Thực nghiệm Toán học trong việc kiến tạo kiến thức về giới hạn hữu hạn của hàm số

JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE Educational Science - Mathematics, 2013, Vol. 58, pp. 162-171 This paper is available online at THỰC NGHIỆM TOÁN HỌC TRONG VIỆC KIẾN TẠO KIẾN THỨC VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ Phạm Sỹ Nam Trường trung học phổ thông chuyên Phan Bội Châu, Nghệ An Email: phamsynampbc@gmail.com Tóm tắt. Giới hạn hữu hạn của hàm số là một khái niệm toán học rất khó ngay cả đối với học sinh (HS) giỏi và là một khái niệm điển hình cho một tư tưởng tiên tiến của toán học. Khi trình bày định nghĩa khái niệm này, sách giáo khoa dành cho HS chuyên toán giới thiệu cả hai loại định nghĩa: theo ngôn ngữ dãy và theo ngôn ngữ epsilon-delta. Việc tổ chức dạy học để HS kiến tạo được cả hai định nghĩa là điều khó khăn. Bằng tiếp cận có tính kiến tạo, nghiên cứu này thiết kế các nhiệm vụ toán học hỗ trợ HS trong việc kiến tạo khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số. Kết quả nghiên cứu cho thấy, việc thực nghiệm cho phép HS hình thành các giả thuyết; kiểm nghiệm, bác bỏ những quan niệm sai và kiến tạo kiến thức về giới hạn hữu hạn của hàm số một cách dễ dàng hơn. Từ khóa: Lí thuyết kiến tạo, giới hạn hữu hạn của hàm số. 1. Đặt vấn đề Khái niệm giới hạn hàm số là khái niệm khó để dạy và để hiểu. Khi trình bày về khái niệm này sách giáo khoa dành cho HS chuyên toán do tác giả Đoàn Quỳnh chủ biên đã bắt đầu từ ví dụ xét hàm số f(x) = 2x2 − 8 x− 2 rồi xét một dãy số (xn) khác 2 và quan tâm đến việc trả lời câu hỏi: Nếu lim xn = 2 thì lim f(xn)? Sau đó tổng quát hóa kết quả đi đến: Định nghĩa 1: Giả sử (a; b) là một khoảng chứa điểm x0 và f là một hàm số xác định trên tập hợp (a; b) | {x0} . Ta nói rằng hàm số f có giới hạn là số thực L khi x dần đến x0 (hoặc tại điểm x0 ) nếu với mọi dãy số (xn) trong tập hợp (a; b) | {x0} (tức là xn ∈ (a; b) và xn 6= x0 với mọi n) mà lim xn = x0, ta đều có lim (xn) = L [1; 153]. Định nghĩa 1 nêu lên mối liên hệ chặt chẽ giữa khái niệm giới hạn dãy số và giới hạn hàm số. Điều này tạo nên một số thuận lợi cho việc hình thành khái niệm giới hạn hàm số từ khái niệm dãy số có giới hạn và các tính chất, các định lí của giới hạn dãy số sẽ được chuyển sang các tính chất, các định lí của giới hạn hàm số một cách tự nhiên. Tuy 162 Thực nghiệm toán học trong việc kiến tạo kiến thức về giới hạn hữu hạn của hàm số nhiên, để thuận lợi hơn trong việc tìm giới hạn bằng định nghĩa cũng như chứng minh một số tính chất đặc trưng cho giới hạn hàm số, sách giáo khoa trình bày thêm định nghĩa theo ngôn ngữ epsilon-delta như sau: Định nghĩa 2: “Giả sử (a; b) là một khoảng chứa điểm x0 và f là một hàm số xác định trên tập hợp (a; b)\{x0}. Ta nói rằng hàm số f có giới hạn là số thực L khi x dần đến x0 (hoặc tại điểm x0 ) nếu với mọi số dương nhỏ tùy ý ε, tồn tại số dương δ sao cho nếu x ∈ (a; b)\{x0}, x cách x0 một khoảng không quá δ thì f(x) cách L một khoảng không quá ε ”. [1; 154] Có một hướng kết nối định nghĩa 2 với định nghĩa 1 là bằng việc dựa trên quan sát khi giá trị xn gần với x0 thì giá trị f (xn) gần với L. Điều này đúng với mọi dãy số xn → x0 nên cũng đúng với mọi số gần x0. Tuy nhiên, việc nhận ra điều này là không dễ. Finzer & Nick (1998) nghiên cứu các thao tác trên các mô hình toán học động đã cho thấy những đặc điểm của các hoạt động này và khẳng định vai trò của chúng trong việc hỗ trợ HS xây dựng kiến thức toán học. Các mô hình, được thiết kế trên phần mềm hình học động và các thao tác động đã tạo ra một cách tiếp cận mới trong dạy và học toán học ở trường. Thực tiễn của dạy học cho thấy việc sử dụng mô hình động sẽ giúp HS giải quyết vấn đề được dễ dàng hơn. Trong bài viết này, chúng tôi tập trung vào câu hỏi nghiên cứu: Làm thế nào để HS kiến tạo được kiến thức về khái niệm giới hạn hàm số thông qua thực nghiệm trên mô hình động? 2. Nội dung nghiên cứu 2.1. Cơ sở lí luận Theo quan điểm của nhà kiến tạo: - Học tập của cá nhân không phải là hoạt động thụ động mà là hoạt động tích cực, tức là, cá nhân hành động trên môi trường để xây dựng kiến thức. - Quá trình xây dựng kiến thức là quá trình phát triển, nó không phải là quá trình tĩnh mà là quá trình động. - Kiến thức có thể được hình thành thông qua quá trình liên ảnh hưởng giữa việc học tập trước đó và liên quan với việc học tập mới. Trong quá trình học tập, HS có thể sáng tạo kiến thức bằng cách tự mình tích cực sử dụng kinh nghiệm hiện có để giải quyết bất kì mâu thuẫn có thể phát sinh để có thể đạt được một sự hiểu biết chung với các thông tin mới. - Kiến thức không phải là một lời giải thích của sự thật, mà như là hợp lí hóa kinh nghiệm của cá nhân. Như vậy, mỗi cá nhân xây dựng kiến thức, ngay cả trong các tình huống giống nhau, có thể không thể giống nhau. Theo Kan- tơ: “Mọi nhận thức của con người đều bắt đầu từ những quan sát, rồi từ đó đi đến các khái niệm và kết thúc bằng những tư tưởng” [3; 255]. Trong câu nói này đã sử dụng các thuật ngữ “quan sát”, “khái niệm”, “tư tưởng”. G.Polya đã diễn đạt lại câu 163 Phạm Sỹ Nam này như sau: “Việc học tập bắt đầu từ hành động và sự thụ cảm, rồi từ đó đi đến các từ và các khái niệm và phải kết thúc bằng sự rèn luyện những đặc điểm mới mẻ nào đó của tư chất trí tuệ” [3; 255]. Thường tồn tại một ý kiến được công thức hóa: “cách tốt nhất để học một cái gì đấy là tự khám phá lấy” [3; 254]. Điều này cũng phù hợp với quan điểm của các nhà kiến tạo khi cho rằng HS tự xây dựng nên kiến thức cho bản thân. Lictenbe (nhà vật lí người Đức thế kỉ XVIII) đã bổ sung vào đấy nét đặc sắc: “Những cái gì mà bản thân anh buộc phải khám phá, để lại trong tiềm thức anh một con đường nhỏ mà anh lại có thể sử dụng khi cần thiết”. Như vậy, trong dạy học cần phải tạo điều kiện cho HS tự kiến tạo, tự khám phá kiến thức. Tuy nhiên, để việc kiến tạo kiến thức được thành công và đạt kết quả cao và không mất quá nhiều thời gian thì việc “khám phá” đó cần được đặt trong một môi trường học tập với dụng ý sư phạm của giáo viên (GV). Vận dụng điều này trong dạy học, chúng tôi yêu cầu HS chú ý vào các hình ảnh mà các em quan sát được nhằm hình thành các ý tưởng mới về kiến thức được học. 2.2. Thiết kế nghiên cứu Trong việc thiết kế nghiên cứu chúng tôi chú ý đến các yếu tố sau: Kế hoạch thiết kế, ý tưởng thiết kế và thiết kế các nhiệm vụ toán học cụ thể. Kế hoạch thiết kế của giáo viên Trong thiết kế các hoạt động học tập: - GV cần tập trung vào tầm quan trọng của khái niệm chủ chốt, không tập trung quá sâu vào những giai đoạn dạy học chung hoặc miêu tả chung chung, chẳng hạn, trong dạy học giới hạn hàm số chúng tôi tập trung vào các hoạt động để thông qua các hoạt động đó làm rõ được trình tự của việc khẳng định giới hạn hàm số f(x) bằng L khi x dần tới a, đó là: đầu tiên xét ε là số dương nhỏ tùy ý cho trước, sau đó cần chứng tỏ tồn tại số δ sao cho: Nếu |x− a| < δ thì |f(x)− L| < ε. - Giáo viên cần có kế hoạch cho các hoạt động tiếp theo để ứng phó với câu trả lời sai của HS. - Giáo viên có kế hoạch lâu dài để có thể phát triển hiểu biết sâu sắc của HS về kiến thức giới hạn hàm số được dạy. - Khi giảng dạy, giáo viên cần đưa ra những ví dụ cụ thể, quen thuộc và dễ hiểu để giúp HS hiểu kiến thức về giới hạn hàm số. Ý tưởng thiết kế giảng dạy Khái niệm giới hạn hàm số là một khái niệm khó dạy và khó hiểu, ngay một lúc không thể giúp HS hiểu được định nghĩa. Ý tưởng thiết kế giảng dạy của chúng tôi là: Đầu tiên, tạo các hoạt động để HS hiểu khái niệm một cách trực giác, sau đó tiến hành các hoạt động nhằm giúp HS dần dần hiểu chính xác định nghĩa. Trong quá trình thực hiện hoạt động trên, HS có được những ý tưởng nhất định liên quan đến khái niệm, vì vậy chúng tôi đặt ra các câu hỏi có kết thúc mở nhằm tạo cơ hội để HS đề xuất các ý tưởng 164 Thực nghiệm toán học trong việc kiến tạo kiến thức về giới hạn hữu hạn của hàm số sáng tạo. Hoạt động 1 nhằm giúp HS nhận thức được khái niệm một cách trực giác khi x dần tới a thì f(x) dần tới L. Các hoạt động sau nhằm dần dần mô tả một cách chính xác f(x) dần tới L khi x dần tới a là như thế nào. Việc mô tả này được tiến hành theo các cấp độ. Đầu tiên, HS xác định được khoảng cách giữa x và a phải bé hơn bao nhiêu để |f(x)− 8| nhỏ hơn một số cụ thể cho trước. Cấp độ 2, nhằm tạo niềm tin rằng luôn tồn tại một khoảng giá trị x để |f(x)− 8| nhỏ hơn một số dương tùy ý. Các cấp độ này là tiền đề cho cấp độ hình thức của định nghĩa khái niệm mà chúng tôi muốn HS đạt được sau này đó là: nếu cho trước một số dương ε nhỏ tùy ý thì luôn tìm được số δ để với |x− 2| < δ thì |f(x)− 8| < ε. Thiết kế các nhiệm vụ toán học Điều quan trọng là chọn được nhiệm vụ và các hoạt động toán học phù hợp với HS. Chìa khóa cho việc hiểu là: - Nhiệm vụ cần phải được thiết kế để khuyến khích sự tích cực tư duy của HS. - Nhiệm vụ cần phải kết nối được kiến thức và kinh nghiệm đã có của HS. - Một loạt các công cụ nên được sử dụng để hỗ trợ sự hiểu biết của HS về các quan niệm toán học có liên quan đến nhiệm vụ. Để có dữ liệu cho việc trả lời các câu hỏi nghiên cứu, chúng tôi thiết kế các hoạt động, lấy thực nghiệm HS chuyên toán lớp 11. Phiếu học tập số 1 Hình 1. Giới thiệu: Hình vẽ trên (Hình 1) là đồ thị hàm số f(x) = 2x 2 − 8 x− 2 . Với mọi x 6= 2 thì f(x) hoàn toàn xác định. Xét dãy số xn = 2+ 1 n , khi giá trị n thay đổi thì giá trị xn sẽ thay đổi. Em hãy khảo sát với mô hình bằng cách: 165 Phạm Sỹ Nam - Thay đổi giá trị của n bằng cách kéo rê thanh trượt tham số. Hãy quan sát những thay đổi của các đối tượng khác. - Thay đổi độ dài đơn vị bằng cách kéo điểm 1 trên trục hoành ra xa hoặc tới gần gốc tọa độ. Câu hỏi 1: Em hãy thay đổi giá trị n bằng cách kéo rê đầu mút thanh n và cho biết khi n dần tới dương vô cực thì f (xn) dần tới số nào? Hình 2. Chúng ta lấy một dải màu đỏ, có hình chiếu vuông góc trên trục hoành là [2− δ, 2 + δ] \ {2} , lấy ảnh của tất cả các điểm thuộc [2− δ, 2 + δ] \ {2} , ta được một đoạn là hình chiếu vuông góc của dải màu xanh trên trục tung. Khi thay đổi kích thước của dải màu đỏ bằng cách kép rê đầu mút thanh δ màu đỏ, thì kích thước dải màu xanh sẽ thay đổi. Khi độ cao của dải màu xanh nhỏ hơn hoặc bằng độ dài đoạn [8− ε, 8 + ε] ,một hình tròn trên trang hình sẽ có màu xanh với dòng chữ “ở bên trong”. Ngược lại, dòng chữ “không ở bên trong” sẽ xuất hiện. Hãy thao tác với mô hình và trả lời câu hỏi 2, 3 sau đây: Câu hỏi 2: Để f(x) sai khác 8 một số nhỏ hơn 0,1; 0,01 thì khoảng cách giữa x và 2 phải nhỏ hơn bao nhiêu? Hãy điền kết quả vào bảng sau: Với |x− 2| < ... thì |f(x)− 8| < 0, 1 Với |x− 2| < ... thì |f(x)− 8| < 0, 01 Câu hỏi 3: Bây giờ chúng ta thực hiện một trò chơi, mỗi nhóm 2 người, người thứ nhất hãy đưa ra một số nhỏ hơn 0,01, nhiệm vụ của người còn lại là thử tìm xem |x − 2| nhỏ hơn bao nhiêu để f(x) sai khác 8 một số nhỏ hơn số mà người thứ nhất đưa ra, sau đó hai người đổi vai trò cho nhau. Tiếp theo, các em hãy điền kết quả vào bảng sau: 166 Thực nghiệm toán học trong việc kiến tạo kiến thức về giới hạn hữu hạn của hàm số Với |x− 2| < ... thì |f(x)− 8| < ... Với |x− 2| < ... thì |f(x)− 8| < ... Câu hỏi 4. Cho ε là số dương nhỏ tùy ý. Liệu có thể tìm được số δ để với |x− 2| < δ thì |f(x)− 8| < ε không? Giải thích. Sau khi HS kiến tạo được khái niệm chúng tôi phát phiếu học tập số 2 Phiếu học tập số 2 Câu hỏi 1. Để chứng minh hàm số f(x) có giới hạn L khi x dần tới a ta làm như thế nào? Câu hỏi 2. Em hãy quan sát hình ảnh của đồ thị hàm số trong hình 1và đưa ra nhận xét về sự tồn tại giới hạn của hàm số khi x dần tới số a, tính đơn điệu của hàm số trên các khoảng (−∞; 2) , (2; +∞) , mối quan hệ giữa tính đơn điệu, giá trị hàm số trên mỗi khoảng và kết quả giới hạn của hàm số. Từ các nhận xét trên, em hãy đề xuất các kết quả về kiến thức giới hạn hàm số. Giải thích (nếu có thể). 2.3. Kết quả nghiên cứu Trong phần này chúng tôi tập trung vào các kết quả sau: Sự tương tác giữa các HS, giáo viên hỗ trợ HS khi gặp khó khăn, xử lí của giáo viên với các kết quả đúng, giáo viên ứng phó với câu trả lời sai của HS. Sự tương tác giữa các HS Trong quá trình theo dõi sự làm việc giữa các nhóm, chúng tôi thấy rằng: đa số HS tích cực hoạt động để đưa ra kết quả chung cho cả nhóm. Các nhóm thay nhau thao tác với mô hình động mà chúng tôi cung cấp. Trong khi thao tác, mỗi nhóm cử một thành viên thao tác với mô hình động, một thành viên ghi chép kết quả, các thành viên còn lại quan sát và đề xuất hướng giải quyết khi gặp khó khăn, việc thao tác được luân phiên thay đổi giữa các thành viên. Trong quá trình thao tác khi các nhóm gặp khó khăn về thao tác với mô hình, một số nhóm đã cùng thảo luận và giải quyết được khó khăn, một điều thú vị là với nhóm không giải quyết được thì khi nêu khó khăn có thành viên nhóm khác đã lên hỗ trợ. Giáo viên hỗ trợ HS khi gặp khó khăn Trong quá trình theo dõi các nhóm thực hiện hoạt động nếu HS gặp khó khăn trong việc trả lời các câu hỏi thì GV đặt ra thêm các câu hỏi hoặc đưa ra thêm yêu cầu nhằm hỗ trợ HS. Khi thực hiện thao tác với mô hình để trả lời cho câu hỏi 1 và câu hỏi trong phiếu học tập số 2, có một số nhóm dịch chuyển thanh n quá nhanh nên không thấy rõ được sự thay đổi của giá trị f(xn) tương ứng, trong trường hợp này chúng tôi yêu cầu HS dịch chuyển sao cho tăng (giảm) giá trị n lên từng đơn vị để nhận thấy rõ hơn sự thay đổi. Khi thực hiện phiếu học tập số hai, ban đầu nhiều nhóm chỉ đưa ra được một hoặc hai kết quả, chúng tôi khuyến khích các em cố gắng tìm thêm những kết quả khác nữa 167 Phạm Sỹ Nam bằng việc tập trung quan sát vào các hình ảnh đã có trong quá trình hình thành khái niệm, và nêu ra yêu cầu cụ thể. Chẳng hạn: “Xét với dãy số xn, lim xn = 1, em hãy tính lim f(xn). Em có nhận xét gì về lim f(xn) và f(1). Từ đó có thể khái quát được kết quả gì?” “Dễ thấy rằng hàm số đã cho đồng biến trên (−∞; 2) , lim x→2 f(x) = 8, em hãy so sánh giá trị hàm số f(x) trên x ∈ (−∞; 2) và 8. Từ đó hãy đề xuất kết quả cho trường hợp tổng quát.” “Dễ thấy rằng hàm số đã cho đồng biến trên (2; +∞) , lim x→2 f(x) = 8, em hãy so sánh giá trị hàm số f(x) trên x ∈ (2; +∞) và 8. Từ đó hãy đề xuất kết quả cho trường hợp tổng quát.” “Xét trên (0 : +∞) thì f(x) > 4, hãy so sánh lim x→a f(x) và 4, với a ∈ (0; +∞) . Từ kết quả này có thể khái quát được điều gì? ” Xử lí của GV với kết quả đúng Trong quá trình thực hiện hoạt động, có nhiều kết quả tốt được các nhóm đưa ra, có những kết quả nằm trong dự đoán của chúng tôi, nhưng cũng có những kết quả nằm ngoài dự đoán. Đối với những kết quả đúng chúng tôi yêu cầu HS làm rõ cơ sở phát sinh kết quả và chứng minh chúng (nếu có thể). Có những kết quả mà vốn kiến thức của các em chưa chứng minh được, nhưng theo chúng tôi điều đó cũng đáng quý, bởi vì điều quan trọng là HS đã tự mình khám phá được kết quả và chính những sự khám phá ra các kết quả mới (đối với HS) đã tạo động lực, sự tích cực tìm hiểu sâu hơn về kiến thức được học. Việc thực hiện hoạt động 1 nhằm giúp HS nhận ra được rằng: Bằng trực giác, khi x tiến sát về 2 nhưng khác 2 thì f(x) tiến gần 8. Khi thực hiện tất cả các nhóm đều cho kết quả đúng, có 3 nhóm trình bày cụ thể hơn “khi n tăng thì 2+ 1 n giảm và f ( 2 + 1 n ) giảm dần đến 8 ”. Tuy nhiên, để đạt được thông tin chi tiết hơn về giá trị hàm f(x) thay đổi như thế nào khi x gần 2, chúng tôi yêu cầu HS trả lời câu hỏi 2. Mục đích của câu hỏi 2 nhằm giúp HS nhận ra được một cách cụ thể rằng |x− 2| nhỏ hơn bao nhiêu thì |f(x)− 8| nhỏ hơn 0,1; 0,01. Trong các kết quả thu được từ các nhóm, tất cả các nhóm đều cho kết quả đúng và đưa ra nhiều giá trị khác nhau thỏa mãn yêu cầu câu hỏi. Khi tổng hợp kết quả các nhóm, điều này đã gây cho một số HS sự ngạc nhiên, câu hỏi của các em được nêu lên là: “Tại sao có nhiều giá trị cùng thỏa mãn?”. Câu hỏi này tạo một cơ hội thú vị, chúng tôi yêu cầu các nhóm suy nghĩ trả lời, câu trả lời thu được là: “khi |x− 2| nhỏ hơn một số thì nó sẽ nhỏ hơn số lớn hơn số đó”. Điều này làm đã làm rõ hơn nghĩa thuật ngữ “tồn tại số δ ” trong định nghĩa sau này, một thuật ngữ mà HS cần được hiểu trong định nghĩa epsilon-delta, đồng thời giúp HS nhận ra được có vô số số như vậy. Câu hỏi 3 nhằm tạo cho HS niềm tin rằng, nếu cho trước một số dương (sau này kí hiệu là ε ) dù nhỏ đến mấy thì ta luôn tìm được một số dương (sau này kí hiệu là δ ) để với |x− 2| < δ thì |f(x)− 8| < ε. Kết quả các nhóm đưa ra đều đúng. Tuy nhiên, điều 168 Thực nghiệm toán học trong việc kiến tạo kiến thức về giới hạn hữu hạn của hàm số này chỉ mới là cảm nhận ban đầu, để có chứng minh chặt chẽ về mặt toán học, HS cần trả lời câu hỏi 4. Trong kết quả cho câu hỏi 4, các nhóm đưa ra các giá trị δ khác nhau, có 10 nhóm cho giá trị δ = ε 2 , có 4 nhóm đưa ra kết quả δ < ε 2 . Trong thực hiện phiếu học tập số 2, chúng tôi thu được nhiều loại kết quả, có thể chia thành các loại sau: i. Kết quả về phương pháp chứng minh hàm số f(x) có giới hạn L khi x dần tới a Có 10 nhóm cho rằng: “để chứng minh hàm số f(x) có giới hạn L khi x dần tới a ta chứng minh với mọi dãy số (xn) , limxn = a thì lim f(xn) = L, có 9 nhóm cho rằng: “đầu tiên xét là số dương nhỏ tùy ý cho trước, sau đó cần chứng tỏ tồn tại số δ sao cho |f(x)− L| < ε, ∀ |x− a| < δ, x 6= a. ”. Như vậy, các kết quả đã giúp HS có được tri thức phương pháp, đây là những kết quả cần thiết cho việc vận dụng lí thuyết được học vào giải các bài tập. ii. Kết quả về sự tồn tại giới hạn Có 5 nhóm cho rằng: “giới hạn hàm số khi x dần tới một số nếu có là duy nhất”. Vì chứng minh kết quả này vượt ngoài khả năng của HS, chúng tôi chỉ thông báo rằng đây là một kết quả đúng. Chúng tôi có yêu cầu thêm “em hãy đề xuất cách chứng minh giới hạn hàm số f(x) khi x dần tới a không tồn tại ”. Có 5 nhóm đã vận dụng phép phủ định mệnh đề để đưa ra kết quả đúng nếu có hai dãy số xn, x′n mà lim xn = lim x ′ n = a nhưng lim x→a f (xn) 6= lim x→a f (x′n) thì lim x→a f (x) không tồn tại. Kết quả này cho HS một phương pháp để chứng minh giới hạn hàm số không tồn tại. Có 9 nhóm đã dựa vào: “ lim xn = 2, lim f(xn) = 2 (xn + 2) = 8 ” để đưa ra kết quả: “ Cho f(x) = ax + b, nếu lim xn = x0 thì lim f(xn) = ax0 + b ”. Khi chúng tôi yêu cầu chứng minh, có 5 nhóm đã thực hiện được chứng minh. iii. Kết quả dưới dạng bất đẳng thức Có 5 nhóm cho kết quả: “Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng chứa (a; b), lim x→b f(x) = L thì f(x) < L ∀x ∈ (a; b) ”. Có 4 nhóm cho kết quả: “Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng chứa (a; b), lim x→a f(x) = L thì f(x) > L∀x ∈ (a; b) ”. Có 3 nhóm cho kết quả: “nếu f(x) > m với mọi khoảng I chứa x0, có thể trừ x0, lim x→x0 f(x) = L thì L ≥ m. ” Có 3 nhóm cho kết quả: “nếu f(x) < m với mọi khoảng I chứa x0, có thể trừ x0, lim x→x0 f(x) = L thì L ≤ m ”. Có một nhóm đã dựa trên kết quả này để khái quát: “nếu f(x) > g(x) với mọi D thì lim x→x0 f(x) ≥ lim x→x0 g(x) ”. Giáo viên ứng phó với các câu trả lời sai của HS Trong các kết quả thảo luận của HS, bên cạnh những kết quả đúng, vẫn có một số nhóm đưa ra câu trả lời sai. Nhằm giúp HS nhận ra được sai lầm của mình, chúng tôi tiến hành như sau: Nêu quan niệm sai trước cả lớp và yêu cầu tất cả các nhóm kiểm chứng. GV có thể sử dụng các cách sau để hỗ trợ việc kiểm chứng của HS: 169 Phạm Sỹ Nam - GV đưa ra một phản ví dụ và yêu cầu HS kiểm tra, đối chiếu với câu trả lời. - GV yêu cầu HS thực hiện thêm hoạt động để thông qua hoạt động đó HS nhận ra được sai lầm. - GV yêu cầu HS sử dụng kiến thức đã học để kiểm tra kết quả của mình, bởi các kết quả mà các em đưa ra thường dựa vào hình ảnh thu được trên các mô hình chưa được chứng minh chặt chẽ. Khi đưa ra kết quả cho câu hỏi số 1, có 2 nhóm cho rằng: “Khi n dần tới dương vô cực thì giá trị của f (xn) bằng 8”, kết quả này có được từ quan sát khi tăng giá trị n thì điểm đỏ thể hiện sự thay đổi giá trị của f (xn) không di chuyển, nhằm giúp HS nhận ra sai lầm này, chúng tôi đặt ra câu hỏi ” chúng ta biết rằng xn 6= 2, liệu f (xn) có thể bằng 8 được không? ”. Bằng việc tính cụ thể f (xn) = 2 (xn + 2) kết hợ