Tiếp cận lý thuyết hoạt động trong nghiên cứu và thực hành dạy học toán ở trường Đại học và trường phổ thông (phần 1)

1 TIẾP CẬN LÝ THUYẾT HOẠT ĐỘNG TRONG NGHIÊN CỨU VÀ THỰC HÀNH DẠY HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG ĐẠI HỌC VÀ TRƯỜNG PHỔ THÔNG (PHẦN 1) Lí thuyết hoạt động khởi sinh biện chứng từ các quan điểm Triết học – Tâm lí. Các khái niệm hoạt động, đối tượng của hoạt động, nhu cầu, động cơ trong hoạt động cũng như mối liên hệ giữa chúng là cơ sở của Tâm lí học hoạt động được khái quát ở mức độ trừu tượng cao. Việc nghiên cứu làm sáng tỏ các khái niệm trên và mối liên hệ giữa chúng - để từ đó xác định các năng lực tiếp cận lí thuyết hoạt động và các biện pháp để rèn luyện các năng lực đó - sẽ góp phần cụ thể hóa việc bồi dưỡng sinh viên, giáo viên toán đáp ứng nhu cầu triển khai dạy học Toán theo quan điểm hoạt động ở trường phổ thông và góp phần thúc đẩy việc nghiên cứu Toán. 1.1. Một số luận điểm xuất phát 1.1.1. Các quan điểm Triết học – Tâm lí về quá trình nhận thức Hoạt động nhận thức thế giới nói chung và nhận thức Toán học nói riêng được thực hiện bằng quá trình hoạt động tư duy, xét riêng là tư duy biện chứng và tư duy logic trong toán học. Từ các luận điểm của C. Mac, Ph. Angghen và các kết quả nghiên cứu của các nhà Tâm lí: L. X Vưgotxki, X. L Rubinstein cho thấy: tư duy xuất hiện và vận động gắn kết với hoạt động thực tiễn của con người. Con người trở thành chủ thể của hoạt động tư duy với điều kiện họ nắm được ngôn ngữ, các khái niệm, logic học – chúng là sản phẩm của sự phản ánh khái quát kinh nghiệm của thực tiễn xã hội. Từ cách hiểu quá trình tư duy phù hợp với những sự kiện đã tích lũy được, cho phép giải thích quá trình tâm lí cấp cao chuyên biệt của con người là quá trình chuyển hóa từ “ngoại tâm” đến “nội tâm”; nghĩa là từ tác động qua lại giữa con người với thực tiễn, giữa con người với con người, sau đó cá nhân mới thực hiện một cách độc lập. Như vậy, tư duy là quá trình tâm lí tìm tòi và khám phá hiện thực khách quan gắn với hoạt động xã hội, liên hệ mật thiết với ngôn ngữ, là quá trình phản ánh gián tiếp khái quát hiện thực khách quan nhờ các hoạt động phân tích và tổng hợp. Trong nghiên cứu tư duy, X. L Rubinstein đã nhấn mạnh luận điểm: “các nguyên nhân bên ngoài tác động qua những điều kiện bên trong”. Các điều kiện bên trong của tư duy được xác định bởi mức độ tích cực, các cấp độ tác động qua lại của các thao tác tư duy trong quá trình nhận thức như: phân tích, tổng hợp, khái quát hóa. Các điều kiện kích 2 hoạt tư duy, bao gồm đối tượng của tư duy, được hiểu là các điều kiện kích hoạt tư duy, bao gồm đối tượng của tư duy và môi trường trong đó chủ thể và khách thể tác động qua lại với nhau. Những quan điểm tư duy xét ở trên cho phép dự tính vận dụng vào dạy học Toán theo lí thuyết hoạt động, trong đó chú trọng xen xét các vấn đề tương tác cho các hoạt động nhận thức toán học của học sinh, sinh viên. 1.1.2. Quan điểm về nhận thức toán học các đối tượng và quan hệ của thực hiện khách quan. Từ việc nghiên cứu phưong pháp luận nhận thức toán học hiện thực khách quan cho thấy phương pháp nhận thức chủ yếu trong toán học là phương pháp sử dụng các mô hình Toán. Chúng ta hiểu mô hình Toán các lớp đối tượng, quan hệ nào đó của hiện thực khách quan là sự mô tả các lớp đối tượng và quan hệ đó bằng cách sử dụng các ký hiệu và ngôn ngữ toán. Ví dụ các hình học của hình học Ơclit được cho bởi mô hình là các phương trình, bất phương trình; hoặc hệ các phương trình, bất phương trình. Chẳng hạn, tập hợp các đoạn thẳng AB được cho bởi phương trình vectơ: OBOAOM ..   ; 0 ; 0 ; 1  ; với O là điểm tùy ý. (1) Từ (1) bạn đọc có thể suy ra mô hình khác của lớp các đoạn thẳng trên trong hệ tọa độ trực chuẩn (Oxy). Trong tiến trình thực hiện mô hình hóa các lớp đối tượng, quan hệ người ta sử dụng các hoạt động tư duy như các dạng trừu tượng hóa diễn ra trong toán học: trừu tượng khái quát, trừu tượng đồng nhất, trừu tượng lí tưởng, trừu tượng khả hiện. Khi xây dựng các mô hình toán học người ta bỏ qua các tính chất thứ yếu của các đối tượng, các quan hệ; điều quan trọng là toán học xuất phát từ thực tiễn, tạo nên các mô hình toán học của hiện tượng sau đó quay về thể hiện khả năng ứng dụng các kết quả thu được trên cơ sở nghiên cứu các mô hình này. Các dạng trừu tượng khái quát, trừu tượng đồng nhất, trừu tượng lí tưởng được ứng dụng khá rộng rãi trong việc dạy học hình thành các khái niệm, các quy luật ở trường phổ thông và ở trường đại học; chẳng hạn khái niệm số tự nhiên được hình thành nhờ trừu tượng hóa đồng nhất; người ta đồng nhất tất cả các tập hợp hữu hạn có cùng lực lượng theo quan hệ tương đương – cùng lực lượng – thành một lớp đặc trưng cho một số tự 3 nhiên. Việc mở rộng các tập hợp số ở trường đại học nhờ sử dụng trừu tượng hóa đồng nhất … Những điều vừa nêu trên có ý nghĩa quan trọng đối với việc tạo môi trường, chọn các đối tượng nhằm gợi động cơ, nhu cầu cho các hoạt động trí tuệ tìm tòi các quy tắc, xây dựng các khái niệm toán ở trường đại học và dạy toán ở trường phổ thông; cũng từ sự phân tích trên cho phép khẳng định hoạt động mô hình các hiện tượng, quan hệ hiện thực khách quan là hoạt động đặc trưng của nhận thức Toán học. 1.1.3. Một số kiến thức cơ bản về lí thuyết hoạt động Việc dạy học theo quan điểm của lí thuyết hoạt động về mặt lí luận và thực hành đã được sáng tỏ trong cuốn “Phương pháp dạy học môn Toán” của tác giả Nguyễn Bá Kim và bước đầu đã triển khai dạy Toán ở trường phổ thông (như đã nêu ở mục 3.2.). Khi tiếp cận lí thuyết hoạt động, sinh viên và giáo viên gặp khó khăn trong nhận thức mối liên hệ biện chứng giữa các khái niệm: hoạt động; đối tượng của hoạt động; động cơ và nhu cầu của hoạt động. Từ góc độ Triết học – Tâm lý việc nắm các khái niệm trên và mối quan hệ giữa chúng là mấu chốt của việc nắm lí thuyết hoạt động để từ đó xác dịnh các năng lực tiếp cận lí thuyết hoạt động cho sinh viên sư phạm.  Hoạt động là một quá trình thực hiện sự chuyển hóa lẫn nhau giữa hai cực của chủ thể và khách thể. Nói như vậy có nghĩa là hoạt động không hiểu đơn thuần là phản ứng hoặc tổ hợp các phản ứng mà hoạt động là một cơ cấu có tổ chức, có chuyển hóa và biến đổi bên trong.  Đối tượng của hoạt động là cái đang sinh thành trong quan hệ sinh thành của hoạt động và thông qua hoạt động của chủ thể. Với cách hiểu đối tượng hoạt động như vậy chúng ta cần nhận thức đối tượng hoạt động không chỉ là các vật chất cụ thể mà có thể là các đối tượng, các quan hệ trừu tượng cần được hình dung, tư duy làm bộc lộ nó với tư cách là động cơ hoạt động, với tư cách là đối tượng mang tính nhu cầu.  Các dạng hoạt động cụ thể của học sinh, sinh viên trong dạy học toán được trình bày theo [1] bao gồm chủ yếu các hoạt động trí tuệ và các hoạt động toán học.  Đặc trưng cấu thành của hoạt động là tính đối tượng của hoạt động. Trong dạy học toán ở trường phổ thông và trường đại học đối tượng của hoạt động là một họ các tình huống (các sự vật, các kiến thức về các đối tượng, các quan hệ, quy luật, phưong pháp…) Tác già Nguyễn Bá Kim đã cụ thể hóa mối quan hệ giữa hoạt động tương thích với nội dung, phương pháp trong [1]. 4  Chúng ta xem xét mối quan hệ giữa chủ thể và đối tượng theo ba tính chất đặc trưng sau đây: - Quan hệ giữa chủ thể và đối tượng không phải là quan hệ một chiều từ chủ thể tác động lên khách thể mà mối quan hệ đó thể hiện một cách tích cực từ hai phía. - Trong hoạt động đối tượng được bộc lộ theo hoạt động của chủ thể và thông qua hoạt động chủ thể xâm nhập vào đối tượng - sự phản ánh bằng tư duy về các thuộc tính bản chất, các quan hệ bản chất của đối tượng. - Trong hoạt động đối tượng có hai lần chuyển hóa: lúc đầu đối tượng tồn tại độc lập với chủ thể; chẳng hạn cho sinh viên khảo sát bài toán cụ thể sau đây đã được chứng minh bằng phương pháp vectơ: “ Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P là các điểm lần lượt thuộc các cạnh AB, BC, CA sao cho: PA CP NC BN MB AM  . Chứng minh rắng các tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm”. Yêu cầu sinh viên chứng minh bằng hình học thuần túy không sử dụng vectơ, chuẩn bị kiến thức bồi dưỡng học sinh giỏi ở trường THCS. Khi đó đối tượng buộc sinh viên phải hoạt động - tiến hành một loạt các hoạt động trí tuệ sau đây: (xem hình 1).  Vẽ trung tuyến BD  Vẽ DK song song với BC  Vẽ MH song song với BC  Lập luận chứng minh AH = CP và MH = BN nhờ hoạt động tổng hợp giả thiết và sử dụng định lí Talét.  Lập luận chứng minh DH = DP và từ tính chất đường trung bình của tam giác PMH suy ra K là trung điểm MP; hay NK là trung tuyến của tam giác MNP. G K D H P M N CB A 5  Chứng minh các tam giác GBN và tam giác GDK đồng dạng đề suy ra 2 1  MH KD BN KD GB GD GN GK . Từ đó suy ra điều phải chứng minh. Từ kết quả hoạt động trên cho thấy hoạt động của sinh viên đã biến đổi các đối tượng, các quan hệ; kết quả của sự phản ánh tâm lí, nhận thức toán học thu được sản phẩm mới. Đó là một phương pháp mới cho một bài toán dường như ít người chú ý đến cách giải nói trên. Thông qua ví dụ trên cho thấy: đối tượng chuyển hóa thành hoạt động và hoạt động chuyển hóa thành sản phẩm của nó.  Hoạt động sinh ra do nhu cầu và được điều chỉnh bởi các điều kiện xã hội mà chủ thể của hoạt động là cá nhân của xã hội đó. Mức độ và chất lượng của hoạt động, phụ thuộc vào vốn sự kiện mà chủ thể tích lũy được về ngôn ngữ, khái niệm, logic học. Cần phân biệt hai dạng chủ yếu của nhu cầu: - Những nhu cầu mang tính vĩ mô hoặc nhu cầu với tư cách là điều kiện bên trong chưa bộc lộ tính đối tượng của nó. Các loại nhu cầu trên chưa đóng vai trò hướng dẫn và điều chỉnh hoạt động, nó chỉ là một trong các tiền đề cho hoạt động; chẳng hạn nhu cầu chuẩn bị kiến thức kĩ năng, tư duy nhằm bồi dưỡng học sinh giỏi ở trường phổ thông. - Những nhu cầu mang tính cụ thể với tư cách là cái kích thích, hướng dẫn và điều chỉnh hoạt động; chỉ những nhu cầu đáp ứng các chức năng nói trên mới là những nhu cầu mang tính đối tượng; chẳng hạn nhu cầu chứng minh hai tam giác có cùng trọng tâm bằng hình học tổng hợp xét ở ví dụ trên; nhu cầu tổng quát hóa một bài toán cụ thể.  Khi đối tượng của nhu cầu được phát lộ ra (được hình dung, được tư duy ra) thì các đối tượng đó kích thích và điều chỉnh hoạt động, chúng được gọi là động cơ của hoạt động. Từ đó chúng ta hiểu đằng sau động cơ của hoạt động là những nhu cầu của hoạt động. Từ việc phân tích nêu trên cho thấy rằng việc dạy học toán nhằm tiếp cận lý thuyết hoạt động cho sinh viên cần chú trọng vấn đề cốt lõi là: xác định đối tượng của hoạt động chứa đựng các nhu cầu điều chỉnh hướng dẫn hoạt động và tạo ra các đối tượng thỏa mãn các nhu cầu phù hợp với điều kiện xã hội. 1.2. Bồi dưỡng cho sinh viên năng lực tiếp cận lí thuyết hoạt động trong nghiên cứu và giảng dạy toán. Các năng lực cơ bản của sinh viên trong việc tiếp cận lí thuyết hoạt động thông qua việc nghiên cứu toán và thực hành dạy học Toán ở trường phổ thông được xác định dựa 6 trên các quan điểm cơ bản về lí luận nhận thức và lí thuyết hoạt động, đồng thời dựa vào đặc điểm học tập của sinh viên ở trường Đại học Sư phạm. Đặc điểm học tập nổi bật của sinh viên là học tập mang tính nghiên cứu, kết hợp nắm các kiến thức cơ bản và các kiến thức nghề nghiệp; chương trình học tập mang tính mở, có điều kiện phát huy tối đa năng lực tự học, tự nghiên cứu. Chúng tôi xác định các năng lực chủ yếu sau đây nhằm định hướng bồi dưỡng cho sinh viên tiếp cận lí thuyết hoạt động: 1.2.1. Rèn luyện cho sinh viên năng lực tư duy khoa học vận dụng trong nghiên cứu toán và lí luận dạy học Toán Rèn luyện năng lực nêu trên nhằm bồi dưỡng tiềm năng hoạt động tìm tòi kiến thức, tập duyệt nghiên cứu khoa học, đáp ứng nhu cầu tự học. Các thành tố của năng lực nêu trên bao gồm: - Năng lực phán đoán, nắm các dạng phán đoán; năng lực mô tả, so sánh, phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, trừu tượng hóa, mô hình hóa. - Năng lực xây dựng các khái niệm, các quy tắc định nghĩa khái niệm. - Năng lực vận dụng các quy tắc suy luận trong nghiên cứu Toán. - Năng lực vận dụng phép biện chứng của tư duy toán học. - Năng lực kết hợp quy nạp và suy diễn trong nghiên cứu Toán. - Năng lực xây dựng và kiểm chứng các giả thuyết. Ví dụ: Việc nghiên cứu tích các phép dời hình trong mặt phẳng hay trong không gian có thể dùng làm phưong tiện hình thành khái niệm nhóm sinh viên theo con đường để họ khảo sát bằng quy nạp. O 2 b b b 1 7 Trong mặt phẳng (P) cho hai đường thẳng a, b cắt nhau và không vuông góc. Yêu cầu sinh viên:  Xác định phép dời hình trong (P) biến cặp đường thẳng (a.b) thành chính nó; tập hợp A các phép đó gồm: - Chứng tỏ tích của hai phép bất kì trong tập A = lại thuộc A. (xem hinh 2) - Chứng tỏ tích các phép dời trong A có tính kết hợp - Các phần tử nghịch đảo của mỗi phép trong A thuộc A. - e là phần tử đơn vị. Khi đó tập A với phép toán tích các phép dời trên lập thành nhóm.  Sau đó cho sinh viên khảo sát thêm tập các phép quay tâm O của m-giác đều biến m - giác đều thành chính nó: - Các phép quay trên có dạy: );( kOQ  , kí hiệu: kQ0 m k k   2  với k = (0,1, 2,…, m -1). - Khi đó tích kQQ 0 1 0 . =       mlk lk Q Q 0 0 khi khi mlk mlk   - Yêu cầu học sinh khảo sát tính kết hợp, xác định đơn vị và phần tử nghịch đảo; từ đó tập các phép quay với toán tích nêu trên lập thành một nhóm.  Yêu cầu sinh viên dẫn tới khái niệm nhóm tổng quát. 1.2.2. Rèn luyện cho học sinh, sinh viên năng lực phát hiện các đối tượng có chức năng gợi động cơ cho hoạt động tìm tòi kiến thức hướng vào mục tiêu đào tạo. Theo từng mục tiêu giáo dục toán học và rèn luyện tay nghề cho sinh viên, năng lực nêu trên nhằm vào hoạt động tìm tòi, hoạt động tự học, tự nghiên cứu Toán. Để bồi dưỡng năng lực nghiên cứu và giảng dạy toán cần chú ý rằng các đối tượng đòi hỏi sinh viên tạo ra cần đáp ứng một nhu cầu nào đó của mục tiêu giáo dục sinh viên; sinh viên cần cụ thể hóa các nhu cầu vĩ mô thành nhu cầu vi mô mang tính đối tượng chỉ dẫn các hoạt động cụ thể. Chú ý: Tùy thuộc vào việc lựa chọn đối tượng chúng ta có những hoạt động tương thích với nội dung, phưong pháp như tác giá Nguyễn Bá Kim đã trình bày trong [1]. Ví dụ: Xuất phát từ bài toán sau: “ Qua các đỉnh của tam giác ABC vẽ các đường thẳng a, b, c lần lượt song song với các cạnh BC, CA, AB; các cặp đường thẳng (a; b), (b; 8 c), (c;a) lần lượt cắt nhau tại M, N, P. Chứng minh rằng A, B, C là các trung điểm của các cạnh BM, MN, NP của tam giác MNP”. (xem hình 3) N M C B A P Hình 3 Từ nhu cầu rèn luyện năng lực bồi dưỡng học sinh giỏi ở trường phổ thông chúng ta có thể hướng sinh viên xét bài toán tương tự trong không gian và giải bài toán tương tự đó. Khi đó sinh viên cần tư duy ra đối tượng tương tự đối tượng trên cho hoạt động. Đối tượng đó được diễn đạt bởi bài toán sau: “ Cho tứ diện ABCD, qua các đỉnh A, B, C, D vẽ các mặt phẳng ( R ), )( , )( , )( lần lượt song song với các mặt đối diện với các đỉnh A, B, C, D của tứ diện ABCD. Các mặt phẳng (R), )( , )( , )( đôi một cắt nhau tạo thành tứ diện MNPQ (hình 4). Chứng minh rằng trọng tâm của các mặt của tứ diện MNPQ lần lượt là A, B, C, D”. Khi giải bài toán trên sinh viên cần tiến hành các hoạt động: - Xác định hình theo các quy tắc để chứng tỏ mặt phẳng (ABD) cắt các mặt PQM, PMN, PNQ theo các giao tuyến KI, IJ, JK lần lượt qua B, D, A và song song với QM, MN, NQ. - Lập luận chứng minh KI, IJ, JK lần lượt song song với AD, AB, BD. - Nhờ hoạt động so sánh với bài toán phẳng và tương tự suy ra B, D, A lần lượt là trung điểm của các cạnh KI, IJ, JK của tam giác IJK. - Lập luận chứng minh PB, PD, PA đi qua trung điểm E, F, L các cạnh QM, MN, NQ. - Nhờ hoạt động tương tự suy ra các trung tuyến của các mặt PQM, PMN, PNQ, MNQ cắt nhau tại B, D, A, C. (xem hình 4). 9 L E F C I B D A K J N M Q P 1.2.3. Rèn luyện cho học sinh, sinh viên năng lực nắm các khái niệm, các quan hệ toán học theo hệ thống từ các trường hợp riêng đến trường hợp tổng quát Việc rèn luyện năng lực này cho phép các sinh viên có ý thức thiết lập mối liên hệ các kiến thức khái quát, trừu tượng được trang bị ở đại học với kiến thức riêng rẽ học ở phổ thông; từ đó giúp sinh viên có được khả năng định hướng giải quyết vấn đề và chuyển tải sang ngôn ngữ phổ thông. Có thể xem xét các ví dụ sau đây để làm sáng tỏ điều nói trên: Ví dụ 1: Các khái niệm đoạn thẳng, tam giác, tứ diện là các thể hiện của m-đơn hình trong không gian n-chiều. Từ những ví dụ trên cho thấy cách thực trang bị cho sinh viên khả năng lợi dụng các tình huống gợi động cơ giúp học sinh phổ thông phát triển các vấn đề toán học nói chung với cách chọn các đối tượng, quan hệ trong trường hợp riêng để tập duyệt cho học sinh hoạt động khái quát hóa, tổng quát hóa. Ngoài các năng lực kể trên, chúng tôi quan tâm rèn luyện cho sinh viên các năng lực hoạt động chuẩn bị tri thức và thực hành về nghề nghiệp như: 1.2.4. Năng lực tổ chức cho học sinh phổ thông hoạt động tìm tòi phát hiện kiến thức Năng lực nêu trên thể hiện qua các thành tố sau đây: - Biết lựa chọn các tình huống, các tri thức về các đối tượng, các quy luật, các phương pháp để học sinh tư duy, hình dung làm bộc lộ động cơ hoạt động - đối tượng mang tính nhu cầu. 10 - Biết điều khiển học sinh lựa chọn các hoạt động trí tuệ, hoạt động toán học, bằng con đường quy nạp, mô hình hóa để rút ra các tính chất chung, các quy luật, các phương pháp mới. - Biết đánh giá các tri thức và hoạt động, các sản phẩm hoạt động của học sinh. Có thể làm sáng tỏ những thành tố hoạt động nói trên thông qua các ví dụ sau: Ví dụ 1: Để hình thành quy tắc nhân hai phân số db ca d c b a    ; b, d 0 chúng ta có thể lựa chọn các tình huống sau đây nhằm để học sinh hoạt động phân tích, so sánh, tổng hợp, từ đó rút ra quy tắc chung: - Tìm 4 3 của 7 4 ; giáo viên hướng dẫn cho học sinh biểu diễn phân số 7 4 bằng 35 20 ; sau đó biểu thị 35 4 35 4 35 4 35 4 35 4 35 20  , từ đó suy ra 5 3 của 7 4 bằng 35 12 35 4 35 4 35 4  . Ta nói rằng 35 12 là kết quả của tích 5 3 với 7 4 và viết 35 12 75 43 7 4 5 3     - Có thể đưa ra tình huống; Tìm diện tích của một hình chữ nhật có chiều rộng bằng m 5 2 , chiều dài bằng m 4 3 . Giáo viên hướng dẫn học sinh phân chia một cạnh của hình vuông thành năm phần bằng nhau, cạnh kia thành bốn phần bằng nhau. Từ các điểm chia vẽ các đường thẳng song song với các cạnh hình vuông, các đường thẳng song song này cắt nhau tạo thành 20 ô chữ nhật, khi đó diện tích hình chữ nhật chiếm 6 ô; ta nói rằng diện tích hình chữ nhật bằng 2 20 6 m . Ta nói rằng tích của 2 phân số 20 6 45 32 4 3 5 2     Thông qua hai ví dụ nêu trên để học sinh khái quát nêu quy tắc tổng quát. Ví dụ 2: Điều khiển học sinh hoạt động tìm tòi lời giải các bài toán “ Cho hình hộp ABCD. A1B1C1D1. Xác định hai điểm M, N sao cho 1ACM  , 11DBN  và MN song song với A1D”, giáo viên có thể bằng ba cách điều khiển học sinh hoạt động ứng với ba cách giải sau đây: 11 Cách 1: Yêu cầu học sinh chuyển sang ngôn ngữ vectơ. Khi đó điểm M cần tìm thỏa mãn          DAzMN DByCB ACxAM 1 111 1 . . . (1) . Bài toán dẫn tới tìm x, y. Muốn vậy học sinh phải hoạt động triển khai các vectơ 1AC , 11DB , DA1 của hệ (1) qua ba vectơ không đồng phẳng aAB   , bAD   , cAA  1 , từ đó hệ phương trình (1) được chuyển về hệ phương trình đại số và ta tìm được 3 2 x , 3 1 y . Cách 2: Điều khiển học sinh chuyển sang ngôn ngữ của phép chiếu song song: Xem N là ảnh của M qua phép chiếu song song lên mặt phẳng (A1 B1 C1 D1) theo phương chiếu DA1. Khi đó việc dựng MN quy về dựng điểm N, điểm N là giao của hai đường thẳng