Toán lớp 9 - Chuyên đề 2: Giải phương trình

Toán lớp 9 Chuyên đề 2: Giải phương trình Phần 1: Tóm tắt lý thuyết 1. Phương trình bậc nhất một ẩn số: a) Định nghĩa: là phương trình có dạng ax+b=0 (a 0) b) Một số khái niệm: - Giải phương trình: là việc chúng ta biến đổi để tìm nghiệm. - Vế, nghiệm, nghiệm ngoại lai. c) Hai phương trình tương đương: + Định nghĩa + Các phép biến đổi tương đương: - Chuyển vế - Đảo vế - Nhân hoặc chia cho một số khác không. 2. Phương trình bậc hai: a) Định nghĩa: b) Giải phương trình bậc hai khuyết b, c; c) Giải phương trình bậc hai đầy đủ bằng công thức nghiệm tổng quát e) Giải phương trình bậc hai đầy đủ bằng công thức nghiệm thu gọn. 3. Phương trình bậc nhất hai ẩn số. a) Định nghĩa: Là phương trình có dạng ax+by=c b) Tập nghiệm: Nghiệm của phương trình là một đường thẳng. c) Giải phương trình: by=c-ax => Phần 2: Các dạng toán 1. Dạng 1. Giải và biện luận phương trình bậc nhất một ẩn số Cách giải: Cho a=0, tìm tham số m, thay m vào phương trình rồi kết luận (phương trình vô nghiệm hay vô số nghiệm). Cho a0, tìm m, sau đó tìm nghiệm của phương trình. 2. Dạng 2. Giải và biện luận phương trình bậc hai. Cách giải: Cho a=0, tìm m, thay m vào phương trình để kết luận nghiệm. Cho a0, lúc này lập hoặc ’ sau đó biện luận theo , nghĩa là: Cho >0; tìm m, rồi tìm nghiệm; Cho =0, tìm m rồi tìm nghiệm; Cho <0, tìm m, kết luận PT vô nghiệm 3. Dạng 3. Phương trình tích: A.B.C=0 ó 4. Dạng 4. Phương trình chứa ẩn ở mẫu: Cách giải: Đặt điều kiện cho các mẫu khác 0; Quy đồng hai vế rồi khử mẫu; Biến đổi và tìm nghiệm; Xem xét các nghiệm với điều kiện để loại bỏ nghiệm ngoại lai. Ví dụ: Điều kiện: x-20=> x2 1+2(x-2)=3-x => 3x=6 => x=2 (loại). Vậy phương trình vô nghiệm. 5. Dạng 5. Phương trình có dạng A2=b - Nếu b=<0, kết luận PT vô nghiệm; - Nếu b=0 thì chỉ cần A=0 - Nếu b>0, phương trình có nghiệm A= Ví dụ: Giải phương trình (x-6)2=3. Ta có x-6= => x=6 6. Dạng 6. Phương trình có dạng A2=B2 Cách 1: Chuyển vế, khai triển hằng đẳng thức thứ ba, đưa về PT tích. Cách 2: Ta có A=B. Giải hai Phương trình này ta được nghiệm. Ví dụ: Giải phương trình (2x-1)2=(x+2)2. Ta có: 2x-1= (x+2) Hay 7. Dạng 7. Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ: Ví dụ: (x2+7)2+2(x2+7)-3=0 (1) Đặt x2+7=y (y), (1) trở thành y2+2y-3=0, dễ dàng tìm được y=1 và y=-3, đối chiếu với điều kiện ta có phương trình vô nghiệm. Chú ý: - Nhiều khi phải biến đổi phương trình mới tìm được « Phần chung » để đặt ; - Khi đặt điều kiện, đặt càng « sát » càng tốt. Ví dụ trên nếu chỉ đặt ythì khi giải ra nghiệm y=1 thì phải giải thêm 1 phương trình nữa (nhưng rồi phương trình đó cũng vô nghiệm). 8. Dạng 8. Phương trình bậc cao: a) Phương trình trùng phương: Có dạng ax4+bx2+c=0. Cách giải đặt x2=y (y) từ đó đưa phương trình thành phương trình bậc hai. b) Các phương trình bậc cao: Tìm mọi biện pháp để hạ bậc phương trình (như đặt ẩn phụ chẳng hạn). Ví dụ: Giải phương trình: x70+8x35-9=0. Đặt x35=y => y2+8y-9=0 giải phương trình có nghiệm y1=1 => x35=1=> x=1 ; y2=-9=> x35=-9=> x= Dạng 9. Phương trình chứa giá trị tuyệt đối a) Dạng 1: (b là 1 số tùy ý) Tùy vào b để lựa chọn một trong các cách sau : - Nếu b Phương trình vô nghiệm - Nếu b=0 thì giải A(x)=0 - Nếu b>0, phương trình tương đương với Dạng 2: Cách giải: Dạng 3: Cách giải: Bx≥0Ax=BxBx<0Ax=-B(x) Hoặc Đặt điều kiện B(x) 0, sau đó giải phương trình sau: Đối chiếu với điều kiện để loại bỏ nghiệm ngoại lai. Dạng 10. Giải phương trình vô tỉ: a) Dạng . Giải như sau: b) Dạng . Giải như sau: c) Dạng Lúc này áp dụng cách giải PT chứa giá trị tuyệt đối. Bài 10. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: a) 3x+2y=5 (1). Giải mẫu: Từ (1) => 2y=-3x+5 => y=.(2) Đặt (t nguyên) => x=1-2t, thay vào (2) ta được y=-1+2t+2+t => y=1+3t. Nghiệm nguyên của phương trình (1) là x=1-2t và y=1+3t (với t nguyên). ////////I I////////////// Tìm nghiệm nguyên dương: => t=0=> x=1 ; y=1. Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình là (1 ; 1). b) 2x-3y=1 ; c) 4x+5y=23 d) 3x-2y=5 e) 2x-5y=-3 Phần 3: Bài tập Bài 1. Giải phương trình: 1) ; 2) 3) 4) 5) Câu 4 và 5 bình phương 2 vế. Bài 2. Giải các phương trình: 1) 2) 3) 4) x+3 -10=0 5) 6) 7) 8) 9) 10) (12x-1)(6x-1)(4x-1)(3x-1)=330 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) Với x là ẩn, a>0 18) 19) 20) 21) 22) Phần 4: Hướng dẫn giải Bài 1. Giải phương trình: 1) : câu này dễ, học sinh tự làm. 2) = MTC= 2y(y+5)(y-5) Điều kiện: 2y(y+5)(y-5) 0=> y0 ; y 5. Từ đó học sinh tự giải. =>2y2+20y+25-y2+10y-25=y+25=> y2+29y-25=0 3) Điều kiện: => => 2x=-2=> x=-1 (nhận) 4) Điều kiện: Bình phương hai vế ta được: => => => => Đến đây ta áp dụng giải phương trình chứa giá trị tuyệt đối. Giải xong, thử nghiệm vào phương trình. 5) Điều kiện: Bình phương 2 vế ta được: =4 => 2x+ =2. Từ đây giải phương trình chứa giá trị tuyệt đối rồi lấy nghiệm thử vào phương trình để loại bỏ nghiệm ngoại lai.