Thử vận dụng hằng-bất đẳng thức Cauchy, công cụ đạo hàm, hoặc lượng giác học để giải bài toán cực trị về điện xoay chiều

THỬ VẬN DỤNG HẰNG-BẤT ðẲNG THỨC CAUCHY, CÔNG CỤ ðẠO HÀM, HOẶC LƯỢNG GIÁC HỌC ðỂ GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ VỀ ðIỆN XOAY CHIỀU. A. ðẶT VẤN ðỀ Nhận thấy trong số bài toán ñiện xoay chiều, có không ít những bài tìm cực trị của công suất tiêu thụ trên mạch, tìm số chỉ lớn nhất của volt kế mắc giữa hai ñầu tụ ñiện v.v Nay thử ñưa ra ñây một ít bài về loại nói trên và ñồng thời dùng các công cụ toán học như: hằng-bất ñẳng thức Cauchy, ñạo hàm hoặc lượng giác học ñể làm rõ việc khảo sát hàm công suất, hàm hiệu ñiện thế hiệu dụng giữa hai ñầu cuộn thuần cảm, tụ ñiện trong mạch xoay chiều nối tiếp. B. VÀI ðIỀU CẦN NẮM ⇒ R r, L C R r L C I. Khảo sát hàm công suất tiêu thụ: P = f(R + r,L, C, ω). Trong mạch xoay chiều gồm 3 phần tử nối tiếp: ñiện trở thuần, cuộn cảm, tụ ñiện thì công suất tiêu thụ mạch là hàm nhiều biến. Tạm phân ra 2 trường hợp như sau: 1.L, C, ω không ñổi → P = f(R + r). Hàm công suất lúc này theo một biến là (R + r). Có: 2 2 2 2 2 22 2 2 L ( ) onst ( ) ( ) ( ) (Z )( ) ( ) ( ) (R+r)+ ( ) ( ) L C CL C U R r U U c P R r I R r Z Z ZZ R r Z Z R r R r R r + = + = + = = = − −+ + − + + + + Áp dụng hằng-bất ñẳng thức Cauchy cho 2 số không âm: R + r và 2( )L CZ Z R r − + Có: 2 2 min ( ) ( ) 2 2L C L CL C L C Z Z Z Z R r Z Z R r Z Z R r R r  − − + + ≥ − ⇒ + + = − + +  Mặt khác, hằng ñẳng thức Cauchy xảy ra khi: 2( )L C L C Z Z R r R r Z Z R r − + = ⇒ + = − + Vậy: 2 2 2 ax 2 min 2 2( )( ) m L CL C U U U P Z Z R rZ Z R r R r = = = − + − + + +  Tóm lại: 2 ax 2( )m L C U P R r Z Z R r = ⇔ + = − + O R + r P Pmax L CZ Z− P = f(R + r) 2.(R + r) không ñổi → P = f(L, C, ω). Hàm công suất lúc này phụ thuộc vào ba biến là L, C, ω. Có: P = (R + r)I2 Muốn Pmax → Imax → Mạch cộng hưởng (φ = 0) Trong trường hợp này, ba biến nói trên sẽ liên hệ nhau qua ñiều kiện cộng hưởng: LCω2 = 1. Khi ñó: 2 2 ax 2 ( ) ( )m U U P R r R r R r = + = + + Tóm lại: 2 ax 1m U P LC R r ω= ⇔ = + Khảo sát hàm công suất theo từng biến như sau: a) C, ω không ñổi → P = f(L) R r L C 2 2 2 ( ) ( ) C R r U R r Z + + + L O P P = f(L) 2U R r+ 2 1 Cω b) L, ω không ñổi → P = f(C) R r L C P C O P = f(C) 2U R r+ 2 1 Lω 2 2 2 ( ) ( ) L R r U R r Z + + + c) L, C không ñổi → P = f(ω) OP ω 1 LC ( )P f ω= 2U R r+ ♣ Chú ý: Ở mục I. 1/. Hàm P = f(R + r) ñã khảo sát trên ñể tìm giá trị Pmax nhưng lúc này mạch không phải cộng hưởng, tức là ñộ lệch pha giữa u, i là φ ≠ 0. Hãy xác ñịnh φ ở trạng thái này: Có: 1 4 L C L C L C Z Z Z Z tg R r Z Z π ϕ ϕ − − = = = ± ⇒ = ± + − Vậy: 4 π ϕ = nếu ZL > ZC (mạch mang tính cảm kháng) 4 π ϕ = − nếu ZL < ZC (mạch mang tính dung kháng) II. Khảo sát hàm hiệu ñiện thế hiệu dụng: UR + r = f(R + r), UL = f(L), UC = f(C). 1. UR + r = f(R + r). R r L C V R rU + Có: 2 2 2 2 L 2 2 ( ) onst ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (Z ) 1 1+ ( ) ( ) R r L C L C C U R r U U c U R r I R r Z R r Z Z Z Z Z R r R r + + = + = + = = = + + − − − + + + Thấy: ax ax 2 2 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) R r m L C R r m L C U Z Z U U Z R r Z Z R r + +⇔ − = ⇒ = ⇒ = + + − = + Tóm lại: ax( )R r mU U R r Z+ = ⇔ + = 2. ( ) LZ L U f Z= . R r L C V LU Thử chọn cách dùng công cụ ñạo hàm ñể tìm cực trị trong trường hợp này. Có: 2 2( ) ( ) L L Z L L L C ZU U Z I Z U Z R r Z Z = = = + + − Lấy ñạo hàm bậc 1 theo biến ZL: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 .1 ( ) ( ) .2( ) 2 ( ) ( ) ( ) ' ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) L L L C L C L C Z L C L C L L C L C L C Z R r Z Z Z Z R r Z Z U U R r Z Z R r Z Z Z Z Z U R r Z Z R r Z Z  + + − − −  + + − =  + + −       + + − − − =   + + − + + −   Cho 2 2 2 2 2 ( ) ' 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 1 ( ) LZ L C L L C L C C U R r Z Z Z Z Z R r Z Z L C R r Z Cω = ⇒ + + − − − = + ⇔ = + ⇒ = + + Thấy nhị thức theo ZL là 2 2( )C L CZ Z R r Z− + + + chuyển dấu từ + sang – Nên 2 ax ( ) ( ) LZ m L C C R r U Z Z Z + ⇔ = + Thay trị ZL vào hàm ta ñược giá trị cực ñại của hàm: 2 2 ax( ) ( )LZ m C U U R r Z R r = + + + Tóm lại: 2 2 2 ax ( ) ( ) ( ) LZ m C L C C U R r U R r Z Z Z R r Z + = + + ⇔ = + + hay 2 2 1 ( )L C R r Cω = + + 3. ( ) CZ C U f Z= . R r L C V CU Thử dùng giản ñồ Fresnel (phương pháp vector quay) thông qua lượng giác học ñể khảo sát cực trị: ∆ LU
 CU
 U
 R r LU U+ +

 I  R rU +
 L CU U+

 O α β Giả sử UL > UC R r L CU U U U+= + +



 Xét tam giác có chứa hai góc α và β, dựa vào ñịnh luật hàm sin: sin sin sin sin C C UU U U α β α β = ⇒ = Có: 2 2 2 2 sin onst ( ) R r R r L L U R r c U U R r Z β + + + = = = + + + Vậy: ax ax( ) (sin ) 1 2C m m U π α α⇔ = ⇒ = 2 2 ax( ) ( )C m L U U R r Z R r ⇒ = + + + Mặt khác, hệ thức lượng trong tam giác trên: 2 2 2 2 2 22 osC L R r L R rU U U U U U U c α+ += + + − + (cosα = 0) Do ñó: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) C L C L C L C L L Z Z Z R r Z R r Z Z Z R r R r L Z Z C Z R r Lω = + + + = + + − + + + + ⇒ = + ⇒ = + + Tóm lại: 2 2 2 ax ( ) ( ) ( ) CZ m L C L L U R r U R r Z Z Z R r Z + = + + ⇔ = + + hay 2 2( ) ( ) L C R r Lω = + + ♣ Chú ý: Nếu cuộn cảm là thuần cảm thì xem r = 0 ở các biểu thức có ảnh hưởng ñến r trong toàn bài viết này. C. PHẦN TRƯNG DẪN Trong phần này, chúng tôi sẽ ñưa ra vài bài toán xoay chiều có liên quan ñến các vấn ñề nêu trên, tức là giải quyết một bài toán ñiện cực trị. Xin căn cứ vào mục B ñã dẫn và giải một cách tóm lược. I. Bài toán 1: Mạch ñiện gồm biến trở R, cuộn thuần cảm có ñộ tự cảm L = 1 π (H) và tụ ñiện có ñiện dung C = 3 1 10 4π − (F) mắc nối tiếp rồi ñưa vào nguồn xoay chiều 120 2 sin100u tπ= (V). a) ðịnh giá trị của R ñể công suất tiêu thụ trên mạch lớn nhất. b) Tính giá trị lớn nhất của công suất. c) Vẽ dạng ñồ thị hàm công suất theo R. Giải: a) Có: 1 100 100 L Z Lω π π = = = (Ω) 3 1 1 40 10 100 4 CZ Cω π π −= = = (Ω) ax 60m L CP R r Z Z⇔ + = − = (Ω) Vậy: R = 60 (Ω) b) Có: 2 2 ax 120 120 2( ) 2.60m U P R r = = = + (W) II. Bài toán 2: Mạch ñiện gồm ñiện trở thuần R = 100 (Ω), cuộn thuần cảm có thể thay ñổi ñược ñộ tự cảm L, tụ ñiện có ñiện dung C = 0,318.10-4 (F) mắc nối tiếp và ñặt vào nguồn xoay chiều u = 200sin100πt (V). a) ðịnh giá trị của L ñể công suất tiêu thụ trên mạch lớn nhất. b) Tính giá trị lớn nhất của công suất. c) Vẽ dạng ñồ thị hàm công suất theo L. Giải: a) Có: 4 4 1 0,318.10 10C π − −= = (F) 0 200 100 2 2 2 U U = = = (V) ðể Pmax → Mạch phải cộng hưởng: 2 42 2 1 1 1 1 10 (100 ) LC L C ω ω ππ π −= ⇒ = = = (H) b) 2 2 ax (100 2) 200 100m U P R r = = = + (W) III. Bài toán 3: Cho mạch như hình: R L C V CUu i R = 100 (Ω), L = 3 π (H), 120 2 sin100u tπ= (V) không ñổi trong suốt bài toán. Tụ ñiện có ñiện dung thay ñổi ñược từ 0 ñến ∞. Hãy cho biết số chỉ lớn nhất của volt kế và giá trị ñiện dung tương ứng. Giải: Trong bài này, ta khảo sát hàm UC = f(C). 3 100 100 3LZ Lω ππ = = = (Ω) Có: 2 2 2 2ax 120 ( ) ( ) 100 (100 3) 240 100C m L U U R r Z R r + + = + = + (V) Lúc ñó: 4 2 2 22 2 3 3 3 10 ( ) ( ) 4.100 4100 (100 3) L C R r L π ω π π −= = = = + + + (F) D. TỔNG LUẬN Trong chuyên ñề “Thử vận dụng hằng-bất ñẳng thức Cauchy, công cụ ñạo hàm hoặc lượng giác học ñể giải bài toán cực trị về ñiện xoay chiều”, chúng tôi chỉ làm công việc sắp xếp, phân ñịnh, thống kê lại cho có hệ thống, ñể ñộc giả nhìn vào có kiến thức về ñiện xoay chiều qua vấn ñề cực trị tương ñối dễ dàng hơn. Hệ kiến thức ñã tập hợp trên ñây, khi vận dụng vào từng bài toán cụ thể, ñộc giả không nhất thiết phải theo một phương pháp nào cố ñịnh, ngược lại ñây chỉ là cơ sở ñể người ñọc dựa vào ñó mà giải quyết tuỳ theo sự sáng tạo mỗi người. ðó chính là mục tiêu và ý nguyện chúng tôi khởi viết chuyên ñề này. Nguyễn Mạnh, giáo viên Vật lý thuộc Tổ Vật lý - Kỹ thuật, Trường THPT Tôn ðức Thắng, tỉnh Ninh Thuận. Email: manhnguyen28@yahoo.com.vn