy sự phát triển của các lí thuyết toán học và giúp hoàn thiện quá trình xây dựng một mức chặt chẽ thống nhất trong toàn bộ tri thức toán và lĩnh vực ứng dụng của Toán học, trong đó có giải quyết những tình huống mới (có thể từ thực tế) nảy sinh. Vì vậy, trong giai đoạn xây dựng lí thuyết của bài học cần thiết lập những bài toán với những yêu cầu mới từ một tình huống nào đó để phát triển hệ thống lí 149 Phan Văn Lý thuyết toán học của bài học. Ví dụ. Khi dạy nội dung định nghĩa hàm số hai biến số, chúng ta xét các tình huống thực tế để hình thành khái niệm Hàm hai biến số như sau: - Trong kinh doanh, nếu một nhà sản xuất xác định rằng đơn vị x của một mặt hàng cụ thể có thể được bán trong nước với $90 cho mỗi đơn vị, và các đơn vị y có thể được bán ra thị trường nước ngoài $110 cho mỗi đơn vị, sau đó tổng doanh thu thu được từ tất cả các doanh số bán hàng được cho bởi R = 90x+ 110y - Trong tâm lí học, thương số thông minh IQ của một người được đo bằng tỷ lệ IQ = 100m/a, với a vàm là độ tuổi thực tế và tuổi tác của người tâm thần, tương ứng. - Các ví dụ khác bao gồm khối lượng nước trong hồ chứa của một cộng đồng, có thể phụ thuộc vào lượng mưa cũng như dân số của cộng đồng, và sản lượng của một nhà máy, trong đó có thể phụ thuộc vào số vốn đầu tư vào các nhà máy, kích thước của lực lượng lao động, và chi phí nguyên liệu thô. Đây là những tình huống thực tế điển hình, trong đó một đại lượng phụ thuộc trên các giá trị của hai hay nhiều biến. Từ đó phát biểu định nghĩa Hàm hai biến số như sau: Một hàm số f có hai biến x và y độc lập là một quy tắc cho tương ứng mỗi phần tử (x, y) thuộc tập hợpD (miền xác định của f ) cho duy nhất một số thực, kí hiệu là f(x, y). 2.2. Bài toán thực tế được xây dựng trong giai đoạn củng cố bài học Trong Toán học, củng cố kiến thức diễn ra dưới các hình thức luyện tập, đào sâu, ứng dụng, hệ thống hóa và ôn tập. Sau khi hoàn chỉnh một phần lí thuyết bài học, người học có thêm những kiến thức mới để có những hướng mới phát triển bài toán ban đầu. Phát triển tình huống thực tế khi củng cố kiến thức bài học giúp nhìn nhận tình huống thực tế đã xét trong giai đoạn trước đó một cách đầy đủ, phong phú và tổng quan hơn [2]. Sau khi dạy xong nội dung Cực trị hàm số hai biến số, ngoài ví dụ là một bài toán cực trị thuần túy toán học, chúng tôi cung cấp một tình huống trong kinh tế, vận dụng kiến thức bài vừa học thông qua bài toán tìm tổ hợp sản phẩm sản xuất sao cho đạt lợi nhuận tối đa như sau: Bài toán: Doanh nghiệp tư nhân Trần Hiền, chuyên sản xuất độc quyền 2 loại sản phẩm võng xếp và giường xếp. Thông tin do xưởng sản xuất cung cấp như sau: Q1: Số lượng võng xếp, giá P1 Q2: Số lượng giường xếp, giá P2 Hàm cầu: Q1 = 14− 1 4 P1 của võng xếp; Q2 = 24− 1 2 P2 của giường xếp Hàm tổng chi phí là: TC = Q21 + 5Q1Q2 +Q 2 2 Trần Hiền nên định giá bán hai loại sản phẩm là bao nhiêu để đạt lợi nhuận tối đa? Giải: Ta có P1 = 56− 4Q1, P2 = 48− 2Q2 Hàm doanh thu: TR = Q1P1 +Q2P2 150 Tăng cường các bài toán có nội dung thực tiễn trong dạy học... Hàm lợi nhuận: pi = TR− TC = P1Q1 + P2Q2 −Q21 − 5Q1Q2 −Q22 = (56− 4Q1)Q1 + (48− 2Q2)Q2 −Q21 − 5Q1Q2 −Q22 = 56Q1 + 48Q2 − 5Q21 − 3Q22 − 5Q1Q2 Ta có:  ∂pi ∂Q1 = 56− 10Q1 − 5Q2 = 0 ∂pi ∂Q2 = 48− 6Q2 − 5Q1 = 0 ⇔ { 10Q1 + 5Q2 = 56 5Q1 + 6Q2 = 48 ⇒ Q1 ≈ 3, Q2 ≈ 6 ∂2pi ∂Q21 = −10 < 0, ∂ 2pi ∂Q22 = −6 < 0, ∂ 2pi ∂Q1∂Q2 = −5 ⇒ ( ∂2pi ∂Q1∂Q2 )2 − ∂ 2pi ∂Q21 . ∂2pi ∂Q22 = −35 < 0 Vậy sản xuất đạt lợi nhuận tối đa ở mức giá là: P1 = 56− 4.3 = 44 (đv: 10.000đ) = 440.000đ/1 sản phẩm P2 = 48− 2.6 = 36 (đv: 10.000đ) = 360.000đ/1 sản phẩm Như vậy, thông qua việc giải bài toán trên, sinh viên đã được áp dụng kiến thức vừa học vào một tình huống thực tế. 2.3. Bài toán thực tế được xây dựng trong quan điểm thực hiện vấn đề liên môn Thực hiện quan điểm liên môn trong xây dựng bài toán thực tế sẽ dẫn đến việc xem xét một tình huống thực tế bằng các kiến thức của những môn học khác nhau để được cung cấp thêm các giả thiết, các vật liệu, các công cụ khác nhau giúp nhìn nhận tình huống thực tế đó trên nhiều phương diện nhằm xây dựng phong phú các bài toán thực tế thiếu mối liên hệ liên môn thì chưa đủ điều kiện để nhìn nhận tình huống thực tế đó ở các góc độ khác. Ví dụ, khi dạy xong nội dung Định nghĩa hàm số hai biến số, chúng tôi xét tình huống thực tế: Hình ảnh tái thiết của máy tính chụp cắt lớp [7]. Ngày nay máy tính chụp cắt lớp là một công cụ quan trọng trong lĩnh vực y học. Nó có thể được sử dụng để phát hiện những căn bệnh tiềm ẩn mà trước đây không làm được, khó xác định được. Về nguyên tắc, công nghệ CT (Computer Tomography) là sự kết hợp giữa Vật lí và Toán học. Hệ số hấp thụ của các tế bào khác nhau trong cơ thể người là khác nhau. Giả sử hệ số hấp thụ là một hàm hai biến f(x, y), cường độ tín hiệu khi tia X-ray di chuyển dọc theo một đường thẳng L xuyên qua cơ thể người đến máy dò có thể được diễn đạt như sau: 151 Phan Văn Lý exp  − ∫ l f (x, y) dl   Nếu đường thẳng thỏa mãn phương trình: x sinϕ+ y cosϕ = v, Với u là một tham số của đường thẳng, thì phương trình tham số của đường thẳng được biểu diễn như sau: x(u) = u cosϕ+ v sinϕ, y(u) = −u sinϕ+ v cosϕ Vậy tín hiệu máy dò nhận được là: p (ϕ, v) = ∫ ℜ f(u cosϕ+ v sinϕ,−u sinϕ+ v cosϕ)du Từ cấu trúc phần cứng của CT, chúng ta có thể tính được hàm số P (ϕ, v). Từ đó tìm được hệ số hấp thu f(x, y). Ví dụ trên cho thấy mối liên hệ chặt chẽ giữa Toán học và Vật lí, tức là đã thực hiện được quan điểm liên môn. 3. Kết luận Để đáp ứng đòi hỏi của thực tiễn dạy học Toán ở trường Trung học Cơ sở trong giai đoạn hiện nay, là đào tạo thế hệ trẻ có ý thức và khả năng ứng dụng Toán học vào đời sống thực tiễn, tham gia vào các chương trình đánh giá PISA thì các trường Cao đẳng Sư phạm cần phải chuẩn bị tiềm năng dạy học vận dụng Toán học vào thực tiễn cho sinh viên Toán trong toàn bộ quá trình dạy học vi phân, tích phân hàm nhiều biến số nói riêng và các môn Toán nói chung. 152 Tăng cường các bài toán có nội dung thực tiễn trong dạy học... TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] R. Courant và H. Robbins, 1984. Toán học là gì. Tập 1 (Hàn Liên Hải dịch), Nxb Khoa học Kỹ thuật. [2] Nguyễn Bá Kim, 2006. Phương pháp dạy học môn Toán. Nxb Đại học Sư phạm. [3] Trần Luận, 2011. Một số suy nghĩ về chương trình và sách giáo khoa môn Toán PTTH ở nước ta từ cải cách đến đổi mới và những đề xuất cho chương trình sau năm 2015, Kỉ yếu Hội thảo Quốc gia về giáo dục Toán học ở trường phổ thông. Nxb Giáo dục Việt Nam. [4] Trần Vui, 2008. Đánh giá hiểu biết Toán cho học sinh 15 tuổi, chương trình đánh giá học sinh Quốc tế (PISA). Nxb Giáo dục. [5] Chương trình THCS các môn Toán, Tin học (Ban hành kèm theo Quyết định số 03/2002/QĐ - Bộ GD & ĐT ngày 24 tháng 1 năm 2002 của Bộ trưởng Bộ Giáo dục và Đào tạo). Nxb Giáo dục. [6] PISA (Programme for International Student Assessment), Tài liệu Trung tâm nghiên cứu GDPT- Viện khoa học Giáo dục Việt Nam, H. 6/2009. [7] Application ofMath in Real Life, Department of Physics and Astronomy, Tao Hong,The jhons Hopkins University. [8] Bui Van Nghi, 2010. Connecting mathematics with real life. Journal of Science, Vol. 55, No.1, pp. 3-7, HNUE. [9] Realistic Mathematics Education, Steve Mathematics Teaching; Jul 2007; 203; ProQuest. p. 34 ABSTRACT Improving the practice of teaching differential calculus and integral functions of many variables in pedagogical college Mathematics is a practical and useful applied science. This paper presents some situations to develop practical problems in the teaching of differential calculus and integral functions of many variables in the teachers’ college 153