Ứng dụng các phép biến hình vào giải toán hình học

Kiến thức Trang MỞ ĐẦU Lý do chọn đề tài 4 Mục đích nghiên cứu 5 Đối tượng ngiên cứu 5 Giới hạn của đề tài 5 Nhiệm vụ của đề tài 5 Phương pháp nghiên cứu 5 Thời gian nghiên cứu 6 NỘI DUNG Cơ sở lí luận 7 Cơ sở triết học 7 Cơ sở tâm lí học 7 Cơ sở giáo dục học 8 Thực trạng của đề tài 8 Thời gian và các bước tiến hành 8 Khảo sát chất lượng đầu năm môn hình học 8 Tìm hiểu nguyên nhân dẫn đến kết quả trên 8 Giải quyết vấn đề 9 Định nghĩa phép biến hình 9 Một số tính chất của phép biến hình 11 Biểu thức toạ độ của một số phép biến hình 11 Các dạng bài tập cơ bản 12 KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 25 Kết quả 25 Kết luận 25 Khuyến nghị 26 TÀI LIỆU THAM KHẢO 27 MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1.Lý do chọn đề tài Mục tiêu đào tạo của nhà trường phổ thông Việt Nam là hình thành những cơ sở ban đầu và trọng yếu của con người mới: phát triển toàn diện phù hợp với yêu cầu và điều kiện hoàn cảnh đất nước con người Việt Nam. Trong giai đoạn hiện nay, mục tiêu đào tạo của nhà trường phổ thông Việt Nam đã được cụ thể hoá trong các văn kiện của Đảng, đại hội đại biểu toàn quốc lần thứ VIII Đảng cộng sản Việt Nam và kết luận của hội nghị trung ương khoá IX, mục tiêu này gắn với chính sách chung về giáo dục và đào tạo “ Giáo dục và đào tạo gắn liền với sự phát triển kinh tế, phát triển khoa học kĩ thuật xây dựng nền văn hoá mới và con người mới…” “Chính sách giáo dục mới hướng vào bồi dưỡng nhân lực, nâng cao dân trí, bồi dưỡng nhân tài, hình thành đội ngũ lao động có trí thức, có tay nghề…” Môn Toán trong trường phổ thông giữ một vai trò, vị trí hết sức quan trọng là môn học công cụ nếu học tốt môn Toán thì những tri thức trong Toán cùng với phương pháp làm việc trong toán sẽ trở thành công cụ để học tốt những môn học khác. Môn Toán góp phần phát triển nhân cách, ngoài việc cung cấp cho học sinh hệ thống kiến thức, kĩ năng toán học cần thiết môn Toán còn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất của người lao động mới: cẩn thận, chính xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ. Sách giáo khoa toán là tài liệu chính thống được sử dụng trong nhà trường phổ thông. Thực tế trong nhà trường THPT ở vùng cao, vùng sâu hiện nay chất lượng học tập của học sinh còn thấp. Các em chưa có điều kiện học tập, đặc biệt chương trình phân hoá học sinh. Nhà trường PT chưa có điều kiện tốt để học sinh khá giỏi, học sinh yếu kém phát triển nhận thức phù hợp với từng đối tượng học sinh. Học sinh hổng kiến thức từ lớp dưới rất lớn. Nhà trường chưa có đủ phương tiện dạy học theo phương pháp mới. Đặc biệt lượng kiến thức đưa ra là nặng đối với học sinh vùng sâu vùng xa. Có lẽ ai cũng nhận thấy điều đó, đội ngũ giáo viên đang trực tiếp giảng dạy, các cấp lãnh đạo, các ngành đã làm gì để khắc phục tình trạng đó. Theo tôi đây là vấn đề bức xúc nóng bỏng còn đang tồn tại, sẽ tồn tại nếu ta không có giải pháp hợp lí. Qua một năm giảng dạy tôi nhận thấy học sinh khối 11 khi học về phép biến hình rất khó tiếp thu và áp dụng Vì vậy để giúp học sinh học tốt môn hình học lớp 11 tôi đã chọn đề tài “ Ứng dụng các phép biến hình vào giải toán hình học”. 2.Mục đích nghiên cứu: Tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với học sinh vùng cao, tạo hứng thú học tập cho học sinh. Làm cho học sinh hiểu rõ các phép biến hình và ứng dụng của nó trong việc giải toán. Từ đó nâng cao chất lượng học tập của học sinh trong các tiết học. 3.Đối tượng ngiên cứu: Các phép biến hình và ứng dụng của nó trong giải toán hình học lớp 11. 4.Giới hạn của đề tài: Là giáo viên trực tiếp giảng dạy khối 11, là năm đầu tiên đổi mới phương pháp dạy học đối với khối 11. Vì vậy tôi chỉ tập chung vào vấn đề “Giúp đỡ học sinh học tốt các phép biến hình, ứng dụng của nó trong chương trình hình học lớp 11”. 5.Nhiệm vụ của đề tài: Kế hoạch giúp đỡ học sinh học tốt môn hình học lớp 11(Các phép biến hình, ứng dụng các phép biến hình vào giải toán) Rút ra kết luận và đề xuất một số biện pháp khi tiến hành giúp đỡ từng đối tượng học sinh nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy trong nhà trường THPT. 6.Phương pháp nghiên cứu: Để thực hiện mục đích và nhiệm vụ của đề tài, trong quá trình nghiên cứu tôi đã sử dụng các nhóm phương pháp sau: Nghiên cứu các loại tài liệu sư phạm, quản lí có liên quan đến đề tài. Phương pháp quan sát (công việc dạy- học của giáo viên và HS). Phương pháp điều tra (nghiên cứu chương trình, hồ sơ chuyên môn,…). Phương pháp đàm thoại phỏng vấn (lấy ý kiến của giáo viên và HS thông qua trao đổi trực tiếp). Phương pháp thực nghiệm. 7.Thời gian nghiên cứu: Năm học 2007-2008. NỘI DUNG Chương I: Cơ sở lí luận: 1 Cơ sở triết học: Theo triết học duy vật biện chứng, mâu thuẫn là động lực thúc đẩy quá trình phát triển. Vì vậy trong quá trình giúp đỡ học sinh, Giáo viên cần chú trọng gợi động cơ học tập giúp các em thấy được sự mâu thuẫn giữa những điều chưa biết với khả năng nhận thức của mình, phát huy tính chủ động sáng tạo của học sinh trong việc lĩnh hội tri thức. Tình huống này phản ánh một cách lôgíc và biện chứng trong quan niệm nội tại của bản thân các em. Từ đó kích thích các em phát triển tốt hơn. 2.Cơ sở tâm lí học: Theo các nhà tâm lí học: Con người chỉ bắt đầu tư duy tích cực khi nảy sinh nhu cầu tư duy khi đứng trước một khó khăn cần phải khắc phục. Vì vậy GV cần phải để học sinh thấy được khả năng nhận thức của mình với những điều mình đã biết với tri thức của nhân loại. Căn cứ vào quy luật phát triển nhận thức và hình thành các đặc điểm tâm lí thì từ những lớp cuối của cấp THCS, học sinh đã bộc lộ thiên hướng, sở trường và hứng thú đối với những lĩnh vực kiến thức, kĩ năng nhất định. Một số học sinh có khả năng và ham thích Toán học, các môn khoa học tự nhiên; số khác lại thích thú văn chương và các môn khoa học xã hội, nhân văn khác. Ngoài ra còn có những học sinh thể hiện năng khiếu trong những lĩnh vực đặc biệt… Thực tế giảng dạy cho thấy nhiều học sinh khi học về các phép biến hình, các em thường có tâm lí: không biết ứng dụng của phép biến hình để làm gì, nói cách khác các em không gắn được lý thuyết vào thực hành, do đó các em không muốn học chương này.Vì vậy GV cần chỉ rõ, cụ thể và hướng dẫn cho học sinh ứng dụng các phép biến hình vào giải toán. 3.Cơ sở giáo dục học: Để giúp các em học tốt hơn. GV cần tạo cho học sinh hứng thú học tập. Cần cho học sinh thấy được nhu cầu nhận thức là quan trọng, con người muốn phát triển cần phải có tri thức cần phải học hỏi. Thầy giáo biết định hướng, giúp đỡ từng đối tượng học sinh. Chương II: Thực trạng của đề tài: 1.Thời gian và các bước tiến hành: Tìm hiểu đối tượng học sinh năm học 2007-2008. 2.Khảo sát chất lượng đầu năm môn hình học: Thông qua bài khảo sát chất lựơng đầu năm tôi thu được kết quả như sau: Trên trung bình 18%. 3.Tìm hiểu nguyên nhân dẫn đến kết quả trên: Tôi nhận thấy đa số học sinh có kết quả rất thấp. Vì vậy việc lĩnh hội kiến thức và rèn luyện kĩ năng ở học sinh đòi hỏi nhiều công sức và thời gian.Sự nhận thức của học sinh thể hiện khá rõ: - Các em còn lúng túng trong việc tìm ảnh của một hình qua một phép biến hình. - Kiến thức cơ bản nắm chưa chắc. - Khả năng tưởng tượng, tư duy hàm, tư duy lôgíc còn hạn chế. - Ý thức học tập của học sinh chưa thực sự tốt. - Nhiều học sinh có tâm lí sợ học môn hình học. Đây là môn học đòi hỏi sự tư duy, phân tích của các em. Thực sự là khó không chỉ đối với HS mà còn khó đối với cả GV trong việc truền tải kiến thức tới các em.Hơn nữa vì điều kiện kinh tế khó khăn, môi trường giáo dục, động cơ học tập,… nên chưa thực sự phát huy hết mặt mạnh của học sinh. Nhiều em hổng kiến thức từ lớp dưới, ý thức học tập chưa cao nên chưa xác định được động cơ học tập, chưa thấy được ứng dụng to lớn của môn hình học trong đời sống. Đây là năm đầu tiên đổi mới phương pháp dạy học ở lớp 11 nên phương tiện dạy học chưa đầy đủ. Giáo viên cần nắm rõ đặc điểm, tình hình từng đối tượng học sinh để có biện pháp giúp đỡ các em, song song với việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi cần giúp đỡ học sinh yếu kém. Việc này cần thực hiện ngay trong từng tiết học, bằng biện pháp rèn luyện tích cực, phân hoá nội tại thích hợp. Tuy nhiên ngoài việc dạy tốt giờ lên lớp, giáo viên nên có biện pháp giúp đỡ từng đối tượng học sinh để học sinh yếu kém theo kịp với yêu cầu chung của tiết học, học sinh khá không nhàm chán. Chương III: Giải quyết vấn đề: Trong các giờ học về phần: Các phép biến hình, ứng dụng của nó học sinh nắm chưa chắc, chưa hiểu bản chất. Óc tư duy hàm, suy luận lôgíc, khả năng khaí quát phân tích còn hạn chế, đặc biệt là phần ứng dụng các phép biến hình. Vì vậy học sinh còn lúng túng, xa lạ, khó hiểu chưa kích thích được nhu cầu học tập của học sinh. Để các em tiếp thu bài một cách có hiệu quả tôi xin đưa ra một vài ứng dụng của phép biến hình cụ thể trong giải toán hình học lớp 11: 1: Định nghĩa phép biến hình: 1.1: Định nghĩa: Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M của mặt phẳng với một điểm xác định duy nhất M’ của mặt phẳng đó được gọi là phép biến hình trong mặt phẳng. 1.2: Một số phép biến hình trong mặt phẳng: 1.2.1: Phép tịnh tiến: Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho vectơ , phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho = , gọi là phép tịnh tiến theo vectơ . Kí hiệu: . Vậy: (M) = M’= . 1.2.2: Phép đối xứng trục: Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho đường thẳng d, phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho d là đường thẳng trung trực của đoạn thẳng MM’ gọi là phép đối xứng trục d. Kí hiệu: Đd. Vậy: Đd(M) = M’ (M0 là giao điểm của d với đoạn thẳng MM’). 1.2.3: Phép đối xứng tâm: Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho điểm I, phép biến hình biến mỗi điểm M khác I thành điểm M’ sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng MM’ gọi là phép đối xứng tâm I. Kí hiệu: ĐI. Vậy: ĐI(M) = M’ . 1.2.4: Phép quay: Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho điểm O và góc lượng giác , phép biến hình biến điểm O thành chính nó, biến mỗi điểm M khác O thành điểm M’ sao cho OM=OM’, góc lượng giác (OM,OM’) = gọi là phép quay tâm O, góc quay. Kí hiệu: Q(O,) Vậy: Q(O,)(M)=M’ 1.2.5: Phép đồng nhất: Định nghĩa: Phép biến hình biến mỗi điểm M thành chính nó gọi là phép đồng nhất. 1.2.6: Phép vị tự: Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho điểm O và số k0, phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho , gọi là phép vị tự tâm O tỉ số k. Kí hiệu: V(O,k) Vậy: V(O,k)(M)=M’ 1.2.7: Phép dời hình: Định nghĩa: Phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kì gọi là phép dời hình. 1.2.8: Phép đồng dạng: Định nghĩa: Phép biến hình F được gọi là phép đồng dạng tỉ số k(k>0) nếu với 2 điểm M,N bất kì và ảnh M’,N’ tương ứng của chúng ta luôn có M’N’=kMN. 2: Một số tính chất của phép biến hình: Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay thay đổi thứ tự giữa ba điểm đó. Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng. Biến tam giác thành tam giác bằng nó ( hoặc đồng dạng với nó), biến góc thành góc bằng nó. Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính R (hoặc kR). 3. Biểu thức toạ độ của một số phép biến hình: 3.1: Phép tịnh tiến: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho , M(x;y), M’(x’;y’). Khi đó nếu (M) = M’ thì 3.2: Phép đối xứng trục: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho , M(x;y), M’(x’;y’). Khi đó nếu +) ĐOx(M) = M’ thì +) ĐOy(M) = M’ thì 3.3: Phép đối xứng tâm: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho , M(x;y), M’(x’;y’). Khi đó nếu ĐI(M) = M’ thì 4: Các dạng bài tập cơ bản: Dạng 1: Xác định ảnh của một hình qua phép biến hình: Phương pháp chung: -Sử dụng định nghĩa. -Sử dụng biểu thức toạ độ của phép biến hình. -Sử dụng các tính chất của phép biến hình. Bài 1: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho véctơ, đường thẳng d có phương trình: 3x-5y+3=0. Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ . Cách 1: Chọn M(-1;0) thuộc d, M’=T(M) =(-3;3). M’ thuộc d’.Vì d’//d nên d’ có phương trình 3x-5y+C=0. M’ thuộc d’óC=24. Vậy phương trình đường thẳng d’ là:3x-5y+24=0. Cách 2: Từ biểu thức toạ độ của T thay vào phương trình của d ta được: 3x’ -5y’+24=0. Vậy phương trình đường thẳng d’ là:3x-5y+24=0. Cách 3: Lấy M,N bất kì thuộc d, tìm ảnh M’,N’ tương ứng của M và N qua phép tịnh tiến theo vectơ . Khi đó đường thẳng d’ là đường thẳng M’N’. Bài 2:Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho M(1;5), đường tròn (C) có phương trình x2+y2-2x+4y-4=0, đường thẳng d có phương trình x-2y+4=0. a)Tìm ảnh của m,(C), d qua phép đối xứng trục Ox. b)Tìm ảnh của M qua phép đối xứng trục d. Giải: Gọi M’,(C’),d’ lần lượt là ảnh của M, (C), d qua phép đối xứng trục Ox. Ta có M’ (1;-5). (C) có tâm I(1;-2), bán kính R=3. Đường tròn (C’) có tâm là I’=ĐOx(I)=(1;2) và bán kính R=3. Vậy phương trình (C) là: (x-1)2+(y-2)2=9. Gọi N’(x’;y’) là ảnh của N(x;y) qua phép đối xứng trục Ox, ta có . Thay vào phương trình của d ta được: x’+2y’+4=0. Vậy phương trình của d’ là x+2y+4=0. b)Đường thẳng d1 đi qua M và vuông góc với d có phương trình là: 2x+y-7=0. Gọi M0 là giao điểm của d và d1 thì toạ độ của M0 là nghiệm của hệ: Vậy M0(2;3) Gọi M1 là ảnh của M qua phép đối xứng trục d thì M0 là trung điểm đoạn thẳng MM1 nên M1(3;1) Bài 3:Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho A(3;4).Hãy tìm toạ độ điểm A’ là ảnh của A qua phép quay tâm O góc quay 900. Gọi B(3;0), C(0;4) lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các trục Ox,Oy. Phép Q(O,900) biến hình chữ nhật OBAC thành hình chữ nhật OB’A’C’. Ta thấy B’(0;3), C’(-4;0) =>A’(-4;3) Giải: Bài 4Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình:3x+2y-6=0.Hãy viết phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép vị tự tâm O tỉ số k=-2. Giải: Cách 1: V(O,k)(d)=d’ =>d’//d => d’ có phương trình:3x+2y+C=0. Lấy M(0;3) thuộc d.Gọi M’(x’;y’) là ảnh của M qua phép vị tự đã cho, ta có Vậy M’(0;-6), M’ thuộc d’ =>C=12. Do đó phương trình d’ là:3x+2y+12=0. Cách2: Gọi M’(x’;y’) là ảnh của M(x;y) qua phép vị tự tamO tỉ số k=-2, ta có Điểm M thuộc d . Vậy phương trình d’ là:3x+2y+12=0. Cách 3: Lấy M,N bất kì trên d, tìm ảnh M’,N’ của M,N qua phép vị tự tâm O tỉ số k=-2. Khi đó d’ là đường thẳng M’N’. Bài 5:Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình: x+y-2=0.Hãy viết phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm I(-1;-1), tỉ số k= và phép quay tâm O góc quay -450. Giải: Phép vị tự tâm I tỉ số k= biến d thành d1 => d//d1 =>d1 có phương trình:x+y+C=0. Lấy M(1;1) thuộc d, V(I,)(M)=O, O thuộc d1 => d1 có phương trình:x+y=0. Q(O,-450)(d1)=Oy. Vậy phương trình d’ là: x=0. Dạng 2: Dùng phép biến hình để giải một số bài toán dựng hình: Phương pháp: Để dựng điểm M ta làm như sau: Cách 1: Xác định M như ảnh của một điểm đã biết qua một phép biến hình. Cách 2: Xem M như là giao điểm của một đường cố định với ảnh của một đường đã biết qua một phép biến hình. Bài1: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho A(-1;-1),B(3;1),C(2;3). Tìm toạ độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành. Giải: Giả sử điểm D(x;y). Ta có , mà Do đó: . Vậy D(-2;1). Bài 2:Hai thôn nằm ở vị trí A, B cách nhau một con sông(Xem hai bờ sông là hai đường thẳng song song). Người ta dự định xây một chiếc cầu MN bắc qua sông(cầu vuông góc với bờ sông) và làm hai đoạn đường AM, NB(như hình vẽ). Hãy xác định vị trí chiếc cầu MN sao cho AM+NB ngắn nhất. Giải: Trưòng hợp 1: Coi con sông rất hẹp. Bài toán trở thành: Cho hai điểm A,B nằm ở hai phía khác nhau so với đường thẳng a. Tìm vị trí M trên A để AM+AN nhỏ nhất. Khi đó M là giao điểm của AB với a. Trưòng hợp 2: a//b Nhận xét: a,b cố định =>cố định. T(A) =A’ =>A’N = AM. Ta có AM+BN = A’N+NB =A’B Cách dựng: Dựng A’=T(A). Nối A’ với B cắt b tại N. Từ N hạ đường thẳng vuông góc với a tại M. Khi đó MN là vị trí xây cầu. Bài 3: Cho hai điểm A,B nằm về một phía của đường thẳng d. Hãy xác định điểm M trên d sao cho AM+MB bé nhất. Giải: Nhận xét: Gọi A’= Đd(A) =>AM=AM’ Vậy: AM+MB =A’M+MB=A’B Cách dựng: Dựng A’= Đd(A) Nối A’ với B cắt d tại M, khi đó AM+MB nhỏ nhất. Bài 4: Cho góc nhọn , điểm A nằm trong góc đó. Hãy xác định điểm B trên Ox, điểm C trên Oy sao cho tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất. Giải: Nhận xét: Gọi A’ = ĐOx(A), A”=ĐOy(A) =>A’B=AB, A”C=AC =>AB+BC+CA=A’B+BC+A”C=AA” (nhỏ nhất) Dựng: A’ = ĐOx(A) A”=ĐOy(A) Nối A’ với A”, AA” cắt Ox và Oy lần lượt tại B và C. Khi đó chu vi tam giác ABC nhỏ nhất. Bài 5: Cho góc nhọn , điểm A thuộc miền trong của góc đó. Hãy tìm một đường thẳng đi qua A, cắt Ox, Oy lần lượt tại M và N sao cho A là trung điểm của MN. Giải: Giả sử đã dựng được hai điểm M,N thoả mãn yêu cầu của bài toán. Khi đó N=ĐA(M). Gọi O’x’ = ĐA(Ox), ta có N là giao điểm của O’x vàOy. Từ đó ta có cách dựng: Dựng O’x’ = ĐA(Ox), gọi N là giao điểm của O’x và Oy, M=ĐA(N).Khi đó M,N là hai điểm cần tìm. Theo cách dựng trên cặp điểm M,N là duy nhất Bài 6: Cho đường tròn (O;R) và (O1;R1) cắt nhau tại A và B. Hãy dựng đường thẳng d đi qua A và cắt (O;R) và (O1;R1) lần lượt tại M và M1 sao cho A là trung điểm của MM1 Giải: Giả sử đã dựng được đường thẳng d thoả mãn điều kiện đề bài. Khi đó ta có M1=ĐA(M). Gọi đường tròn (O’,R) là ảnh của đường tròn (O,R) qua phép đối xứng tâm A. Ta có M1 là giao điểm của (O’;R) với đường tròn (O1,R1). Cách dựng: Dựng đường tròn (O’,R) là ảnh của đường tròn (O,R) qua phép đối xứng tâm A.Gọi M1 là giao điểm của (O’;R) với đường tròn (O1,R1) không trùng với A, M=ĐA(M1). đường thẳng d là đường thẳng MM1. Theo cách dựng trên có một đường thẳng d thoả mãn điều kiện đề bài. Bài 7:Cho hai đường thẳng cắt nhau a và b, một điểm C. Tìm trên a và b các điểm A và B tương ứng sao cho tam giác ABC vuông cân ở A. Giải: Giả sử đã dựng được hai điểm A,B thoả mãn điều kiện đầu bài. Ta thấy: =450, ==> B là ảnh của A qua phép đồng dạng F có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm C, góc quay -450, phép vị tự tâm C tỉ số . Gọi a” là ảnh của a qua phép đồng dạngF. Ta có B là giao điểm của b và a” Cách dựng: Dựng a’ là ảnh của a qua phép quay tâm C, góc quay -450. Dựng a” là ảnh của a’ qua phép vị tự tâm C tỉ số . B là giao điểm của a” và b Dựng B’ là ảnh của B qua phép quay tâm C, góc quay 450. Dựng A là ảnh của B’ qua phép vị tự tâm C tỉ số ()-1. Theo cách dựng trên cặp điểm A,B là duy nhất Bài 8: Cho đường tròn (O) với dây cung PQ. Dựng hình vuông ABCD có hai đỉnh A,B nằm trên đường thẳng PQ và hai đỉnh C,D nằm trên đường tròn. Giải: Giả sử đã dựng được hình vuông ABCD thoả mãn điều kiện của bài toán. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng PQ thì OI là đường trung trực của PQ nên cũng là đường trung trực của DC và do đó cũng là đường trung trực của AB. Từ đó suy ra, nếu dựng hình vuông PQMN thì có phép vị tự tâm I biến hình vuông PQMN thành hình vuông ABCD. Cách dựng: Dựng hình vuông PQMN. Lấy giao điểm C và C’ của đường thẳng IM và đường tròn, lấy giao điểm D và D’ của IN và đường tròn( ta kí hiệu sao cho hai điểm C, D nằm về một phía đối với đường thẳng PQ). Gọi các điểm B,A,B’,A’ lần lượt là hình chiếu của các điểm C,D,C’,D’ trên đường thẳng PQ. Ta được các hình vuông ABCD và A’B’C’D’ thoả mãn điều kiện của bài toán. Dạng 3: Dùng phép biến hình để giải một số bài toán tìm tập hợp điểm. Phương pháp: Chứng minh tập hợp điểm cần tìm là ảnh của một hình đã biết qua một phép biến hình. Bài 1: Cho đường tròn (O) và tam giác ABC. Một điểm M thay đổi trên đường tròn(O). Gọi M1 là điểm đối xứng của M qua A, M2 là điểm đối xứng của M1 qua B, M3 là điểm đối xứng của M2 qua C. Tìm quỹ tích của điểm M3. Giải: Gọi D là trung điểm của MM3 thì ABCD là hình bình hành. Do đó điểm D cố định. Phép đối xứng qua điểm D biến M thành M3. Do đó Quỹ tích điểm M3 là ảnh của đường tròn (O) qua phép đối xứng tâm D. Bài 2: Cho hai điểm phân biệt B,C cố định (BC không phải là đường kính) trên đường tròn (O), điểm A di động trên (O). Chứng minh rằng khi A di động trên (O) thì trực tâm tam giác ABC di động trên một đường tròn. Giải: Cách1: Gọi H là trực tâm tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Tia BO cắt đường tròn (O) tại D . Ta có =900