Thiết lập công thức tổng quát mô tả hiệu ứng Stark của nguyên tử hydro trong điện trường tĩnh

Năm học 2015 - 2016 51 THIẾT LẬP CÔNG THỨC TỔNG QUÁT MÔ TẢ HIỆU ỨNG STARK CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO TRONG ĐIỆN TRƯỜNG TĨNH Trần Dương Anh Tài (Sinh viên năm 2, Khoa Vật lí) GVHD: TS Phạm Nguyễn Thành Vinh TÓM TẮT Trong đề tài này, chúng tôi khảo sát sự tách vạch phổ năng lượng của nguyên tử Hydro trong điện trường tĩnh bằng phương pháp giải tích. Hệ tọa độ parabolic và lí thuyết nhiễu loạn được sử dụng để xây dựng công thức giải tích tổng quát mô tả sự phụ thuộc của các mức năng lượng của nguyên tử Hydro vào cường độ điện trường ngoài. Kết quả giải tích được so sánh với kết quả giải số chính xác để đánh giá giới hạn áp dụng của công thức giải tích. Từ khóa: Nguyên tử Hydro, lí thuyết nhiễu loạn, hệ tọa độ parabolic. 1. Giới thiệu Năm 1913, lấy cảm hứng từ thí nghiệm quan sát quang phổ của cácnguyên tử trong từ trường của Pieter Zeeman, Johannes Stark đã thực hiện thí nghiệm khảo sát ảnh hưởng của điện trường tĩnh lên quang phổ của nguyên tử. Ông nhận thấy điện trường ngoài có tác dụng tách các vạch phổ của nguyên tử ứng với những trạng thái có mức suy biến lớn hơn thành các vạch phổ riêng biệt. Paul Epstein đã giải thích hiệu ứng này bằng lí thuyết tiền lượng tử vào năm 1916 [5]. Sau đó, Erwin Schrödinger đã sử dụng hiệu ứng này như là một bằng chứng khẳng định tính đúng đắn của mô hình cơ học lượng tử do ông xây dựng. Dựa trên cơ sở của Schrödinger, các nhà khoa học đi sau đã mởrộng kết quả tính toán bằng nhiều phương pháp khác nhau [1, 4, 7, 14]. Ngày nay, hiệu ứng tách vạch phổ của nguyên tử dưới tác dụng của điện trường tĩnhđược biết đến rộng rãi với tên gọi là hiệu ứng Stark. Tuy nhiên, cần lưu ý rằng,hiệu ứng Stark còn được gọi là hiệu ứng Stark-Lo Surdo để tưởng niệm nhà vật lí người Ý Antonio Lo Surdo cho việc tìm ra hiệu ứng này một cách độc lập [8]. Trong đề tài này, chúng tôi khảo sát hiệu ứng Stark cho nguyên tử Hydro. Mặc dù là hệ đơn giản nhất nhưng nguyên tử Hydro đóng vai trò đặc biệt quan trọng trong cơ học lượng tử vì đây là hệ thử tốt cho tất cả các nghiên cứu trong lĩnh vực vật lí nguyên tử, phân tử, do cấu tạo đơn giản và tính chất đối xứng hoàn hảo đặc trưng cho nhóm SO4. Ngoài ra, bài toán nguyên tử Hydro trong điện trường và từ trường cũng thu hút được sự quan tâm của rất nhiều nhà khoa học từđầu thế kỉ trước cho đến tận ngày nay. Đặc biệt, vào năm 2013 Stodolna cùng các cộng sự đã thực hiện thí nghiệm với mục đích chụp ảnh trực tiếp các orbital của trạng thái Ryberg (trạng thái có số lượng tử chính rất lớn) của nguyên tử Hydro dựa vào phân bố động lượng vuông góc của electron bị ion hóa dưới tác dụng của điện trường tĩnh [12]. Điều này chứng tỏ ý nghĩa vật lí quan trọng của hiệu ứng này. Kỉ yếu Hội nghị sinh viên NCKH 52 Bài toán nguyên tử Hydro là một trong những bài toán kinh điển được giải chi tiết trong nhiều giáo trình cơ học lượng tử bằng hệ tọa độ cầu [11]. Mặc dù hệ tọa độ cầu là công cụ mạnh để giải quyết các bài toán có tính chất đối xứng cầu nhưng lại vô cùng khó khăn khi được sử dụng để xem xét bài toán tương tác giữa nguyên tử, phân tử với điện trường ngoài do vector phân cực của điện trường không còn tính đối xứng cầu. Do đó đối với bài toán này các nhà vật lí thường chọn hệ tọa độ parabolic do khả năng tách biến tốt và thống nhất trong cách xử lí các phương trình vi phân sau khi đã tách biến[13]. Ngoài ra, hệ tọa độ parabolic còn ưu điểm khác là chuyển quá trình ion hóa của electron theo ba chiều trong tọa độ cầu giảm xuống thành sự ion hóa một chiều dọc theo trục  [10]. Mặc dù đã được sử dụng từrất lâu bởi các nhà khoa học trên thế giới, nhưng công cụ toán học hiệu quảnày lại là một kĩ thuật hoàn toàn mới, chưa được áp dụng rộng rãi trong nước. Bên cạnh bài toán nguyên tử Hydro, hiệu ứng Stark khi được trình bày trong các giáo trình cơ lượng tử hiện nay [11] đều dựa trên việc giải phương trình thế kỉ (secular equation). Khi số lượng tử chính tăng kéo theo sự gia tăng bậc suy biến của các trạng thái liên kết, điều này dẫn đến việc giải phương trình thế kỉ là không thể thực hiện do bậc định thức là rất lớn. Trạng thái kích thích thứ hai, 2n , có tám trạng thái suy biến tương ứng với định thức bậctám, việc giải định thức này vô cùng khó khăn. Vì thế,các tài liệu về cơ học lượng tử chỉ xét hiệu ứng Stark ứng với trạng thái cơ bản và trạng thái kích thích thứ nhất do đây là hai trường hợp đơn giản nhất. Trong đề tài này, chúng tôi giả thiết rằng điện trường ngoài đã khử đi sự suy biến của các trạng thái liên kết, mỗi trạng thái này được đặc trưng bởi bộ ba số lượng tử trong hệ tọa độ parabolic, và giả thiết này phù hợp với những nhận xét được nêu trong [3, 10]. Tuy vấn đề đã được đề cập đến bởi [3, 10], nhưng quá trình đưa ra những công thức này hoàn toàn không được chỉ ra một cách chi tiết, thậm chí một số biểu thức quan trọng bị bỏ qua. Do đó, việc tìm ra một quy trình toán học phù hợp, chi tiết để dẫn dắt đến công thức mô tả hiệu ứng Stark là vô cùng cần thiết. Trong quá trình tính toán, việc xử lí tích phân đa thức Laguerre đóng vai trò vô cùng quan trọng. Do đó, công việc tìm ra một công thức tổng quát xửlí tích phân đa thức Laguerre được đặt lên hàng đầu nếu muốn mở rộng các tính toán. Công thức này còn giúp ta dễ dàng chuẩn hóa hàm sóng cũng như nhận biết dễ dàng các số hạng khác không trong ma trận bổ chính nhiễu loạn năng lượng bậc hai. Dựa trên tính chất khai triển đặc biệt của các đa thức trực giao là phép khai triển "generating function", công thức tổng quát tích phân đa thức Laguerre được thành lập và giới thiệu đầy đủ trong đề tài này. Để đánh giá được độ tin cậy và mức độ áp dụng của công thức giải tích, chúng tôi so sánh kết quả gần đúng thu được từ công thức giải tích với kết quảchính xác nhận được từ việc giải số phương trình Schrodinger dừng với khi có mặt điện trường tĩnh. Việc so sánh được áp dụng với mức năng lượng cơ bản đặc trưng bởi bộ ba số lượng tử (0, 0, 0). Năm học 2015 - 2016 53 Với những đánh giá ở trên, đề tài “Hiệu ứng Stark của nguyên tử Hydro trong điện trường tĩnh” được thực hiện với các mục đích đưa ra một quy trình toán học chặt chẽ cho các tính toán về hiệu ứng Stark của nguyên tử Hydro nhằm cung cấp một công thức giải tích tổng quát có thể áp dụng cho mọi trạng thái liên kết của nguyên tử Hydro, đồng thời giới thiệu hệ tọa độ parabolic đến cộng đồng. Bài báo cáo được trình bày với bốn mục chính. Mục hai trình bày các phương pháp tính được áp dụng trong đề tài bao gồm công thức tổng quát tính tích phân đa thức Laguerre liên kết và phương pháp nhiễu loạn. Các kết quả tính toán về hàm sóng của nguyên tử Hydro trong hệ tọa độ parabolic, hiệu ứng Stark bậc hai và đánh giá về công thức giải tích được trình bày trong mục ba. Trong mục bốn, chúng tôi trình bày các kết luận và hướng phát triển tiếp theo của đề tài này. 2. Phương pháp nghiên cứu 2.1. Công thức tích phân đa thức Laguerre liên kết Dạng tổng quát tích phân đa thức Laguerre liên kết cần được xử lí một cách triệt để có dạng: , , 0 exp( ) ( ) ( )        k k kn k n nZ x x L x L x dx , (1) với  là số nguyên không âm,  là một số nguyên. Kết quả của tích phân này có thể được tính bằng phương pháp tích phân từng phần nhưng rất phức tạp và phải thực hiện lại từ đầu khi các hệ số thay đổi. Do đó, chúng tôi đề xuất sử dụng phép khai triển "generating function" cho các đa thức Laguerre liên kết [2,9]. 1 0 ( ) 1( , ) exp ,| | 1 ( )! (1 ) 1              k nn k n L x xtU x t t t n k t t 1 0 ( ) 1( , ) exp ,| | 1 ( )! (1 ) 1                      k n n k n k L x xyV x y y y n k y y (2) Biến đổi hai vế phương trình (2): 0 0 0 1 1 0 exp( ) ( ) ( ) ( )!( )! 1 exp 1 (1 ) (1 ) 1 1                                        n n k k k n n n n k k k t y x x L x L x dx n k n k t yx x t y t y . (3) Xét tích phân trong phương trình (3): Kỉ yếu Hội nghị sinh viên NCKH 54 0 exp 1 1 1                k t yA x x t y , (4) lời giải cho tích phân này n 1 0 !I exp( )     n n nx px dx p , như vậy 1 1 1 ( )!(1 ) (1 ) (1 )                k n k k t yA ty , (5) thay trở lại (3), sau đó khai triển nhị thức Newton, giá trị của ,,   n kZ chính là hệ số của .k nt y Công thức tổng quát cho tích phân đa thức Laguerre liên kết được chỉ ra như sau 2 , , 0 0 ( 1) ( )!( )!( )! ( )!                    i i j n k i j n k n k n k iZ C C n i , (6) trong đó và i, j thỏa mãn 0 ,        j i j i . (7) Nếu hệ phương trình (7) vô nghiệm, thì tích phân bằng không, điều này đảm bảo đúng tính chất trực giao của đa thức Laguerre liên kết. Kết quả này có ý nghĩa rất lớn khi vừa đáp ứng yêu cầu một công thức tổng quát cho tích phân này nhưng đơn giản để ứng dụng vào quá trình tính toán. 2.2. Phương pháp nhiễu loạn Trong cơ học lượng tử, việc tìm nghiệm giải tích chính xác cho phương trình Schrödinger chỉ có thể thực hiện với những hệ đơn giản. Do đó, kĩ thuật tính gần đúng được phát triển để giải quyết vấn đề này. Trong đó, phương pháp nhiễu loạn với nhiều ưu điểm đã được ứng dụng vào cơ học lượng tử từ rất sớm. Trong đề tài này, phương pháp nhiễu loạn không suy biến được sử dụng để đưa ra công thức mô tả hiệu ứng Stark [6]. Phương trình Schrödinger dừng tổng quát có dạng: ˆ | |   n n nH E , (8) giả sử một nhiễu loạn nhỏ xuất hiện trong toán tử Hamilton: 0 ˆ ˆ ˆ  H H H , (9) Năm học 2015 - 2016 55 với H' là thế năng nhiễu loạn,  là thông số nhiễu loạn. Giả định rằng, trị riêng của 0Hˆ có thể được giải chính xác: 0 0 0 0 ˆ | | .   n n nH E (10) Trị riêng và hàm riêng của toán tử Hˆ cho bởi phương trình (8) phụ thuộc vào thông số nhiễu loạn  và được khai triển theo chuỗi Taylor tại 0  0 0 1, !           s s s s n n n n s s EE E E s , 0 0 1, !               s s s s n n n n s s s , (11) trong đó s là bậc nhiễu loạn. Thay vào phương trình (8), ta có: 0 0 1 2 ˆ ˆ| | |                   s s s j s j n n n n n n j H E E H E (12) Xét nhiễu loạn bổ chính năng lượng bậc một, 1s . Nhân hai vế phương trình (12) với vector bra 0 | n , ta có: 0 0 1 0 0 (0) 0 1 (1) 0 0| | | |                 n n n n n n n n n nH H E E , (13) mặt khác: 0 0 1 0 0 1 0 (0) 1 (0) 0 1| | | |                 n n n n n n n n n nH H E E , (14) do đó biểu thức bổ chính năng lượng bậc một (1) 0 0| |   n n nE H . (15) Tương tự, bổ chính năng lượng bậc hai được cho bởi công thức sau 2 (2) 0 1 (0) (0) ˆ| |ˆ| | .         n n m n m n m n H mE H E E (16) 3. Kết quả 3.1. Mô tả nguyên tử Hydro trong hệ tọa độ parabolic Phương trình Schrödinger dừng mô tả chuyển động của electron trong trường thế năng của nguyên tử (hệ đơn vị nguyên tử được sử dụng xuyên suốt báo cáo) 1 ( ) ( ) ( ) 2         V r r E r . (17) Kỉ yếu Hội nghị sinh viên NCKH 56 Thế năng V(r) mô tả tương tác giữa electron và hạt nhân. Trong trường hợp nguyên tử Hydro 1( )  V r r (18) Chúng tôi giải phương trình (18) trong hệ tọa độ parabolic định nghĩa bởi [3, 10] , (0 ), , (0 ), arctan , (0 2 )                  yr z r z x (19) Nghiệm của phương trình (17) được tìm bằng phương pháp tách biến 1 2( ) ( ) ( )exp( )   r u u im (20) với 1( )u , 2( )u là những hàm chỉ phụ thuộc lần lượt vào ,  và m là số lượng tử từ. Thay phương trình (20) trở lại phương trình (17) chúng tôi thu được hệ phương trình 2 21 1 1 12 1 1 0 2 4                d u du E Z m u d d , (23a) 2 2 2 2 2 22 1 1 0 d 2 4                d u du E Z m u d , (23b) trong đó, Z1 và Z2 là những thông số tách biến, liên hệ qua hệ thức 1 2Z + Z = 1 (24) Hai phương trình (23) được giải hoàn toàn tượng tự , cho nên chúng tôi chỉ trình bày cách tìm hàm sóng 1( )u là nghiệm của phương trình (23a). Đây là bằng chứng cho khả năng thống nhất sau tách biến của hệ tọa độ parabolic như đã đề cập. Để đảm bảo tính chất hữu hạn, hàm sóng 1( )u có dạng như sau [13] /2 1( ) exp ( )2          mu f , (25) với 2   E . Thay phương trình (25) trở lại phương trình (23a), ta có   1 1''( ) 1 ( ) ( ) 0. 2                 mf m f Z f (26) Đặt biến số mới ,x sau một vài biến đổi, phương trình (23a) trở thành phương trình vi phân đặc trưng của đa thức Laguerre liên kết [2,9], do đó nghiệm của phương trình (26) 1 ( ) ( ) mnf x L , (27) Năm học 2015 - 2016 57 với 11 1 2    Z mn là số lượng tử  -parabolic. Hàm sóng 1( )u   1 /2 1( ) exp 2          m m nu L (28) là nghiệm của phương trình (23a). Do phương trình (23a) và (23b) có cùng dạng nên hàm sóng 2( )u được suy ra từ hàm sóng 1( )u như sau thay 1n bằng 2n và  bằng  , do đó   2 /2 2 ( ) exp ,2          m m nu L (29) với 22 1 2    Z mn là số lượng tử  -parabolic. Trong hệ tọa độ parabolic, mỗi trạng thái liên kết không nhiễu loạn được xác định bởi bộ ba số lượng tử ( 1n , 2n , m) liên hệ với số lượng tử chính theo công thức 1 2 1  n mn n . Do đó sẽ có | |n m cách khác nhau để chọn những số nguyên không âm 1n , 2n ứng với mỗi mức năng lượng xác định E . Hàm sóng 1( )u được chuẩn hóa bởi điều kiện 2 1 0 ( ) 1,   u d (30) có dạng như sau 1 1 /21 2 1 3 1 !( ) exp ( ), ( )! 2             m m m n nu L n m (31) suy ra hàm sóng 2( )u chuẩn hóa là 2 1 /21 2 2 3 2 !( ) exp ( ) ( )! 2             m m m n nu L n m (32) Từ hai hàm sóng chuẩn hóa 1( )u và 2( )u , các hàm riêng chuẩn hóa mô tả tổng quát nguyên tử Hydro được trình bày trong [13]       1 2 21 2 3 3 1 2 ! ! 1( ) exp ( ) ( )! ( )! 2 exp( ).                    m m m n n n nr n m n m L L im (33) Kỉ yếu Hội nghị sinh viên NCKH 58 3.2. Công thức tổng quát mô tả hiệu ứng Stark Khi có mặt điện trường, rào thế Coulomb giảm đi do đó electron có khả năng thoát khỏi nguyên tử, tiến vào vùng năng lượng liên tục theo cơ chế xuyên hầm lượng tử (tunneling effect), do đó giả thiết được đặt ra rằng cường độ điện trường ngoài F đủ nhỏ sao cho hiện tượng ion hóa không xảy ra. Điện trường ngoài được định hướng theo chiều dương của trục Oz, tác dụng lên moment lưỡng cực điện của nguyên tử gây ra một thế năng, do đó thế năng tổng hợp của electron trong trường hợp này 1 .  V Fz r (34) Lúc này, hai phương trình (23) được viết lại thành 2 2 21 1 1 12 1 1 1 0, 2 4 4                  d u du E Z m F u d d (35a) 2 2 22 2 2 22 1 1 1 0, 2 4 4                  d u du E Z m F u d d (35b) do đó hai số hạng 21 4 F và 21 4  F được xem như thế năng nhiễu loạn tương ứng với các hàm 1( )u và 2( )u . được xem như những nhiễu loạn tương ứng với các hàm sóng 1( )u và 2( )u Các thông số tách biến 1Z và 2Z được hiệu chỉnh bởi công thức bổ chính nhiễu loạn bậc một và bậc hai. Bổ chính nhiễu loạn bậc một của thông số tách biến 1Z cho bởi (1) 2 2 2 21 1 1 1 12 0 ( ) 6 6 6 3 2 4 4             F FZ u d n n m n m m , (36) từ đó, chúng tôi chỉ ra thông biến tách biến 1Z được hiệu chỉnh nhiễu loạn bậc một  2 21 1 1 1 12 1 6 6 6 3 2 2 4               m FZ n n n m n m m , (37) bằng việc thay F bởi F và 1n bởi 2n trong (37), thông số tách biến 2Z sau hiệu chỉnh được cho bởi  2 22 2 2 2 22 1 6 6 6 3 2 2 4               m FZ n n n m n m m . (38) Năm học 2015 - 2016 59 Sử dụng hệ thức liên hệ giữa hai thông số tách biến cho bởi (24) chúng tôi nhận được giá trị của biến số năng lượng  2 1 21 3 ( ) 2     Fn n n n . (39) suy ra năng lượng của nguyên tử sau hiệu chỉnh nhiễu loạn bậc một 2 4 2 1 2 1 22 1 3 9( ) ( ) 2 2 8      E Fn n n F n n n n . (40) Do đang thực hiện tính toán gần đúng bậc một nên biểu thức chứa lũy thừa bậc hai của F phải được lược bỏ, điều này không được trình bày trong tài liệu [3, 10], công thức (40) trở thành 1 22 1 3 ( ) 2 2    E Fn n n n , (41) đây là công thức giải tích mô tả hiệu ứng Stark bậc một hay còn được gọi là hiệu ứng Stark tuyến tính. Khi cường độ điện trường ngoài tăng lên, ta cần xét đến gần đúng bậc cao hơn. Bổ chính nhiễu loạn bậc hai của thông số tách biến 1Z được cho bởi công thức 1 1 2 2 2 (2) 1 1 1 (0) (0) 1 1 1 1 | | 16 ( ) ( )      n n F n nZ Z n Z n , (42) các phần tử khác không của ma trận nhiễu loạn ứng với các giá trị 1n thỏa mãn 1 1 12 2   n n n , các phần tử này có giá trị lần lượt 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 | | 1 2 (2 ) ( ), | | 2 ( 1)( )( 1), | | 1 2 (2 2) ( 1)( 1), | | 2 ( 1)( 2)( 1)( 2).                                                 n n n m n n m n n n n n m n m n n n m n n m n n n n n m n m (43) Bổ chính nhiễu loạn bậc hai cho thông số tách biến 1Z được chỉ ra 2(2) 2 2 1 1 1 1 15 ( 2 1) 4 17(2 2 2 ) 1816            FZ m n m mn n m n , (44) Kỉ yếu Hội nghị sinh viên NCKH 60 kết hợp với công thức hiệu chỉnh nhiễu loạn bậc một ta suy ra thông số tách biến 1Z được tính gần đúng bậc hai. Với những thông số tách biến đã được hiệu chỉnh, chúng tôi thực hiện lại những tính toán như trên từ đó đưa ra công thức tính năng lượng của nguyên tử Hydro tính gần đúng đến nhiễu loạn bậc hai 2 4 2 2 2 1 2 1 22 1 3 1( ) 17 3( ) 9 19 2 2 16           E Fn n n F n n n n mn . (45) 3.3. Đánh giá giới hạn áp dụng Để đánh giá giới hạn áp dụng công thức giải tích, việc giải số chính xác phương trình Schrödinger được thực hiện. Kết quả chi tiết được trình bày trong hình 1. Hình 1. Sự phụ thuộc năng lượng của nguyên tử Hydro ở trạng thái cơ bản (0,0,0) vào độ mạnh của điện trường ngoài. Đường liền nét biểu diễn kết quả thu được từ công thức giải tích. Đường đứt nét biễu diễn kết quả giải số chính xác phương trình Đặt 1 2 1    E E E , (46) là sai số tỉ đối giữa kết quả giải số và giải tích, trong đó 1 2,E E lần lượt là kết quả thu được từ giải số và giải tích. Năm học 2015 - 2016 61 Hình 2. Sai số tỉ đối giữa kết quả giải tích và kết quả giải số chính xác Từ hình 2, có thể thấy rằng với cường độ 0.2F a.u. sai số tỉ đối dưới 5%, do đó cường độ điện trường tối đa để công thức giải tích vẫn nghiệm đúng là gần 0.2a.u.. 4. Kết luận và hướng phát triển Các kết quả đã đạt được trong đề tài này gồm:  Chỉ ra những ưu điểm của hệ tọa độ parabolic;  Thiết lập công thức tổng quát của tích phân đa thức Laguerre;  Đưa ra quy trình toán học chặt chẽ cho các về tính toán hiệu ứng Stark;  Đánh giá giới hạn sử dụng công thức giải tích bằng phương pháp giải số. Giới hạn của đề tài là sử dụng phương pháp nhiễu loạn để tính gần đúng do đó không thể khảo sát hiệu ứng Stark khi cường độ điện trường ngoài lớn, phương pháp gần đúng WKB được chọn để thay thế phương pháp nhiễu loạn. Ngoài ra, phổ trị riêng năng lượng liên tục và dao động của hạt nhân cũng cần được khảo sát. Đó chính là hướng nghiên cứu tiếp theo của đề tài này. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. S. P. Alliluev and I. A. Malkin (1974), “Calculations of the Stark effect in hydrogen atoms by using the dynamical symmetry 0 (2,2) x 0 (2)”. Zh. Eksp. Teor. Fiz 66 pp. 1283–1294. 2. G. B. Arfken