Tóm tắt và các ví dụ Phần Tích phân phức và Phép biến đổi Laplace

Tóm tắt và các ví dụ Phần Tích phân phức và Phép biến đổi Laplace Tóm tắt và các ví dụ Phần Tích phân phức & Phép biến đổi Laplace Đại học ThS. Đoàn Vương Nguyên – ĐHCN Tp.HCM 1 Chú ý Số chỉ mục và thứ tự ví dụ được giữ nguyên như trong Bài giảng. Chương 3. TÍCH PHÂN HÀM PHỨC §2. ĐỊNH LÝ CAUCHY 2.1. Định lý Cauchy cho miền đơn liên a) Định lý Nếu hàm ( )f z giải tích trên miền đơn liên D và liên tục trên biên C D≡ ∂ thì: ( ) 0. C f z dz =∫
VD 1. Hàm 2 ( ) 4 z f z z = + giải tích trong : | | 1D z ≤ và liên tục trên biên D∂ nên 2 | | 1 0 4 z zdz z= = +∫
. b) Hệ quả • Nếu hàm ( )f z giải tích trong miền đơn liên D và C là đường cong kín nằm trong D thì ( ) 0 C f z dz =∫
. • Nếu hàm ( )f z giải tích trong miền đơn liên D , thì tích phân ( ) C f z dz∫
với mọi đường cong C nằm trong D có cùng điểm đầu và điểm cuối nhận giá trị như nhau. VD 2. Tính tích phân 2 C I z dz= ∫ , trong đó C là cung 3 23y x x= − nối 0z = với 1 2z i= − . Giải. Đoạn thẳng OA nối 0z = với 1 2z i= − có phương trình: ( ) 2 , : 0 1z t t it t= − → . Do ( ) 2f z z= giải tích trong ℂ nên: 2 2 C OA I z dz z dz= =∫ ∫ 1 0 2( 2 )(1 2 )t it i dt= − −∫ 1 2 2 0 (1 2 ) . 3 4i t i= − = − − . 2.2. Định lý Cauchy cho miền đa liên a) Định lý 1 Cho miền D n− liên ( 1n > ) có biên D∂ gồm 1 2 , ,..., n C C C , trong đó 1 C bao các chu tuyến khác và các chu tuyến 2 ,..., n C C nằm ngoài nhau. Nếu ( )f z giải tích trong D và liên tục trong D D D= ∂∪ thì: 1 2 ( ) ( ) ... ( ) . n C C C f z dz f z dz f z dz= + +∫ ∫ ∫


b) Định lý 2 Với giả thiết như trong định lý 1, ta có: ( ) 0. D f z dz ∂ =∫
Hệ quả (tính bất biến khi biến dạng chu tuyến) Nếu chu tuyến 1 C có thể biến dạng liên tục mà không vượt qua bất kỳ điểm kỳ dị nào của ( )f z để trở thành chu tuyến 2 C thì: 1 2 ( ) ( ) . C C f z dz f z dz=∫ ∫

VD 3. Khảo sát tích phân ( )n n C dz I z a = −∫
, trong đó C là đường cong kín không đi qua điểm a và n ∈ ℤ . Giải • Trường hợp 1: điểm a nằm ngoài C . Tóm tắt và các ví dụ Phần Tích phân phức & Phép biến đổi Laplace Đại học ThS. Đoàn Vương Nguyên – ĐHCN Tp.HCM 2 Do hàm 1( ) ( )n f z z a = − giải tích trong miền đóng D có biên C nên 0 n I = (định lý 2). • Trường hợp 2: điểm a nằm trong C . Ta chọn r đủ bé để đường tròn r C tâm a , bán kính r nằm trong C . Phương trình tham số của r C là: ( [0;2 ])iz a re ϕ ϕ π= + ∈ . Áp dụng hệ quả, ta được: 2 2 (1 ) 1 0 0 ( ) ( ) r i i n n n i n n C dz ire d i I e d z a re r π πϕ ϕ ϕ ϕ ϕ− − = = = −∫ ∫ ∫
.
Với 1n = thì 2 1 0 2I i d i π ϕ π= =∫ .
Với 1n ≠ thì 2 (1 ) 1 0 0 (1 ) i n n n e I r n π ϕ− − = = − . Vậy 2 , 1 0, .( )n C i n a Cdz z a π == −  ∫
vaø naèm trong caùc tröôøng hôïp coøn laïi §4. CÔNG THỨC TÍCH PHÂN CAUCHY 4.1. Định lý (công thức tích phân Cauchy) Giả sử hàm ( )f z giải tích trong miền giới nội D và liên tục trong miền D D D= ∂∪ . Khi đó, giá trị 0 ( )f z tại điểm bất kỳ 0 z D∈ được biễu diễn qua giá trị trên biên D∂ theo công thức tích phân Cauchy: 0 0 1 ( ) ( ) . 2 D f z f z dz i z zπ ∂ = −∫
VD 1. Tính tích phân 2 | | 1 1 z i dz I z− = = +∫
. Giải. Hàm dưới dấu tích phân có điểm bất thường z i= nằm trong đường tròn | | 1z i− = . Do đó | | 1 ( ) z i f z I dz z i − = = −∫
, với hàm 1 ( )f z z i = + giải tích trong hình tròn | | 1z i− < . Áp dụng công thức tích phân Cauchy, ta có: | | 1 1 ( ) 1 ( ) . 2 2 z i f z dz f i I i z i iπ π − = = = −∫
2 2 . ( ) 2 i I i f i i π π π⇒ = = = . VD 2. Tính tích phân 2 24 iz C e dz I z π = −∫
, trong đó: a) : | 1 | 1C z − = ; b) : | | 3C z i− = . Giải a) Hàm dưới dấu tích phân có điểm bất thường 2 z π = nằm trong C . Do đó ( ) 2 C f z dz I z π = − ∫
, với hàm ( ) 4 2 ize f z z π =   +    giải tích trong | 1 | 1z − < . Tóm tắt và các ví dụ Phần Tích phân phức & Phép biến đổi Laplace Đại học ThS. Đoàn Vương Nguyên – ĐHCN Tp.HCM 3 Vậy cos sin 12 22 . 2 . 2 4 2 i I i f i π π π π π π +  = = = −    . b) Hàm 2 24 ize w z π = − có 2 điểm bất thường 2 z π = ± nằm trong C . Xét miền đa liên như hình vẽ và áp dụng định lý Cauchy cho miền đa liên, ta có: 1 2 . . . 4 2 4 2 2 2 iz iz C C e dz e dz I z z z z π π π π = + − + + − ∫ ∫

Vậy 2 2 2 . 2 . 1 4 2 4 2 iz iz z z e e I i i z zπ π π π π π =− = = + = − − + . 4.2. Hệ quả 1 (công thức Cauchy cho đạo hàm của hàm giải tích) Giả sử hàm ( )f z giải tích trong miền giới nội D và liên tục trong miền D D D= ∂∪ . Khi đó, hàm ( )f z có đạo hàm mọi cấp tại điểm 0 z bất kỳ trong miền D và được biễu diễn qua công thức tích phân Cauchy: ( ) 0 1 0 ! ( ) ( ) , 1, 2,... 2 ( ) n n D n f z dz f z n i z zπ +∂ = = −∫
VD 3. Tính tích phân 2 2 | 1| 1 sin ( 1) z z I dz z π − = = −∫
. Giải. Do hàm 2 2 sin ( 1) z w z π = − có điểm bất thường 1z = nằm trong : | 1 | 1C z − = , nên ta có: 2 | 1| 1 ( ) ( 1) z f z I dz z− = = −∫
, với 2 sin ( ) ( 1) z f z z π = + giải tích trong hình tròn | 1 | 1z − < . Áp dụng hệ quả 1, ta được: 2 2 | 1| 1 sin 2 . (1) 1!( 1) z z i I dz f z π π − = ′= = −∫
2 2 4 1 cos .( 1) 2( 1)sin 2 . . 2( 1) z z z z z i i z π π π π π = + − + = = − + VD 4. Tính tích phân 4 3 | | 2 ( ) z z I dz z i= = −∫
. Giải. Do hàm 4 3( ) z w z i = − có điểm bất thường z i= nằm trong : | | 2C z = , nên ta có: 3 | | 2 ( ) ( ) z f z I dz z i= = −∫
, với 4( )f z z= giải tích trong hình tròn | | 2z < . Áp dụng hệ quả 1, ta được: 4 3 | | 2 2 . ( ) 2!( ) z z i I dz f i z i π = ′′= = −∫
22 .12 12 2 z i i z i π π = = − . Tóm tắt và các ví dụ Phần Tích phân phức & Phép biến đổi Laplace Đại học ThS. Đoàn Vương Nguyên – ĐHCN Tp.HCM 4 Chương 4. Chuỗi và Thặng dư §2. THẶNG DƯ 2.1.3. Cách tìm cực điểm cấp m Cho z a= ≠ ∞ là điểm bất thường cô lập của ( )f z .
Nếu lim ( ) z a f z L → = ≠ ∞ thì z a= là cực điểm cấp 0.
Nếu lim ( ) lim[( ) ( )] \ {0} z a m z a f z z a f z L → →  = ∞ − = ∈ ℂ thì z a= là cực điểm cấp m .
Nếu lim ( ) z a f z → không tồn tại thì z a= là điểm bất thường cốt yếu. VD 5. Tìm và phân loại điểm bất thường cô lập của 2 2 3 sin ( ) ( 1) z f z z z = − . Giải. Hàm ( )f z có 2 điểm bất thường là 0z = và 1z = . • Do 2 30 0 1 sin lim ( ) lim . 1 ( 1)z z z f z zz→ →     = = − ≠ ∞  −      nên 0z = là cực điểm cấp 0 của ( )f z . • Ta có: 1 lim ( ) z f z → = ∞ và 3 2 1 0 lim[( 1) ( )] sin 1 z z f z → ≠ − = ≠ ∞ . Suy ra 1z = là cực điểm cấp 3. VD 6. Xác định điểm bất thường cô lập của 1( ) cosf z z i = − . Giải. Hàm ( )f z có điểm bất thường cô lập là z i= . Do 1lim cos z i z i→ − không tồn tại nên z i= là điểm bất thường cốt yếu. 2.1.4. Điểm bất thường cô lập tại vô cùng • Giả sử hàm ( )f z giải tích trong miền | |r z và không giải tích tại z = ∞ . Đặt 1 t z = thì 1( ) ( )f z f g t t   = =    . Khi đó ( )g t giải tích trong miền 10 | |z r < < nên có khai triển Laurent. • Trong khai triển Laurent của ( )g t , tùy theo 0t = là cực điểm bỏ được, cực điểm cấp m hay điểm bất thường cốt yếu ta có z = ∞ là cực điểm tương ứng của ( )f z . VD 7. Xác định điểm bất thường cô lập z = ∞ của: a) 1( ) cosf z z = ; b) ( ) zg z e= ; c) 1 0 1 0 ( ) ... , 0m m m m P z a z a z a a−= + + + ≠ . Giải a) Đặt 1t z = , ta có: 2 4 cos 1 ... 2! 4 ! t t t = − + − nhận 0t = làm không điểm. Vậy z = ∞ là không điểm của ( )f z . b) Đặt 1t z = , ta có: 1 2 3 1 1 1 1 ... 2! 3! te t t t = + + + nhận 0t = làm điểm bất thường cốt yếu. Vậy z = ∞ là điểm bất thường cốt yếu của ( )g z . c) Đặt 1t z = , ta có: 0 1 01 1 ... , 0 m mm m a a P a a t t t −    = + + + ≠    nhận 0t = làm cực điểm cấp m . Vậy z = ∞ là cực điểm cấp m của ( ) m P z . Tóm tắt và các ví dụ Phần Tích phân phức & Phép biến đổi Laplace Đại học ThS. Đoàn Vương Nguyên – ĐHCN Tp.HCM 5 2.2. THẶNG DƯ 2.2.2. Phương pháp tính thặng dư  Cách 1. Dùng định nghĩa, ta có:
1 [ ( ), ]Res f z a c − = (hệ số của 1 z a− trong khai triển ( )f z quanh điểm z a= ).
1 [ ( ), ]Res f z c − ∞ = − (hệ số của 1 z trong khai triển ( )f z quanh điểm z = ∞ ).  Cách 2. Dùng cực điểm.
Nếu a ≠ ∞ là cực điểm đơn thì: [ ( ), ] lim[( ) ( )]. z a Res f z a z a f z → = −
Nếu a ≠ ∞ là cực điểm cấp m ( 2)m ≥ thì: ( 1)1[ ( ), ] lim[( ) ( )] . ( 1)! m m z a Res f z a z a f z m − → = − − Chú ý 1) Nếu a ≠ ∞ là cực điểm đơn và ( )( ) ( ) h z f z g z = với ( ) 0g a = , ( ) 0h a ≠ , ( ) 0g a′ ≠ thì: ( ) ( ) [ ( ), ] . ( ) ( ) z a h z h a Res f z a g z g a = = = ′ ′ 2) Khi tính giới hạn có dạng 0 0 , ta có thể dùng quy tắc L’Hospital. VD 8. Tính [ ( ), 2]Res f z của 2 2 3 ( ) 2 z z f z z − + = − . Giải Cách 1. Ta có: 2 2 3 3 2 ( 2) (0 | 2 | ) 2 2 z z z z z z − + = + − + < − < ∞ − − . Vậy 1 [ ( ), 2] 3Res f z c − = = . Cách 2. Ta có 2z = là cực điểm đơn của ( )f z nên: 2 2 2 [ ( ), 2] lim[( 2) ( )] lim( 2 3) 3 z z Res f z z f z z z → → = − = − + = . Hoặc 2 2 2 3 [ ( ), 2] 3 ( 2) z z z Res f z z = − + = = ′− . VD 9. Tính [ ( ), 1]Res f z của 2 1 ( ) ( 1) f z z z = − . Giải Cách 1. Ta có: 2 2 1 1 1 . 1 (1 )( 1) ( 1) zz z z = − −− − 2 2 1 1 (1 ) (1 ) ... ( 1) z z z  = + − + − +  − 2 1 1 1 ... (0 | 1 | 1) 1( 1) z zz = − + − < − < −− . Vậy 1 [ ( ), 1] 1Res f z c − = = − . Tóm tắt và các ví dụ Phần Tích phân phức & Phép biến đổi Laplace Đại học ThS. Đoàn Vương Nguyên – ĐHCN Tp.HCM 6 Cách 2. Ta có: 1 lim ( ) z f z → = ∞ và 2 1 lim[( 1) ( )] 1 1 z z f z z → − = ⇒ = là cực điểm cấp 2. Vậy 2 1 1 [ ( ), 1] lim[( 1) ( )] 1! z Res f z z f z → ′= − 21 1 1 1 lim lim 1 z zz z→ → ′  = = − = −    . VD 10. Tính [ ( ), ]Res f z ∞ của các hàm: a) 2 ( ) zf z e= ; b) 15 8 3 ( ) 1 z g z z = + . Giải a) Ta có: 2 12 0 1 2 2 4 1 ... 2 ! n z n e c n z z z ∞ − =   = = + + + ⇒ =    ∑ . Vậy 1 [ ( ), ] 2Res f z c − ∞ = − = − . b) Ta có: 15 7 8 8 3 1 ( ) 3 . 11 1 z f z z z z = = −+ − 7 7 18 9 0 ( 1) 3 3 3 3 ... 3 n n n z z c zz z ∞ − = − = = − + − ⇒ = −∑ . Vậy 1 [ ( ), ] 3Res f z c − ∞ = − = . VD 11. Tìm thặng dư của 2 ( ) 1 ze f z z = + tại các điểm bất thường cô lập hữu hạn. Giải. Hàm ( )f z có hai cực điểm đơn là z i= ± . Ta có: 2 [ ( ), ] 2 2( 1) z z i z i z i e e e Res f z i z iz = = = = = ′+ ; 2 1 [ ( ), ] ( 1) 2 z i z i e Res f z i z ie =− − = = − ′+ . VD 12. Tìm thặng dư của 4 sin 1 ( ) z f z z + = tại các điểm bất thường cô lập hữu hạn. Giải. Hàm 4 sin 1 ( ) z f z z + = có 0z = là cực điểm cấp 4. Vậy 4 40 1 sin 1 [ ( ), 0] lim . 3! z z Res f z z z→ ′′′ +  =     0 1 1 lim cos 6 6z z → = − = − . …………………………….. §3. ỨNG DỤNG CỦA THẶNG DƯ 3.1. Tính tích phân dọc theo đường cong kín
Định lý 1 Nếu hàm ( )f z giải tích trong miền đóng D giới hạn bởi đường cong Jordan kín C trừ một số hữu hạn điểm 1 a , 2 a , …, n a bất thường cô lập nằm trong D thì: 1 ( ) 2 . [ ( ), ]. n k kC f z dz i Res f z aπ = = ∑∫
VD 1. Tính tích phân 2 | | 2 1 z z e I dz z= = +∫
. Tóm tắt và các ví dụ Phần Tích phân phức & Phép biến đổi Laplace Đại học ThS. Đoàn Vương Nguyên – ĐHCN Tp.HCM 7 Giải. Hàm 2 ( ) 1 ze f z z = + có 2 điểm bất thường cô lập là z i= ± nằm trong hình tròn : | | 2D z ≤ . Áp dụng định lý 1, ta có: ( )2 [ ( ), ] [ ( ), ]I i Res f z i Res f z iπ= + − 2 22 ( 1) ( 1) z z z i z i e e i z z π = =−   = +   ′ ′  + +  2 2 .sin1 2 i ie e i i i π π − −  = =    . VD 2. Tính tích phân 2 | 1| 1 2 ( 1) ( 1) z z I dz z z− = + = − +∫
. Giải. Hàm 2 2 ( ) ( 1) ( 1) z f z z z + = − + có 1 cực điểm cấp 2 là 1z = nằm trong hình tròn : | 1 | 1D z − ≤ . Áp dụng định lý 1, ta có: 1 2 2 . [ ( ), 1] 2 .lim 1 2z z I i Res f z i i z π π π → ′ +  = = = −   +  .
Định lý 2 Nếu ( )f z giải tích trong toàn mặt phẳng phức trừ một số hữu hạn điểm 1 2 , ,..., n a a a bất thường cô lập thì: 1 [ ( ), ] [ ( ), ] 0. n k k Res f z a Res f z = + ∞ =∑ VD 3. Tính tích phân 4 | | 2 1 z dz I z= = +∫
. Giải. Hàm 4 1 ( ) 1 f z z = + có 4 điểm bất thường cô lập k a , 1, 4k = là căn bậc 4 của 1− . Ta có: 4 4 4 0 4 1 1 1 ( 1) ( ) . . 1 ( ) 1 n n n f z z z z z ∞ = − = = − − ∑ 4 8 12 1 1 1 ... z z z = − + − 1 0 [ ( ), ] 0c Res f z − ⇒ = ⇒ ∞ = . Áp dụng định lý 2, ta được: 2 . [ ( ), ] 0I i Res f zπ= − ∞ = . VD 4. Tính tích phân 4 5 | | 1 2 1 z z I dz z= = −∫
. Giải. Hàm 4 5 ( ) 2 1 z f z z = − có 5 điểm bất thường cô lập k a , 1, 5k = là căn bậc 5 của 1 2 . Ta có: 4 5 5 0 5 1 1 1 1 ( ) . . 2 1 22 1 (2 ) 1 2 n n z f z z zz z z ∞ = = = = − − ∑ 6 11 1 1 1 ... 2 4 8z z z = + + + 1 1 1 [ ( ), ] 2 2 c Res f z − ⇒ = ⇒ ∞ = − . Áp dụng định lý 2, ta được: 2 . [ ( ), ]I i Res f z iπ π= − ∞ = . Tóm tắt và các ví dụ Phần Tích phân phức & Phép biến đổi Laplace Đại học ThS. Đoàn Vương Nguyên – ĐHCN Tp.HCM 8 3.2. Tính tích phân hàm lượng giác
Dạng tích phân 2 0 (cos , sin ) (cos , sin )I R t t dt I R t t dt π π π− = =∫ ∫hoaëc Trong đó, (cos , sin )R t t là hàm hữu tỉ theo sin và cosin.
Phương pháp giải • Đặt itz e= , ta có: it dzdz ie dt dt iz = ⇒ = , 2 2( ) 1 1 cos 2 22 it it it it e e e z t ze −+ + + = = = , 2 2( ) 1 1 sin 2 22 it it it it e e e z t i izie −− − − = = = . • Khi t biến thiên từ 0 đến 2π (hoặc từ π− đến π ) thì z biến thiên trên đường tròn đơn vị | | | | 1itz e= = . Suy ra, các tích phân trên có dạng: 1| | 1 ( ) 2 [ ( ), ]. n k kz I f z dz i Res f z aπ == = = ∑∫
Trong đó ( )1,ka k n= là các điểm bất thường cô lập nằm trong hình tròn | | 1z < . VD 5. Tính tích phân 2 0 2 sin dt I t π = +∫ . Giải. Đặt it dzz e dt iz = ⇒ = , ta có: 2 2 | | 1 | | 1 2 1 4 1 2 2 z z dz dzizI z z iz iz = = = = − + − + ∫ ∫

. Hàm 2 1 ( ) 4 1 f z z iz = + − có điểm ( )2 3a i= − + là cực điểm đơn nằm trong hình tròn | | 1z < . Vậy 2 2.2 . [ ( ), ] 4 . lim 4 1z a z a I i Res f z a i z iz π π → − = = + − 2 ( ) 2 4 . lim ( 4 1) 3z a z a i z iz π π → ′− = = ′+ − . VD 6. Tính tích phân 0 3 cos dt I t π = −∫ . Giải. Đặt it dzz e dt iz = ⇒ = , ta có: 2 | | 1 1 1 2 3 cos 2 1 3 2 z dz dt izI t z z π π− = = = − + − ∫ ∫
2 2 | | 1 | | 1 1 6 1 6 1 z z dz dz i i z z z z= = = − = − + − +∫ ∫

. Hàm 2 1 ( ) 6 1 f z z z = − + có điểm 3 2 2a = − là cực điểm đơn nằm trong hình tròn | | 1z < . Vậy 2 .2 . [ ( ), ] 2 . lim 6 1z a z a I i i Res f z a z z π π → − = = − − + 2 ( ) 2 .lim ( 6 1) 2 2z a z a z z π π → ′− = − = ′− + . Tóm tắt và các ví dụ Phần Tích phân phức & Phép biến đổi Laplace Đại học ThS. Đoàn Vương Nguyên – ĐHCN Tp.HCM 9 3.3. Tính tích phân suy rộng 3.3.1. Dạng suy rộng ( )f x dx +∞ −∞ ∫ b) Ứng dụng Cho ( )f z giải tích trong nửa mặt phẳng trên (trừ một số hữu hạn điểm bất thường cô lập 1 2 , ,..., n a a a ) . Nếu ( )( ) ( ) P x f x Q x = , với bậc ( )P x ≤ (bậc ( ) 2Q x + ) thì: 1 ( ) 2 [ ( ), ]. n k k f x dx i Res f z aπ +∞ =−∞ = ∑∫ VD 7. Tính tích phân 4 1 dx I x +∞ −∞ = +∫ . Giải. Hàm 4 1 ( ) 1 f z z = + có 2 cực điểm đơn 4 1 i a e π = và 3 4 2 i a e π = nằm trong nửa mặt phẳng phía trên. Ta có: { }1 22 [ ( ), ] [ ( ), ]I i Res f z a Res f z aπ= + 1 2 1 2 4 4 2 lim lim 1 1z a z a z a z a i z z π → →  − −  = +   + +  1 2 3 3 3 3 1 2 1 1 1 1 2 lim lim 24 4z a z a i i z z a a π π → →     = + = +         3 1 2 4 4 4 4 1 2 2 2 2 2 i ia ai i e e a a π π π π π       = + = − + =        . VD 8. Tính tích phân 2 2( 1) dx I x +∞ −∞ = +∫ . Giải. Hàm 2 2 2 2 1 1 ( ) ( 1) ( ) ( ) f z z z i z i = = + − + có một cực điểm cấp hai z i= nằm trong nửa mặt phẳng trên. Ta có: 22 . [ ( ), ] 2 . lim[( ) ( )] z i I i Res f z i i z i f zπ π → ′= = − 2 3 1 2 2 .lim 2 .lim ( ) ( )z i z i i i z i z i π π → → ′  − = = + +  1 2 . 4 2 i i π π= = . 3.3.2. Dạng suy rộng 1 2 ( )cos , ( )sin .I f x x dx I f x x dxα α +∞ +∞ −∞ −∞ = =∫ ∫ b) Ứng dụng • Bước 1. Tính: 1 2 1 ( ) 2 [ ( ) , ] n i x i z k k I iI f x e dx i Res f z e aα απ +∞ =−∞ + = = ∑∫ . Trong đó, k a là các điểm bất thường nằm trong nửa mặt phẳng trên. • Bước 2. Cân bằng phần thực và phần ảo, ta có 1 I và 2 I . VD 9. Tính các tích phân sau: 1 22 2 cos sin , 2 10 2 10 x x x x I dx I dx x x x x +∞ +∞ −∞ −∞ = = − + − +∫ ∫ . Tóm tắt và các ví dụ Phần Tích phân phức & Phép biến đổi Laplace Đại học ThS. Đoàn Vương Nguyên – ĐHCN Tp.HCM 10 Giải. Hàm 2 ( ) 2 10 z f z z z = − + thỏa bổ đề 2 và có 1 cực điểm đơn nằm trong nửa mặt phẳng trên là 1 3i+ . Ta có: 1 2 2 . [ ( ) , 1 3 ]izI iI i Res f z e iπ+ = + 3 1 3 2 (1 3 ) 2 2 3 iz i z i ze i e i e z π π − = +   = = +   −  3 3(cos1 3 1) (3 cos1 1) 3 3 e sin i e sin π π− −= − + + . Vậy 3 3 1 2 (cos1 3 1), (3 cos1 1) 3 3 I e sin I e sin π π− −= − = + . …………………………. Chương 5. Phép biến đổi Laplace §1. ĐỊNH NGHĨA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE 1.2. Định nghĩa phép biến đổi Laplace a) Định nghĩa • Hàm ảnh của hàm gốc ( )f t là hàm phức ( )F s biến số phức s iα β= + xác định bởi tích phân Laplace: 0 ( ) ( ) .stF s e f t dt +∞ −= ∫ • Phép biến đổi từ hàm gốc ( )f t sang hàm ảnh ( )F s xác định bởi công thức trên được gọi là phép biến đổi Laplace. Ký hiệu là ( ) { ( )}.F s L f t= 1.3. Biến đổi Laplace của một số hàm thông dụng a) Hàm bậc thang đơn vị u(t) 1 { ( )} (1) .L u t L s = = b) Hàm f(t) = eat, f(t) = e – at (a là hằng số phức) 1 1 ( ) , ( ) .at atL e L e s a s a −= = − + c) Hàm f(t) = tn 1 ! ( ) , .n n n L t n s + + = ∈ ℤ d) Hàm lượng giác f(t) = cosat, f(t) = sinat 2 2 2 2 (cos ) , (sin ) . s a L at L at s a s a = = + + ……………………………………… §2. TÍNH CHẤT CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE 2.1. Tính chất tuyến tính Nếu { ( )} ( )L f t F s= và { ( )} ( )L g t G s= thì { . ( ) . ( )} ( ) ( ).L a f t b g t aF s bG s+ = + Trong đó, a và b là các hằng số phức. Tóm tắt và các ví dụ Phần Tích phân phức & Phép biến đổi Laplace Đại học ThS. Đoàn Vương Nguyên – ĐHCN Tp.HCM 11 VD 1. 4 4(3 2 ) (3 ) ( 2 )L t t L t L t− = + − 43. ( ) 2. ( )L t L t= − 3 5 2 5 4! 2 72 2 3. s s s s − = − = . 2.2. Tính chất dời (dịch chuyển ảnh) (biến đổi của hàm ( )ate f t− ) Nếu { ( )} ( )L f t F s= , với a là hằng số phức, thì: { ( )} ( ).atL e f t F s a− = + VD 2. Do 1 ! ( ) ( )n n n L t F s s + = = nên 1 ! ( ) ( ) ( ) n at n n L t e F s a s a − + = + = + . VD 3. Tìm biến đổi Laplace của các hàm: a) 2( ) cos 3tg t e t−= ; b) 3( ) sin2tg t e t= . Giải a) Ta có: 2 (cos 3 ) ( ) 9 s L t F s s = = + . Vậy 2 2 2 ( cos 3 ) ( 2) ( 2) 9 t sL e t F s s − += + = + + . b) Ta có: 2 2 (sin2 ) ( ) 4 L t F s s = = + . Vậy 3 2 2