Tổng quan về hình học không giao hoán

TỔNG QUAN VỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAO HOÁN Quangnx_ltd@yahoo.com 1. Đa tạp không giao hoán Đa tạp (hoặc đa tạp khả vi) n-chiều là các đa tạp trơn được mô tả bởi hệ tọa độ địa phương nxx ,...,1 . Nếu M là một đa tạp, thì hệ thống của tất cả các hàm khả vi vô tận tồn tại trên M sẽ được ký hiệu là )(MC . Các hàm này thỏa mãn phép cộng và nhân: )()())(( xgxfxgf  )()())(( xgxfxfg  )(MC là một đại số, và là một đại số giao hoán. Tồn tại các đối tượng hình học khác nhau trên M , chúng sẽ được định nghĩa theo dạng của đại số )(MC . Khái niệm đầu tiên là trường vectơ. Một trường vectơ là một hệ của các hàm )(xX k với nk ,...,1 và nxxx ,...,1 Trường vectơ có toán tử vi phân: n n x X x X     ...1 1 Đây là một toán tử tuyến tính từ )(MC vào chính nó – tạm ký hiệu là X . X thỏa mãn phép tính theo công thức Leibniz: )()()( gfXgfXfgX  Định lý: Các trường vectơ hay các toán tử vi phân tương ứng, là các phép lấy đạo hàm của )(MC . Tương tự cho các đối tượng hình học khác trên M, các form vi phân là các trường tensor..., đều có thể có định nghĩa thuần túy đại số từ )(MC . Ngoài ra, các cấu trúc khác có thể đặt lên đa tạp M như tensor metric Riemann với tensor cong, các connection, các đạo hàm hiệp biến, các bó vector..., cũng có thể định nghĩa và nghiên cứu trong văn cảnh đại số này. Đại số )(MC là đặc trưng cho đa tạp M, thể hiện bởi định lý sau đây: Định lý: Hai đa tạp M Và N là diffeomorphic (cùng đa tạp) nếu và chỉ nếu các đại số của những hàm )(MC ) và )(NC đẳng cấu (cùng đại số). Mọi thuộc tính hình học vi phân của đa tạp M được mã hóa trong đại số )(MC , điều này được minh họa bởi sơ đồ sau đây: Đa tạp M → Đại số )(MC → Các đối tượng hình học: trường vectơ, trường tensor, bó vectơ, metric Riemann, connection, đạo hàm hiệp biến, tensor độ cong, Sơ đồ biểu thị thực tế mà hình học vi phân của đa tạp M được dựa vào một đại số giao hoán, đại số )(MC của các hàm khả vi vô tận. Các thuật ngữ “giao hoán”, “hình học vi phân” và “đa tạp giao hoán” dẫn tới một gợi ý cho sự khái quát tự nhiên đối với “hình học vi phân không giao hoán” và “đa tạp không giao hoán”. Thay cho đại số giao hoán A = )(MC , là đại số không giao hoán Aˆ , có được theo một cách nào đó hay từ )(MC qua thủ tục biến dạng xác định. Đa tạp giao hoán M Đa tạp không giao hoán ? ↓ ↓ Đại số A = )(MC → Đại số không giao hoán Aˆ ↓ ↓ Các đối tượng hình học → Các đối tượng hình học trên M, từ A = )(MC có được từ Aˆ Nhiều định nghĩa hình học bình thường vẫn còn ý nghĩa trong văn cảnh đại số không giao hoán. Định nghĩa của trường vectơ như những phép lấy đạo hàm của Aˆ vẫn ổn. Định nghĩa các form vi phân với một đạo hàm exterior, với hầu hết các thuộc tính thông thường, cũng đúng cho các trường tensor. Các bó Vector và các đạo hàm hiệp biến cũng xuất hiện trong cách tiếp cận này theo dạng riêng.. Một câu hỏi: " Các đối tượng hình học có được từ Aˆ sẽ nằm trên không gian gì?" Thật hay nếu có thể trả lời: " trên một đa tạp không giao hoán ". Tuy nhiên, một không gian như vậy không tồn tại. Không có đa tạp nằm bên dưới. Nói một cách chính xác, Các đối tượng hình học có được từ Aˆ chỉ có ý nghĩa trong một thế giới thuần túy đại số. Những đa tạp không giao hoán không tồn tại. Nó chỉ là một khái niệm ảo nhưng nó có thể chỉ đạo trực giác đối với các công việc về cấu trúc đại số nào đó được sinh từ hình học vi phân bình thường 2. Định lý cơ bản Trong mục này ta sẽ bàn luận một định lý cổ điển trong giải tích hàm (đại số tuyến tính vô hạn chiều), là cái sẽ cung cấp cái nhìn cơ bản của một không gian không giao hoán. Thật ra, nó đã được chứng minh bởi Gelfand và Naimark từ những năm 1940 khi hình học không giao hoán còn chưa tồn tại. Để phát biểu định lý, ta nhắc đến hai khái niệm. 1/Không gian topo: Là một tập họp theo nghĩa là một hệ thống của các tập con mở, hôi tụ, giới hạn và liên tục. Một không gian topo có thể biến dạng, kéo căng, nhưng không bị xé rách. Bề mặt của một hình cầu và của một hình khối lập phương trong không gian ba chiều là cùng một không gian topo. Các không gian topo có thể compact, một thuộc tính luôn luôn làm đơn giản hóa nhiều vấn đề. Ở n-chiều, không gian Euclide là compact theo nghĩa đóng (chứa tất cả những điểm giới hạn) và có biên. Các hàm phức liên tục trên một không gian topo X tạo thành một đại số giao hoán, ký hiệu là C (X) 2/ C*- Đại số: Khi những nhà vật lý nói về một đại số họ thường hàm ý nói về đại số Lie. Ví dụ về các đại số cụ thể: đại số giao hoán của những hàm )(MC hay C (X), đại số không giao hoán của những ma trận vuông... Trong các phần tử đại số định chuẩn, “độ lớn”, hay norm, ký hiệu là a , có những tính chất như bất đẳng thức tam giác. Norm định nghĩa khái niệm về sự hội tụ của dãy những phần tử. Một đại số định chuẩn được gọi là đầy đủ khi mọi dãy Cauchy hội tụ, một đại số định chuẩn đầy đủ gọi là đại số Banach. Trong *- đại số, mỗi phần tử a có một phần tử liên hợp hermitic a*, với những thuộc tính hiển nhiên như (a*)*= a và (ab)*= b*a*. Cuối cùng, đại số Banach với 2aaa  , đối với mỗi phần tử a, được gọi là một C*- đại số. Định lý Gelfand- Naimark: 1) Đại số của những hàm liên tục C(X) của một không gian topo compact X là một đại số giao hoán C*- đại số, mà trong đó cực đại của hàm f là f , và liên hợp phức fˆ là liên hợp hermitic *f . 2) Cho một đại số giao hoán phức C*- đại số A, có thể xây dựng một không gian topo compact X duy nhất, như vậy đại số A có thể xác định với đại số C(X). Điều này có nghĩa là, có một phép tương ứng 1- 1 giữa các không gian topo compact và C*- đại số. Định lý ngụ ý mọi thông tin về một không gian topo compact được mã hóa trong đại số của các hàm. Không gian có thể tự phục hồi theo một cách nhất định từ đại số. Nghiên cứu C*- đại số giao hoán nhằm nghiên cứu không gian topo compact, và ngược lại. Từ quan điểm chung của hình học không giao hoán đã giải thích ở trên, nó gợi ý: Nghiên cứu C*- đại số không giao hoán nhằm nghiên cứu không gian topo compact không giao hoán. Có thể minh họa điều này bằng sơ đồ: Không gian topo compact X Không gian topo không giao hoán? ↓↑ ↓? C*-Đại số giao hoán A = C(X) → C*-Đại số không giao hoán Aˆ ↓(định lý GN) ↓ Các đối tượng topo → Các đối tượng theo cách tương tự trên X, từ A =C(X) có được từ Aˆ (K-lý thuyêt) (K-lý thuyết) Tương tự như trong trường hợp của những đa tạp, các không gian topo không giao hoán không tồn tại, nhưng chúng hướng dẫn trực giác nghiên cứu các C*-đại số không giao hoán tổng quát. Điều này xảy ra trong topo đại số đó là “K-lý thuyết”, là cái rất hữu hiệu khi khảo sát các vấn đề không giao hoán tổng quát. 3. Những cách tiếp cận khác Thuật ngữ hình học không giao hoán bây giờ nói chung liên quan đến công việc của Alain Connes. Tuy nhiên, trước khi bàn luận điều này, Ta tóm tắt lại các cách tiếp cận khác, hay những hiện thực của cùng ý tưởng cơ bản. Cơ học cổ điển có không gian pha. Cho một hệ thống N hạt không tương đối tính, đây đúng là không gian Euclide 6N-chiều, nhưng cho những bối cảnh khác, ví dụ, chuyển động những hạt trên một bề mặt, dưới những sự ràng buộc nhất định, nó có thể là một đa tạp vi phân không tầm thường. Đây là một kiểu đa tạp đặc biệt, symplectic. Những tọa độ đặc biệt, những tọa độ chính tắc jq và moment jp . Theo góc độ vật lý, năng lượng, momen góc, là những hàm của những tọa độ này. Vì thế ta có một đa tạp M, không gian pha, và đại số A = )(MC . Thuyết lượng tử tương ứng đang tồn tại bằng việc định nghĩa các toán tử trong không gian Hilbert H, những toán tử đầu tiên j j PQ ˆ,ˆ thỏa mãn hệ thức giao hoán Heisenberg, rồi đến biểu thức toán tử trong )ˆ,ˆ(ˆ),( pqfqpf  , có nghĩa là ta có thể thay đại số giao hoán cổ điển A = )(MC bằng một đại số không giao hoán của quan điểm lượng tử Aˆ , gồm có những toán tử trong không gian Hilbert H. Sơ đồ trước đây có thể vẽ lại: Không gian pha Không gian pha không giao hoán? (đa tạp symplectic M với các tọa độ jj qp , ) ↓ ↓? Đại số giao hoán A = )(MC → Đại số không giao hoán Aˆ (của các hàm ),( qpf trên M) (của các toán tử trong không gian Hilbert H ) ↓ ↓ Cơ học cổ điển → Cơ học lượng tử ( với sự tiến hóa theo thời gian ( với sự tiến hóa theo thời gian và những đối xứng) và những đối xứng) Chú ý rằng các quan niệm vật lý trong cơ học lượng tử được đại diện bởi các toán tử tự liên hợp hermitic. Chúng không tạo thành một đại số, tích của hai toán tử hermitic nói chung không hermitic, trừ khi chúng giao hoán. Do đó đại số Aˆ là đại số phức của các toán tử, trong đó có các toán tử hermitic nhúng vào. Tương tự đại số A = )(MC gồm mọi hàm phức khả vi vô tận trên đa tạp M, với các hàm thực là đại số con theo quan điểm vật lý, cũng nên lưu ý sự phân biệt giữa được các toán tử có biên và không có biên. Ý tưởng ban đầu của sự lượng tử hóa, xây dựng nên lý thuyết cơ học lượng tử từ một lý thuyết cổ điển đã cho, đơn giản là: Các biểu thức cổ điển ),( jj qpf dẫn ra các toán tử )ˆ,ˆ(ˆ jj QPf trong cơ học lượng tử. Ngoài ra các bracket Poisson { f,g} trở thành các giao hoán tử  gfi ˆ,ˆ . Tuy nhiên sự gán ghép này là không rõ ràng. Các toán tử jPˆ và kQˆ không phải đều giao hoán, vì thế sự gán một biểu thức toán tử tới một hàm của k j qp ˆ,ˆ , như một đa thức, là chưa ổn. Những sự lựa chọn khác nhau khả dĩ, dẫn đến những cách lượng tử hóa khác nhau của một lý thuyết cổ điển đã cho. Lưu ý quan hệ giữa bracket Poisson cổ điển và giao hoán tử lượng tử phức tạp hơn so với sự quan hệ 1-1 đơn giản được đề cập ở trên, vốn chỉ là dạng bậc thấp nhất trong một chuỗi lũy thừa theo  bằng cách đối xứng hóa (lượng tử hóa Weyl), hay lượng tử hóa Moyal. Hai sự lượng tử hóa này chỉ có ý nghĩa cho những không gian pha tuyến tính đơn giản. Từ khởi đầu của lý thuyết lượng tử, người ta đã tìm kiếm một thủ tục lượng tử hóa dễ hiểu và sự phân loại của các thủ tục khác nhau này. Từ trước 1970, Flator, Sternheimer và Lichnerowicz phát triển một hướng tiếp cận được gọi là sự lượng tử hóa biến dạng. Họ bắt đầu từ một không gian pha, một đa tạp symplectic tổng quát (hay đa tạp Poisson), cùng với đại số giao hoán của quan điểm cổ điển )(MC và cố gắng xây dựng một đại số không giao hoán của quan điểm lượng tử, bằng việc định nghĩa )(MC như một không gian vectơ với một định nghĩa tích không giao hoán mới gọi là tích sao, ký hiệu *. Cấu trúc này sử dụng chuỗi lũy thừa theo . Tích * được định nghĩa như một chuỗi lũy thừa, với bậc 0 cho dạng tích giao hoán cổ điển và dạng bậc 1 chứa bracket Poisson cổ điển. Họ đã chứng minh rằng các tích sao tồn tại trong một số trường hợp khác nhau và đã đưa ra những cấu trúc tường minh, cũng như sự phân loại theo ngôn ngữ của lý thuyết đối đồng điều. Kết quả là một đại số Aˆ tương tự như A = )(MC là một không gian vector, nhưng khác với một đại số. Đại số Aˆ lượng tự còn phải đại diện cho một đại số toán tử trong không gian Hilbert H nào đó. Vài năm gần đây, đã có sự phát triển mạnh về sự lượng tử hóa biến dạng như một lý thuyết thuần túy toán học. Đó là cách tiếp cận tới hình học không giao hoán bởi John Madore và Giovanni Landi, người mà cả hai có đã viết sách về hình học không giao hoán theo cách tổng quát và đặc biệt là trong các công trình nghiên cứu của họ. Julius Wess, một trong những nhà phát minh của sự đối xứng và siêu hấp dẫn, đã phát triển một cách tiếp cận trong đó những tọa độ nào x của spacetime bị biến dạng, với 0],[  xx được thay bằng  ixx ]ˆ,ˆ[ . Cuối cùng, để hiện thực hóa ý tưởng của hình học không giao hoán, cần phải đề cập đến những siêu đa tạp, siêu đối xứng và siêu hấp dẫn. Đại số Aˆ của những hàm trên một siêu đa tạp là một đại số siêu giao hoán hay siêu đại số, chỉ khác với một đại số giao hoán bởi sự xuất hiện của dấu trừ. Liệu có phải trong trường hợp này, đa tạp nằm bên dưới tồn tại như là một tập của những điểm, tương tự trong hình học giao hoán. 4. Phiên bản Connes về hình học không giao hoán. Lý thuyết toán tử trong không gian Hilbert được phát triển vào cuối những năm 1920 và đầu những năm 1930 bởi John volt Neumann, nhằm nghiên cứu toán học cơ sở của cơ học lượng tử. Connes phát triển một sự trình bày rõ ràng về hình học vi phân theo thuật ngữ của đại số giao hoán, và từ đó tổng quát hóa thành không giao hoán. Hai giới thiệu đáng quan tâm: 1. Hình học đối với hình học metric Connes, là sự nghiên cứu về những đa tạp với cấu trúc Riemann được đưa ra bởi một tenxơ metric g . 2. Lorentz đã cho rằng:" Có thể nghe thấy hình dạng của một cái trống?". Về điều này, ông ta đã giải thích những thuộc tính quan trọng về hình dạng của một bề mặt hai chiều bị chặn có thể bắt nguồn từ tính chất tiệm cận của những trị riêng rời rạc của toán tử Laplace, giả định là trong những điều kiện biên nhất định. Theo một nghĩa nào đó, Connes đã chấp nhận ý tưởng này, tìm thấy một sự tương tự thú vị và mang nó đi xa hơn nữa. Ông ta xem xét những đa tạp của kích thước tùy ý, với cấu trúc Riemannian, đưa ra toán tử vi phân bậc 1, toán tử Dirac. Ông ta chứng minh rằng đa tạp đó, bao gồm tensor metric có thể hoàn toàn tái tạo từ những trị riêng rời rạc của toán tử này, lưu ý rằng đa tạp đó phải compact. Ông ta mã hóa những thuộc tính của phổ trong một đối tượng toán học, gọi là spectral triple, là cái chứa dữ liệu đại số và mô tả đa tạp Riemann một cách đầy đủ. Điều này có nghĩa là một sự trình bày rõ ràng của hình học Riman bình thường như một hình học Riemann giao hoán. Các spectral triple Giao hoán Xét một đa tạp n-chiều compact với metric Riemann M, bởi tensor metric g, hay g trong hệ tọa độ địa phương. Dưới điều kiện bổ sung là một cấu trúc spin. Điều này có nghĩa là, tồn tại một không gian của các trường spinor ψ(x) trên M ( là các phần của một bó spinor), trên đó toán tử Dirac tác động, trong hệ tọa độ địa phương toán tử vi phân D =  xi  với  là các ma trận- Dirac thỏa điều kiện   g2 . Lưu ý rằng, trong trường hợp tổng quát, cả  và g đều phụ thuộc x = nxx ,...,1 . Tồn tại tích vô hướng tự nhiên trong các trường spinor, cái đã làm cho không gian của trường này trở thành một không gian Hilbert H, trong đó D là các toán tử tự liên hợp hermitic. Trường spinor trong H có thể nhân bởi các hàm trên M. Theo cách này )(MC được đại diện cho đại số A của toán tử trong H. Connes gọi hệ thống gồm H , đại số A = )(MC và toán tử Dirac D, là spectral triple (H ,A,D) liên hệ với đa tạp Riemann (M.g). Ông ta trình bày một số thuộc tính đại số của hệ thống này, đặc trưng những đặc tính khác nhau của đa tạp và metric. Sau đó, Ông ta chứng minh một định lý, được gọi định lý Gelfand- Naimark cho đa tạp Riemann compact và các spectral triple Định lý: 1. Đối với mỗi đa tạp Riemann compact ( M, g) tồn tại một mối liên hệ đến spectral triple (H,A,D) được xác định ở trên. 2. Đối với mỗi spectral triple (H ,A,D) , với không gian Hilbert H , đại số giao hoán của các toán tử trong H , toán tử tuyến tính D trong H (thỏa mãn 7 thuộc tính) tồn tại một đa tạp có tính compact duy nhất ( M, g) sao cho (H ,A,D) là spectral triple liên quan đến ( M, g). Hơn nữa, cả đa tạp M và tensor metric g có thể được xây dựng từ (H ,A,D). Khái niệm spectral triple, là một khái niệm đại số trừu tượng, có thể khái quát hóa thành một phiên bản trong đó tồn tại một đại số không giao hoán Aˆ Các spectral triple không giao hoán Định nghĩa: Một spectral triple không giao hoán là một hệ thống (H ,A,D) gồm có các đối tượng:  Không gian Hilbert H.  Đại số không giao hoán Aˆ của các toán tử trong H .  Toán tử tự liên hợp hermitic D trong H . thỏa mãn một danh sách của 7 tiên đề, những thuộc tính được đề cập trước đó. Một hệ thống như vậy, theo Connes, là một hình học không giao hoán. Ý tưởng trực giác đằng sau quan điểm này có thể được minh họa bởi một sơ đồ: Đa tạp Riemann (M,g) Đa tạp Riemann không giao hoán? ↓↑(Định lý GN) ↓? Spectral triple (H, A, D) → Spectral triple (H, Aˆ , D) (đại số giao hoán A) (đại số không giao hoán Aˆ ) Connes, kết hợp với Giovanni Landi, Michel Dubois- Violetteđã xây dựng vài ví dụ về hình học không giao hoán theo sơ đồ này cho những đa tạp cầu, các biến dạng không giao hoán của 3S và 4S , những hình cầu trong không gian 3 và 4 kích thước. 5. Về các ứng dụng vật lý Những sự nỗ lực chính trong ứng dụng vật lý của hình học không giao hoán có được trong thuyết lượng tử tương đối tính và vật lý hạt. Ý tưởng đằng sau đó là hình học không giao hoán có thể cho những hiểu biết tốt hơn về không-thời gian tại thang vi mô. Vấn đề nghiêm túc nhất của lý thuyết trường lượng tử, tính chất kỳ dị và sự phân kỳ, biểu lộ tại những khoảng cách cực ngắn. Điều này gợi ý rằng tồn tại điều gì đó rất khác một cách cơ bản so với bức tranh về không-thời gian của chúng ta, vốn là một đa tạp Riemann 4-kích thước. Cùng với John Lott, Connes đã khéo léo phát triển một hình thức luận về Mô hình Tiêu chuẩn của vật lý hạt sơ cấp trong khuôn khổ của hình học không giao hoán, sau đó được phát triển xa hơn nữa bởi Thomas Schaucker, Daniel Kastler Cách làm này cũng phù hợp đối với hình thức luận đại số cho lý thuyết trường lượng tử nhiễu loạn được phát triển bởi Connes và Dirk Kreimer. Vào 1997 Connes, Albert Schwarz và Micheal Douglas đã nêu ra sự quan hệ giữa hình học không giao hoán và lý thuyết M. Công trình này đã dẫn hình học không giao hoán thâm nhập vào thế giới dây . Phiên bản Connes về hình học không giao hoán cũng được áp dụng trên chủ đề rất khác, đó là hiệu ứng Hall lượng tử bởi Jurg Frohlich và Jean Bellissard. Đối với các ứng dụng trong Lý thuyết trường tương đối tính và Vật lý hạt sơ cấp, cho đến bây giờ Hình học không giao hoán Connes tồn tại hai hạn chế: 1. Nó chỉ có ý nghĩa cho những không gian compact. 2. Connes chỉ xem xét hình học vi phân Euclide Riemann, tức là với tensor metric dương. Điều này phản ánh sự quan tâm đến tính tổng quát. Trong đa số các sách nghiên cứu về toán, có rất ít sự quan tâm đến cái gọi là đa tạp giả Riemann. Tất nhiên, compact luôn luôn dễ hơn là không compact và Riemann dễ hơn so với giả Riemann. Tuy nhiên với vật lý, đặc biệt là vật lý tương đối tính, yêu cầu những đa tạp không compact với tensor metric không xác định. Tồn tại những đa tạp compact với metric bất định. Vòng xuyến 2- kích thước, tất nhiên là compact, có thể dễ dàng có được bởi metric Minkôpxki. Tuy nhiên không có khái niệm chấp nhận được về tính nhân quả, thời gian đi trong những vòng tròn. Điều này xảy ra cho mọi đa tạp giả Riemann compact. Cho đến bây giờ nói chung, vấn đề này đang bị bỏ ngỏ. Một đa tạp Riemann (hay giả Riemann) ( M, g) là một khái niệm kết hợp: Tồn tại đa tạp khả vi M nằm bên dưới, và thêm vào có cấu trúc Riemann (hay giả Riemann) cho bởi tensor metric g. Để hiểu sự không compact, tính chất hàng đầu của đa tạp, và sự khác nhau giữa Riemann và giả Riemann, là thuộc tính của cấu trúc metric đặt lên trên đa tạp, phải có một sự phân biệt giữa đa tạp và những tính chất metric. Sự mô tả của Connes (M, g) là một hộp đen, trong đó sẽ rất khó để nhìn thấy cái nào trong bảy thuộc tính phải làm với đa tạp như vậy và cái nào liên hệ đến metric. Do đó chương trình hiệu chỉnh có thể mô tả như sau:  Xét lại spectral triple của Connes.  Nghiên cứu topo và sau đó là những đa tạp khả vi. Chứng minh định lý Gelfand Naimark cho những đa tạp (có thể không compact). Có thể một định lý như vậy không tồn tại, cũng có thể người ta chưa làm được vì quá khó khăn, vì vậy trong topo học của tập hợp điểm tiêu chuẩn và giải tích hàm có thể phải được làm lại.  Tìm một cái thay thế cho toán tử Dirac. Đây là công việc thật sự khó khăn, cần có những ý tưởng mới. Xuất phát từ Connes, ý tưởng rất trực giác một Riemann không giao hoán là đa tạp cần phải có yếu tố độ dài ds được