Tự động hóa - Chương 2: Mô tả toán học hệ thống điều khiển tự động

CHƯƠNG 2. MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG 2.1 Khái niệm chung 2.2 Phương trình vi phân mô tả hệ thống 2.3 Mô tả hệ thống dưới dạng hàm truyền đạt 2.4 Mô hình trạng thái 2.2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN MÔ TẢ HỆ THỐNG Một khâu hay hệ thống được biểu diễn bằng phương trình vi phân sau: 2.2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN MÔ TẢ HỆ THỐNG Ví dụ: Xét mạch điện như hình vẽ Theo định luật Kirchoff ta có các mối quan hệ: uR(t) + uL(t) + uC(t) = u(t) (1) Theo linh kiện: uR(t) = R.iR(t) (2); uL(t) = L.[diL(t)/dt] (3); iRL(t) = iC(t) (4) Thay (2), (3) và (4) vào (1) và biến đổi ta được: 2.3 MÔ TẢ HỆ THỐNG DƯỚI DẠNG HÀM TRUYỀN ĐẠT 2.3.1 Định nghĩa 2.3.2 Phương pháp tìm hàm truyền đạt 2.3.3 Một số ví dụ về cách tìm hàm truyền đạt 2.3.4 Hàm truyền đạt của một số thiết bị điển hình 2.3.5 Đại số sơ đồ khối 2.3.6 Công thức Mason 2.3 MÔ TẢ HỆ THỐNG DƯỚI DẠNG HÀM TRUYỀN ĐẠT 2.3.1 Định nghĩa Hàm truyền đạt của một khâu (hay hệ thống) là tỉ số giữa tín hiệu ra với tín hiệu vào biểu diễn theo toán tử Laplace, với các điều kiện ban đầu bị triệt tiêu. - Ký hiệu là W(s) hoặc W(p). - Trong đó: W(s) = Y(s)/ U(s) 2.3 MÔ TẢ HỆ THỐNG DƯỚI DẠNG HÀM TRUYỀN ĐẠT 2.3.2 Phương pháp tìm hàm truyền đạt - Phương trình vi phân tổng quát của một khâu (hệ thống) có dạng: - Biến đổi Laplace với các điều kiện ban đầu bằng 0 và theo định nghĩa, ta có dạng tổng quát của hàm truyền đạt: Với N(p) là đa thức đặc tính. 2.3 MÔ TẢ HỆ THỐNG DƯỚI DẠNG HÀM TRUYỀN ĐẠT 2.3.2 Phương pháp tìm hàm truyền đạt Chú ý: hàm truyền đạt không phụ thuộc vào tín hiệu ra và tín hiệu vào mà chỉ phụ thuộc vào cấu trúc và thông số của hệ thống. Do đó có thể dùng hàm truyền để mô tả hệ thống. Các bước tìm hàm truyền đạt: Bước 1: Thành lập phương trình vi phân mô tả mối quan hệ vào – ra của các phần tử. 2.3 MÔ TẢ HỆ THỐNG DƯỚI DẠNG HÀM TRUYỀN ĐẠT Bước 2: Biến đổi Laplace hai vế phương trình vi phân vừa thành lập ở bước 1, ta được hàm truyền cần tìm. Ý nghĩa của hàm truyền đạt: - Quan sát hàm truyền đạt, nhận biết cấu trúc hệ thống. - Xác định tín hiệu ra theo thời gian (biến đổi laplace ngược). - Xác định các giá trị đầu, giá trị xác lập của hệ thống. - Xác định được hệ số khuếch đại tĩnh của hệ thống. 2.3 MÔ TẢ HỆ THỐNG DƯỚI DẠNG HÀM TRUYỀN ĐẠT 2.3.3 Một số ví dụ về cách tìm hàm truyền đạt Ví dụ 1. Khuếch đại lực bằng cánh tay đòn - Xét phương trình cân bằng về mômen: F1(t)*a = F2(t)*b - Chuyển sang hàm Laplace: F1(p)*a = F2(p)*b - Theo định nghĩa hàm truyền đạt: 2.3 MÔ TẢ HỆ THỐNG DƯỚI DẠNG HÀM TRUYỀN ĐẠT 2.3.3 Một số ví dụ về cách tìm hàm truyền đạt Ví dụ 2. Tìm hàm truyền đạt của mạch điện tử dùng KĐTT, giả thiết KĐTT là lý tưởng. 2.3 MÔ TẢ HỆ THỐNG DƯỚI DẠNG HÀM TRUYỀN ĐẠT 2.3.3 Một số ví dụ về cách tìm hàm truyền đạt Ví dụ 3. Tìm hàm truyền đạt của mạch điện sau, giả thiết điều kiện đầu: IL(0 -) = 0; UC(0 -) = 0. 2.3 MÔ TẢ HỆ THỐNG DƯỚI DẠNG HÀM TRUYỀN ĐẠT 2.3.4 Hàm truyền đạt của một số thiết bị điển hình - Các thiết bị đo lường và biến đổi tín hiệu: - Động cơ điện một chiều: - Động cơ không đồng bộ ba pha: - Lò nhiệt: - Băng tải: - Cảm biến: W(p) = Ktt 2.3 MÔ TẢ HỆ THỐNG DƯỚI DẠNG HÀM TRUYỀN ĐẠT 2.3.5 Đại số sơ đồ khối - Sơ đồ khối của một hệ thống là hình vẽ mô tả chức năng của các phần tử và sự tác động qua lại giữa các phần tử trong hệ thống. 2.3 MÔ TẢ HỆ THỐNG DƯỚI DẠNG HÀM TRUYỀN ĐẠT 2.3.5 Đại số sơ đồ khối a, Mắc nối tiếp các khối: Có n khối nối tiếp nhau tương ứng với hàm truyền đạt W1, W2, . . ., Wn thì hàm truyền đạt tương đương sẽ bằng tích của n hàm truyền đạt thành phần. 2.3 MÔ TẢ HỆ THỐNG DƯỚI DẠNG HÀM TRUYỀN ĐẠT 2.3.5 Đại số sơ đồ khối b, Mắc song song các khối: Có n khối mắc song song với nhau có hàm truyền đạt lần lượt W1, W2, . . ., Wn thì hàm truyền đạt tương đương sẽ bằng tổng của n hàm truyền đạt thành phần. 2.3 MÔ TẢ HỆ THỐNG DƯỚI DẠNG HÀM TRUYỀN ĐẠT 2.3.5 Đại số sơ đồ khối c, Mắc phản hồi - Xét với hệ thống có phản hồi âm (có dấu trừ). - Xét với hệ thống có phản hồi dương (có dấu cộng). 2.3 MÔ TẢ HỆ THỐNG DƯỚI DẠNG HÀM TRUYỀN ĐẠT 2.3.5 Đại số sơ đồ khối d, Chuyển tín hiệu vào từ trước ra sau một khối Điều kiện biến đổi cấu trúc là tín hiệu truyền đạt không biến đổi (U1(p), U2(p) và Y(p) không đổi). 2.3 MÔ TẢ HỆ THỐNG DƯỚI DẠNG HÀM TRUYỀN ĐẠT 2.3.5 Đại số sơ đồ khối e, Chuyển tín hiệu vào từ sau ra trước một khâu Điều kiện biến đổi cấu trúc là tín hiệu truyền đạt không biến đổi (U1(p), U2(p) và Y(p) không đổi). 2.3 MÔ TẢ HỆ THỐNG DƯỚI DẠNG HÀM TRUYỀN ĐẠT 2.3.5 Đại số sơ đồ khối f, Chuyển tín hiệu ra từ sau ra trước một khối Điều kiện biến đổi cấu trúc là tín hiệu truyền đạt không biến đổi (U(p) và Y(p) không đổi). 2.3 MÔ TẢ HỆ THỐNG DƯỚI DẠNG HÀM TRUYỀN ĐẠT 2.3.5 Đại số sơ đồ khối g, Chuyển tín hiệu ra từ trước ra sau một khối Điều kiện biến đổi cấu trúc là tín hiệu truyền đạt không biến đổi (U(p) và Y(p) không đổi). 2.3 MÔ TẢ HỆ THỐNG DƯỚI DẠNG HÀM TRUYỀN ĐẠT 2.3.5 Đại số sơ đồ khối h, Hoán vị hai tín hiệu vào (hoặc hai tín hiệu ra). Thì sơ đồ không hề thay đổi. 2.3 MÔ TẢ HỆ THỐNG DƯỚI DẠNG HÀM TRUYỀN ĐẠT 2.3.5 Đại số sơ đồ khối k, Tách 1 bộ tổng thành hai bộ tổng 2.3 MÔ TẢ HỆ THỐNG DƯỚI DẠNG HÀM TRUYỀN ĐẠT 2.3.5 Đại số sơ đồ khối Chú ý: 1. Không được chuyển vị trí điểm rẽ nhánh và bộ tổng 2.3 MÔ TẢ HỆ THỐNG DƯỚI DẠNG HÀM TRUYỀN ĐẠT 2.3.5 Đại số sơ đồ khối Chú ý: 2. Không được chuyển vị trí 2 bộ tổng khi ở giữa 2 bộ tổng có điểm rẽ nhãnh. 2.3 MÔ TẢ HỆ THỐNG DƯỚI DẠNG HÀM TRUYỀN ĐẠT 2.3.5 Đại số sơ đồ khối Ví dụ 1. Xác định hàm truyền đạt của hệ thống có cấu trúc sau 2.3 MÔ TẢ HỆ THỐNG DƯỚI DẠNG HÀM TRUYỀN ĐẠT 2.3.5 Đại số sơ đồ khối - Muốn đơn giản sơ đồ cấu trúc ta phải dịch chuyển tín hiệu ra giữa hai khối W3 – W4 ra trước khối W3. 2.3 MÔ TẢ HỆ THỐNG DƯỚI DẠNG HÀM TRUYỀN ĐẠT 2.3.5 Đại số sơ đồ khối - Hai tín hiệu ra từ A và B có thể hoán vị cho nhau, khi đó mạch vòng W2 – W3 – W6 có thể tính được Wt1 (phản hồi dương) do đó sơ đồ cấu trúc mới tương đương với: 2.3 MÔ TẢ HỆ THỐNG DƯỚI DẠNG HÀM TRUYỀN ĐẠT 2.3.5 Đại số sơ đồ khối - Từ sơ đồ cấu trúc tương đương mới ta tính được khối tương đương của mạch vòng W1 – Wt1 – W5 (phản hồi âm) có hàm truyền đạt tương đương Wt2. Do đó cấu trúc mới tương đương với: 2.3 MÔ TẢ HỆ THỐNG DƯỚI DẠNG HÀM TRUYỀN ĐẠT 2.3.5 Đại số sơ đồ khối - Cuối cùng ta có thể tính được hàm truyền đạt tương đương của cả hệ thống là: - Trong đó: + + 2.3 MÔ TẢ HỆ THỐNG DƯỚI DẠNG HÀM TRUYỀN ĐẠT 2.3.5 Đại số sơ đồ khối Ví dụ 2. Xác định hàm truyền đạt của hệ thống có cấu trúc sau 2.3 MÔ TẢ HỆ THỐNG DƯỚI DẠNG HÀM TRUYỀN ĐẠT Sơ đồ dòng tín hiệu - Sơ đồ dòng tín hiệu là một mạng gồn các nút và nhánh. - Nút: là một điểm biểu diễn một biến hay tín hiệu trong hệ thống. - Nhánh: là đường nối trực tiếp 2 nút, trên mỗi nhánh có ghi mũi tên chỉ chiều truyền của tín hiệu và có ghi hàm truyền cho biết mối quan hệ giữa tín hiệu ở 2 nút. 2.3 MÔ TẢ HỆ THỐNG DƯỚI DẠNG HÀM TRUYỀN ĐẠT - Độ lợi của một vòng kín là tích của các hàm truyền của các nhánh trên vòng kín đó. - Công thức Mason: Hàm truyền tương đương từ một nút nguồn đến nút một nút đích của hệ thống tự động được biểu diễn bằng sơ đồ dòng tín hiệu được cho bởi: 2.3 MÔ TẢ HỆ THỐNG DƯỚI DẠNG HÀM TRUYỀN ĐẠT - Pk: là độ lợi của đường tiến thứ k đi từ nút nguồn đến nút đích đang xét. - ∆: là định thức của graph tín hiệu. ∆ được tính bằng công thức sau: + là tổng các độ lợi vòng của các vòng kín có trong graph tín hiệu. + là tổng các tích độ lợi vòng của 2 vòng không dính nhau. + là tổng các tích độ lợi vòng của 3 vòng không dính nhau. 2.3 MÔ TẢ HỆ THỐNG DƯỚI DẠNG HÀM TRUYỀN ĐẠT - ∆k: là định thức con của graph tín hiệu. ∆k được suy ra từ ∆ bằng cách bỏ đi các vòng kín có dính tới đường tiến Pk. - Ví dụ: Xác định hàm truyền đạt của hệ thống có sơ đồ khối 2.3 MÔ TẢ HỆ THỐNG DƯỚI DẠNG HÀM TRUYỀN ĐẠT - Sơ đồ dòng tín hiệu - Đường tiến: P1 = G1.G2.G3; P2 = G1.H1.G3 - Vòng kín: L1 = -G2.H2; L2 = -G2.G3.H3; L3 = -G1.G2.G3. L4 = -G3.H1.H3; L5 = -G1.G3.H1 2.3 MÔ TẢ HỆ THỐNG DƯỚI DẠNG HÀM TRUYỀN ĐẠT - Định thức của sơ đồ dòng tín hiệu: ∆ = 1 – (L1 + L2 + L3 + L4 + L5) - Các định thức con: ∆1 = ∆2 = 1 - Hàm truyền đạt tương đương của hệ thống 2.4 MÔ HÌNH TRẠNG THÁI 2.4.1 Mô hình trạng thái dạng tổng quát 2.4.2 Xây dựng mô hình trạng thái từ phương trình vi phân 2.4.3 Xây dựng mô hình trạng thái từ hàm truyền đạt 2.4.4 Chuyển đổi từ mô hình trạng thái sang hàm truyền đạt 2.4 MÔ HÌNH TRẠNG THÁI 2.4.1 Mô hình trạng thái dạng tổng quát Dạng tổng quát của mô hình trạng thái - Xét một hệ thống có m tín hiệu vào và r tín hiệu ra. - Hệ thống có: + m tín hiệu vào u1(t), u2(t) . . . um(t). Viết 2.4 MÔ HÌNH TRẠNG THÁI 2.4.1 Mô hình trạng thái dạng tổng quát + r tín hiệu ra y1(t), y2(t), , yr(t). Viết + n biến trạng thái x1(t), x2(t), , xn(t). Viết 2.4 MÔ HÌNH TRẠNG THÁI 2.4.1 Mô hình trạng thái dạng tổng quát Mô hình trạng thái dạng tổng quát đối với hệ thống tuyến tính liên tục: Trong đó: - Ma trận A (n*n) là ma trận hệ thống; - Ma trận B (n*r) là ma trận đầu vào; - Ma trận C (s*n) là ma trận đầu ra; - Ma trận D (s*r) là ma trận truyền thẳng; 2.4 MÔ HÌNH TRẠNG THÁI Sơ đồ cấu trúc trạng thái của hệ thống Nhận xét: + Mô hình trạng thái mô tả toán học của hệ thống về mặt thời gian dưới dạng các phương trình vi phân bậc nhất. + Tùy theo cách đặt biến mà một hệ thống có thể được mô tả bằng nhiều mô hình trạng thái khác nhau. 2.4 MÔ HÌNH TRẠNG THÁI 2.4.1 Mô hình trạng thái dạng tổng quát Ví dụ thành lập phương trình trạng thái Ví dụ 1. Thành lập PTTT của một hệ thống có phương trình vi phân như sau: Giải - Hệ có một tín hiệu vào và một tín hiệu ra. - Đặt - Từ phương trình trên ta có: 2.4 MÔ HÌNH TRẠNG THÁI 2.4.1 Mô hình trạng thái dạng tổng quát Ví dụ 1. - Như vậy: và - Đặt A, B, C và D là các ma trân tương ứng: 2.4 MÔ HÌNH TRẠNG THÁI 2.4.1 Mô hình trạng thái dạng tổng quát c, Ví dụ thành lập phương trình trạng thái Ví dụ 2. Thành lập phương trình trạng thái cho mạch điện với u1 là tín hiệu vào, u0 là tín hiệu ra. Các điều kiện đầu bằng 0. 2.4 MÔ HÌNH TRẠNG THÁI 2.4.1 Mô hình trạng thái dạng tổng quát c, Ví dụ 2. Giải - Giả sử mạch hở tải, gọi dòng điện chạy trong mạch là i. Theo định luật K2 ta có: - Đặt các biến trạng thái là x1 = i, x2 = u0 2.4 MÔ HÌNH TRẠNG THÁI 2.4.1 Mô hình trạng thái dạng tổng quát c, Ví dụ 2. Giải Ta có: Vậy: 2.4 MÔ HÌNH TRẠNG THÁI 2.4.1 Mô hình trạng thái dạng tổng quát c, Ví dụ 3. Tìm phương trình trạng thái của mạch điện sau, cho biết các điều kiện đầu bằng 0. 2.4 MÔ HÌNH TRẠNG THÁI 2.4.2 Xây dựng phương trình trạng thái từ phương trình vi phân - Xét hệ thống tuyến tính có một tín hiệu vào u(t) và một tín hiệu ra y(t). Giả sử hệ thống được mô tả bởi phương trình vi phân giữa tín hiệu vào và ra như sau: - Đặt biến trạng thái theo qui tắc: + Biến đầu tiên đặt bằng tín hiệu ra: x1(t) = c(t) + Biến thứ i (i=2..n) đặt bằng đạo hàm của biến thứ i-1: 2.4 MÔ HÌNH TRẠNG THÁI 2.4.2 Xây dựng phương trình trạng thái từ phương trình vi phân - Phương trình trạng thái: - Trong đó 2.4 MÔ HÌNH TRẠNG THÁI 2.4.3 Xây dựng phương trình trạng thái từ hàm truyền đạt a, Khai triển thành các thừa số đơn giản: - Nếu hàm truyền đạt được biểu diễn dưới dạng tích các thừa số như sau: 2.4 MÔ HÌNH TRẠNG THÁI 2.4.3 Xây dựng phương trình trạng thái từ hàm truyền đạt a, Khai triển thành các thừa số đơn giản: - Đặt các biến trung gian như hình vẽ, ta có: - Suy ra phương trình trạng thái là: 2.4 MÔ HÌNH TRẠNG THÁI 2.4.3 Xây dựng phương trình trạng thái từ hàm truyền đạt a, Khai triển thành các thừa số đơn giản: - Ví dụ: Thành lập PTTT của hệ thống được mô tả có cấu trúc như sau: 2.4 MÔ HÌNH TRẠNG THÁI 2.4.3 Xây dựng phương trình trạng thái từ hàm truyền đạt Giải: Đặt biến trạng thái trên sơ đồ như sau: 2.4 MÔ HÌNH TRẠNG THÁI 2.4.3 Xây dựng phương trình trạng thái từ hàm truyền đạt Giải: Theo sơ đồ khối ta có: 2.4 MÔ HÌNH TRẠNG THÁI 2.4.3 Xây dựng phương trình trạng thái từ hàm truyền đạt Giải: - Từ đó ta có PTTT của hệ thống như sau: - Đáp ứng của hệ thống: C = [1 0 0] X 2.4 MÔ HÌNH TRẠNG THÁI 2.4.3 Xây dựng PTTT từ hàm truyền đạt b, Khai triển thành tổng các phân thức đơn giản - Nếu hàm truyền được khai triển dưới dạng: - Sơ đồ cấu trúc như sau: 2.4 MÔ HÌNH TRẠNG THÁI 2.4.3 Xây dựng phương trình trạng thái từ hàm truyền đạt b, Khai triển thành tổng các phân thức đơn giản - Như vậy: Hay 2.4 PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI 2.4.3 Xây dựng phương trình trạng thái từ hàm truyền đạt b, Khai triển thành tổng các phân thức đơn giản Ví dụ: Cho hệ thống mô tả bởi hàm truyền đạt: Yêu cầu: Xây dựng phương trình trạng thái và vẽ mô hình cấu trúc mô tả hệ thống từ hàm truyền đạt trên. 2.4 MÔ HÌNH TRẠNG THÁI 2.4.3 Xây dựng phương trình trạng thái từ hàm truyền đạt Giải: Đ.s Viết dưới dạng ma trận: Phương trình ra: 2.4 MÔ HÌNH TRẠNG THÁI 2.4.3 Xây dựng phương trình trạng thái từ hàm truyền đạt c, Sử dụng mô hình các tích phân cơ bản Xét hệ thống được mô tả bởi hàm truyền đạt: Chuyển hàm truyền đạt về phương trình vi phân cấp cao: 2.4 MÔ HÌNH TRẠNG THÁI 2.4.3 Xây dựng phương trình trạng thái từ hàm truyền đạt c, Sử dụng mô hình các tích phân cơ bản Đặt thì Vậy ta có hệ: h hoặc 2.4 MÔ HÌNH TRẠNG THÁI 2.4.3 Xây dựng phương trình trạng thái từ hàm truyền đạt c, Sử dụng mô hình các tích phân cơ bản Sơ đồ cấu trúc tương ứng được vẽ theo phương trình trên: 2.4 MÔ HÌNH TRẠNG THÁI 2.4.3 Xây dựng phương trình trạng thái từ hàm truyền đạt c, Sử dụng mô hình các tích phân cơ bản Hàm truyền đạt có hệ số của p3 luôn bằng 1 ta có thể xây dựng sơ đồ cấu trúc bằng cách nối tiếp 3 khâu tích phân bao bọc mỗi một khâu tích phân từ phải qua trái là các hệ số a1, a2, a3 theo bậc của p giảm dần. hoặc 2.4 MÔ HÌNH TRẠNG THÁI 2.4.3 Xây dựng phương trình trạng thái từ hàm truyền đạt c, Sử dụng mô hình các tích phân cơ bản Sơ đồ cấu trúc như sau: 2.4 MÔ HÌNH TRẠNG THÁI 2.4.4 Chuyển đổi từ phương trình trạng thái sang hàm truyền đạt - Từ mô hình toán học trong không gian trạng thái: - Thực hiện biến đổi Laplace hai vế với điều kiện đầu bằng 0. p.X(p) = A.X(p) + B.U(p) (a) Y(p) = C.X(p) + D.U(p) (b) - Từ (a) ta có (p.I – A).X(p) = B.U(p) Trong đó I là ma trận đơn vị (có các phần tử ở trên đường chéo chính bằng 1 còn các phần tử khác đều bằng 0). 2.4 MÔ HÌNH TRẠNG THÁI 2.4.4 Chuyển đổi từ phương trình trạng thái sang hàm truyền đạt - Thay X(p) vào (b) ta được: - Ta gọi là ma trận hàm truyền vì nó quan hệ với véctơ biến ra U(p). - Nếu U(p) và Y(p) là các đại lượng vô hướng thì hàm truyền đạt có thể được xác định: 2.4 MÔ HÌNH TRẠNG THÁI 2.4.4 Chuyển đổi từ phương trình trạng thái sang hàm truyền đạt Ví dụ: Cho hệ thống có phương trình trạng thái như sau: Yêu cầu: Hãy xác định hàm truyền đạt của hệ thống. 2.4 MÔ HÌNH TRẠNG THÁI Giải: - Từ đầu bài ta xác định các ma trận A, B, C và D: Ta tìm (p.I – A)-1 2.4 MÔ HÌNH TRẠNG THÁI Thay (p.I – A)-1 , A, B, C và D vào ta được hàm truyền đạt TÓM TẮT QUAN HỆ GIỮA CÁC DẠNG MÔ TẢ TOÁN HỌC TÓM TẮT NỘI DUNG CHƯƠNG 2 - Chương 1 giới thiệu các phương pháp mô tả toán học hệ thống điều khiển tự động: phương trình vi phân mô tả hệ thống, hàm truyền đạt, mô hình không gian trạng thái. - Sau khi học xong chương 2 sinh viên cần nắm được các phương pháp mô tả toán học hệ thống điều khiển tự động và phương pháp chuyển đổi qua lại giữa các phương pháp mô tả toán học hệ thống điều khiển tự động. - Sử dụng Matlab-Simulink mô phỏng lại các ví dụ trong bài giảng, làm bài tập. Thank you!