Toán lý nâng cao - TS.Võ Thanh Tùng

MỤC LỤC LÝ THUYẾT THẶNG DƯ Chuỗi hàm biến phức …………………………………………………………2 1.1.1 Chuỗi Taylor của hàm giải tích …………………………………………2 1.1.2 Không điểm của hàm giải tích …………………………………………..2 1.1.3 Chuỗi Laurent …………………………………………………………...3 1.1.4 Phân loại điểm bất thường của hàm giải tích ……………………………4 1.2 Lý thuyết thặng dư …………………………………………………………….5 1.2.1 Định nghĩa ……………………………………………………………….5 1.2.2 Cách tính thặng dư của hàm giải tích ……………………………………5 1.2.3 Thặng dư tại cực điểm …………………………………………………...5 1.3 Ứng dụng lý thuyết thặng dư ………………………………………………….6 1.3.1 Tính tích phân của hàm f(z) theo một chu tuyến L ……………………. 6 1.3.2 Tính tích phân dạng I = ………………………………7 1.3.3 Tính tích phân dạng I = …………………………………….12 1.3.3.1 Bổ đề 1 Jordan …………………………………………………..12 1.3.3.2 Ứng dụng của bổ đề 1 Jordan …………………………………...13 Tài liệu tham khảo ………………………………………………………………..17 LÝ THUYẾT THẶNG DƯ Chuỗi hàm biến phức Chuỗi Taylor của hàm giải tích Giả sử f(z) là hàm giải tích tại lân cận điểm a.Có thể biểu diễn f(z) dưới dạng chuỗi lũy thừa của z-a. Mọi hàm f(z) giải tích trong hình tròn L: | z-a | < R đều có thể khai triển một cách duy nhất thành chuỗi lũy thừa của z-a như sau f(z) = Co + C1 (z-a) + ………………+ Cn (z-a)n Trong đó hệ số Cn được xác định như sau Cn = Chú ý: = Suy ra Cn = Tóm lại ta có f(z) = Ví dụ : Khai triển Taylor của hàm f(z) = ez tại điểm 0 ( = a ) Ta có f(z) = trong đó Cn = = Vậy ez = 1+ z + ………………… Không điểm của hàm giải tích Định nghĩa: Giả sử f(z) là hàm giải tích trong G.Điểm a được gọi là không điểm của hàm f(z) nếu f(a) = 0 Nếu khai triển Taylor của hàm f(z) tại lân cận điểm a có dạng f(z) = với ≠ 0 f(z) = m được gọi là cấp của không điểm hay ta nói a là không điểm cấp m của hàm f(z) m = 1: a được gọi là không điểm cấp 1 ( không điểm đơn ) * Điều kiện cần và đủ để a là không điểm cấp m của hàm f(z) là: f(a) = f/(a) = f//(a) …………………= f(m-1)(a) = 0 và f(m)(a) ≠ 0 Định lý : Điều kiện cần và đủ để điểm a là không điểm cấp m của hàm f(z) là f(z) có thể biểu diễn dưới dạng f(z) = (z-a)m ở đây là hàm giải tích tại a và ≠ 0 Ví dụ Xét hàm f(z) = 1- cosz Ta đã biết Cosz = Vậy f(z) = Vậy z = 0 là không điểm cấp 2 1.1.3 Chuỗi Laurent * Nếu f(z) là hàm giải tích,đơn trị trong hình vành khăn r < < R.Khi đó với mọi z G ta có f(z) = Trong đó các hệ số: Cm = m = 0,+1,………….. L là chu tuyến bao quanh điểm a và nằm hoàn toàn trong G Chuỗi trên được gọi là chuỗi Laurent của hàm giải tích Lưu ý: Chuỗi Laurent khác với chuỗi Taylor ở điểm có lũy thừa nguyên âm f(z) = + Phần chính Phần đều 1.1.4 Phân loại điểm bất thường của hàm giải tích a. Điểm bất thường: Điểm z = a được gọi là điểm bất thường nếu f(z) không giải tích tại a b. Phân loại: + Căn cứ vào khai triển Laurent f(z) tại a không có phần chính tức là cn = 0 với mọi n.Khi đó a được gọi là điểm bất thường bỏ được + Nếu khai triển Laurent của f(z) tại a mà phần chính có hữu hạn số hạng suy ra a là cực điểm của hàm f(z) ( cực điểm cấp m) + Nếu phần chính của khai triển Laurent f(z) tại a vô số số hạng thì điểm a được gọi là điểm bất thường cốt yếu Ví dụ: * f(z) = Ta có điểm a = 0 được gọi là điểm bất thường f(z) = = = Không chứa lũy thừa âm vậy z = 0 là điểm bất thường bỏ được * f(z) = = = Vậy z = 0 là cực điểm cấp 3 * f(z) = là điểm bất thường cốt yếu 1.2 Lý thuyết thặng dư 1.2.1 Định nghĩa: Nếu f(z) giải tích tại lân cận điểm a.L là chu tuyến bao quanh a và lọt hoàn toàn trong lân cận trên : không phụ thuộc vào L Gọi thặng dư của hàm f(z) tại a là một số xác định bằng Kí hiệu = Res f(a) = 1.2.2 Cách tính thặng dư của hàm giải tích Ta đã biết các hệ số trong khai triển Laurent của hàm f(z) như sau sau Cn = Xét n= -1 C-1 : hệ số lũy thừa – 1 trong khai triển Laurent C-1 = = Vậy: Res f(a) = = C-1 Để tính thặng dư của hàm giải tích f(z) tại điểm bất thường a ta chuyển về tìm hệ số C-1 trong khai triển Laurent của hàm f(z) Thặng dư tại cực điểm Nếu a là cực điểm đơn của hàm f(z) thì [ Resf(z),a ] = (z-a).f(z) Nếu a là cực điểm cấp m của hàm f(z) thì [ Resf(z),a ] = f(z)] Ứng dụng lý thuyết thặng dư 1.3.1 Tính tích phân của hàm f(z) theo một chu tuyến L Nếu f(z) là hàm giải tích trong miền kín giới hạn bởi biên C trừ một số hữu hạn các điểm (n hữu hạn) thì Ví dụ: Tính với C là vòng tròn Xét f(z) = f(z) có 3 cực điểm Chỉ có hai cực điểm ,nằm trong miền giới hạn bởi L I =2i[Resf(z),i] +2i[Resf(z),-i] [Resf(z),i] = = [Resf(z),-i] = = Vậy I = 1.3.2 Tính tích phân dạng I = Tích phân thực ,trong đó R là một hàm hữu tỉ,được đưa về tích phân phức bằng cách sau * Đặt z = , ta có z = = cos x + isin x (1) = = cos x – isinx (2) Từ (1) và (2) ta có cos x = sin x = * dz = idx dx = -i * x : 0 2 |z| = 1 Từ đó : I = Ví dụ 1: Tính = * Đặt z = , ta có z = = cos x + isin x (1) = = cos x – isinx (2) Từ (1) và (2) ta có cos x = sin x = * dz = idx dx = -i * x : 0 2 |z| = 1 Từ đó : = = -2i = - 2i Xét hàm f(z) = Hàm f(z) có 2 cực điểm là và .Chỉ có cực điểm nằm trong miền giới hạn bởi |z| = 1 vậy = 2[Resf(z),-2+] Mặt khác: [Resf(z),-2+] = . = = Vậy = 2.= Tóm lại: = -2i.= Ví dụ 2: Tính tích phân = * Đặt z = , ta có z = = cos x + isin x (1) = = cos x – isinx (2) Từ (1) và (2) ta có cos x = sin x = * dz = idx dx = -i * x : - |z| = 1 Từ đó : = = -i-2i = - 2i Xét hàm f(z) = Hàm f(z) có 2 cực điểm là và .Chỉ có cực điểm nằm trong miền giới hạn bởi |z| = 1 vậy = 2[Resf(z),-2+] Mặt khác: [Resf(z),-2+] = . = = Vậy = 2.= Tóm lại: = -2i.= Ví dụ 3: Tính tích phân = Ta nhận thấy hàm f(x) = là hàm chẵn nên ta có = = = = Ví dụ 4: Tính tích phân = * Đặt z = , ta có z = = cos x + isin x (1) = = cos x – isinx (2) Từ (1) và (2) ta có cos x = sin x = * dz = idx dx = -i * x : 0 2 |z| = 1 = = -i-16i Xét hàm f(z) = Hàm f(z) có 2 cực điểm cấp hai là và .Chỉ có cực điểm nằm trong miền giới hạn bởi |z| = 1 vậy = 2[Res,,] Mặt khác: [Res,] = . = = = = Vậy = 2.= Và = Ví dụ 5: Tính tích phân = * Đặt z = , ta có z = = cos x + isin x (1) = = cos x – isinx (2) Từ (1) và (2) ta có cos x = sin x = * dz = idx dx = * x : 0 2 |z| = 1 Xét hàm f(z) = Hàm f(z) có 2 cực điểm cấp hai là và .Chỉ có cực điểm nằm trong miền giới hạn bởi |z| = 1 vậy Res[ Với Res[ = = Vậy Tính tích phân dạng I = Bổ đề 1 Jordan Bổ đề 1: Giả sử hàm f(x) liên tục trong lân cận điểm vô cùng và thỏa mãn khi đó ta có Trong đó C(R) là nửa trên của đường tròn |z| = R Ứng dụng của bổ đề 1 Jordan Ứng dụng định lý cơ bản về thặng dư và bổ đề 1 ta có thể tính tích phân suy rộng như sau y Giả sử hàm f(z) giải tích trong nửa mặt phẳng trên kể cả trục thực trừ một số hữu hạn điểm nằm trong nửa mặt phẳng trên và f(z) thỏa mãn bổ đề 1 x Ta vẽ một đường cong kín L bao gồm đoạn thẳng [-R,R] của trục thực và nửa trên đường tròn |z| = R ,kí hiệu là C(R).Với chiều đi trên L là ngược chiều kim đồng hồ.Chọn R đủ lớn để L bao bọc tất cả các điểm a( hình bên). Từ ứng dụng lý thuyết thặng dư ta có = 2Res [f(z),a] Khi cho R và để ý tới bổ đề 1 Jordan ta thu được = 2Res [f(z),a] ( * ) * Vậy nếu f(z) =,trong đó P(z) và Q(z) là các đa thức và bậc của Q(z) P(z) +2. Phương trình Q(z) = 0 có n ngiệm nằm trong nửa mặt phẳng trên thì ta có công thức (*) Ví dụ 6: Tính tích phân I = Hàm f(z) = = có hai cực điểm là và = -i.Nhưng chỉ có cực điểm là nằm trong nửa mặt phẳng trên vậy I = = Res[,i] mà Res[,i] = = Vậy I = = .= Ví dụ 7: Tính tích phân I = Vì hàm f(z) = là hàm chẵn nên I = = = Ví dụ 8: Tính tích phân I = Vì hàm f(z) = có hai cực điểm cấp 2 là và = -3i.Nhưng chỉ có cực điểm là nằm trong nửa mặt phẳng trên vậy I = = Res[,3i] Mà Res[,3i]= = = = Vậy I = = = Ví dụ 9 Tính tích phân I = Vì hàm f(z) = có hai cực điểm là và =1-.Nhưng chỉ có cực điểm là nằm trong nửa mặt phẳng trên vậy I = = Res[,1+] Mà Res[,1+ ] = = = Vậy I = = = Ví dụ 10: I = Vì hàm f(z) = có 4 cực điểm là .Nhưng chỉ có 2 cực điểm là và nằm trong nửa mặt phẳng trên vậy I==Res[,i] +Res[,2i] Mà ta lại có * Res[,i] = = = = * Res[,i] = = = = Vậy I= = () = TÀI LIỆU THAM KHẢO Võ Thanh Tùng – Toán lý nâng cao, Trường ĐHKH Huế Võ Đăng Thảo – Hàm phức và toán tử Laplace, Trường ĐHKT TP.HCM 2000 Đậu Thế Cấp – Bài tập hàm biến phức, NXB Giáo dục TP. HCM 2000 Bùi Tuấn Khang – Giáo trình toán chuyên đề, Trường ĐHĐN 2004