Tuyển tập đề thi học sinh giỏi Tỉnh Nghệ An -Môn Toán lớp 10(Tù 1992-1992 tới 2003-2004)

Tuyển tập đề thi HSG Tỉnh Nghệ An - Môn Toán lớp 10(Tù 1992-1992 tới 2003-2004) Đề số 1 (Năm học 1992-1993) Bài 1: Cho a, b, c, d nguyên, thoả mãn hệ thức:      cd1ab dcba Chứng minh rằng: c = d. Bài 2: Chứng minh:      222222 1x2dcxxbaxx  Với mọi a, b, c, d thoả mãn điều kiện 1dcba 2222  . Bài 3: Cho 1021 a,..a,a là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  92110 2 10 2 2 2 1 a...aaa a...aa P    . Bài 4: Trong mặt phẳng toạ độ, cho các điểm A(-2; -1), B(2; -4). a) Tìm điểm C trên Ox sao cho các véc tơ CB,OA cùng phương? b) Tìm trên đường thẳng x = 1 điểm M sao cho 045MBA  . Đề số 2 (Năm học 1993-1994) Bài 1: Cho phương trình: k5xx4  . a) Giải phương trình với k = 3. b) Tìm các giá trị của k để phương trình có nghiệm duy nhất. Bài 2: Xác định các số thực a, b thoả mãn các điều kiện sau: i) Hai phương trình 01axx 2  và 02bxx 2  có một nghiệm chung. ii) Tổng ba  nhỏ nhất. Bài 3: Tìm nghiệm hữu tỷ của phương trình: 05x2x3y 22  Bài 4: Cho tam giác ABC: A(-1; 2), B(2; 1), C(-3;-3). a) Xác định toạ độ điểm M thỏa mãn: 0MC4MB3MA2  . b) Tìm tập hợp điểm N sao cho: 222 NC2NBNA  . Tuyển tập đề thi HSG Tỉnh Nghệ An - Môn Toán lớp 10(Tù 1992-1992 tới 2003-2004) Đề số 3 (Năm học 1994 – 1995) Bài 1: a) Chứng minh:   71923 189019451930 592  b) Đơn giản biểu thức: xsin1 xsin1. xcos1 xcos1 xcos1 xcos.xsinA       (với 00 180x0  ) Bài 2: Cho hàm số 1x68x1x2x)x(f  a) Tìm tập xác định D của hàm số. b) Tìm các giá trị xD sao cho f(x) là hằng số. Bài 3: a) cho tam giác ABC có các cạnh a, b, c. Tìm phương tích của trọng tâm G của tam giác đối với đường tròn ngoại tiếp tam giác ấy. b) Giả sử đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh AB, BC, CA lần lượt tại M, N, P thoả mãn 0CMBPAN  . Chứng minh tam giác ABC đều. Đề số 4 (Năm học 1995-1996) Bài 1: Giải hệ phương trình sau với các ẩn số x, y, z:         8zyx 6zyx 2zyx 333 222 Bài 2: a) Cho 1cbaRc,b,a   vµ . Chứng minh rằng: 6accbba  b) Gọi 21 x,x là nghiệm của hệ:         0, 1xx 0xx 21 21 Chứng minh rằng: 4 1x.x 21  Bài 3: Cho tam giác ABC. a) Tìm tập hợp các điểm I thoả mãn hệ thức: 0IC6IB3IA  . Tuyển tập đề thi HSG Tỉnh Nghệ An - Môn Toán lớp 10(Tù 1992-1992 tới 2003-2004) b) Cho 2 điểm E và F di động trong mặt phẳng thoả mãn điều kiện: EC2EBEA 3 1EF  . Tìm bao hình của đường thẳng EF. Bài 4: Cho đường tròn tâm O bán kính R và một điểm K cố định nằm trong đường tròn với OK = k  0. Qua điểm K dựng dây cung AB nào đó. Hãy xác định vị trí dây cung AB trong mỗi trường hợp sau: a) Tổng 22 KBKA  đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị đó. b) Tổng 22 KBKA  đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị đó. Đề số 5 (Năm học 1996-1997) Bài 1: Giải hệ phương trình:                0 yx x3yy 3 yx y3xx 22 22 Bài 2: Chứng minh bất đẳng thức: 1n,n;2 n n1 n n1 n n n n  Z . Bài 3: Chứng minh rằng diện tích tam giác ABC có thể tính theo công thức:      BABCBCBA yyxxyyxx2 1S  . Bài 4: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O;R). M là điểm chuyển động trên O. Tìm vị trí của điểm M để biểu thức: 222 MC3MB2MAT  đạt giá trị bé nhất, đạt giá trị lớn nhất. Tính các giá trị đó. Đề số 6 (Năm học 1997 – 1998) Bài 1: a) Cho    43x/RxB;32x/RxA  . Tìm BA;BA  ? b) Cho tập hợp 6 điểm trên mặt phẳng  654321 A;A;A;A;A;A trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Mỗi đoạn jiAA nối 2 trong 6 điểm đó được tô bằng màu đỏ hoặc xanh. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một tam giác kji AAA có 3 cạnh đồng màu. Bài 2: Cho phương trình: 01mx4x2  a) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm âm. Tuyển tập đề thi HSG Tỉnh Nghệ An - Môn Toán lớp 10(Tù 1992-1992 tới 2003-2004) b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt 21 xx  thoả mãn: 7 x x x x 2 1 2 2 2 2 2 1  c) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 53 )x2(x)x(f  trên [0; 2]. Bài 3: a) Cho ABC. Chứng minh: Asin Ccos Csin Bcos Bsin AcosCgcotBgcotAgcot 3 3 3 3 3 3 333  b) Cho đoạn thẳng AB và điểm M nằm giữa A, B. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB dựng 2 hình vuông AMNP và MBQR. Chứng minh: BNAR . Đề số 7 (Năm học 1998 –1999) Bảng A Bài 1: Chứng minh rằng nếu phương trình:       2222 cbyaxyx  có nghiệm thì bất đẳng thức sau đúng:  22 bac3  . Bài 2: Cho hàm số: **:f  QN thoả mãn điều kiện: a) 2)1(f  , và b) 1n)n(fn)n(f...)2(f)1(f 2  . Hãy tìm công thức đơn giản của )n(f ? Bài 3: Giải phương trình: 20xx1x59x14x5 22  . Bài 4: a) Cho n véc tơ n21 a,...,a,a đôi một không cộng tuyến. Trong đó tổng (n-1) véc tơ bất trong n véc tơ cộng tuyến với véc tơ còn lại. Chứng minh rằng: 0a...aaa n21  . (Hai véc tơ cộng tuyến là 2 véc tơ nằm trên hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau). b) Cho ABC, AM và BN là hai trung tuyến. Chứng minh rằng: tgB 1 tgA 1 tgC 2BNAM  . Đề số 8 (Năm học 1998-1999) Bảng B Bài 1: Cho x, y là các số thực thoả mãn: x, y > 0; x+y  1. Tuyển tập đề thi HSG Tỉnh Nghệ An - Môn Toán lớp 10(Tù 1992-1992 tới 2003-2004) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: xy4 xy 2 yx 1P 22   . Bài 2: (Bài 2 bảng A). Bài 3: Giải phương trình: 21xx1xx 24 2  . Bài 4: a) Cho O là điểm bất kỳ trong ABC. Chứng minh: 0OC.SOB.SOA.S AOBAOCBOC  b) Cho ABC (BC=a, CA=b, AB=c). Chứng minh rằng: Nếu a+b < 3c thì: 2 1 2 Btg. 2 Atg  . Đề số 9 (Năm học 1999-2000) Bài 1: Cho )3,2,1i(,b,a ii R . a) Chứng minh rằng:     2332211232221232221 babababbbaaa  b) Giả sử .4aaaaaa 133221  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 43 4 2 4 1 aaaP  . Bài 2: a) Giải hệ phương trình:                3 zy yz 2 zx xz 1 yx xy b) Tìm tất cả các số nguyên x, y, z thoả mãn phương trình: 0z9y3x 333  Bài 3: a) Cho 0b,0a  . Chứng minh rằng:  b,acos.b.ab.a  b) Chứng minh rằng trong tam giác ABC có các trung tuyến ứng với các cạnh AB và BC vuông góc thì 5 4Bcos  . c) Cho ABC không cân, đường tròn tâm O nội tiếp trong tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tương ứng ở A1, B1, C1. Gọi M là giao điểm của BC và B1C1. Chứng minh rằng: MO vuông góc với AA1. Tuyển tập đề thi HSG Tỉnh Nghệ An - Môn Toán lớp 10(Tù 1992-1992 tới 2003-2004) Đề số 10 (Năm học 2000-2001) Bài 1: a) Tìm giá trị của m để phương trình: 0m1mxx 22  có nghiệm ]1;1[x  . b) Cho hệ phương trình:               1n 2 n n1n 2 1n 32 2 2 21 2 1 xcbxax xcbxax ............................ xcbxax xcbxax Tìm điều kiện đối với a, b, c để hệ trên: - vô nghiệm. - có nghiệm duy nhất. Bài 2: Tìm tất cả các cặp số nguyên không âm (a;b) để phương trình 0baabxx2  có nghiệm nguyên. Bài 3: a) Cho ABC và 3 điểm A’, B’, C’ là trung điểm các cạnh BC, CA, AB. Tính giá trị biểu thức 'CC.AB'BB.CA'AA.BCS  b) Cho ABC có AB = 3, BC = 5, AC = 7 và AD, CE là phân giác trong cắt nhau tại P. Tính AP. Bài 4: a) Tìm điểm M trong ABC để MA+MB+MC nhỏ nhất. b) Xét tứ giác lồi ABCD có độ dài đường chéo AC, BD cho trước và góc giữa hai đường chéo đó có độ lớn đã cho. Hãy xác định tứ giác có chu vi nhỏ nhất. Đề số 11 (Năm học 2001-2002) Bảng A Bài 1: a) Dùng lý thuyết mệnh đề để chứng minh nhận định sau là sai: “Mọi hình tứ giác đều có một đường tròn ngoại tiếp nó”. b) Giải phương trình: 03x24x4x 24  . Bài 2: a) Cho x, y, z không âm thoả mãn: 4xyzzxyzxy  . Chứng minh rằng: zxyzxyzyx  b)Tìm tất cả các đa thức P(x) thoả mãn: )x(P)2002x()1x(xP  . Bài 3: a) Cho ABC, O là điểm sao cho 0OCOBOA   . Đường thẳng () cắt các đường thẳng OA, OB, OC lần lượt tại A’, B’, C’. Chứng minh rằng: Tuyển tập đề thi HSG Tỉnh Nghệ An - Môn Toán lớp 10(Tù 1992-1992 tới 2003-2004) 0 'OC OC 'OB OB 'OA OA  b) Cho ABC, ta vẽ các đường phân giác trong. Giao điểm A’, B’, C’ của chúng với các cạnh đối diện tạo thành A’B’C’. Chứng minh rằng:    accbba abc2 )ABC(S )'C'B'A(S   (S là diện tích tam giác và a, b, c là độ dài các cạnh). Đề số 12 (Năm học 2001-2002). Bảng B Bài 1: (Bài 1 của bảng A) Bài 2: a) Với giá trị nào của k thì hệ sau có nghiệm:      04kx 06x5x 2 b) Bài 2a) bảng A. Bài 3: Cho ABC, O là điểm sao cho 0OCOBOA   . a) Chứng minh O là trọng tâm ABC. b) Gọi AA’, BB’, CC’ là các trung tuyến của tam giác, O là trọng tâm và a, b, c là độ dài 3 cạnh. Chứng minh rằng: 6 cbaMO3MC.MB'MA.MA2 222 2  Đề số 13 (Năm học 2002-2003) Bảng A Bài 1: a) Chứng minh rằng trong một tam giác bất kỳ ABC có cạnh là a, b, c thì: 3 a c c b b a  . b) Giả sử phân giác của góc A cắt BC tại Y, phân giác của góc B cắt AC tại Z, phân giác của góc C cắt AB tại X. Chứng minh rằng: 3 ZA CZ YC BY XB AX  . Bài 2: a) Cho a, b, c, x, y, z là các số thực thoả mãn: ;36zyx;25cba 222222  30czbyax  . Hãy tính giá trị biểu thức: zyx cbaP    . b) Cho hai phương trình 0a2x3x2  và 0a5x6x2  Tuyển tập đề thi HSG Tỉnh Nghệ An - Môn Toán lớp 10(Tù 1992-1992 tới 2003-2004) Tìm tất cả các giá trị của a để mỗi phương trình đều có 2 nghiệm phân biệt và giữa 2 nghiệm của phương trình này có đúng một nghiệm của phương trình kia. Câu 3: a) Cho 2 điểm A, B cố định với AB = a. Tìm tập hợp những điểm P thoả mãn 222 kPBPA  (k là số thực không âm). b) Xét hình chữ nhật ABCD và điểm M di động trên BC. Phân giác góc DAM cắt BC tại N. Hãy xác định vị trí của M để MN AN đạt giá trị nhỏ nhất. Đề số 14 (Năm học 2002-2003) Bảng B: Bài 1: a) Bài 1a - Bảng A. b) Cho a, b, c >0 và a + b + c = 1. Chứng minh rằng: 6accbba  . Bài 2: Bài 2 – Bảng A. Bài 3: a) Bài 3a – Bảng A. b) Cho tam giác ABC và P là một điểm thuộc mặt phẳng tam giác. Gọi K, L, M lần lượt là hình chiếu vuông góc của P lên các đường thẳng BC, CA, AB. Hãy xác định vị trí của P sao cho tổng 222 AMCLBK  nhỏ nhất. Đề số 15 (Năm học 2003-2004) Bảng A: Bài 1: a. Giải phương trình 07x12x6xx2 22  b. Giả sử đa thức f(x) có các hệ số nguyên và các giá trị f(0); f(1) là những số lẻ. Chứng minh rằng f(x) không thể có nghiệm nguyên. Bài 2: a. Tìm điều kiện để hàm số sau xác định trên [0; 1) 1mx2mxy  b. Cho a, b, x, y thoả mãn các điều kiện: 4ab0  y3x2 7ba   Tìm giá ttrị nhỏ nhất của 22 ba y 2y x 1x2 s    Bài 3: Cho tam giác đều ABC cạnh a. Trên các cạnh BC, CA, AB của tam giác, lấy các điểm M, N, P sao cho .ax0,xAP; 3 a2CN; 3 aBM  Tuyển tập đề thi HSG Tỉnh Nghệ An - Môn Toán lớp 10(Tù 1992-1992 tới 2003-2004) a. Tính x theo a để cho AM vuông góc PN. b. Cho H là một điểm thuộc miền của tam giác ABC nói trên. Gọi H1H2H3 lần lượt là các điểm đối xứng của H qua các cạnh của tam giác ấy. Chứng minh rằng trọng tâm của tam giác H1H2H3 không phụ thuộc vào vị trí của điểm H. Đề số 16 (Năm học 2003-2004) Bài 1: Bài 1 của Bảng A. Bài 2: a) Bài 2a Bảng A. b) Cho a, b, c thoả mãn:      1cabcab 2cba 222 . Chứng minh rằng:     3 4; 3 4c,b,a Bài 3: Cho tam giác đều ABC cạnh a. Trên các cạnh BC, CA, AB của tam giác, lấy các điểm M, N, P sao cho .ax0,xAP; 3 a2CN; 3 aBM  a. Chứng minh )AB a x3AC( 3 1PN  . b. Tính x theo a để cho AM vuông góc PN.