Tổng hợp các bài toán đại số ôn thi học sinh giỏi quốc gia

Tổng hợp các bài toán đại số ôn thi HSG Quốc Gia Người soạn : Vũ Minh Hoàng 11A-THPT Yên Mô A - Ninh Bình Bài 1. Cho trước số nguyên tố p và số nguyên dương a với 1 < a ≤ p-1. Giả sử A = a . Chứng minh rằng với mọi ước nguyên tố q của A ta đều có q-1 chia hết cho p. Bài 2. Tìm số tự nhiên n lớn nhất sao cho số 1995 bằng tổng của n số a, a, a..., a trong đó các số a (i=1,2,...,n) đều là hợp số. Bài 3. Cho a,b,c là ba số hữu tỉ thoả mãn: abc=1 và + + = + + Chứng minh rằng ít nhất một trong 3 số a,b,c là bình phương của 1 số hữu tỉ. Bài 4. Cho dãy số (b), (n=1,2,...) được xác định bởi: b=0; b=14; b=-18 và b = 7b - 6b với mọi n ≥ 3. Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố p ta đều có b chia hết cho p. Bài 5. Giải phương trình nghiệm nguyên 4y = 2 + Bài 6. Tìm tất cả các số tự nhiên a để phương trình x - ax+a+1=0 có nghiệm nguyên. Bài 7. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n (n ≥ 2) ta đều có C.C chia hết cho 4. Bài 8. Tìm các số tự nhiên m,n để A = 3 +4 là số nguyên tố. Bài 9. Tìm các nghiệm nguyên (x ; n) của phương trình x + = n. Vũ Minh Hoàng - 11A - THPT Yên Mô A - Ninh Bình Bài 10. Cho p là số nguyên tố. Chứng minh rằng với mọi số m nguyên không âm bất kì, tồn tại một đa thức Q có hệ số nguyên sao cho p là ước chung lớn nhất của tất cả các số a = (p+1) +Q với n=1,2,3,... Bài 11. Cho dãy số nguyên (a), (n=0,l,2,...) thoả mãn a + a = 2(a + a) với n=1,2,... Chứng tỏ rằng tồn tại số nguyên M không phụ thuộc vào n sao cho M+4a.a là số chính phương với mọi n Î N. Bài 12. Cho A có 1997 chữ số trong đó có 1996 chữ số 5 và một chữ số khác 5. Hỏi A có thể là số chính phương hay không? Bài 13. Cho dãy số (a), (n=1,2,...) được xác định bởi a = 1, a = 3, a = (n+2)a - (n+1)a " n ³ 2. Tìm tất cả các giá trị của n để a là số chính phương. Bài 14. Chứng minh rằng nếu một cấp số nhân có n số hạng (n ³ 3) là các số tự nhiên phân biệt và công bội cũng là một số tự nhiên thì tổng của tất cả n số hạng đó không thể là luỹ thừa của 5. Bài 15. Giải phương trình nghiệm nguyên xy - x - 8y = 2xy Bài 16. Xét dãy số hữu tỉ (a), (n=1,2,...) thoả mãn a = 3a - 2 " n ³ 1. Tìm tất cả các số hữu tỉ a để tồn tại các số m,n phân biệt thoả mãn a = a. Bài 17. Tìm các số nguyên tố x, y thoả mãn phương trình [] + [] + ... + [] = y Bài 18. Giả sử x và y là hai số nguyên dương sao cho x + y + 6 chia hết cho xy. Chứng minh rằng là lập phương của một số tự nhiên. Bài 19. Cho các số không âm x, y, z thoả mãn x+y+z=1, và n Î N. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = xy + yz + zx. Vũ Minh Hoàng - 11A - THPT Yên Mô A - Ninh Bình Bài 20. Chứng minh bất đẳng thức sau với a, b, c là các số dương + + ³ Bài 21. Chứng minh bất đẳng thức + + £ Bài 22. Giải hệ phương trình Bài 23. Chứng minh bất đẳng thức sau với n ³ 5: 1,71 < 1 + + +...+ < 1,72. Bài 24. Tìm tất cả các đa thức P với các hệ số thực và thoả mãn: P = 0, P = P + 1, với mọi x Î R Bài 25. Cho hàm số j : R ® R, đặt A = {x Î R, j = x}; A = {x Î R, j(j) = x} Giả sử A\A là một tập hợp hữu hạn và tồn tại hàm số f: R ® R thoả mãn f(f) = j " x Î R. Chứng minh rằng số phần tử của A\A là một số nguyên chia hết cho 4. Bài 26. Cho a, b, c, d, e, f là 6 số thực thoả mãn ab + bc + cd + de + ef = 1. Chứng minh rằng a + b + c + d + e + f ³ Bài 27. Hãy tìm các giá trị x, y, z, t để biểu thức A = (x-y) + (y-z) + (z-t) + (t-x) Đạt giá trị nhỏ nhất, trong đó 4 số x, y, z, t là các số 1930, 1945, 1975, 1995. Bài 28. Cho dãy (a), (n=0, 1, 2,...) được xác định như sau a = , a = a(4a - 10a +5) " n=0, 1, 2,... Tìm số hạng tổng quát a  Vũ Minh Hoàng - 11A - THPT Yên Mô A - Ninh Bình Bài 29. Tìm nghiệm dương của hệ phương trình   Bài 30. Giải phương trình 729x + 8 = 36 Bài 31. Giả sử a, b, c là ba số dương, n Î N, n ³ 2. Chứng minh rằng + + > . Bài 32. Tìm tất cả các hàm số f: R ® R thoả mãn f((x+1).f(y)) = y(f(x)+1) " x, y Î R. Bài 33. Tìm tất cả các giá trị của m để hệ phương trình có năm nghiệm. Bài 34. Xét song ánh f: N ® N, chứng minh rằng tồn tại vô số bộ (a, b, c) với a, b, c Î N thoả mãn điều kiện a < b < c và 2f(b) = f(a)+f(c). Bài 35. Cho đa thức f(x) = x + 4x - 2x - 12x + 1. Hãy tính tổng S = Ở đó n là số nghiệm và x là các nghiệm của đa thức f(x). Bài 36. Cho ba số thực a, b, c thoả mãn điều kiện a + b + c = 2. Chứng minh rằng: 1, |a+b+c-abc| £ 2 2, |a + b + c - 3abc| £ 2  Bài 37. Cho các số dương a, b, c và các số x, y, z thoả mãn điều kiện Chứng minh rằng a(x+b) + b(y+c) + c(z+a) < 1.  Vũ Minh Hoàng - 11A - THPT Yên Mô A - Ninh Bình Bài 38. Tìm hằng số dương C nhỏ nhất sao cho với n số dương bất kì a, a,..., a.  ta đều có + +...+ < C( + + ... + ). Bài 39. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức F= + + + Với a, b, c, d Î [0;1] Bài 40. Cho hai đa thức có hệ số thực P(x) và Q(x), trong đó P(x) là đa thức bậc ba tuỳ ý, Q(x) là tam thức bậc hai không có nghiệm thực. Chứng minh rằng nếu đồ thị hàm số y = có ba điểm uốn thì ba điểm uốn của nó nằm trên một đường thẳng. Bài 41. Cho 2n số a, a,..., a, b, b,..., b thoả mãn: 1, a £ a £ ... £ a 2, b ³ 0, (i = 1, 2,..., n). Đặt m={a - a; a}, M = {b}. Chứng minh rằng M(ab + ab + ... + ab) ³ (b + b + ... + b). Bài 42. Cho dãy số thực (x), (n = 1, 2, ...) được xác định như sau : x = 2; x = với mọi n ³ 1. Chứng minh rằng < x < 2 với mọi n ³ 1 Bài 43. Hãy xác định tất cả các bộ ba số thực (a, b, c) sao cho hàm số f(x) = ax + bx + cx + 1 có tính chất |f(x)| £ 1 với mọi x Î [-1; 1] Bài 44. Cho 0 £ a, b, c, d £ 1. Chứng minh rằng  + + + £ 1 + Vũ Minh Hoàng - 11A - THPT Yên Mô A - Ninh Bình Bài 45. Biết rằng đa thức f(x) = x + ax + ax + ... + ax + a có 2000 nghiệm thực khác nhau và a = 1995, a = 1997. Chứng minh rằng |a| > 1996. Bài 46. Cho số nguyên dương n. Chứng minh rằng : + + ... + < Bài 47. Cho ba số thực không âm x, y, z thoả mãn x + y + z = 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức F = x + y + z Bài 48. Cho x, x,..., x là n số thực thuộc đoạn [0; 1]. Chứng minh rằng x(1 - x) + x(1 - x) + ... + x(1 - x) + x(1 - x) £ Bài 49. Dãy số (a), (n = 1, 2,...) được xác định như sau a = 1, a = a + với mọi n ³ 1. Tìm tất cả các số thực a sao cho dãy số (u), (n = 1, 2,...) xác định bởi u = (n ³ 1) là hội tụ và giới hạn của nó khác 0. Bài 50. Cho các dãy (a) và (b), n Î N được xác định như sau a = 1 + + ... + . b = với mọi n Î N. Tìm b. Bài 51. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n cho trước thì phương trình x = x + 1 có đúng một nghiệm thực. Gọi nghiệm ấy là x, hãy tìm giới hạn của x khi n® +∞. Vũ Minh Hoàng - 11A - THPT Yên Mô A - Ninh Bình Bài 52. Cho phương trình x - x + 3x - 3x + 1 = 0. a, Chứng minh rằng phương trình trên có đúng một nghiệm thực. b, Đặt x = 1 và x = với mọi n Î N. Chứng minh rằng dãy số (x) có giới hạn khi n ® +∞ và khi đặt x = -lim x thì x là nghiệm thực nói trên. c, Dùng máy tính bỏ túi hãy tính gần đúng nghiệm thực nói trên đến hai chữ số thập phân. Bài 53. Giả sử S = , biết rằng = . Tính Bài 54. Cho dãy số (x), (n = 1, 2, ...) thoả mãn 1 < x < 2 và x = 1+ x - Với mọi n ³ 1. Chứng minh rằng dãy số (x) hội tụ và hãy tìm giới hạn của nó khi n ® +∞. Bài 55. Cho hàm số f(x) liên tục trên [0; 1], có đạo hàm trong (0; 1) và f(0) = f(1) = 0. Chứng minh rằng tồn tại một số c Î (0; 1) sao cho f(c) = 1996f '(x). Kết luận của bài toán có thay đổi không nếu cho f(0)=f(1)=m, với m là số thực khác 0 cho trước. Bài 56. Tìm tất cả các hàm số f: R® R thoả mãn điều kiện |f(x)-f(q)| £ 5(x-q) với mọi q Î Q, mọi x Î R. Bài 57. Cho m là số thực dương. Với mỗi n nguyên dương, dãy số thực (a), (i=0, 1,...,n) được xác định như sau a = 1, a = a với i=0, 1, ..., n-1. 1, Chứng minh rằng nếu m £ 1 thì a > với mọi n Î N. 2, Giả sử n > 1. Chứng minh rằng a, a < với mọi n Î N b, a = .  Vũ Minh Hoàng - 11A - THPT Yên Mô A - Ninh Bình Bài 58. Cho dãy (a), (n = 1, 2, ...) thoả mãn a = a; a = với mọi n Î N. Chứng minh rằng nếu |a| ³ 2 thì dãy (a) hội tụ và tính giới hạn của dãy khi n ® +∞. Bài 59. Cho dãy số (b), (n = 1, 2, ...) được xác định bởi:  b = , b = với mọi n ³ 1. Chứng minh rằng dãy (b) là dãy hội tụ và hãy tìm giới hạn của dãy khi n® +∞. Vũ Minh Hoàng - 11A - THPT Yên Mô A - Ninh Bình