Tuyển tập 500 bất đẳng thức cổ điển hay

TUYỂN TẬP 500 BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN HAY NGUYỄN ĐÌNH THI ⋆⋆⋆⋆⋆ PHÚ YÊN – XUÂN CANH DẦN 2010 Page 1 Lời nói đầu. Bất đẳng thức (BĐT) đang là vấn đề nóng trên hầu khắp các diễn đàn Toán trong và ngoài nước như: mathlinks.ro, math.vn, mathscope.org, mathvn.org, ddbdt.tk,…. Và dĩ nhiên có những BĐT không khó, thậm chí là bình thường, nhưng cũng không ít những BĐT khó, thâm chí rất khó đến nỗi vẫn chưa có lời giải (trong đó có một số đã giải và một số vẫn chưa). Chính vì thế mà xuất hiện rất nhiều bậc “cao nhân” cùng với những phương pháp mới, xem như là hiện đai “tối tân” nhất để có thể trị được những vấn đề khó này. Tuy nhiên mục đích của tác giả cuốn ebook này không phải là lôi các bạn vào những vấn đề khó đó, mà mục đích chính là tuyển tập những BĐT đẹp, hay (đặc biệt là bất đẳng thức 3 biến bởi tính hoán vị của nó), được tuyển chọn từ các cuộc thi toán các quốc gia, thi chọn đội tuyển thi toán quốc tế, thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh,…, các tạp chí toán như: Kvant, Crux,MathVn…; các cuộc thi toán BĐT trên các diễn đàn toán như: MIC, VIC, VICFJ,… cùng với những bài toán được phát triển từ những bài toán đó (làm chặt thêm hay sang tạo từ những cái đã có), các sách tham khảo như: Sáng tạo bất đẳng thức, Bất đẳng thức và những lời giải hay,… . Để từ đó rèn luyện kĩ năng giải một bài toán BĐT một cách nhanh nhạy, nói đơn giản là khi gặp một bài toán nào đó thì chỉ cần nhìn vào là biết ngay hướng giải quyết. Tuyển tập này là cuốn tài liệu cuối cùng mà tôi viết nhân dịp năm mới Canh Dần 2010. Nếu có sai xót gì thì cũng là do lỗi của người biên tập, mong các bạn thông cảm và bỏ quá cho. Hi vọng tài liệu này sẽ là hành trang bổ ích cùng các bạn tham dự các cuộc thi học sinh giỏi cấp trường, tỉnh, quốc gia, quốc tế,… Tác giả, Nguyễn Đình Thi 500 Inequalities Collection Nguyễn Đình Thi Page 2 500 BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN HAY Bài 1. Cho các số thực dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 sao cho 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 = 3. Chứng minh rằng 𝑎 𝑏 + 𝑏 𝑐 + 𝑐 𝑎 ≥ 9 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 Bài 2. Cho các số thực dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 sao cho 𝑎4 + 𝑏4 + 𝑐4 = 3. Chứng minh rằng a/ 𝑎2 𝑏 + 𝑏2 𝑐 + 𝑐2 𝑎 ≥ 3 b/ 𝑎2 𝑏 + 𝑐 + 𝑏2 𝑐 + 𝑎 + 𝑐2 𝑎 + 𝑏 ≥ 3 2 Bài 3 (Phạm Kim Hùng). Cho các số thực không âm 𝑎, 𝑏, 𝑐,𝑑. Chứng minh rằng 𝑎 𝑏2 + 𝑐2 + 𝑑2 + 𝑏 𝑐2 + 𝑑2 + 𝑎2 + 𝑐 𝑑2 + 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑑 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 ≥ 4 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 Bài 4 (Phạm Kim Hùng, Vasile). Cho các số thực không âm 𝑎, 𝑏, 𝑐. Chứng minh rằng a/ 𝑎 𝑏 + 𝑐 𝑎2 + 𝑏𝑐 + 𝑏 𝑐 + 𝑎 𝑏2 + 𝑐𝑎 + 𝑐 𝑎 + 𝑏 𝑐2 + 𝑎𝑏 ≥ 2 b/ 𝑎 𝑏 + 𝑐 𝑎2 + 𝑏𝑐 + 𝑏 𝑐 + 𝑎 𝑏2 + 𝑐𝑎 + 𝑐 𝑎 + 𝑏 𝑐2 + 𝑎𝑏 ≥ 2 Bài 5 (Nguyễn Đình Thi). Cho 𝑎, 𝑏, 𝑐 là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng 𝑎 𝑏 + 𝑐 𝑎2 + 𝑏 + 𝑐 2 + 𝑏 𝑐 + 𝑎 𝑏2 + 𝑐 + 𝑎 2 + 𝑐 𝑎 + 𝑏 𝑐2 + 𝑎 + 𝑏 2 > 2 Bài 6 (Võ Quốc Bá Cẩn). cho các số không âm 𝑎, 𝑏, 𝑐 thỏa 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 6. Chứng minh rằng −4 ≤ 𝑎2𝑏 + 𝑏2𝑐 + 4𝑐𝑎2 − 5𝑎𝑏𝑐 ≤ 128 Bài 7 (IMO 2001). Cho các số thực dương 𝑎, 𝑏, 𝑐. Chứng minh rằng 𝑎 𝑎2 + 8𝑏𝑐 + 𝑏 𝑏2 + 8𝑐𝑎 + 𝑐 𝑐2 + 8𝑎𝑏 ≥ 1 Bài 8 (THTT). Cho 𝑎, 𝑏, 𝑐 là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng 𝑎 𝑎2 + 3𝑏𝑐 + 𝑏 𝑏2 + 3𝑐𝑎 + 𝑐 𝑐2 + 3𝑎𝑏 ≥ 3 2 Bài 9. Cho các số thực dương 𝑎, 𝑏, 𝑐. Chứng minh rằng a/ 𝑎2 + 𝑏2 𝑎 + 𝑏 + 𝑏2 + 𝑐2 𝑏 + 𝑐 + 𝑐2 + 𝑎2 𝑐 + 𝑎 ≤ 3 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 b/ 𝑎 + 𝑏 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑏 + 𝑐 𝑏2 + 𝑐2 + 𝑐 + 𝑎 𝑐2 + 𝑎2 ≥ 3 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 Bài 10 (Võ Quốc Bá Cẩn). Cho các số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 sao cho 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 3. Chứng minh rằng 500 Inequalities Collection Nguyễn Đình Thi Page 3 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 + 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 𝑎2𝑏 + 𝑏2𝑐 + 𝑐2𝑎 ≥ 4 Bài 11 (Cezar Lupu – Nguyễn Đình Thi). Cho các số thực dương 𝑎, 𝑏, 𝑐. Chứng minh rằng 3(𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2) ≤ 𝑎2 + 𝑏2 𝑎 + 𝑏 + 𝑏2 + 𝑐2 𝑏 + 𝑐 + 𝑐2 + 𝑎2 𝑐 + 𝑎 ≤ 𝑎𝑏 𝑐 + 𝑏𝑐 𝑎 + 𝑐𝑎 𝑏 Bài 12 (China TST 2006). Cho các số thực dương 𝑥,𝑦, 𝑧 sao cho các số thực 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1. Chứng minh 𝑥𝑦 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑦𝑧 𝑦𝑧 + 𝑧𝑥 + 𝑧𝑥 𝑧𝑥 + 𝑥𝑦 ≤ 1 2 Bài 13 (China 2005). Cho các số thực các số thực dương 𝑎, 𝑏, 𝑐. Chứng minh rằng 𝑎 𝑎 + 𝑏 + 𝑏 𝑏 + 𝑐 + 𝑐 𝑐 + 𝑎 ≤ 3 2 Bài 14 (Iran 2008). Cho các số thực dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 sao cho các số thực 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 = 1. Chứng minh 𝑎3 + 𝑎 + 𝑏3 + 𝑏 + 𝑐3 + 𝑐 ≥ 2 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 Bài 15. Cho các số thực dương 𝑎, 𝑏, 𝑐. Chứng minh rằng 𝑎 𝑎2 + 2𝑏𝑐 + 𝑏 𝑏2 + 2𝑐𝑎 + 𝑐 𝑐2 + 2𝑎𝑏 ≤ 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 Bài 16 (Jack Garfunkel). Cho các số thực dương 𝑎, 𝑏, 𝑐. Chứng minh rằng 𝑎 𝑎 + 𝑏 + 𝑏 𝑏 + 𝑐 + 𝑐 𝑐 + 𝑎 ≤ 5 4 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 Bài 17 (Phạm Kim Hùng). Cho các số thực dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 sao cho 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 3. Chứng minh rằng 1 9− 𝑏𝑐 + 1 9− 𝑐𝑎 + 1 9− 𝑎𝑏 ≤ 3 8 Bài 18 (APMO 2004). Cho các số thực bất kì 𝑎, 𝑏, 𝑐. Chứng minh rằng rằng 𝑎2 + 2 𝑏2 + 2 𝑐2 + 2 ≥ 3 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 2 Bài 19 (THTT). Cho các số thực dương 𝑎, 𝑏. Chứng minh rằng rằng 𝑎 + 𝑏 2 + 𝑎 + 𝑏 + 1 𝑎 + 1 𝑏 2 ≥ 8 1 + 2 Bài 20 (Vasile). Cho các số thực dương 𝑎, 𝑏, 𝑐. Chứng minh rằng a/ 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 1 𝑎 + 1 𝑏 + 1 𝑐 ≥ 1 + 1 + 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 1 𝑎2 + 1 𝑏2 + 1 𝑐2 b/ 2 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 1 𝑎2 + 1 𝑏2 + 1 𝑐2 − 2 ≥ 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 1 𝑎 + 1 𝑏 + 1 𝑐 − 5 Bài 21 (Nguyễn Đình Thi). Cho các số thực dương 𝑎, 𝑏, 𝑐. Chứng minh rằng    3 3 33 3 2 3 1 1 1 1 1 1 1 5a b c a b c a b c a b c                     Bài 22 (Vasile). Cho các số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐. Biết rằng 𝑎 ≤ 𝑏 ≤ 𝑐 và 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 1 𝑎 + 1 𝑏 + 1 𝑐 . Chứng minh 500 Inequalities Collection Nguyễn Đình Thi Page 4 𝑏 ≥ 1 𝑎 + 𝑐 − 1 Bài 23. Cho các số thực dương 𝑎, 𝑏, 𝑐. Chứng minh rằng 2𝑎 + 𝑏 + 𝑐 2 2𝑎2 + 𝑏 + 𝑐 2 + 2𝑏 + 𝑐 + 𝑎 2 2𝑏2 + 𝑐 + 𝑎 2 + 2𝑐 + 𝑎 + 𝑏 2 2𝑐2 + 𝑎 + 𝑏 2 ≤ 8 Bài 24. Cho các số thực dương 𝑎, 𝑏, 𝑐. Chứng minh rằng 𝑎3 𝑎3 + 𝑏 + 𝑐 3 + 𝑏3 𝑏3 + 𝑐 + 𝑎 3 + 𝑐3 𝑐3 + 𝑎 + 𝑏 3 ≤ 1 Bài 25. Cho các số thực dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 sao cho 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 1. Chứng minh rằng 𝑎2 𝑏2 + 1 + 𝑏2 𝑐2 + 1 + 𝑐2 𝑎2 + 1 ≥ 3 2 Bài 26. Cho các số thực dương 𝑎, 𝑏, 𝑐. Chứng minh rằng 𝑎5 − 𝑎2 + 3 𝑏5 − 𝑏2 + 3 𝑐5 − 𝑐2 + 3 ≥ 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 3 Bài 27. Cho các số thực dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 sao cho 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của 𝑃 = 1 − 𝑎 1− 𝑏 1− 𝑐 + 1− 𝑏 1− 𝑐 1− 𝑎 + 1− 𝑐 1− 𝑎 1− 𝑏 Bài 28. Cho các số thực dương 𝑎, 𝑏, 𝑐. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 𝑃 = 𝑏𝑐 𝑎2 + 3𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 𝑏2 + 3𝑐𝑎 + 𝑎𝑏 𝑐2 + 3𝑎𝑏 Bài 29. Cho các số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 có tích 𝑎𝑏𝑐 = 1. Chứng minh rằng 𝑎 + 𝑏 𝑏 + 𝑐 𝑐 + 𝑎 ≥ 4(𝑎 + 𝑏 + 𝑐 − 1) Bài 30 (Dự tuyển IMO 2001). Cho các số dương 𝑥1 ,𝑥2 , . . , 𝑥𝑛 . Chứng minh rằng 𝑥1 1 + 𝑥1 2 + 𝑥2 1 + 𝑥1 2 + 𝑥2 2 +⋯+ 𝑥𝑛 1 + 𝑥1 2 + 𝑥2 2 +⋯+ 𝑥𝑛 2 < 𝑛 Bài 31. Cho các số dương 𝑥1 ,𝑥2 , . . , 𝑥𝑛 sao cho 𝑥1𝑥2… . 𝑥𝑛 = 1. Chứng minh rằng 1 𝑛 − 1 + 𝑥1 + 1 𝑛 − 1 + 𝑥2 +⋯+ 1 𝑛 − 1 + 𝑥𝑛 ≤ 1 Bài 32 (IMO 2000). Cho các số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 sao cho 𝑎𝑏𝑐 = 1. Chứng minh rằng 𝑎 − 1 + 1 𝑏 𝑏 − 1 + 1 𝑐 𝑐 − 1 + 1 𝑎 ≤ 1 Bài 33 (China 2005). Cho các số thực dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 sao cho 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 = 1 3 . Chứng minh rằng 1 𝑎2 − 𝑏𝑐 + 1 + 1 𝑏2 − 𝑐𝑎 + 1 + 1 𝑐2 − 𝑎𝑏 + 1 ≤ 3 Bài 34. Cho các số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐. Chứng minh rằng 𝑎3 − 𝑏3 𝑎 + 𝑏 + 𝑏3 − 𝑐3 𝑏 + 𝑐 + 𝑐3 − 𝑎3 𝑐 − 𝑎 ≤ 𝑎 − 𝑏 2 + 𝑏 + 𝑐 2 + 𝑐 − 𝑎 2 4 Bài 35 (APMO 2007). Cho các số thực dương 𝑥,𝑦, 𝑧 sao cho 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1. Chứng minh rằng 𝑥2 + 𝑦𝑧 2𝑥2(𝑦+ 𝑧) + 𝑦2 + 𝑧𝑥 2𝑦2 𝑧+ 𝑥 + 𝑧2 + 𝑥𝑦 2𝑧2 𝑥 + 𝑦 ≥ 1 500 Inequalities Collection Nguyễn Đình Thi Page 5 Bài 36. Cho các số 𝑥,𝑦, 𝑧 ∈ (−1; 1). Chứng minh rằng 1 1− 𝑥 1− 𝑦 1− 𝑧 + 1 1 + 𝑥 1 + 𝑦 1 + 𝑧 ≥ 2 Bài 37 (Nga 2002). Cho các số thực dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 sao cho 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 3. Chứng minh rằng 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 ≥ 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 Bài 38. Cho các số thực dương 𝑎, 𝑏, 𝑐. Chứng minh rằng 2𝑎2 2𝑎2 + 𝑏 + 𝑐 2 + 2𝑏2 2𝑏2 + 𝑐 + 𝑎 2 + 2𝑐2 2𝑐2 + 𝑎 + 𝑏 2 ≤ 1 Bài 39. Chứng minh rằng với mọi số thực dương 𝑥,𝑦 ta đều có 𝑥𝑦 + 𝑦𝑥 > 1 Bài 40 (Võ Quốc Bá Cẩn). cho các số thực dương 𝑎, 𝑏, 𝑐. Chứng minh rằng 𝑎𝑏+𝑐 + 𝑏𝑐+𝑎 + 𝑐𝑎+𝑏 ≥ 1 Bài 41. Cho các số thực dương 𝑎, 𝑏, 𝑐. Chứng minh rằng 𝑎2𝑏 + 𝑏2𝑐 + 𝑐2𝑎 𝑎𝑏2 + 𝑏𝑐2 + 𝑐𝑎2 ≥ 𝑎𝑏𝑐 + 𝑎3 + 𝑎𝑏𝑐 𝑏3 + 𝑎𝑏𝑐 𝑐3 + 𝑎𝑏𝑐 3 Bài 42. Cho các số thực bất kì 𝑎, 𝑏, 𝑐. Chứng minh rằng 𝑎 + 𝑏 − 𝑐 2 𝑏 + 𝑐 − 𝑎 2 𝑐 + 𝑎 − 𝑏 2 ≥ 𝑎2 + 𝑏2 − 𝑐2 𝑏2 + 𝑐2 − 𝑎2 𝑐2 + 𝑎2 − 𝑏2 Bài 43. Cho các số thực dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 sao cho 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 = 1. Chứng minh rằng 𝑎 1 + 𝑎2 + 𝑏 1 + 𝑏2 + 𝑐 1 + 𝑐2 ≤ 3 2 Bài 43 (Mĩ 1994). Cho các số dương 𝑥,𝑦, 𝑧. Chứng minh rằng 𝑥𝑥𝑦𝑦𝑧𝑧 ≥ 𝑥𝑦𝑧 𝑥+𝑦+𝑧 3 Bài 44. Cho các số 𝑥,𝑦, 𝑧 ≥ 1. Chứng minh rằng 𝑥𝑥 2+2𝑦𝑧𝑦𝑦 2+2𝑧𝑥𝑧𝑧 2+2𝑥𝑦 ≥ 𝑥𝑦𝑧 𝑥𝑦+𝑦𝑧+𝑧𝑥 Bài 45. Cho các số dương 𝑥,𝑦, 𝑧 thỏa 𝑥𝑦𝑧 = 1. Chứng minh rằng 𝑥3 1 + 𝑦 1 + 𝑧 + 𝑦3 1 + 𝑧 1 + 𝑥 + 𝑧3 1 + 𝑥 1 + 𝑦 ≥ 3 4 Bài 46. Cho các số dương 𝑥,𝑦, 𝑧. Chứng minh rằng 𝑥 𝑥 + 𝑥 + 𝑦 𝑥 + 𝑧 + 𝑦 𝑦 + 𝑦 + 𝑧 𝑦 + 𝑥 + 𝑧 𝑧 + 𝑧 + 𝑥 𝑧 + 𝑦 ≤ 1 Bài 47. Cho các số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐. Chứng minh rằng 9 𝑎2 + 𝑏𝑐 (𝑏2 + 𝑐𝑎) 𝑐2 + 𝑎𝑏 ≤ 8 𝑎3 + 𝑏3 + 𝑐3 2 Bài 48. Cho các số dương 𝑥,𝑦, 𝑧 sao cho 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1. Chứng minh rằng 2 ≤ 1− 𝑥2 2 + 1− 𝑦2 2 + 1− 𝑧2 2 ≤ 1 + 𝑥 1 + 𝑦 (1 + 𝑧) Bài 49. Cho các số dương 𝑥,𝑦, 𝑧 sao cho 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑧𝑥 = 1. Chứng minh rằng 𝑥 1− 𝑦2 1− 𝑧2 + 𝑦 1− 𝑧2 1− 𝑥2 + 𝑧 1 − 𝑥2 1− 𝑦2 ≤ 4 3 9 Bài 50. Cho các số thực dương 𝑎, 𝑏, 𝑐. Chứng minh rằng 𝑎 𝑏 + 𝑏 𝑐 + 𝑐 𝑎 ≥ 2𝑎𝑏 𝑏2 + 𝑐𝑎 + 2𝑏𝑐 𝑐2 + 𝑎𝑏 + 2𝑐𝑎 𝑎2 + 𝑏𝑐 500 Inequalities Collection Nguyễn Đình Thi Page 6 Bài 51. Cho các số thwucj dương 𝑎, 𝑏, 𝑐. Chứng minh rằng 𝑎2 + 𝑏𝑐 𝑏 + 𝑐 + 𝑏2 + 𝑐𝑎 𝑐 + 𝑎 + 𝑐2 + 𝑎𝑏 𝑎 + 𝑏 ≥ 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 Bài 52. Cho các số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐. Chứng minh rằng 1 𝑏 𝑎 + 𝑏 + 1 𝑐 𝑏 + 𝑐 + 1 𝑎 𝑐 + 𝑎 ≥ 27 2 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 2 Bài 53. Cho các số dường 𝑎, 𝑏, 𝑐 sao cho 𝑎𝑏𝑐 = 1. Chứng minh rằng 1 1 + 𝑎 1 + 𝑏 + 1 1 + 𝑏 1 + 𝑐 + 1 1 + 𝑐 1 + 𝑎 ≤ 3 2 Bài 54. Cho các số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐,𝑑. Chứng minh rằng 1 1 𝑎 + 1 𝑏 + 1 1 𝑐 + 1 𝑑 ≤ 1 1 𝑎 + 𝑐 + 1 𝑏 + 𝑑 Bài 55. Cho các số thực 𝑎, 𝑏, 𝑐. Chứng minh rằng 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2 𝑏2 + 𝑏𝑐 + 𝑐2 𝑐2 + 𝑐𝑎 + 𝑎2 ≥ 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 3 Bài 56. Cho các số thực dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 sao cho 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 = 1. Chứng minh rằng 2 ≥ 𝑎 1 + 𝑏𝑐 + 𝑏 1 + 𝑐𝑎 + 𝑐 1 + 𝑎𝑏 ≥ 1 Bài 57 (Phạm Kim Hùng). Cho các số thực không âm 𝑎, 𝑏, 𝑐 sao cho không có 2 số nào cùng bằng 0. Chứng minh rằng 2 2 2 1 1 1 1 ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )a b b c c a ab bc ca         Bài 58. Cho các số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐. Chứng minh rằng 𝑎𝑏 𝑐 𝑐 + 𝑎 + 𝑏𝑐 𝑎 𝑎 + 𝑏 + 𝑐𝑎 𝑏 𝑏 + 𝑐 ≥ 𝑎 𝑐 + 𝑎 + 𝑏 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 𝑏 + 𝑐 Bài 59. Cho các số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐. Đặt 𝑥 = 𝑎 + 1 𝑏 ,𝑦 = 𝑏 + 1 𝑐 , 𝑧 = 𝑐 + 1 𝑎 Chứng minh rằng 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑧𝑥 ≥ 2 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 Bài 60. Cho 𝑎, 𝑏, 𝑐 là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng 𝑎 + 𝑏 − 𝑐 𝑎 𝑏 + 𝑐 − 𝑎 𝑏 𝑐 + 𝑎 − 𝑏 𝑐 ≤ 𝑎𝑎𝑏𝑏𝑐𝑐 Bài 61. Cho các số dương 𝑥,𝑦, 𝑧 thỏa mãn 𝑥3 + 𝑦3 + 𝑧3 = 3. Chứng minh rằng 𝑥4𝑦4 + 𝑦4𝑧4 + 𝑧4𝑥4 ≤ 3 Bài 62. Cho các số dương 𝑎, 𝑏, 𝑥,𝑦, 𝑧. Chứng minh rằng 𝑥 𝑎𝑦 + 𝑏𝑧 + 𝑦 𝑎𝑧 + 𝑏𝑥 + 𝑧 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 ≥ 3 𝑎 + 𝑏 Bài 63. Cho các số thực dương 𝑎, 𝑏, 𝑐. Chứng minh rằng 3𝑎+𝑏+𝑐 ≥ 1 + 𝑎 + 𝑏 𝑐 𝑐 1 + 𝑏 + 𝑐 𝑎 𝑎 1 + 𝑐 + 𝑎 𝑏 𝑏 Bài 64 (IMO). Cho các số thực cùng dấu 𝑎, 𝑏, 𝑐,𝑑, 𝑒. Chứng minh rằng 𝑎 − 𝑏 𝑎 − 𝑐 𝑎 − 𝑑 𝑎 − 𝑒 + 𝑏 − 𝑐 𝑏 − 𝑑 𝑏 − 𝑒 𝑏 − 𝑎 + 𝑐 − 𝑑 𝑐 − 𝑒 𝑐 − 𝑎 𝑐 − 𝑏 + 𝑑 − 𝑒 𝑑 − 𝑎 𝑑 − 𝑏 𝑑 − 𝑐 + 𝑒 − 𝑎 𝑒 − 𝑏 𝑒 − 𝑐 𝑒 − 𝑑 ≥ 0 500 Inequalities Collection Nguyễn Đình Thi Page 7 Bài 65. Cho các số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑥,𝑦, 𝑧. Chứng minh rằng 𝑎 𝑦 + 𝑧 𝑏 + 𝑐 + 𝑏 𝑧 + 𝑥 𝑐 + 𝑎 + 𝑐 𝑥 + 𝑦 𝑎 + 𝑏 ≥ 𝑥 + 𝑦 (𝑥 + 𝑧) + 𝑦 + 𝑧 (𝑦 + 𝑥) + 𝑧 + 𝑥 (𝑧 + 𝑦) − 𝑥 − 𝑦 − 𝑧 Bài 66. Cho các số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐. Chứng minh rằng 𝑏 + 𝑐 − 𝑎 2 𝑏 + 𝑐 2 + 𝑎2 + 𝑐 + 𝑎 − 𝑏 2 𝑐 + 𝑎 2 + 𝑏2 + 𝑎 + 𝑏 − 𝑐 2 𝑎 + 𝑏 2 + 𝑐2 ≥ 3 5 Bài 67. Cho các số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐. Chứng minh rằng a/ 𝑎2 − 𝑏2 𝑏 + 𝑐 + 𝑏2 − 𝑐2 𝑐 + 𝑎 + 𝑐2 − 𝑎2 𝑎 + 𝑏 ≥ 0 b/ 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) 2( ) a b b c c a a b b c c a b c c a a b a b c                 Bài 68. Cho các số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 sao cho 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 1. Chứng minh rằng 1 1 + 𝑎𝑏 + 1 1 + 𝑏𝑐 + 1 1 + 𝑐𝑎 ≤ 27 8 Bài 69. Chứng minh rằng nếu 0 < 𝑦 ≤ 𝑥 < 1 thì 𝑥 𝑦 ≤ 1 + 𝑥 − 1− 𝑥2 1 + 𝑦 − 1 − 𝑦2 Bài 70. Cho các số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐. Chứng minh rằng 𝑎 + 𝑏 𝑐 + 𝑏 + 𝑐 𝑎 + 𝑐 + 𝑎 𝑏 ≥ 2 𝑎 𝑏 + 𝑐 + 𝑏 𝑐 + 𝑎 + 𝑐 𝑎 + 𝑏 Bài 71. Cho các số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐. Chứng minh rằng 𝑎4 + 𝑎2𝑏2 + 𝑏4 + 𝑏4 + 𝑏2𝑐2 + 𝑐4 + 𝑐4 + 𝑐2𝑎2 + 𝑎4 ≥ 𝑎 2𝑎2 + 𝑏𝑐 + 𝑏 2𝑏2 + 𝑐𝑎 + 𝑐 2𝑐2 + 𝑎𝑏 Bài 72. Cho các số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐. Chứng minh rằng 𝑎 + 𝑏 𝑎 + 𝑐 ≥ 2 𝑎𝑏𝑐 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 Bài 73. Cho các số thực bất kì 𝑎, 𝑏, 𝑐. Chứng minh rằng 𝑎 𝑎 + 𝑏 3 + 𝑏 𝑏 + 𝑐 3 + 𝑐 𝑐 + 𝑎 3 ≥ 0 Bài 74 (Phan Thành Nam). Cho các số thực 𝑎, 𝑏, 𝑐 thỏa 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 0. Chứng minh rằng 𝑎 𝑎 − 𝑏 3 + 𝑏 𝑏 − 𝑐 3 + 𝑐 𝑐 − 𝑎 3 ≥ 0 Bài 75 (Phan Thành Nam). Cho các số thực 𝑎, 𝑏, 𝑐. Chứng minh rằng 𝑎 𝑎 + 𝑏 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑏 𝑏 + 𝑐 𝑏2 + 𝑐2 + 𝑐 𝑐 + 𝑎 𝑐2 + 𝑎2 ≥ 0 Bài 76 (Nguyễn Đình Thi). Cho các số thực 𝑎, 𝑏, 𝑐. Chứng minh rằng 𝑎 𝑎 + 𝑏 𝑎2 + 𝑐2 + 𝑏 𝑏 + 𝑐 𝑏2 + 𝑎2 + 𝑐 𝑐 + 𝑎 𝑐2 + 𝑏2 ≥ 0 Bài 77 (Phan Thành Nam). Cho các số thực 𝑎, 𝑏, 𝑐 sao cho 𝑎 + 𝑏 𝑏 + 𝑐 (𝑐 + 𝑎) ≠ 0. Chứng minh rằng 𝑎 𝑎 − 𝑏 𝑎 + 𝑏 2 + 𝑏 𝑏 − 𝑐 𝑏 + 𝑐 2 + 𝑐 𝑐 − 𝑎 𝑐 + 𝑎 2 ≥ − 3 8 Bài 78. Cho các số thực không âm 𝑎, 𝑏, 𝑐. Chứng minh rằng 500 Inequalities Collection Nguyễn Đình Thi Page 8 1 + 4𝑎 𝑏 + 𝑐 1 + 4𝑏 𝑐 + 𝑎 1 + 4𝑐 𝑎 + 𝑏 ≥ 25 Bài 79. Cho các số 𝑥1 ,𝑥2 ,… , 𝑥𝑛 ≥ 1. Chứng minh rằng 1 1 + 𝑥1 + 1 1 + 𝑥2 +⋯+ 1 1 + 𝑥𝑛 ≥ 𝑛 1 + 𝑥1𝑥2…𝑥𝑛 𝑛 Bài 80 (VMO 1991). Cho các số thực 𝑥 ≥ 𝑦 ≥ 𝑧 > 0. Chứng minh rằng 𝑥2𝑦 𝑧 + 𝑦2𝑧 𝑥 + 𝑧2𝑥 𝑦 ≥ 2 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 − (𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑧𝑥) Bài 81 (Nguyễn Đức Toàn). Cho các số thực 𝑥 ≥ 𝑦 ≥ 𝑧 > 0. Chứng minh rằng 𝑥2𝑦 𝑧 + 𝑦2𝑧 𝑥 + 𝑧2𝑥 𝑦 ≥ 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 + 𝑥 − 𝑦 𝑦 − 𝑧 𝑧 − 𝑥 2 𝑥𝑦𝑧 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 Bài 82. Cho các số thực không âm 𝑎, 𝑏, 𝑐 sao cho 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 1. Chứng minh rằng 𝑎 + 𝑏 − 𝑐 2 12 + 𝑏 + 𝑐 − 𝑎 2 12 + 𝑐 + 𝑎 − 𝑏 2 12 ≤ 3 Bài 83. Cho các số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐. Chứng minh rằng 𝑎4 + 𝑏4 + 𝑐4 + 𝑎2𝑏2 + 𝑏2𝑐2 + 𝑐2𝑎2 ≥ 𝑎3𝑏 + 𝑏3𝑐 + 𝑐3𝑎 + 𝑎𝑏3 + 𝑏𝑐3 + 𝑐𝑎3 Bài 84. Cho các số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ [1; 2]. Chứng minh rằng 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 1 𝑎 + 1 𝑏 + 1 𝑐 ≤ 10 Bài 85 (Thái Nhật Phượng). Cho các số dương 𝑥,𝑦, 𝑧 thỏa 𝑥𝑦𝑧 = 1. Chứng minh rằng 𝑥2𝑦2 𝑥2𝑦2 + 𝑥7 + 𝑦7 + 𝑦2𝑧2 𝑦2𝑧2 + 𝑦7 + 𝑧7 + 𝑧2𝑥2 𝑧2𝑥2 + 𝑧7 + 𝑥7 ≤ 1 Bài 86 (Cezar Lupu). Cho các số thực dương 𝑎, 𝑏, 𝑐. Chứng minh rằng 𝑎 𝑏 + 𝑐 + 𝑏 𝑐 + 𝑎 + 𝑐 𝑎 + 𝑏 ≥ 𝑎2 + 𝑏𝑐 𝑎 + 𝑏 𝑎 + 𝑐 + 𝑏2 + 𝑐𝑎 𝑏 + 𝑐 𝑏 + 𝑎 + 𝑐2 + 𝑎𝑏 𝑐 + 𝑎 𝑐 + 𝑏 Bài 87. Cho các số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 thỏa 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 1 = 4𝑎𝑏𝑐. Chứng minh rằng 1 𝑎 + 1 𝑏 + 1 𝑐 ≥ 3 ≥ 1 𝑎𝑏 + 1 𝑏𝑐 + 1 𝑐𝑎 Bài 88. Cho các số thực dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 thỏa 𝑎𝑏𝑐 ≤ 8. Chứng minh rằng 1 𝑎2 − 𝑎 + 1 + 1 𝑏2 − 𝑏 + 1 + 1 𝑐2 − 𝑐 + 1 ≥ 1 Bài 89 (China 2006). Cho các số dương 𝑥1 ,𝑥2 ,…𝑥𝑛 sao cho 𝑥1 + 𝑥2 +⋯+ 𝑥𝑛 = 1. Chứng minh rằng 𝑥1 + 𝑥2 +⋯+ 𝑥𝑛 1 1 + 𝑥1 + 1 1 + 𝑥2 +⋯+ 1 1 + 𝑥𝑛 ≤ 𝑛2 𝑛 + 1 Bài 90 (Romania 2006). Cho các số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 thỏa 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 3. Chứng minh rằng 1 𝑎2 + 1 𝑏2 + 1 𝑐2 ≥ 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 Bài 91. Cho các số thực dương 𝑎, 𝑏, 𝑐. Chứng minh rằng 𝑎2 + 2𝑎𝑏 𝑎 𝑏2 + 2𝑐𝑎 𝑏 𝑐2 + 2𝑐𝑎 𝑐 ≥ 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 𝑎+𝑏+𝑐 Bài 92 (Phạm Kim Hùng). Cho các số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 sao cho 𝑎𝑏𝑐 ≥ 1. Chứng minh rằng 500 Inequalities Collection Nguyễn Đình Thi Page 9 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 ≥ 1 + 𝑎 1 + 𝑏 + 1 + 𝑏 1 + 𝑐 + 1 + 𝑐 1 + 𝑎 Bài 93. Cho các số không âm 𝑎, 𝑏, 𝑐. Chứng minh rằng 𝑎 𝑏2 + 𝑐2 + 𝑏 𝑐2 + 𝑎2 + 𝑐 𝑎2 + 𝑏2 ≥ 4 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 Bài 94 (Nguyễn Đình Thi). Cho các số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐. Chứng minh rằng 𝑎 𝑏 + 𝑐 2 + 5𝑐2 + 𝑏 𝑐 + 𝑎 2 + 5𝑎2 + 𝑐 𝑎 + 𝑏 2 + 5𝑏2 ≥ 1 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 Bài 95. Cho các số 𝑥,𝑦 dương sao cho 𝑥9 + 𝑦9 = 2. Chứng minh rằng 𝑥3 + 𝑦3 ≥ 2𝑥𝑦 Bài 96 (Trần Quốc Anh). Cho các số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐. Chứng minh rằng 𝑎 2𝑎 + 𝑏 3 + 𝑏 2𝑏 + 𝑐 3 + 𝑐 2𝑐 + 𝑎 3 ≥ 1 9 Bài 97. Cho các số thực khác nhau đôi một 𝑎, 𝑏, 𝑐. Chứng minh rằng 𝑎 + 𝑏 𝑎 − 𝑏 + 𝑏 + 𝑐 𝑏 − 𝑐 + 𝑐 + 𝑎 𝑐 − 𝑎 ≥ 2 Bài 98 (Trần Quốc Luật, Nguyễn Đình Thi). Cho các số thực dương bất kì 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑥,𝑦, 𝑧 và số nguyên dương 𝑘. Chứng minh rằng a/ 2𝑥 𝑥 + 𝑦 𝑎𝑏 + 2𝑦 𝑦 + 𝑧 𝑏𝑐 + 2𝑧 𝑧 + 𝑦 𝑐𝑎 ≤ 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 b/ 2𝑥 𝑥 + 𝑦 𝑎𝑘𝑏 𝑘+1 + 2𝑦 𝑦 + 𝑧 𝑏𝑘𝑐 𝑘+1 + 2𝑧 𝑧 + 𝑦 𝑐𝑘𝑎 𝑘+1 ≤ 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 Bài 99 (Turkey National Olympiad 2008). Cho , , 0a b c  sao cho 1a b c   . Chứng minh       2 2 2 2 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3a b b c c a ab bc cac a ab b a b bc c b c ca a           Bài 100 (Nguyễn Đình Thi). Cho 𝑥,𝑦, 𝑧 là các số thực dương và 𝑘 là số thực tùy ý. Chứng minh rằng a)       1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) 3k k k k k k k k k k k k k k k a b a b b c b c c a c a ab bc cac a b a b c b c a                với 1 0k k   b)       1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) 1 3 k k k k k k k k k k k k k k k a b a b b c b c c a c a abcc a b a b c b c a               với 1 0k  Bài 101 (Nguyễn Đình Thi). Cho 𝑎, 𝑏, 𝑐 là các số thực dương, chứng minh các bất đẳng thức sau: a) 3. . 3 1 1 1 a b b c c a a b c abc ab bc ca           b) 3 1 1 1 1 . . 3 1 1 1 a b b c c a a b c ab bc ca abc           Bài 102. Cho các số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐. Chứng minh bất đẳng thức sau với mọi 1k  500 Inequalities Collection Nguyễn Đình Thi Page 10      2 2 2 2 2 2 k k k k k k k k k a b c b c a c a b a b c a bc b ca c ab            Bài 103 (Trần Quốc Anh). Cho các số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 sao cho 𝑎𝑏𝑐 = 1. Chứng minh 1 1 + 𝑎 2 𝑏 + 𝑐 + 1 1 + 𝑏 2 𝑐 + 𝑎 + 1 1 + 𝑐 2 𝑎 + 𝑏 ≤ 3 8 Bài 104 (Nguyễn Đình Thi). Cho 𝑎, 𝑏, 𝑐 > 0 và 𝑘 không nhỏ hơn 2. Chứng minh bất đẳng thức (2 2) (2 1) 2 (2 2) (2 1) 2 (2 2) (2 1) 2 6 3 ab bc ca a b c k a k b kc k b k c ka k c k a kb k                   Bài 105 (Nguyễn Đình Thi). Cho các số thực dương 𝑥,𝑦, 𝑧. Chứng minh rằng 1 𝑥5 𝑥2 + 2𝑦2 + 1 𝑦5 𝑦2 + 2𝑧2 + 1 𝑧5 𝑧2 + 2𝑥2 ≥ 3 𝑥2𝑦2𝑧2 Bài 106 (Olympic 30/4). Cho các số thực dương 𝑎, 𝑏, 𝑥,𝑦, 𝑧. Chứng minh rằng 𝑃 = 𝑥2 𝑎𝑦 + 𝑏𝑧 𝑎𝑧 + 𝑏𝑦 + 𝑦2 𝑎𝑧 + 𝑏𝑥 𝑎𝑥 + 𝑏𝑧 + 𝑧2 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 𝑎𝑦 + 𝑏𝑥 ≥ 3 𝑎 + 𝑏 2 Bài 107 (Nguyễn Đình Thi). Cho các số thực dương 𝑎, 𝑏, 𝑥,𝑦, 𝑧. Chứ