Tập luyện cho học sinh khá giỏi năng lực dự đoán trong chứng minh bất đẳng thức

JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE Educational Sci., 2014, Vol. 59, No. 2, pp. 57-62 This paper is available online at TẬP LUYỆN CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI NĂNG LỰC DỰ ĐOÁN TRONG CHỨNGMINH BẤT ĐẲNG THỨC Nguyễn Dương Thịnh Trường THPT B Duy Tiên, Hà Nam Tóm tắt. Tập luyện cho học sinh năng lực dự đoán trong dạy học môn Toán là một việc làm cần thiết, nó không những góp phần kích thích sự tìm tòi, ham hiểu biết của học sinh mà còn giúp cho học sinh rèn luyện các quy tắc có tính chất tìm đoán một cách hợp lí tránh được những mày mò không có định hướng, để tìm đến cách giải ngắn gọn, cô đọng. Bài báo đề xuất những cách thức tập luyện cho học sinh khá giỏi năng lực dự đoán trong chứng minh bất đẳng thức (BĐT), nhất là dự đoán cách tìm lời giải một bài toán chứng minh BĐT, tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một biểu thức. Từ khóa: 1. Mở đầu Nhằm nâng cao chất lượng dạy học nội dung BĐT ở trường trung học phổ thông (THPT), ngoài việc trang bị cho học sinh những kiến thức cơ bản về BĐT như: BĐT trị tuyệt đối, BĐT Cauchy, BĐT Bunhiacopxki ...chúng ta cần cho học sinh tập luyện dự đoán cách tìm lời giải trong bài toán BĐT, tìm GTLN và GTNN của một biểu thức. Qua thực tế giảng dạy chúng tôi nhận thấy rằng việc làm này chưa diễn ra thường xuyên, hầu hết giáo viên chỉ dừng lại ở việc định hướng sẵn cách nghĩ, cách làm cho học sinh, do đó khi gặp một bài toán chứng minh BĐT học sinh thường có nhiều lúng túng, không biết giải như thế nào? Để khắc phục những tồn tại đó chúng tôi thấy rằng cần phải tập luyện cho học sinh năng lực dự đoán cách tìm lời giải trong các bài toán chứng minh BĐT, tìm GTLN và GTNN của một biểu thức. Trong bài báo này, chúng tôi đề xuất những cách thức tập luyện cho học sinh năng lực dự đoán cách tìm lời giải một bài toán chứng minh BĐT, tìm GTLN và GTNN của một biểu thức. 2. Nội dung nghiên cứu Theo tác giả G.Polya “Dự đoán là những phán đoán dựa trên cơ sở những quan sát đã tiến hành từ trước và sự phù hợp của chúng đối với quy luật đã giả định để đưa ra kết quả của sự quan sát tiếp theo của mình. . . ” [3; 58]. Ngày nhận bài: 06/06/2013. Ngày nhận đăng: 15/12/2013. Liên hệ: Nguyễn Dương Thịnh, e-mail: thinht84maths@gmail.com. 57 Nguyễn Dương Thịnh Trong quá trình tìm lời giải một bài toán, dự đoán không những giúp ta hiểu bài toán mà còn tránh được những cách giải mày mò, mù quáng. Trước những bài toán khó không vội đi vào tính toán, chứng minh ngay mà biết căn cứ vào dữ kiện và mục tiêu cần giải quyết để có những trù liệu, phán đoán. Nó thuộc loại vấn đề gì? Đại thể nên bắt đầu từ đâu? Giả thiết cho chúng ta biết những gì? Có điều gì đặc biệt trong bài toán đã cho? Sau đó mới bắt tay vào tính toán, chứng minh. Khi đạt được một kết quả nào đó thì kết hợp với mục tiêu dự đoán, cảm nhận được cách giải nào sẽ đạt được kết quả. Nếu thấy có thể được thì sẽ tiếp tục phương pháp đó, nếu cảm nhận thấy không được thì phải quay lại điều kiện ban đầu để dự đoán, tìm cách giải khác, điều chỉnh cho tới khi giải được bài toán. Để hiểu rõ cách thức dự đoán tìm lời giải trong chứng minh BĐT, tìm GTLN và GTNN của một biểu thức, chúng ta xét các ví dụ sau: Ví dụ 1. Cho hai số thực dương x và y: x+ y  1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x+ 1 x + y + 1 y . Bài giải. Ta có P = x+ 1 x + y + 1 y = 4x+ 1 x + 4y + 1 y 3 (x+ y) Do x; y > 0 nên áp dụng BĐT Cauchy ta có: 4x+ 1 x  2 √ 4x. 1 x ) 4x+ 1 x  4 Tương tự: 4y + 1 y  4 Mà theo giả thiết ta có: x+ y  1) 3 (x+ y)  3 Do đó: P = x+ 1 x + y + 1 y = 4x+ 1 x + 4y + 1 y 3 (x+ y)  4 + 4 3 Suy ra: P  5. Vậy GTNN của P là 5. Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi: x; y > 0 x+ y = 1 4x = 1 x 4y = 1 y ) x = y = 1 2 58 Tập luyện cho học sinh khá giỏi năng lực dự đoán trong chứng minh bất đẳng thức - Phân tích: Đối với học sinh khá giỏi thì việc tìm ra lời giải bài toán hoặc hiểu lời giải bài toán này không quá khó khăn. Tuy nhiên, đối với hầu hết học sinh việc tìm ra lời giải bài toán này là một công việc khó khăn, học sinh không hiểu tại sao biểu thức: P = x+ 1 x + y + 1 y lại phân tích thành: P = 4x+ 1 x + 4y + 1 y 3 (x+ y) hoặc nếu để học sinh tự làm thì thường dẫn đến sai lầm khi giải bài toán bằng cách áp dụng ngay BĐT Cauchy. Do đó giáo viên có thể tập luyện cho học sinh dự đoán cách thức tìm lời giải bài toán này như sau: + Nhận thấy một biểu thức đạt được GTLN hoặc GTNN khi tồn tại các giá trị của biến để dấu “=” có thể xảy ra. + Đối với bài toán trên thì ta thấy P là biểu thức đối xứng đối với cả 2 biến x, y và khi dấu “ =” xảy ra thì từ giả thiết của bài toán ta có x + y = 1, do vậy GTNN của biểu thức có thể đạt được tại x = y = 1 2 . Khi đó để sử dụng BĐT Cauchy chính xác thì phải đi tìm biểu thức phù hợp để x, y cùng bằng 1 2 . Từ đó chúng ta hướng cho học sinh biến đổi theo hướng sau: P = x+ 1 x + y + 1 y = 4x+ 1 x + 4y + 1 y 3 (x+ y) Tương tự như trên, ta xét ví dụ sau: Ví dụ 2. Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn: x+ y + z  1. Chứng minh rằng:√ x2 + 1 x2 + √ y2 + 1 y2 + √ z2 + 1 z2  82 (2.1) (Trích đề thi Tuyển sinh Đại học, Khối A năm 2003) - Phân tích: Tương tự như Ví dụ 1, ta dự đoán được dấu “=” xảy ra trong BĐT trên khi: x = y = z = 1 3 Khi đó bằng cách biến đổi biểu thức và sử dụng BĐT Cauchy - Schwart ta có cách chứng minh như sau: 59 Nguyễn Dương Thịnh Ta có: (1 + 81) ( x2 + 1 x2 )  ( x+ 9 x )2 ) √ x2 + 1 x2  1p 82 ( x+ 9 x ) Tương tự ta cũng có:√ y2 + 1 y2  1p 82 ( y + 9 y ) và √ z2 + 1 z2  1p 82 ( z + 9 z ) Vậy BĐT cần chứng minh quy về chứng minh BĐT: x+ 9 x + y + 9 y + z + 9 z  82 Tới đây ta chú ý khi áp dụng BĐT Cauchy thì dấu “ =” xảy ra vẫn phải là x = y = z = 1 3 . Do đó ta tách vế trái như sau: V T = x+ 9 x + y + 9 y + z + 9 z = x+ 1 9x + y + 1 9y + z + 1 9z + 80 9 ( 1 x + 1 y + 1 z ) Theo BĐT Cauchy ta có: x+ 1 9x  2 3 ; y + 1 9y  2 3 ; z + 1 9z  2 3 V T = x+ 1 9x + y + 1 9y + z + 1 9z + 80 9 ( 1 x + 1 y + 1 z )  2 + 80 9 ( 9 x+ y + z )  82 (vì x+ y + z  1) Vậy chúng ta đã tìm được cách chứng minh bất BĐT đẳng thức trên. Ví dụ 3. Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng: a2 b+ c + b2 c+ a + c2 a+ b  a+ b+ c 2 - Phân tích: + Ta thấy bài toán BĐT trên là bài toán đối xứng đối với cả 3 biến a, b, c, do đó dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c 60 Tập luyện cho học sinh khá giỏi năng lực dự đoán trong chứng minh bất đẳng thức + Mặt khác vế trái là biểu thức có mẫu là các biến a, b, c, vế phải là biểu thức có mẫu là một số. Do vậy trong quá trình áp dụng các BĐT quen thuộc ta phải làm mất các biến ở mẫu bên vế trái. Với cách phân tích như trên chúng ta đến dự đoán bài toán chứng minh BĐT này như sau: + Đối với số hạng a2 b+ c của vế trái, khi a = b = c thì: a2 b+ c = a 2 ) b+ c = 2a Do đó để làm mất các biến ở mẫu của số hạng này ta cần thêm một biểu thức thỏa mãn: có tử là a+ b và mẫu là một số sao cho khi xảy ra dấu “ =” thì phân số đó có giá trị bằng a 2 . Như vậy, để giải đúng thì ta phải đưa vào số hạng b+ c 4 để có: a2 b+ c + b+ c 4  2 √ a2 b+ c . b+ c 4 = a Tương tự: b2 c+ a + c+ a 4  2 √ b2 c+ a . c+ a 4 = b c2 b+ a + b+ a 4  2 √ c2 b+ a . b+ a 4 = c Cộng vế với vế của các BĐT ta có kết quả bài toán. Dấu bằng xảy ra khi nào? Ví dụ 4. Cho a, b là các số dương thỏa mãn a+b  1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = ab+ 1 ab Sai lầm thường gặp: S = ab+ 1 ab  2 √ ab. 1 ab = 2 Vậy minS = 2. - Nguyên nhân sai lầm: Ta có: minS = 2, ab = 1 ab = 1 ) 1 = pab  a+ b 2  1 2 ) 1  1 2 (Vô lí) 61 Nguyễn Dương Thịnh - Phân tích: Thứ nhất, có thể coi S là biểu thức đối xứng đối với 2 biến a và b. Do đó dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi a = b Thứ hai, khi dấu “ =” xảy ra thì biểu thức điều kiện a+ b  1 xảy ra dấu “ =” nghĩa là a + b = 1 ) a = b = 1 2 . Do đó trong quá trình áp dụng các bất đẳn BĐT quen thức quen thuộc phải chú ý tới điều kiện xảy ra dấu “ =”. Từ đó ta phân tích: S = ab+ 1 ab = ab+ 1 16ab + 15 16ab  2 √ ab. 1 16ab + 15 16. ( a+ b 2 )2  174 . 3. Kết luận Qua thực tế giảng dạy, chúng tôi nhận thấy rằng việc rèn luyện năng lực dự đoán tìm lời giải cho bài toán chứng minh BĐT là một việc làm cần thiết góp phần kích thích tính tò mò, sự ham hiểu biết của học sinh, làm cho học sinh có hứng thú trong học toán và hiểu sâu hơn về bài toán. Theo tác giả G.Polya “Một phát minh khoa học lớn cho phép giải quyết một vấn đề lớn, nhưng ngay cả việc tìm được lời giải cho một bài toán cũng có ít nhiều phát minh” [1; 4]. Do đó sẽ thật hữu ích nếu giáo viên thường xuyên tập luyện cho học sinh năng lực dự đoán tìm lời giải cho một bài toán. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] G. Pôlya, 2009. Giải một bài toán như thế nào?. Nxb Giáo dục Việt Nam. [2] G. Pôlya, 2010. Sáng tạo toán học. Nxb Giáo dục Việt Nam [3] G. Pôlya, 2010. Toán học và những suy luận có lí. Nxb Giáo dục Việt Nam [4] Nguyễn Bá Kim, 2004. Phương pháp dạy học môn Toán. Nxb ĐHSP [5] Nguyễn Văn Mậu, 2006. Bất đẳng thức, định lí và áp dụng. Nxb Giáo dục Việt Nam [6] Trần Phương, Nguyễn Đức Tấn, 2006. Sai lầm thường gặp và các sáng tạo khi giả toán. Nxb ĐHQG Hà Nội ABSTRACT Teaching students to be able to accurately predict the proof of a mathematical inequality Teaching students to be able to predict mathematical inequality proofs is necessary in the teaching of high school mathematics. This article proposes ways to teach students to be able to predict solutions to problems such as mathematics inequality proofs and finding the maximum and minimum mathematical expressions. 62