Tiểu luận Đánh giá trong giáo dục toán “tích vô hướng của hai véc tơ”

ĐẠI HỌC HUÊ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ KHOA TOÁN BÀI TIỂU LUẬN: ĐÁNH GIÁ TRONG GIÁO DỤC TOÁN “TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ” GV. HƯỚNG DẪN SINH VIÊN THỰC HIỆN: TS.NGUYỄN ĐĂNG MINH PHÚC -NHÓM: 11 -ĐỖ HÙNG LONG -SÔ HÀN MY -VI VĂN HỢI -NGUYỄN ĐÌNH TRUNG -TRẦN KHÁNH DƯ - HUẾ, tháng 11 năm 2010 1 LỜI CẢM ƠN - Chúng tôi xin chân thành cảm ơn Thầy Nguyễn Đăng Minh Phúc đã giúp đỡ và hướng dẫn chúng tôi trong suốt quá trình thực hiện bài tiểu luận này. - Do thời gian có hạn nên bài tiểu luận còn nhiều thiếu sót .Nhóm chúng tôi rất mong nhận được sự ủng hộ và góp ý từ thầy và các bạn để bài tiểu luận được hoàn thành tốt hơn.Nhóm chúng tôi xin được cảm ơn. I.Đặt vấn đề: - Tích vô hướng của 2 véc tơ là 1 bài học quan trọng trong chương trình toán học lớp 10,xuyên suốt trong quá trình học tập học sinh gặp rất nhiều bài toán liên quan đến kiến thức của bài này,ngoài ra trong đời sống cũng gặp rất nhiều câu hỏi có thể vận dụng bài học vào để giải quyết .Chính vì vậy bài tiểu luận được viết ra nhằm mục đích muốn làm rõ ràng về kiến thúc mà các em đã tiếp nhận được trong bài học này,giúp các em hiểu và vận dụng được các vấn đề đã được học vào việc học tập cũng như trong đời sống. II.Phân loại mục tiêu trong dạy học tích vô hướng 1.Nhận biết -kiến thức và thông tin;kỹ thuật và kỹ năng 1.1.1.Kiến thức và thông tin a.kiến thức về thuạt ngữ b.kiến thức về những sự kiện cụ thể c.kiến thức về cách thức và phương tiện sử dụng trong trường hợp cụ thể d.kiến thúc về các quy tắc và các tổng quát hóa Sau bài này học sinh phải có khả năng để: -nhận biết được góc giũa hai véc tơ -phát biểu được định nghĩa tích vô hướng của 2 véc tơ - tính chất của tích vô hướng - phát biểu được và viết được các hệ thức quan trọng về tọa độ của tích vô hướng Sau đây là một số ví dụ để làm rõ phần này: Ví dụ 1: Ký hiệu của 2 véc tơ vuông góc được viết như thế nào? a. 0. 90a b  rr b. ( ar ,b r )= 090 c. a b rr d. AB uuur = 090 e.cả b,c đều đúng Đáp án:e Ví dụ 2 :trong các tính chất của tích vô hướng tính chát nào sau đây không có a.tính chất giao hoán. c.tính chất đối xứng b.tính chất phân phối d.tính chất phân phối đối với phép cộng. đối với phép trừ. Đáp án: c. Ví dụ 3: Cho hai véc tơ ar = (x,y) và b r = (m,n).điền vào chỗ trống: a. ar .b r = xm +...... b.| ar | = ......... c. 2 2 .......cos( , ) ....... xma b x m    rr d. ar .b r = 0  ................ 1.1.2.Những kỹ thuật và kỹ năng -mục tiêu này bao gồm việc sử dụng các thuật toán như các kỹ năng thao tác và khả năng thực hiện trực tiếp các phép tính, những đơn giản hóa và các lời giải tương tự với các ví dụ mà học sinh đã gặp,mặc dù khác nhau về chi tiết. + Học sinh áp dụng được công thức vào các bài tập đơn giản +Biến đổi các dạng bài tập theo các kỹ năng đơn giản +Một số kỹ thuật tách các biến cần tìm trong công thức Sau đây là một số ví dụ trong đó mục tiêu là kỹ thuật: Ví dụ 1:Tích vô hướng giữa hai véc tơ ar (4,2) và b r (1,3) bằng ? khi góc giữa ar và b r lần lượt là: a. 030 b. 060 c. 090 d. 0120 -Học sinh vận dụng công thức tích vô hướng của hai véc tơ để làm bài Ví dụ 2: Cho hai vec tơ ar (3;2) và b r (-1;m). a.Tìm m để 2 véc tơ vuông góc với nhau. b.Tìm độ dài của ar và b r .Tìm m để | ar | = |b r | -Học sinh áp dụng các hệ thức quan trọng về biểu thức tọa độ của tích vô hướng vào để làm bài tập trên. Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có các cạnh AC= 10cm ; BC= 16cm và góc Cˆ = 0120 .Tính cạnh AB và các góc A và B trong tam giác. - Học sinh áp dụng công thức tính được CosA,CosB từ đó tính được góc A , B. 1.2.Thông hiểu -Đây là khả năng nắm được ý nghĩa của tài liệu như chuyển đổi dữ kiệu từ dạng này sang dạng khác,từ một mức độ trừu tượng này sang một mức độ khác;khả năng giải thích hay suy ra y nghĩa các dữ liệu . Các hành vi thể hiện việc hiểu có thể chia thành 3 loại theo thứ tự sau đây: + Chuyển đổi + Giải thích + ngoại suy Trong đó giải thích là bao gồm chuyển đổi Ngoại suy thì bao gồm cả 2 loại chuyển đổi và giải thích. 1.2.1.Chuyển đổi -Đây là quá trình trí tuệ về sự chuyển đổi ý tưởng trong sự giao tiếp thành các dạng song song.Học sinh được yêu cầu thay đổi từ một dạng ngôn ngữ này sang dạng khác,hay từ dạng ký hiệu sang dạng khác. + Thông qua các định nghĩa bằng lý thuyết chuyển đổi về dạng công thức + Quan sát và nhận biết hình học để giải các bài toán véc tơ lien quan dến hình học. Sau đây là một vài ví dụ có mục tiêu là phạm trù chuyển đổi. Ví dụ 1:Cho A(1;2) và B(-3;3).Gọi 'OA uuur là hình chiếu của vec tơ OA uuur trên véc tơ OB uuur . Quan sát và cho biết tọa độ của điểm A’ trên hệ trục tọa độ chuẩn OXY. a.(3/2 ; 2/3) b.(2/3 ; 2/3) c.(2/6 ; 5/3) d.(1 ; -1) Đap án: b -Học sinh phải thể hiện được hình vẽ qua đề bài -Bằng quan sát trực quan tìm được kết quả Ví dụ 2:Cho tam giác ABC.Tổng ( AB uuur ; BC uuur ) + ( BC uuur ; CA uuur ) + (CA uuur ; AB uuur ) có thể nhận giá trị nào trong các giá trị sau: a. 090 b. 0180 c. 0270 d. 0360 Đáp án: b -Học sinh qua bài tập chỉ cần vẽ hình ra là sẽ có đáp án đúng. Ví dụ 3:”Độ dài đại số của một véc tơ trên hệ trục OXY bằng căn bậc 2 của bình phương mỗi tọa độ của nó”.ký hiệu nào sau đây đúng : a.| a r | = 2 2u v b. | a r | = 2( )u v c. | a r | = 2 2u v d. không có đáp án nào đúng Đáp án:c 1.2.2.Giải thích Hành động chính trong giải thích là việc xác định và hiểu các y tưởng chính trong một giao tiếp cũng như hiểu các mối quan hệ của chúng.Nó gắn liền với việc giải thích hay tóm tắt một giao tiếp.Học sinh được yêu cầu đưa ra sự phán xét khi tìm ra được những sự kiện quan trọng rồi tổ chức lại các kiến thức để thấy nội dung trong giao tiếp như là một tổng thể. + Nhận biết điểm mấu chốt trong các bài tập véc tỏ để đủa ra lời giải. + Thông qua các kiến thức thích hợp để nhận dạng bài toán Sau đây là một vài ví dụ về các mục tiêu ở đó phạm trù là giải thích Ví dụ 1: Cho tam giác vuông cân ABC có AB=AC=a.Tính các tích vô hướng a. .BC AB uuur uuur b. .AC CB uuuur uuur -Học sinh dễ dàng thực hiện bài toán với giải thích tam giác vuông tại A và µ 045C  Ví dụ 2: Trên mặt phẳng OXY,cho 2 điểm A(1;3),B(4;2) a.tìm tọa độ điểm D nằm trên trục OX sao cho DA=DB. b.Chứng tỏ OA vuông góc với AB và từ đó tính diện tích tam giác OAB -Học sinh tổng hợp giả thiết và điểm mấu chốt là D nằm trên OX nên D(x;0).Áp dụng công thức để giải bài toán. Ví Dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ, cho u r =1/2 i r -5 j r và v r =k i r -4 j r . a.tìm các giá trị của k để u r  v r b.tìm các giá trị của k để |u r |=|v r |. -Vói ví dụ trên học sinh phải nhận diện dạng bài để đưa ra cách làm tốt nhất.Vì bài toán liên quan tới biểu thức tọa độ của véc tơ nên học sinh phải hiểu được cách biểu diễn của các véc tơ. 1.2.3.Ngoại suy -Mục tiêu này gắn liền với khả năng của học sinh nhằm ngoại suy hay mở rộng những hướng vượt quá các dữ liệu đã cho.Cần phải có sự nhận thức về các giới hạn của dữ liệu cũng như các giới hạn trong phạm vi mà ta có thể mở rộng chúng. Sau đây là những ví dụ về mục tiêu mà phạm trù là phép ngoại suy: Ví dụ 1:Cho bốn điểm bất kỳ A , B, C, D.Chứng minh rằng Từ đó suy ra một cách chứng minh định lý: ”Ba đường cao của một tam giác đồng quy” - Học sinh chứng minh hệ thức bằng cách tách DA uuur =( DC uuur +CA uuur ).Từ đó học sinh phát triển ý để chứng minh định lý trên. -Giả sử ba đường cao mà không cắt nhau tại một điểm,tức chúng phải cắt nhau từng đôi một .Vậy với I là giao của đường cao vẽ từ đỉnh A và đường cao vẽ từ đỉnh B ta có IA BC IB AC     uuuur uuur uur uuur  . 0 . 0 IB AC BC IA     uur uuur uuur uur  .IB AC uur uuur + .BC IA uuur uur = 0 Theo chứng minh trên,với bốn điểm A,B,C,I ta được .IB AC uur uuur + .BC IA uuur uur + .IC AB uuur uuur = 0 Vậy ta chứng minh được .IC AB uuur uuur suy ra I phải nằm trên đường vuông góc với AB.Vậy I là giao của ba đường cao của một tam giác. Ví Dụ 2:Cho tam giác ABC có AB = 3cm , BC =8cm, AC=7cm.Tính a.Độ lớn của góc A b.Tính độ dài trung tuyến AM Từ bài toán trên xác định “công thức tính đường trung tuyến cho 1 tam giác bất kỳ khi cho độ dài 3 cạnh của tam giác’ -Với bài toán trên học sinh dễ dàng làm được khi áp dụng các công thức trong bài.Từ đó nêu lên cách tính độ dài đường trung tuyến và đưa ra công thức 2 2 2 2 2 2 4a b c am   .Tương tự với các đường trung tuyến xuất phát từ các đỉnh B và C. 1.3.Vận dụng Phạm trù này chỉ việc sử dụng các y tưởng,quy tắc hay phương pháp chung vào những tình huống mới.Các câu hỏi yêu càu học sinh phải áp dụng các khái niệm quen thuộc vào các tình huống không quen thuộc,có nghĩa là phải áp dụng kiến thức và việc hiểu các kỹ năng vào các tình huống mới hoặc những tình huống được trình bày theo một dạng mới. Cuối phần này học sinh nói chung có thể sử dụng các ý tưởng,nguyên tắc và phương pháp để giải các bài toán được mô tả dưới dạng bài toán thực tiễn và những ví dụ từ những nghành khác của toán học. Ví dụ 1:Việc áp dụng tích vô hướng để giải quyết một bài vật lý cơ học như sau: -Lực được phân tích làm 2 lực 1F uur và 2F uur trong đó 2 2F F uur uur , 2F uur là hình chiếu của F ur trên AB, ta có F ur = 2 2F F uur uur  AB uuur . F ur = AB uuur .( 2 2F F uur uur )= AB uuur . 1F uur + AB uuur . 2F uur = 2F uur . AB uuur .Như vậy lực 1F uur không làm xe goong chuyển động ,chỉ có lực 2F uur làm xe chuyển động từ AB. Ví dụ 2: Một ứng dụng của tích vô hướng hai véc tơ vào đại số mà học sinh hay dùng: Giả sử hệ 2 2 2 2 3 16 x xy y x yz z         có nghiệm .Chứng minh rằng :xy + yz + zx 8 Học sinh áp dụng như sau 3( , ) 2 2 x xu y  r ; 3( , ) 2 2 z zv y  r .Từ hệ ta có |u r | = 3 ;|v r | = 4 .Mặt khác u r . v r = 3 2 (xy+yz+xz).Mà u r . v r  |u r |.| v r |=4 3 . Như vậy suy ra xy+yz+xz 8. 1.4.Những khả năng bậc cao Đây là 1 phạm trù rất rộng và bao gồm các phạm trù con:phân tích, tổng hợp và đánh giá Cuối phần học này học sinh có thể : + phân tích thông tin thành những phần chính và thiết lập một mối quan hệ đúng đắn giữa chúng. + phát hiện ra những sai lầm trong lập luận,hay xem xét sự hợp lý của các câu trả lời cho các bài toán liên quan đến những kết luận thống kê. + Lý giải sáng tạo trong toán học +Trừu tượng hóa,ký hiệu hóa,tổng quát hóa. +Chỉ ra những sai lầm logic trong những lập luận +đánh giá ý nghĩa của 1 bài toán + giải các bài toán liên quan đến tổng quát hóa,quy nạp chứng minh rút ra kết luận. +Qua kiến thức véc tơ ta đi vào một số dạng toán có tính chất tổng quát hóa như tìm quỹ tích của các điểm. +Một số dạng phân tích,tổng hợp và chia nhỏ bài toán từ một véc tơ có nhiều cách phân tích nhưng chỉ có một cách đi đến kết quả tốt Sau đây là một số ví dụ về mục tiêu thuộc về phạm trù các khả năng bậc cao. Ví Dụ 1: Cho đoạn thẳng AB cố định ,AB=2a và một số 2k .Tìm tập hợp các điểm M sao cho 2 2 2MA MB k  . -Đây là một bài toán quỹ tích có khả năng kích thích khả năng sáng tạo của học sinh.Việc phân tích nhỏ bài toán để tìm cách giải là cần thiết. Ví dụ 2: Cho tam giác ABC.Tìm quỹ tích điểm M trong trường hợp sau: a. 22 . .MA MA MB MA MC  uuuur uuur uuuur uuuur b. ( 2 ).( 2 ). 0MA MB MB MC   uuuur uuuuur uuuur uuuuur Đây là một dạng bài quỹ tích áp dụng tích vô hướng.Đối với loại bài này chúng ta có thể đưa ra các bước giải như sau: -Biến đổi đẳng thức đã cho về dạng u r . v r = k;bằng phép phân tích bằng nhân tử,dặt nhân tử chung.......trong dó các véc tơ u r , v r có thể ở dạng tổng hay hiệu của một véc tơ nào đó -Dựa vào bài toán chứng minh biểu thức véc tơ không đổi hoặc tâm tỉ cự để biến đổi công thức u r . v r = k về một trong số các dạng quỹ tích cơ bản và kết luận về quỹ tích cần xác định. Hướng dẫn: 22 . .MA MA MB MA MC  uuuur uuur uuuur uuuur  .MA uuuur (2 .MA uuuur + MB uuur - MC uuuur )=0. Gọi I là điểm xác định bởi 2 .IA uur + .IB uur - .IC uuur =0 (I là tồn tại và duy nhất) nên suy ra 2 .MA uuuur + MB uuur - MC uuuur =2 .MI uuur Nên ta có dược 2 .MI uuur .MA uuuur =0 suy ra .MI uuur  .MA uuuur suy ra quỹ tích của điểm M là đường tròn dường kính AI -Tương tự cách trên với D,E thỏa mãn 2 0 2 0 DA CB EB EC       uuuuur uuur r uuuuur uuur r suy ra quỹ tích của điểm M là đường tròn đường kính DE. TÀI LIỆU THAM KHẢO: - Giaó trình: “ Đánh giá dạy học toán” ( T.Nguyễn Đăng Minh Phúc) - Sách giáo khoa “ Đại số nâng cao 10” - Tham khảo mạng từ các nguồn + trang web: violet.com Tài liệu.vn Trang web của trường “Trung Học Triệu Sơn 4”.