Tuyển tập Bất đẳng thức
11.Chứng minh: a2+b2+1>= ab+a +b 12.Chứng minh: x2+ y2 +z2 >= 2xy - 2xz+ 2yz 13.Chứng minh: x4 + y4 + z4 +1 >= 2xy (xy2-x + z +1)
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Tuyển tập Bất đẳng thức, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Nguyễn ðức Thụy Tuyển tập Bất ñẳng thức
1
PHẦN I: LUYỆN TẬP CĂN BẢN
I. Chứng minh BðT dựa vào ñịnh nghĩa và tính chất cơ bản:
1. Cho a, b > 0 chứng minh:
+ +
≥
33 3a b a b
2 2
2. Chứng minh:
+ +
≤
2 2a b a b
2 2
3. Cho a + b ≥ 0 chứng minh:
+ +
≥
3 3
3a b a b
2 2
4. Cho a, b > 0 . Chứng minh: + ≥ +
a b
a b
b a
5. Chứng minh: Với a ≥ b ≥ 1: + ≥
++ +2 2
1 1 2
1 ab1 a 1 b
6. Chứng minh: ( )+ + + ≥ + +2 2 2a b c 3 2 a b c ; a , b , c ∈ R
7. Chứng minh: ( )+ + + + ≥ + + +2 2 2 2 2a b c d e a b c d e
8. Chứng minh: + + ≥ + +2 2 2x y z xy yz zx
9. a. Chứng minh:
+ + + +
≥ ≥
a b c ab bc ca
; a,b,c 0
3 3
b. Chứng minh:
+ + + +
≥
22 2 2a b c a b c
3 3
10. Chứng minh: + + ≥ − +
2
2 2a b c ab ac 2bc
4
11. Chứng minh: + + ≥ + +2 2a b 1 ab a b
12. Chứng minh: + + ≥ − +2 2 2x y z 2xy 2xz 2yz
13. Chứng minh: + + + ≥ − + +4 4 2 2x y z 1 2xy(xy x z 1)
14. Chứng minh: Nếu a + b ≥ 1 thì: + ≥3 3
1
a b
4
15. Cho a, b, c là số ño ñộ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh:
a. ab + bc + ca ≤ a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca).
b. abc ≥ (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a)
c. 2a2b2 + 2b2c2 + 2c2a2 – a4 – b4 – c4 > 0
II. Chứng minh BðT dựa vào BðT CÔSI:
1. Chứng minh: + + + ≥ ≥(a b)(b c)(c a) 8abc ; a,b,c 0
2. Chứng minh: + + + + ≥ ≥2 2 2(a b c)(a b c ) 9abc ; a,b,c 0
3. Chứng minh: ( )( )( ) ( )+ + + ≥ +
331 a 1 b 1 c 1 abc với a , b , c ≥ 0
4. Cho a, b > 0. Chứng minh: +
+ + + ≥
m m
m 1a b1 1 2
b a
, với m ∈ Z+
5. Chứng minh: + + ≥ + + ≥
bc ca ab
a b c ; a,b,c 0
a b c
6. Chứng minh:
+
≥ − ≥
6 9
2 3x y 3x y 16 ; x,y 0
4
7. Chứng minh: + ≥ −
+
4 2
2
1
2a 3a 1
1 a
.
8. Chứng minh: ( )> −1995a 1995 a 1 , a > 0
9. Chứng minh: ( ) ( ) ( )+ + + + + ≥2 2 2 2 2 2a 1 b b 1 c c 1 a 6abc .
Tuyển tập Bất ñẳng thức Nguyễn ðức Thụy
2
10. Cho a , b > 0. Chứng minh:
+ + ≤ + +
+ + +2 2 2 2 2 2
a b c 1 1 1 1
2 a b ca b b c a c
11. Cho a , b ≥ 1 , chứng minh: ≥ − + −ab a b 1 b a 1.
12. Cho x, y, z > 1 và x + y + z = 4. Chứng minh: xyz ≥ 64(x – 1)(y – 1)(z – 1)
13. Cho a > b > c, Chứng minh: ( )( )≥ − −3a 3 a b b c c .
14. Cho: a , b , c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh:
a) b + c ≥ 16abc.
b) (1 – a)(1 – b)(1 – c) ≥ 8abc
c)
+ + + ≥
1 1 1
1 1 1 64
a b c
15. Cho x > y > 0 . Chứng minh:
( )
+ ≥
−
1
x 3
x y y
16. Chứng minh:
a)
+
≥
+
2
2
x 2
2
x 1
,∀x ∈ R b)
+
≥
−
x 8
6
x 1
, ∀x > 1 c)
+
≥
+
2
2
a 5
4
a 1
17. Chứng minh:
+ +
+ + ≤ >
+ + +
ab bc ca a b c
; a, b, c 0
a b b c c a 2
18. Chứng minh: + ≤
+ +
2 2
4 4
x y 1
41 16x 1 16y
, ∀x , y ∈ R
19. Chứng minh: + + ≥
+ + +
a b c 3
b c a c a b 2
; a , b , c > 0
20. Cho a , b , c > 0. C/m: + + ≤
+ + + + + +3 3 3 3 3 3
1 1 1 1
abca b abc b c abc c a abc
21. Áp dụng BðT Côsi cho hai số chứng minh:
a. + + + ≥ 4a b c d 4 abcd với a , b , c , d ≥ 0 (Côsi 4 s)
b. + + ≥ 3a b c 3 abc với a , b , c ≥ 0 , (Côsi 3 s )
22. Chứng minh: + + ≥ + +3 3 3 2 2 2a b c a bc b ac c ab ; a , b , c > 0
23. Chứng minh: + + ≥3 942 a 3 b 4 c 9 abc
24. Cho = +
x 18
y
2 x
, x > 0. ðịnh x ñể y ñạt GTNN.
25. Cho = + >
−
x 2
y ,x 1
2 x 1
. ðịnh x ñể y ñạt GTNN.
26. Cho = + > −
+
3x 1
y , x 1
2 x 1
. ðịnh x ñể y ñạt GTNN.
27. Cho = + >
−
x 5 1
y ,x
3 2x 1 2
. ðịnh x ñể y ñạt GTNN.
28. Cho = +
−
x 5
y
1 x x
, 0 < x < 1 . ðịnh x ñể y ñạt GTNN.
29. Cho
+
=
3
2
x 1
y
x
, x > 0 . ðịnh x ñể y ñạt GTNN.
30. Tìm GTNN của
+ +
=
2x 4x 4
f(x)
x
, x > 0.
31. Tìm GTNN của = +2
3
2
f(x) x
x
, x > 0.
32. Tìm GTLN của f(x) = (2x – 1)(3 – 5x)
33. Cho y = x(6 – x) , 0 ≤ x ≤ 6 . ðịnh x ñể y ñạt GTLN.
34. Cho y = (x + 3)(5 – 2x) , –3 ≤ x ≤
5
2
. ðịnh x ñể y ñạt GTLN
35. Cho y = (2x + 5)(5 – x) , − ≤ ≤
5
x 5
2
. ðịnh x ñể y ñạt GTLN
36. Cho y = (6x + 3)(5 – 2x) , −
1
2
≤ x ≤
5
2
. ðịnh x ñể y ñạt GTLN
37. Cho =
+2
x
y
x 2
. ðịnh x ñể y ñạt GTLN
Nguyễn ðức Thụy Tuyển tập Bất ñẳng thức
3
38. Cho
( )
=
+
2
32
x
y
x 2
. ðịnh x ñể y ñạt GTLN
III. Chứng minh BðT dựa vào BðT Bunhiacôpxki
1. Chứng minh: (ab + cd)2 ≤ (a2 + c2)(b2 + d2) BðT Bunhiacopxki
2. Chứng minh: + ≤sinx cosx 2
3. Cho 3a – 4b = 7. Chứng minh: 3a2 + 4b2 ≥ 7.
4. Cho 2a – 3b = 7. Chứng minh: 3a2 + 5b2 ≥
725
47
.
5. Cho 3a – 5b = 8. Chứng minh: 7a2 + 11b2 ≥
2464
137
.
6. Cho a + b = 2. Chứng minh: a4 + b4 ≥ 2.
7. Cho a + b ≥ 1 Chứng minh: + ≥2 2
1
a b
2
Lời giải:
I. Chứng minh BðT dựa vào ñịnh nghĩa và tính chất cơ bản:
1. Cho a, b > 0 chứng minh:
+ +
≥
33 3a b a b
2 2
(*)
(*) ⇔
+ +
− ≥
33 3a b a b
0
2 2
⇔ ( )( )+ − ≥2
3
a b a b 0
8
. ðPCM.
2. Chứng minh:
+ +
≤
2 2a b a b
2 2
()
a + b ≤ 0 , () luôn ñúng.
a + b > 0 , () ⇔
+ + +
− ≤
2 2 2 2a b 2ab a b
0
4 2
⇔
( )−
≥
2
a b
0
4
, ñúng.
Vậy:
+ +
≤
2 2a b a b
2 2
.
3. Cho a + b ≥ 0 chứng minh:
+ +
≥
3 3
3a b a b
2 2
⇔
( )+ +
≤
3 3 3a b a b
8 2
⇔ ( )( )− − ≤2 23 b a a b 0 ⇔ ( ) ( )− − + ≤23 b a a b 0 , ðPCM.
4. Cho a, b > 0 . Chứng minh: + ≥ +
a b
a b
b a
()
() ⇔ + ≥ +a a b b a b b a ⇔ ( ) ( )− − − ≥a b a a b b 0
⇔ ( ) ( )− − ≥a b a b 0 ⇔ ( ) ( )− + ≥
2
a b a b 0 , ðPCM.
5. Chứng minh: Với a ≥ b ≥ 1: + ≥
++ +2 2
1 1 2
1 ab1 a 1 b
()
⇔ + − − ≥
+ ++ +2 2
1 1 1 1
0
1 ab 1 ab1 a 1 b
⇔
( )( ) ( )( )
− −
+ ≥
+ + + +
2 2
2 2
ab a ab b
0
1 a 1 ab 1 b 1 ab
⇔
( )
( )( )
( )
( )( )
− −
+ ≥
+ + + +2 2
a b a b a b
0
1 a 1 ab 1 b 1 ab
⇔
−
− ≥ + + + 2 2
b a a b
0
1 ab 1 a 1 b
⇔
( )( )
− + − −
≥ + + +
2 2
2 2
b a a ab b ba
0
1 ab 1 a 1 b
⇔
( ) ( )
( )( )( )
− −
≥
+ + +
2
2 2
b a ab 1
0
1 ab 1 a 1 b
, ðPCM.
Vì : a ≥ b ≥ 1 ⇒ ab ≥ 1 ⇔ ab – 1 ≥ 0.
6. Chứng minh: ( )+ + + ≥ + +2 2 2a b c 3 2 a b c ; a , b , c ∈ R
⇔ ( ) ( ) ( )− + − + − ≥2 2 2a 1 b 1 c 1 0 . ðPCM.
7. Chứng minh: ( )+ + + + ≥ + + +2 2 2 2 2a b c d e a b c d e
⇔ − + + − + + − + + − + ≥
2 2 2 2
2 2 2 2a a a aab b ac c ad d ae e 0
4 4 4 4
Tuyển tập Bất ñẳng thức Nguyễn ðức Thụy
4
⇔ − + − + − + − ≥
2 2 2 2
a a a a
b c d e 0
2 2 2 2
. ðPCM
8. Chứng minh: + + ≥ + +2 2 2x y z xy yz zx
⇔ + + − − − ≥2 2 22x 2y 2z 2xy 2yz 2zx 0
⇔ ( ) ( ) ( )− + − + − ≥2 22x y x z y z 0
9. a. Chứng minh:
+ + + +
≥ ≥
a b c ab bc ca
; a,b,c 0
3 3
+ + ≥ + +2 2 2a b c ab bc ca
+ + + + + + + + +
= ≥
2 2 2 2a b c a b c 2ab 2bc 2ca ab bc ca
3 9 3
⇔
+ + + +
≥
a b c ab bc ca
3 3
b. Chứng minh:
+ + + +
≥
22 2 2a b c a b c
3 3
( ) ( )+ + = + + + + +2 2 2 2 2 2 2 2 23 a b c a b c 2 a b c
( ) ( )≥ + + + + + = + + 22 2 2a b c 2 ab bc ca a b c
⇒
+ + + +
≥
22 2 2a b c a b c
3 3
10. Chứng minh: + + ≥ − +
2
2 2a b c ab ac 2bc
4
⇔ ( )− − + + − ≥
2
2 2a a b c b c 2bc 0
4
⇔ ( ) − − ≥
2
a
b c 0
2
.
11. Chứng minh: + + ≥ + +2 2a b 1 ab a b
⇔ + + − − − ≥2 22a 2b 2 2ab 2a 2b 0
⇔ − + + + + + + + ≥2 2 2 2a 2ab b a 2a 1 b 2b 1 0
⇔ ( ) ( ) ( )− + − + − ≥2 2 2a b a 1 b 1 0 .
12. Chứng minh: + + ≥ − +2 2 2x y z 2xy 2xz 2yz
⇔ + + − + − ≥2 2 2x y z 2xy 2xz 2yz 0 ⇔ (x – y + z)2 ≥ 0.
13. Chứng minh: + + + ≥ − + +4 4 2 2x y z 1 2x(xy x z 1)
⇔ + + + − + − − ≥4 4 2 2 2 2x y z 1 2x y 2x 2xz 2x 0
⇔ ( ) ( ) ( )− + − + − ≥2 2 22 2x y x z x 1 0 .
14. Chứng minh: Nếu a + b ≥ 1 thì: + ≥3 3
1
a b
4
° a + b ≥ 1 ⇒ b ≥ 1 – a ⇒ b3 = (1 – a)3 = 1 – a + a2 – a3
⇒ a3 + b3 = − + ≥
2
1 1 1
3 a
2 4 4
.
15. Cho a, b, c là số ño ñộ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh:
a. ab + bc + ca ≤ a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca).
ab + bc + ca ≤ a2 + b2 + c2 ⇔ (a – b)2 + (a – c)2 + (b – c)2
> − > − > −a b c , b a c , c a b
⇒ > − +2 2 2a b 2bc c , > − +2 2 2b a 2ac c , > − +2 2 2c a 2ab b
⇒ a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca).
b. abc ≥ (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a)
( )> − − 22 2a a b c ⇒ ( )( )> + − + −2a a c b a b c
( )> − − 22 2b b a c ⇒ ( )( )> + − + −2b b c a a b c
( )> − − 22 2c c a b ⇒ ( )( )> + − + −2c b c a a c b
⇒ ( ) ( ) ( )> + − + − + −2 2 22 2 2a b c a b c a c b b c a
⇔ ( )( )( )> + − + − + −abc a b c a c b b c a
c. 2a2b2 + 2b2c2 + 2c2a2 – a4 – b4 – c4 > 0
Nguyễn ðức Thụy Tuyển tập Bất ñẳng thức
5
⇔ 4a2b2 + 2c2(b2 + a2) – a4 – b4 – 2a2b2 – c4 > 0
⇔ 4a2b2 + 2c2(b2 + a2) – (a2 + b2)2 – c4 > 0
⇔ (2ab)2 – [(a2 + b2) – c2]2 > 0 ⇔ [c2 – (a – b)2][(a + b)2 – c2] > 0
⇔ (c – a + b)(c + a – b)(a + b – c)(a + b + c) > 0 . ñúng
° Vì a , b , c là ba cạnh của tam giác
⇒ c – a + b > 0 , c + a – b > 0 , a + b – c > 0 , a + b + c > 0.
II. Chứng minh BðT dựa vào BðT CÔSI:
1. Chứng minh: + + + ≥ ≥(a b)(b c)(c a) 8abc ; a, b, c 0
Áp dụng bất ñẳng thức Côsi cho hai số không âm:
⇒ + ≥a b 2 ab , + ≥b c 2 bc , + ≥a c 2 ac
⇒ ( )( ) ( )+ + + ≥ =2 2 2a b b c a c 8 a b c 8abc .
2. Chứng minh: + + + + ≥ ≥2 2 2(a b c)(a b c ) 9abc ; a,b,c 0
Áp dụng bất ñẳng thức Côsi cho ba số không âm:
⇒ + + ≥ 3a b c 3 abc , + + ≥ 32 2 2 2 2 2a b c 3 a b c
⇒ ( )( )+ + + + ≥ =32 2 2 3 3 3a b c a b c 9 a b c 9abc .
3. Chứng minh: ( )( )( ) ( )+ + + ≥ +
331 a 1 b 1 c 1 abc , với a , b , c ≥ 0.
( )( )( )+ + + = + + + + + + +1 a 1 b 1 c 1 a b c ab ac bc abc.
+ + ≥ 3a b c 3 abc , + + ≥ 3 2 2 2ab ac bc 3 a b c
( )( )( ) ( )+ + + ≥ + + + = +
33 2 2 23 31 a 1 b 1 c 1 3 abc 3 a b c abc 1 abc
4. Cho a, b > 0. Chứng minh: +
+ + + ≥
m m
m 1a b1 1 2
b a
, với m ∈ Z+
+
+ + + ≥ + + = + +
≥ =
m m m m m
m m 1
a b a b b a
1 1 2 1 . 1 2 2
b a b a a b
2 4 2
5. Chứng minh: + + ≥ + + >
bc ca ab
a b c ; a, b, c 0
a b c
Áp dụng BðT Côsi cho hai số không âm:
+ ≥ =
2bc ca abc
2 2c
a b ab
, + ≥ =
2bc ba b ac
2 2b
a c ac
, + ≥ =
2ca ab a bc
2 2a
b c bc
⇒ + + ≥ + +
bc ca ab
a b c
a b c
.
6. Chứng minh:
+
≥ − ≥
6 9
2 3x y 3x y 16 ; x,y 0
4
()
() ⇔ + + ≥6 9 2 3x y 64 12x y ⇔ ( ) ( )+ + ≥3 32 3 3 2 3x y 4 12x y
Áp dụng BðT Côsi cho ba số không âm:
( ) ( )+ + ≥ =3 32 3 3 2 3 2 3x y 4 3x y 4 12x y .
7. Chứng minh: + ≥ −
+
4 2
2
1
2a 3a 1
1 a
()
() ⇔ + + + + ≥
+
4 4 2 2
2
1
a a a 1 4a
1 a
.
Áp dụng BðT Côsi cho 4 số không âm: +
+
4 4 2
2
1
a , a , a 1,
1 a
( )+ + + + ≥ + =
+ +
4 4 2 4 4 2 24
2 2
1 1
a a a 1 4 a a a 1 4a
1 a 1 a
8. Chứng minh: ( )> −1995a 1995 a 1 () , a > 0
() ⇔ > − ⇔ + >1995 1995a 1995a 1995 a 1995 1995a
+ > + = + + + + ≥ =
19951995 1995 1995 1995
1994 soá
a 1995 a 1994 a 1 1 ... 1 1995 a 1995a
Tuyển tập Bất ñẳng thức Nguyễn ðức Thụy
6
9. Chứng minh: ( ) ( ) ( )+ + + + + ≥2 2 2 2 2 2a 1 b b 1 c c 1 a 6abc .
° ( ) ( ) ( )+ + + + + = + + + + +2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2a 1 b b 1 c c 1 a a a b b b c c c a
Áp dụng bất ñẳng thức Côsi cho 6 số không âm:
° + + + + + ≥ =62 2 2 2 2 2 2 2 2 6 6 6a a b b b c c c a 6 a b c 6abc
10. Cho a , b > 0. Chứng minh:
+ + ≤ + +
+ + +2 2 2 2 2 2
a b c 1 1 1 1
2 a b ca b b c a c
° ≤ =
+2 2
a a 1
2ab 2ba b
, ≤ =
+2 2
b b 1
2bc 2cb c
, ≤ =
+2 2
c c 1
2ac 2aa c
° Vậy:
+ + ≤ + +
+ + +2 2 2 2 2 2
a b c 1 1 1 1
2 a b ca b b c a c
11. Cho a , b ≥ 1 , chứng minh: ≥ − + −ab a b 1 b a 1.
° ( ) ( )= − + ≥ − = − + ≥ −a a 1 1 2 a 1, b b 1 1 2 b 1
° ≥ − ≥ −ab 2b a 1 , ab 2a b 1
° ≥ − + −ab a b 1 b a 1
12. Cho x, y, z > 1 và x + y + z = 4. C/m: xyz ≥ 64(x – 1)(y – 1)(z – 1)
° ( ) ( )= − + = − + + + −x x 1 1 x 1 x y z 3
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )= − + − + − + − ≥ − − −24x 1 x 1 y 1 z 1 4 x 1 y 1 z 1
Tương tự: ( )( ) ( )≥ − − −24y 4 x 1 y 1 z 1 ; ( )( )( )≥ − − − 24z 4 x 1 y 1 z 1
⇒ xyz ≥ 64(x – 1)(y – 1)(z – 1).
13. Cho a > b > c, Chứng minh: ( )( )≥ − −3a 3 a b b c c .
° ( ) ( ) ( )( )= − + − + ≥ − −3a a b b c c 3 a b b c c
14. Cho: a , b , c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh:
a) b + c ≥ 16abc.
°
+
≥
2
b c
bc
2
⇔ ( )
+ −
≤ = = −
2 2
2b c 1 a
16abc 16a 16a 4a 1 a
2 2
° ( ) ( )( ) ( ) ( ) − = − − = − − − ≤ − = + 2 224a 1 a 1 a 4a 4a 1 a 1 1 2a 1 a b c
b) (1 – a)(1 – b)(1 – c) ≥ 8abc
° (1 – a)(1 – b)(1 – c) = (b + c)(a + c)(a + b) ≥ =2 bc.2 ac.2 ab 8abc
c)
+ + + ≥
1 1 1
1 1 1 64
a b c
°
+ + +
+ = ≥
4 21 a a b c 4 a bc
1
a a a
° + ≥
4 21 4 ab c
1
b b
° + ≥
4 21 4 abc
1
c c
+ + + ≥
1 1 1
1 1 1 64
a b c
15. Cho x > y > 0 . Chứng minh:
( )
+ ≥
−
1
x 3
x y y
( )
( )
( )
( )
−
= − + + ≥ =
− −
3
x y y1
VT x y y 3 3
x y y x y y
16. Chứng minh:
a)
+
≥
+
2
2
x 2
2
x 1
⇔ + ≥ +2 2x 2 2 x 1 ⇔ + + ≥ +2 2x 1 1 2 x 1
b)
+
−
x 8
x 1
=
− +
= − + ≥ − =
− − −
x 1 9 9 9
x 1 2 x 1 6
x 1 x 1 x 1
c. ( ) ( )+ + ≥ + = +2 2 2a 1 4 2 4 a 1 4 a 1 ⇔ + ≥
+
2
2
a 5
4
a 1
17. Chứng minh:
+ +
+ + ≤ >
+ + +
ab bc ca a b c
; a, b, c 0
a b b c c a 2
Nguyễn ðức Thụy Tuyển tập Bất ñẳng thức
7
° Vì : + ≥a b 2 ab
⇒ ≤ =
+
ab ab ab
a b 22 ab
, ≤ =
+
bc bc bc
b c 22 bc
, ≤ =
+
ac ac ac
a c 22 ac
° + + ≥ + +a b c ab bc ca , dựa vào: + + ≥ + +2 2 2a b c ab bc ca .
°
+ + + +
+ + ≤ ≤
+ + +
ab bc ca ab bc ac a b c
a b b c c a 2 2
18. Chứng minh: + ≤
+ +
2 2
4 4
x y 1
41 16x 1 16y
, ∀x , y ∈ R
°
( )
= ≤ =
+ +
2 2 2
4 2 2
x x x 1
81 16x 2.4x1 4x
°
( )
= ≤ =
+ +
2 2 2
4 2 2
y y y 1
81 16y 2.4y1 4y
+ ≤
+ +
2 2
4 4
x y 1
41 16x 1 16y
19. Chứng minh: + + ≥
+ + +
a b c 3
b c a c a b 2
; a , b , c > 0
ðặt X = b + c , Y = c + a , Z = a + b.
° a + b + c =
1
2
(X + Y + Z)
°
+ − + − + −
= = =
Y Z X Z X Y X Y Z
a , b , c
2 2 2
°
+ + = + + + + + − + + +
a b c 1 Y X Z X Z Y
3
b c a c a b 2 X Y X Z Y Z
[ ]≥ + + − =
1 3
2 2 2 3
2 2
.
Cách khác:
° + + = + + + + + −
+ + + + + +
a b c a b c
1 1 1 3
b c a c a b b c a c a b
( ) ( ) ( )[ ] = + + + + + + + −
+ + +
1 1 1 1
a b b c c a 3
2 b c a c a b
Áp dụng bất ñẳng thức Côsi cho ba số không âm:
° ( ) ( ) ( )[ ] + + + + + + + ≥ − =
+ + +
1 1 1 1 9 3
a b b c c a 3
2 b c a c a b 2 2
20. Cho a , b , c > 0. C/m:
+ + ≤
+ + + + + +3 3 3 3 3 3
1 1 1 1
abca b abc b c abc c a abc
° ( )( ) ( )+ = + − + ≥ +3 3 2 2a b a b a ab a a b ab
⇒ ( ) ( )+ + ≥ + + = + +3 3a b abc a b ab abc ab a b c , tương tự
° ( ) ( )+ + ≥ + + = + +3 3b c abc b c bc abc bc a b c
° ( ) ( )+ + ≥ + + = + +3 3c a abc c a ca abc ca a b c
( ) ( ) ( )
+ +
≤ + + =
+ + + + + + + +
1 1 1 1 a b c
VT
ab a b c bc a b c ca a b c a b c abc
21. Áp dụng BðT Côsi cho hai số chứng minh:
a. + + + ≥ 4a b c d 4 abcd với a , b , c , d ≥ 0 (Côsi 4 s)
+ ≥ + ≥a b 2 ab , c d 2 cd
( ) ( )+ + ≥ + ≥ ≥ 4a b cd 2 ab cd 2 2 ab. cd 4 abcd
b. + + ≥ 3a b c 3 abc với a , b , c ≥ 0 , (Côsi 3 s )
+ + + +
+ + + ≥ 4
a b c a b c
a b c 4. abc
3 3
⇔
+ + + +
≥ 4
a b c a b c
abc
3 3
⇔
+ + + +
≥
4
a b c a b c
abc
3 3
Tuyển tập Bất ñẳng thức Nguyễn ðức Thụy
8
⇔
+ +
≥
3
a b c
abc
3
⇔ + + ≥ 3a b c 3 abc .
22. Chứng minh: + + ≥ + +3 3 3 2 2 2a b c a bc b ac c ab ; a , b , c > 0
° + ≥3 2a abc 2a bc , + ≥3 2b abc 2b ac , + ≥3 2c abc 2c ab
° ( )+ + + ≥ + +3 3 3 2 2 2a b c 3abc 2 a bc b ac c ab
⇒ ( ) ( )+ + ≥ + +3 3 3 2 2 22 a b c 2 a bc b ac c ab ,
vì : + + ≥3 3 3a b c 3abc
Vậy: + + ≥ + +3 3 3 2 2 2a b c a bc b ac c ab
23. Chứng minh: + + ≥3 942 a 3 b 4 c 9 abc
Áp dụng bất ñẳng thức Côsi cho 9 số không âm:
° = + + + + + + + + ≥3 3 3 94 4 4 4VT a a b b b c c c c 9 abc
24. Cho = +
x 18
y
2 x
, x > 0. ðịnh x ñể y ñạt GTNN.
Áp dụng BðT Côsi cho hai số không âm: = + ≥ =
x 18 x 18
y 2 . 6
2 x 2 x
° Dấu “ = ” xảy ra ⇔ = ⇔ = ⇔ = ±2
x 18
x 36 x 6
2 x
, chọn x = 6.
Vậy: Khi x = 6 thì y ñạt GTNN bằng 6
25. Cho = + >
−
x 2
y ,x 1
2 x 1
. ðịnh x ñể y ñạt GTNN.
−
= + +
−
x 1 2 1
y
2 x 1 2
Áp dụng bất ñẳng thức Côsi cho hai số không âm
−
−
x 1 2
,
2 x 1
:
− −
= + + ≥ + =
− −
x 1 2 1 x 1 2 1 5
y 2 .
2 x 1 2 2 x 1 2 2
° Dấu “ = ” xảy ra ⇔ ( )
=−
= ⇔ − = ⇔ = −−
2 x 3x 1 2
x 1 4
x 1(loaïi)2 x 1
Vậy: Khi x = 3 thì y ñạt GTNN bằng
5
2
26. Cho = + > −
+
3x 1
y , x 1
2 x 1
. ðịnh x ñể y ñạt GTNN.
+
= + −
+
3(x 1) 1 3
y
2 x 1 2
Áp dụng bất ñẳng thức Côsi cho hai số không âm
( )+
+
3 x 1 1
,
2 x 1
:
( ) ( )+ +
= + − ≥ − = −
+ +
3 x 1 1 3 3 x 1 1 3 3
y 2 . 6
2 x 1 2 2 x 1 2 2
° Dấu “ = ” xảy ra ⇔ ⇔
( )
( )
= −+ = ⇔ + = ⇔
+
= − −
2
6
x 1
3 x 1 1 2 3x 1
2 x 1 3 6
x 1(loaïi)
3
Vậy: Khi = −
6
x 1
3
thì y ñạt GTNN bằng −
3
6
2
27. Cho = + >
−
x 5 1
y ,x
3 2x 1 2
. ðịnh x ñể y ñạt GTNN.
−
= + +
−
2x 1 5 1
y
6 2x 1 3
Áp dụng bất ñẳng thức Côsi cho hai số không âm
−
−
2x 1 5
,
6 2x 1
:
Nguyễn ðức Thụy Tuyển tập Bất ñẳng thức
9
− − +
= + + ≥ + =
− −
2x 1 5 1 2x 1 5 1 30 1
y 2 .
6 2x 1 3 6 2x 1 3 3
Dấu “ = ” xảy ra
⇔ ( )
+
=− = ⇔ − = ⇔
− − +
=
2
30 1
x
2x 1 5 22x 1 30
6 2x 1 30 1
x (loaïi)
2
Vậy: Khi
+
=
30 1
x
2
thì y ñạt GTNN bằng
+30 1
3
28. Cho = +
−
x 5
y
1 x x
, 0 < x < 1 . ðịnh x ñể y ñạt GTNN.
°
( )− + − −
= + = + + ≥ + = +
− − −
x 5 1 x 5x x x 1 x 1 x
f(x) 5 5 2 5 5 2 5 5
1 x x 1 x x 1 x x
Dấu “ = ‘ xảy ra ⇔
− −
= ⇔ = ⇔ =
− −
2
x 1 x x 5 5
5 5 x
1 x x 1 x 4
(0 < x < 1)
° Vậy: GTNN của y là +2 5 5 khi
−
=
5 5
x
4
29. Cho
+
=
3
2
x 1
y
x
, x > 0 . ðịnh x ñể y ñạt GTNN.
°
+
= + = + + ≥ =
3
3
2 2 2 2 3
x 1 1 x x 1 x x 1 3
x 3
2 2 2 2 4x x x x
° Dấu “ = ‘ xảy ra ⇔ = =
2
x x 1
2 2 x
⇔ = 3x 2 .
° Vậy: GTNN của y là
3
3
4
khi = 3x 2
30. Tìm GTNN của
+ +
=
2x 4x 4
f(x)
x
, x > 0.
°
+ +
= + + ≥ + =
2x 4x 4 4 4
x 4 2 x. 4 8
x x x
° Dấu “ = ‘ xảy ra ⇔ =
4
x
x
⇔ x = 2 (x > 0).
° Vậy: GTNN của y là 8 khi x = 2.
31. Tìm GTNN của = +2
3
2
f(x) x
x
, x > 0.
°
+ = + + + + ≥ =
3 22 2 2 2
2 5
3 3 3 3 5
2 x x x 1 1 x 1 5
x 5
3 3 3 3 27x x x x
° Dấu “ = ‘ xảy ra ⇔ = ⇔ =
2
5
3
x 1
x 3
3 x
⇔ x = 2 (x > 0).
° Vậy: GTNN của y là
5
5
27
khi = 5x 3 .
32. Tìm GTLN của f(x) = (2x – 1)(3 – 5x)
° f(x) = –10x2 + 11x – 3 = − − − = − − + ≤
2
2 11x 11 1 110 x 3 10 x
10 20 40 40
° Dấu “ = “ xảy ra ⇔ =
11
x
20
° Vậy: Khi =
11
x
20
thì y ñạt GTLN bằng
1
40
.
33. Cho y = x(6 – x) , 0 ≤ x ≤ 6 . ðịnh x ñể y ñạt GTLN.
Áp dụng BðT Côsi cho 2 số không âm x và 6 – x (vì 0 ≤ x ≤ 6):
° ( ) ( )= + − ≥ −6 x 6 x 2 x 6 x ⇒ x(6 – x) ≤ 9
° Dấu “ = “ xảy ra ⇔ x = 6 – x ⇔ x = 3
° Vậy: Khi x = 3 thì y ñạt GTLN bằng 9.
Tuyển tập Bất ñẳng thức Nguyễn ðức Thụy
10
34. Cho y = (x + 3)(5 – 2x) , –3 ≤ x ≤
5
2
. ðịnh x ñể y ñạt GTLN.
y = (x + 3)(5 – 2x) =
1
2
(2x + 6)(5 – 2x)
Áp dụng BðT Côsi cho 2 số không âm 2x + 6 và 5 – 2x ,
− ≤ ≤
5
3 x
2
:
° ( ) ( ) ( ) ( )= + + − ≥ + −11 2x 6 5 2x 2 2x 6 5 2x ⇒
1
2
(2x + 6)(5 – 2x) ≤
121
8
° Dấu “ = “ xảy ra ⇔ 2x + 6 = 5 – 2x ⇔ = −
1
x
4
° Vậy: Khi = −
1
x
4
thì y ñạt GTLN bằn