Tăng cường khả năng chiếm lĩnh những dạng tri thức cho học sinh trong quá trình dạy học đại số và giải tích ở trường trung học phổ thông

JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE Educational Sci., 2014, Vol. 59, No. 8, pp. 76-83 This paper is available online at TĂNG CƯỜNG KHẢ NĂNG CHIẾM LĨNH NHỮNG DẠNG TRI THỨC CHO HỌC SINH TRONG QUÁ TRÌNH DẠY HỌC ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Nguyễn Hữu Hậu Khoa Khoa học Tự nhiên, Trường Đại học Hồng Đức Tóm tắt. Trong bài viết này tác giả trình bày trình bày về một số phương thức mà giáo viên có thể sử dụng góp phần giúp học sinh chuyển hóa các dạng tri thức với nhau, trong đó có đề cập đến các tri thức thuộc phạm trù Triết học duy vật biện chứng trong quá trình dạy học Toán. Với các phương thức đó sẽ góp phần thực hiện việc luyện tập các tri thức để thúc đẩy, điều chỉnh hoạt động tăng cường khả năng chiếm lĩnh tri thức cho học sinh trong quá trình dạy học Đại số - Giải tích. Từ khóa: Hoạt động, tri thức phương pháp, dạy học Đại số - Giải tích. 1. Mở đầu Dạy Toán là dạy hoạt động Toán học. Luận điểm này có thể hiểu như sau: Muốn dạy Toán có hiệu quả thì nhất thiết phải cho học sinh hoạt động, chỉ bằng con đường đó mới có thể làm cho học sinh nắm bắt tri thức một cách vững vàng. Tâm lý học và Lí luận dạy học hiện đại đã khẳng định rằng, con đường có hiệu quả nhất để làm cho học sinh nắm vững kiến thức và phát triển năng lực sáng tạo là phải đưa học sinh vào vị trí của chủ thể hoạt động nhận thức. Thông qua hoạt động tự lực, tự giác, tích cực của bản thân mà chiếm lĩnh kiến thức, phát triển năng lực sáng tạo. Định hướng phát triển năng lực người học hiện nay cũng lấy các luận điểm đó làm nền tảng. Hơn nữa, tri thức không phải là cái dễ dàng có thể cho không. Để dạy một tri thức nào đó, giáo viên thường không thể trao ngay cho học sinh điều thầy muốn dạy, cách làm tốt nhất thường là cài đặt tri thức đó vào những tình huống thích hợp để học sinh chiếm lĩnh nó thông qua hoạt động tự giác, tích cực và sáng tạo của bản thân. Thực tiễn sư phạm đã khẳng định tính đúng đắn của nhận định này. Chẳng phải những mong muốn của thầy về sự tiếp thu của học sinh đều trở thành hiện thực. Điều này cho thấy rằng, truyền thụ tri thức cho học sinh là việc làm không dễ nếu không có cách thức và con đường đúng đắn. Muốn học sinh chiếm lĩnh tri thức Toán học một cách vững chắc, thì con đường hợp lí nhất là tạo ra những tình huống dạy học, sao cho học sinh được phát huy tối đa sự chủ động trong chừng mực có thể. Không thể nào có một sự chiếm lĩnh tốt thông qua con đường thụ động. Tuy nhiên, vì những lí do khác nhau, nên không phải giáo viên nào cũng hiểu rõ và vận dụng luận điểm này. Vì vậy, đã và đang tồn tại cách dạy học theo lối truyền thụ một chiều. Trong Ngày nhận bài: 25/02/2014. Ngày nhận đăng: 11/11/2014. Liên hệ: Nguyễn Hữu Hậu, e-mail: hauncsthanhhoa@gmail.com. 76 Tăng cường khả năng chiếm lĩnh những dạng tri thức cho học sinh... quan niệm của nhiều giáo viên, giảng giải các kiến thức Toán học một cách chi tiết rồi sau đó cho học sinh áp dụng xem như là đủ. Khi xem xét mối liên hệ giữa hoạt động và tri thức được quy định trong chương trình môn Toán phổ thông, tác giả Nguyễn Bá Kim đã làm sáng tỏ: Tri thức, đặc biệt là tri thức phương pháp vừa là điều kiện vừa là mục đích của hoạt động [1;143]. Tri thức cần phải được tạo nên một cách tích cực bởi chủ thể nhận thức chứ không tiếp thu một cách thụ động từ bên ngoài. Từ quan niệm đó, trong dạy học phải coi trọng vấn đề hình thành cho học sinh cách học, cách tạo nên tri thức, cách tự học chứ không chỉ đơn thuần là cung cấp kiến thức. Dạy học như vậy không chỉ hình thành cho học sinh các tri thức sự vật, tri thức chuẩn, tri thức giá trị; Hệ thống tri thức phương pháp; Còn phải luyện tập các tri thức đó để nhằm tăng cường khả năng chiếm lĩnh tri thức toán học cho học sinh. 2. Nội dung nghiên cứu Các loại tri thức được xét trong chương trình Toán phổ thông bao gồm: Tri thức sự vật; Tri thức phương pháp; Tri thức chuẩn; Tri thức giá trị, những loại hình tri thức này là cơ sở cho hoạt động tư duy, hoạt động nhận thức toán học. Để nâng cao việc luyện tập các tri thức thúc đẩy, điều chỉnh hoạt động tăng cường khả năng chiếm lĩnh tri thức cho học sinh chúng tôi tập trung tập trung vào một số vấn đề sau. 2.1. Tri thức phương pháp Do tri thức phương pháp trong dạy học Toán đa dạng, phong phú nên khó có thể có phân loại cho các tri thức này. Tuy nhiên cần thiết đề cập các dạng tri thức phương pháp cần luyện tập cho học sinh và cần phát hiện thông qua hoạt động giải toán sau đây. - Những tri thức phương pháp định hướng cho hoạt động: Những tri thức phương pháp tiến hành những hoạt động toán học cụ thể; Những tri thức phương pháp tiến hành những hoạt động toán học phức hợp; Những tri thức phương pháp tiến hành hoạt động trí tuệ phổ biến trong môn Toán; Những tri thức phương pháp thực hiện những hoạt động trí tuệ chung; Những tri thức phương pháp tiến hành hoạt động ngôn ngữ logic. - Xét về nội dung cơ bản tri thức phương pháp có hai dạng chủ yếu: Những tri thức phương pháp có tính chất thuật toán; Những tri thức phương pháp có tính chất tìm đoán [1,144]. Khi nói đến vai trò của tri thức phương pháp tác giả Đào Tam cho rằng “Tri thức phương pháp đóng vai trò là cơ sở định hướng trực tiếp cho hoạt động” [4,37]. Yêu cầu của Lí luận dạy học theo quan điểm hiện đại là không những trang bị tri thức sự vật cho học sinh mà còn đặc biệt chú trọng trang bị những tri thức về cách thức hoạt động chiếm lĩnh tri thức. Đứng trước một vấn đề cụ thể nếu có được hệ thống tri thức phương pháp đầy đủ thì học sinh dễ dàng tiến hành nhiều hoạt động tìm tòi khám phá các tri thức mới. Chẳng hạn, để phát hiện một quy luật; Một định lí; Một quy tắc có thể cho học sinh khảo sát một trường hợp riêng lấy từ nội bộ toán hoặc khảo sát các hiện tượng thực tiễn. Từ đó nhờ hoạt động phân tích so sánh, tổng hợp, khái quát hoá để phát hiện kết quả mới. * Tri thức phương pháp góp phần quyết định trong việc hình thành bồi dưỡng các thao tác tư duy của học sinh, trên cơ sở đó rèn luyện cho học sinh khả năng sáng tạo Toán học: Có những bài toán, nếu dựa vào logic bình thường, tri thức phương pháp thông dụng thì không thể giải được. Chúng ta phải sử dụng tư duy linh hoạt, phải có khả năng quan sát, đánh giá, nhận xét để tìm các mối liên hệ trong bài toán. 77 Nguyễn Hữu Hậu 2.2. Sự chuyển hoá giữa các dạng tri thức môn Toán trong quá trình dạy học Giữa các dạng tri thức môn Toán luôn có sự chuyển hoá, ảnh hưởng lẫn nhau trong quá trình nhận thức. Từ tri thức sự vật học sinh hình thành tri thức phương pháp mới, tri thức phương pháp lại có vai trò giúp học sinh hình dung được sự hình thành và phát triển của tri thức sự vật và hiểu rõ hơn bản chất của tri thức sự vật. Trong phần này chúng tôi đề cập đến sự chuyển hoá giữa các dạng tri thức môn Toán trong quá trình dạy học. Đây là một vấn đề phức tạp và đa dạng, chịu sự ảnh hưởng của nhiều yếu tố. 2.2.1. Sự chuyển hóa từ tri thức sự vật thành tri thức phương pháp Từ tri thức sự vật học sinh hình thành tri thức phương pháp mới, tri thức phương pháp lại có vai trò giúp học sinh hình dung được sự hình thành và phát triển của tri thức sự vật và hiểu rõ hơn bản chất của tri thức sự vật. Mỗi tri thức sự vật khi mới hình thành tự nó không trở thành tri thức phương pháp. Sự chuyển hóa này được thực hiện trong quá trình quan sát, vận dụng tri thức sự vật trong những tình huống khác nhau. Chính quá trình lặp lại nhiều lần sự vận dụng tri thức sự vật là nhân tố quyết định hình thành nên tri thức phương pháp. Một tri thức sự vật được vận dụng vào nhiều tình huống đa dạng thì sẽ làm sự chuyển hóa thành tri thức phương pháp nhanh chóng hơn. Trong trường hợp đó hiệu lực của phương pháp cũng vì thế mà được đánh giá cao hơn. Cũng có trường hợp sự phối hợp nhiều tri thức sự vật cũng làm nảy sinh một phương pháp. Theo [2] để nâng cao hiệu quả của sự chuyển hóa từ tri thức sự vật thành tri thức phương pháp cần quan tâm tới một số phương thức sau: - Sử dụng những ví dụ cùng loại để khắc sâu quy trình thao tác khi vận dụng tri thức sự vật. Đây là một cách phổ biến và hữu hiệu giúp cho học sinh nắm được các yếu tố then chốt trong quy trình vận dụng một tri thức sự vật vào giải quyết một loại tình huống. Trong quá trình hướng dẫn học sinh vận dụng tri thức sự vật, giáo viên cần nhận ra sự hiện diện của tri thức đã biết trong tình huống cụ thể, chỉ rõ quy trình thực hiện các thao tác trong quá trình vận dụng. - Sử dụng các tình huống đa dạng cùng áp dụng một kiến thức và hướng dẫn học sinh quan sát, nhận xét để thấy rõ tri thức được sử dụng làm công cụ, làm phương tiện giải quyết vấn đề đặt ra trong mỗi tình huống. Đây là cách giúp học sinh nhận ra sự giống nhau và sự khác nhau trong các tình huống vận dụng kiến thức. Chính việc nhận ra sự giống nhau đã làm cho học sinh thấy được giá trị, ý nghĩa của tri thức sự vật. Với cách này mỗi khi giải quyết một vấn đề trong tình huống tương tự học sinh biết cách liên tưởng và huy động kiến thức đã học vào giải quyết vấn đề. Khi một tri thức sự vật được chuyển hóa thành công cụ, phương tiện, thao tác của học sinh thì nó đã trở thành tri thức phương pháp. Để củng cố tri thức phương pháp cần thực hiện sự luyện tập nhắc lại trong quá trình dạy học về sau. Ví dụ 1. Dạy học chủ đề “Bất đẳng thức” trong Sách Giáo khoa Đại số 10. Để học sinh hình thành nên một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức, giáo viên có thể kết hợp với tri thức về phép biến đổi đồng nhất thông qua yêu cầu học sinh chứng minh một số bất đẳng thức sau: 1. Chứng minh rằng: a) a2 + b2 ab  0; 8a; b 2 R; b) a2 + b2 + c2  ab+ bc+ ca;8a; b; c 2 R; c) a b + b a  2 với a; b dương; d) (a+ b) ( 1 a + 1 b )  4 với a; b dương. 2. Chứng minh rằng với 8a; b; c 2 R : ja cj  ja bj+ jb cj 78 Tăng cường khả năng chiếm lĩnh những dạng tri thức cho học sinh... 3. Cho x > 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức f(x) = x+ 3 x 2 : Từ đó giúp học sinh hình thành tri thức phương pháp mới để chứng minh bất đẳng thức: + Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp biến đổi tương đương; + Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp sử dụng bất đẳng thức Cauchy. Trong khi tổ chức cho học sinh hoạt động giải quyết các nhiệm vụ nhận thức cần làm rõ sự phối hợp giữa suy luận có lí, dự đoán và quá trình huy động vận dụng từng nhóm kiến thức. Việc làm này có tác dụng hình thành cho học sinh tri thức phương pháp mang tính chất tìm đoán. Những tri thức này có vai trò định hướng hoạt động giải quyết vấn đề và khám phá, sáng tạo tri thức mới, sáng tạo phương pháp mới trong giải toán. 2.2.2. Sự chuyển hoá giữa tri thức sự vật và tri thức chuẩn trong quá trình dạy học Trong quá trình dạy học, người giáo viên trang bị cho học sinh những tri thức sự vật như một định lí, một khái niệm, một bài toán,. . . và định hướng cho học sinh cần chủ động suy nghĩ trong quá trình tiếp cận các tri thức đó. Qua đó học sinh nắm bắt và hiểu rõ các tri thức chuẩn để khai thác, sử dụng chúng một cách hợp lí nhất, diễn đạt các tư tưởng một cách đúng đắn nhất, đồng thời tiếp cận một tri thức mới một cách hợp lí và hiệu quả nhất. Ví dụ 2. Quy tắc tính đạo hàm theo định nghĩa. Muốn tính đạo hàm của hàm số f tại điểm x0 theo định nghĩa, ta thực hiện hai bước sau: Bước 1: Tính ∆y theo công thức ∆y = f(x0 + ∆x) f(x0), trong đó ∆x là số gia của biến số tại x0; Bước 2: Tìm giới hạn lim ∆x→0 ∆y ∆x . Đây là một tri thức sự vật. Tri thức này để học sinh vận dụng vào bài toán tính đạo hàm của hàm số theo định nghĩa. Nó cũng chính là cơ sở để giáo viên định hướng cho học sinh xây dựng các quy tắc tính đạo hàm. Chẳng hạn cho các hàm số y = x2 và y = sinx. Tính đạo hàm của hàm số y = x2 + sinx. 2.2.3. Sự chuyển hoá giữa tri thức sự vật và tri thức giá trị trong quá trình dạy học tri thức sự vật được sử dụng nhiều trong quá trình tiếp thu và chiếm lĩnh tri thức, có phạm vi ứng dụng rộng rãi. Bởi vậy, giáo viên không chỉ trang bị tri thức cho học sinh mà cần phải tạo hứng thú học tập, giúp học sinh phát huy năng lực sáng tạo và năng lực tự học, tự đánh giá kết quả học tập của bản thân. giáo viên cần nghiên cứu đến sự chuyển hoá giữa tri thức sự vật và tri thức giá trị. Chẳng hạn từ tri thức sự vật “Bất đẳng thức Cauchy” cần cho học sinh thấy bất đẳng thức này là một bất đẳng thức quan trọng, có nhiều ứng dụng trong môn Toán. Ví dụ 3. Cho hai điểm phân biệt A;B cố định và số thực k không đổi. Tìm tập hợp các điểm M sao choMA2 MB2 = k. Đây là một bài toán không dễ nếu ta sử dụng cách giải bằng phương pháp hình học tổng hợp hoặc phương pháp véc tơ. Cách giải bằng phương pháp toạ độ sẽ cho ta lời giải đơn giản nhất. Đặt AB = a; a > 0. Chọn hệ trục toạ độ 0xy có gốc O trùng A;Ox chứa B: Khi đó A(0; 0) và B(a; 0): GọiM(x; y); ta có: MA2 MB2 = k ,[x2 + y2] [(x a)2 + y2] = k ,x = k 2a + 1 2a 79 Nguyễn Hữu Hậu Vậy tập hợp các điểmM là đường thẳng có phương trình x = k 2a + 1 2a trong hệ toạ độ đã chọn (đường thẳng này vuông góc với AB). Từ lời giải bài toán này ta thấy, những bài toán hình học chứa các yếu tố khoảng cách, góc, cùng phương, vuông góc. . . nếu giải bằng phương pháp toạ độ sẽ hứa hẹn cho khả năng tìm ra lời giải. Từ đó giáo viên yêu cầu học sinh nêu ra các bước để giải một bài toán hình học bằng phương pháp toạ độ. 2.2.4. Sự chuyển hoá giữa tri thức chuẩn và tri thức giá trị trong quá trình dạy học Tri thức chuẩn là thước đo, là chuẩn mực để đánh giá quá trình nhận thức của học sinh nhằm phân tích cho học sinh thấy chỗ mạnh và chỗ yếu của mình, chỗ nào đã nắm vững, chỗ nào còn lỗ hổng hoặc sai sót và nếu có thể thì vạch rõ nguyên nhân sai lầm để giáo viên căn cứ vào đó mà có những phương hướng, biện pháp giúp học sinh khắc phục hay đánh giá vai trò, tầm quan trọng, phạm vi ứng dụng của một tri thức. Qua đó hình thành phương pháp mới để giải quyết vấn đề. Ví dụ 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x2 + 1 x2 2 ( x+ 1 x ) + 5 Tri thức chuẩn ở đây được thể hiện chính là yêu cầu của bài toán, học sinh cần phải nắm vững định nghĩa giá trị nhỏ nhất của hàm số. Giáo viên cho học sinh giải bài toán trên hoặc yêu cầu các em tìm ra chỗ sai của lời giải sau đây: Đặt t = x + 1 x thì x2 + 1 x2 = t2 2 nên bài toán trở thành tìm min g(t) với g(t) = t2 2t + 3 = (t 1)2 + 2  2, 8t 2 R. Đẳng thức xảy ra khi t = 1. Do đó min f(x) = 2;min f(x) đạt được bằng 2 khi t = 1: Sai lầm ở chỗ là chuyển bài toán không tương đương. Giá trị nhỏ nhất của f(x) không trùng với giá trị nhỏ nhất của g(t) với 8t 2 R. Có thể thấy ngay với t = 1 thì không tồn tại x để f(x) = 2: Lời giải trên không đúng là do học sinh không nắm vững định nghĩa của giá trị nhỏ nhất của hàm số. Qua đó giáo viên điều chỉnh lại nhận thức của học sinh thông qua lời giải đúng. 2.3. Tri thức thuộc phạm trù Triết học duy vật biện chứng Thực tiễn sư phạm cho thấy, một số giáo viên chưa biết cách cài đặt, lồng ghép một cách thích hợp những kiến thức thuộc về phép duy vật biện chứng trong quá trình dạy học Toán. Từ đó dẫn đến việc học sinh nhìn các đối tượng Toán học một cách rời rạc, trong trạng thái tĩnh mà chưa thấy mối liên hệ phụ thuộc, sự vận động biến đổi, quá trình phát sinh và phát triển, chưa thấy được sự thống nhất và mâu thuẫn giữa các mặt đối lập nên chưa hiểu rõ bản chất Toán học. Vì vậy nhiều khi học sinh gặp khó khăn khi giải các bài toán, nhất là các bài toán đòi hỏi phải có sự sáng tạo. Xét về phương diện phương pháp luận trong dạy học Toán, có những tri thức thuộc phạm trù triết học duy vật biện chứng đóng vai trò định hướng hoạt động tìm đoán mà người giáo viên cần quan tâm để trang bị cho học sinh. Để trang bị cho học sinh những tri thức thuộc phạm trù triết học duy vật biện chứng cần lưu ý những vấn đề sau: * Cần tổ chức cài đặt, lồng ghép một số kiến thức về phép biện chứng duy vật một cách khéo léo thông qua những bài toán để dần dần trang bị cho học sinh về thế giới quan duy vật biện chứng. Đối với học sinh phổ thông việc vận dụng các quy luật và các cặp phạm trù của phép biện chứng duy vật vào học toán còn xa lạ với các em. Nhưng nếu giáo viên biết khéo léo cài đặt cùng 80 Tăng cường khả năng chiếm lĩnh những dạng tri thức cho học sinh... với những dụng ý sư phạm thì sẽ giúp học sinh biết học Toán dựa vào các quy luật và các cặp phạm trù của phép biện chứng duy vật. Chẳng hạn, tri thức thuộc phạm trù mối liên hệ giữa hình thức và nội dung. Hình thức có thể che lấp nội dung, thay đổi hình thức các bài toán để thấy rõ nội dung thuận tiện cho việc huy động kiến thức đã có của học sinh là một việc làm hết sức cần thiết. Do đó, giáo viên cần định hướng cho học sinh liên tưởng và huy động kiến thức bằng cách luôn luôn động viên nhắc nhở học sinh xem xét, biến đổi các bài toán, vấn đề dưới nhiều hình thức khác nhau, thích hợp cho việc tìm ra một hình thức nghiên cứu phù hợp nhất. Tri thức này có thể được diễn đạt dưới dạng quy lạ về quen nhờ biến đổi hình thức của bài toán. Ví dụ 5. Cho elip (E) : x2 a2 + y2 b2 = 1 và đường thẳng (∆) : Ax + By + C = 0. Chứng minh rằng (∆) tiếp xúc với (E) khi và chỉ khi a2A2 + b2B2 = C2: Có học sinh giải bài toán như sau: Đường thẳng (∆) tiếp xúc với (E) khi và chỉ khi hệ phương trình:  x 2 a2 + y2 b2 = 1 Ax+By + C = 0 có nghiệm duy nhất. Tìm điều kiện để hệ phương trình này có nghiệm duy nhất bằng phương pháp thế là cách giải khá phức tạp. Hơn nữa chương trình hiện hành không dùng khái niệm nghiệm kép để giải quyết các bài toán về tiếp tuyến, tiếp xúc. Vậy giáo viên cần phải định hướng như thế nào để học sinh có thể giải được bài toán trên. giáo viên có thể nêu câu hỏi: Từ việc tìm điều kiện tiếp xúc của một đường thẳng và đường (E) có thể đưa bài toán về tìm điều kiện để một đường cong quen thuộc tiếp xúc với một đường thẳng không? Với câu hỏi như vậy học sinh có thể liên tưởng đến việc đưa phương trình (E) về phương trình đường tròn thông qua phép đặt X = x a ; Y = y b sẽ được X2 + Y 2 = 1. Khi đó, ta cũng biến đổi Ax+By + C = 0 thành aAX + bBY + C = 0: Bài toán trở thành tìm điều kiện để đường tròn X2 + Y 2 = 1 tiếp xúc với đường thẳng aAX + bBY + C = 0: Bài toán đã được đưa về dạng quen thuộc, điều kiện cần tìm ở đây là đường thẳng (∆′) : aAX + bBY + C = 0 tiếp xúc với đường tròn (T ) : X2 + Y 2 = 1, khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm O(0; 0) của (T ) đến (∆′) bằng 1. jCjp a2A2 + b2B2 = 1, a2A2 + b2B2 = C2 * Tổ chức những hoạt động Toán học thích hợp (phát hiện, mở rộng, đào sâu, nâng cao...), vận dụng linh hoạt các thao tác tư duy (khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự) trong quá trình dạy học Toán nhằm giúp học sinh tư duy theo các quy luật của phép biện chứng duy vật. Trong quá trình dạy học giáo viên cần tổ chức những hoạt động Toán học thích hợp giúp học sinh biết phát hiện ra những vấn đề mới, những bài toán mới, hoặc giúp học sinh nhìn thấy được sự liên hệ giữa nhiều vấn đề với nhau. Nhờ đó học sinh có thể biết suy nghĩ tìm tòi để có thể mở rộng, đào sâu thêm kiến thức, bằng cách nêu lên và giải quyết những vấn đề tổng quát hơn, 81 Nguyễn Hữu Hậu những vấn đề tương tự, hoặc đi sâu vào những trường hợp đặc biệt, có ý nghĩa về mặt nào đó (kết quả lí thú, có ứng dụng thực tế, v.v...). Chẳng hạn, vận dụng cặp phạm trù cái chung – cái riêng để giúp học sinh chiếm lĩnh tri thức toán học. Theo quan điểm của phép biện chứng duy vật về mối quan hệ, giữa cái riêng và cái chung có mối quan hệ biện chứng với nhau. Cái chung tồn tại trong cái riêng, biểu hiện thông qua cái riêng; Ngược lại, cái riêng tồn tại trong mối liên hệ với cái chung, bao hàm cái chung; Cái riêng là cái toàn bộ, phong phú hơn cái chung, cái chung là cái bộ phận nhưng sâu sắc hơn cái riêng. Tác giả Đào Tam cho rằng có thể quán triệt phép biện chứng về mối quan hệ giữa cái chung và cái riêng vào việc phát triển nhận thức cho học sinh trong dạy học Toán qua các phương thức sau đây: Phương thức 1: Luyện tập cho học sinh hoạt động khảo sát, tương tác qua các trường hợp riêng thông qua hoạt động phát hiện để tìm cái chung - tri thức mới tổng quát hơn. Có thể vận dụng phương