Ứng dụng phương pháp tọa độ vào giải toán sơ cấp

MỞ ĐẦU Lý do chọn đề tài Bằng thực tiễn lý luận đã khẳng định kiến thức tọa độ là cần thiết và không thể thiếu trong chương trình toán THPT. Phương pháp tọa độ (PPTĐ) là phương pháp cơ bản để giải các bài toán về hình học và đại số, nhìn thấy rõ nhất là ở các bài toán hình học lớp và hình học không gian lớp 12 ứng dụng phương pháp tọa độ, hay hơn nữa là các bài toán về tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất, hoặc bất đẳng thức, phương trình và bất phương trình… Để thấy các em thấy được tầm quan trọng của phương pháp tọa độ - phương pháp chuyển từ hình học Oclit sang việc nghiên cứu nó bằng công cụ đại số và giải tích, tôi chọn đề tài này nhằm hướng dẫn học sinh khối THPT có thêm một phương pháp nữa để giải toán. Trong thực tế, một số bài toán sẽ được giải quyết nhanh gọn, dễ hiểu hơn nếu ta sử dụng PPTĐ để giải so với các phương pháp sơ cấp khác. Mục đích nghiên cứu Với những lý do trên tôi đã chọn đề tài này nhằm mục đích sau: Đề xuất phương án xây dựng quy trình giải toán bằng PPTĐ Nêu một số bài toán sử dụng PPTĐ và ví dụ minh họa Đối tượng, phạm vi nghiên cứu Đối tượng: Học sinh khối THPT Phạm vi: Chương trình toán ở THPT Nhiệm vụ nghiên cứu Nhắc lại các kết quả của PPTĐ Xây dựng quy trình giải toán bẳng PPTĐ. Thực hành Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lý luận - Tổng kết kinh nghiệm - Thực nghiệm NỘI DUNG CHƯƠNG I: XÂY DỰNG QUY TRÌNH GIẢI TOÁN HÌNH HỌC BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ Diễn đạt sự kiện hình học bằng ngôn ngữ vectơ.Điểm M trùng với N ( với O bất kỳ) . b) I là trung điểm của đoạn thẳng AB ( Với O là điểm bất kì) c) G là trọng tâm của tam giác , với O là điểm bất kỳ. d) §­êng th¼ng a song song víi ®­êng th¼ng b ( víi vect¬ cã gi¸ lµ a, vect¬ cã gi¸ lµ b ) e) Ba ®iÓm A, B, C th¼ng hµng f) §­êng th¼ng a vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng b ( víi vect¬ cã gi¸ lµ a, vect¬ cã gi¸ lµ b ) g) TÝnh ®é dµi ®o¹n th¼ng AB Sö dông c«ng thøc 2.DiÔn ®¹t ng«n ng÷ vect¬ b»ng ng«n ng÷ to¹ ®é Trong hÖ trôc to¹ ®é Oxy a) víi M ( x1 ; y1 ) vµ N ( x2 ; y2 ) b) víi A ( x1 ; y1 ) vµ B ( x2 ; y2 ) c) víi A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) vµ C ( x3 ; y3 ). d) Vect¬ vµ vect¬ cïng ph­¬ng víi e) g) Ch­¬ng 3 : Thùc hµnh ph­¬ng ph¸p h­íng dÉn häc sinh líp 10 gi¶i to¸n h×nh häc b»ng ph­¬ng ph¸p to¹ ®é I. Mét sè chó ý trong gi¶ng d¹y vÊn ®Ò PPT§ CÇn h­íng dÉn häc sinh «n tËp lµm cho häc sinh n¾m v÷ng kiÕn thøc vect¬ ®Æc biÖt lµ c¸c kiÕn thøc vÒ to¹ ®é cña c¸c phÐp to¸n trªn c¸c vect¬ ®Ó lµm c¬ së cho viÖc nghiªn cøu to¹ ®é . CÇn cho häc sinh thÊy râ sù t­¬ng øng 1 – 1 gi÷a c¸c tËp hîp ®iÓm vµ tËp hîp sè. -Trªn ®­êng th¼ng : mçi ®iÓm øng víi mét sè thùc x¸c ®Þnh. -Trªn mÆt ph¼ng : mçi ®iÓm øng víi mét cÆp sè thùc s¾p thø tù. Tõ ®©y dÇn dÇn lµm næi bËt cho häc sinh thÊy ®­îc r»ng mçi h×nh trong mÆt ph¼ng lµ mét tËp hîp ®iÓm s¾p thø tù theo mét quy t¾c nµo ®ã, do vËy mçi h×nh ®ã ®­îc x¸c ®Þnh bëi mét hÖ r»ng buéc nhÊt ®Þnh t­¬ng øng nµo ®ã vÒ mèi liªn hÖ gi÷a c¸c to¹ ®é cña c¸c ®iÓm trªn h×nh ®ã, thÓ hiÖn häc sinh ph¶i cã c¸c kü n¨ng c¬ b¶n sau : + Khi lÊy M thuéc h×nh H th× c¸c to¹ ®é cña M ph¶i tho¶ m·n hÖ r»ng buéc vÒ c¸c to¹ ®é ®iÓm cña h×nh H. + Ng­îc l¹i nÕu cã ®iÓm M cã to¹ ®é tho¶ m·n hÖ r»ng buéc vÒ c¸c to¹ ®é ®iÓm cña h×nh H th× M thuéc hinh H. II. H­íng dÉn häc sinh gi¶i to¸n b»ng PPT§ Víi nh÷ng bµi to¸n h×nh häc ph¼ng cã chøa c¸c quan hÖ h×nh häc : th¼ng hµng, song song, vu«ng gãc ... hay cã chøa c¸c yÕu tè kho¶ng c¸ch, tÝnh gãc, nÕu ta chän hÖ to¹ ®é thÝch hîp th× ta cã thÓ chuyÓn vÒ bµi to¸n ®¹i sè víi quan hÖ gi÷a c¸c sè vµ gi÷a c¸c vect¬, gi÷a c¸c phÐp to¸n. C¸c bµi to¸n nµy rÊt cã kh¶ n¨ng t×m ra ®­îc lêi gi¶i, thËm chÝ cßn rÊt ng¾n gän. ViÖc gi¶i bµi tËp b»ng PPT§ ®ßi hái häc sinh ph¶i ®­îc luyÖn tËp vËn dông tæng hîp c¸c kiÕn thøc liªn quan. Häc sinh cÇn n¾m ®­îc quy tr×nh : Chän hÖ trôc to¹ ®é thÝch hîp ( ®©y lµ vÊn ®Ò mÊu chèt cña bµi to¸n, nÕu chän thÝch hîp th× bµi toan sÏ ®­îc gi¶i quyÕt nhanh gän ). Phiªn dÞch bµi to¸n ®· cho sang ng«n ng÷ vect¬ ChuyÓn bµi to¸n tõ ng«n ng÷ vect¬ sang ng«n ng÷ to¹ ®é. Dïng c¸c kiÕn thøc to¹ ®é ®Ó gi¶i to¸n. Phiªn dÞch kÕt qu¶ tõ ng«n ng÷ to¹ ®é sang ng«n ng÷ h×nh häc. III. Mét sè d¹ng to¸n c¬ b¶n D¹ng 1 : Bµi to¸n chøng minh 2 ®o¹n th¼ng vu«ng gãc Bµi 1 : Cho c©n t¹i A. Gäi M lµ trung ®iÓm cña c¹nh AB, G lµ träng t©m . Gäi I lµ t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp . Chøng minh r»ng . Gi¶i : H­íng dÉn : Do c©n t¹i A nªn ta chän hÖ to¹ ®é cã trôc oy qua A vµ vu«ng gãc BC, ox qua BC. Tõ gt ta ®i t×m to¹ ®é cña c¸c ®iÓm I, G, M theo to¹ ®é cña 3 ®iÓm A, B, C TÝnh to¹ ®é cña vect¬ . Sau ®ã xÐt . Lêi gi¶i : Gäi O lµ trung ®iÓm c¹nh ®¸y BC Dựng hÖ to¹ ®é Oxy ( nh­ h×nh vÏ ) - C¸c ®iÓm A, B, C cã to¹ ®é A( 0 ;h ) , B ( - a ; 0 ), C ( a ; 0 ). ( ë ®©y gi¶ sö BC = 2a, Oa = h ). Do M lµ trung ®iÓm cña AB nªn M M lµ träng t©m VËy to¹ ®é cña ®iÓm G lµ G Gäi I ( 0 ; y0 ) mµ ( 0 ; - h ) Theo gi¶ thiÕt Hay VËy ®iÓm I cã to¹ ®é lµ I Ta cã VËy ( ®pcm ). Chó ý : C¸ch gi¶i trªn kh«ng phô thuéc vµo gãc A lµ nhän, vu«ng hay tï. NÕu gi¶i b»ng ph­¬ng ph¸p to¸n häc thuÇn tuý, th× khi vÏ h×nh th× ph¶i xÐt 3 tr­êng hîp trªn. §ã còng chÝnh lµ lîi thÕ cña PPT§. Bµi 2 : Cho h×nh vu«ng ABCD c¹nh a, M, N lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña DC vµ CB. Chøng minh r»ng . Gi¶i : H­íng dÉn : §Ó cho bµi to¸n ®­îc ®¬n gi¶n nhÊt ta chän hÖ trôc to¹ ®é sao cho D trïng víi O, 2 c¹nh AD, DC n»m trªn 2 truc ox vµ oy. T×m to¹ ®é cña M, N XÐt Lêi gi¶i : - Chän hÖ trôc to¹ ®é Oxy ( nh­ h×nh vÏ ). - Trong hÖ to¹ ®é nay D( 0 ; 0), A( 0 ; a), C ( a ; 0) vµ B ( a ; a). Khi ®ã M N ( Do ®ã hay ( ®pcm ). Bµi 3 : Trªn cung AB cña ®­êng trßn ngo¹i tiÕp h×nh ch÷ nhËt ABCD ta lÊy ®iÓm M kh¸c A vµ B. Gäi P, Q, R, S lµ h×nh chiÕu cña M trªn c¸c ®o¹n th¼ng AD, AB, BC, CD. Chøng minh r»ng vµ giao ®iÓm cña chóng n»m trªn 1 trong 2 ®­êng chÐo cña h×nh ch÷ nhËt ABCD . Gi¶i : H­íng dÉn : NÕu gäi O lµ t©m h×nh ch÷ nhËt ABCD th× O còng lµ t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp h×nh ch÷ nhËt ®ã. Do ®ã ta chän gèc trôc to¹ ®é lµ O, c¸c trôc th× song song víi c¸c c¹nh cña h×nh ch÷ nhËt. T×m to¹ ®é cña P, Q, R, S theo to¹ ®é cña A, B, C, D. ViÕt ph­¬ng tr×nh cña PQ, RS , AC, BD. Lêi gi¶i : - Gäi O lµ t©m cña h×nh ch÷ nhËt ABCD ( tøc còng lµ t©m cña ®­êng trßn ngo¹i tiÕp h×nh ch÷ nhËt ). - Dùng hÖ to¹ ®é Oxy( nh­ h×nh vÏ ),( trôc ox, oy lÇn l­ît song song víi AD, AB ). - Gi¶ sö b¸n kÝnh ®­êng trßn lµ R. Ph­¬ng tr×nh ®­êng trßn : x2 + y2 = R2 - Trong hÖ trôc to¹ ®é nµy gi¶ sö to¹ ®é c¸c ®Ønh ABCD cña h×nh ch÷ nhËt lµ : A (-a;-b), B (-a;b), C (a;b), D (a;-b) AC2 = 4R2 = 4a2 + 4b2 Suy ra a2 + b2 = R2. Gi¶ sö M (x0; y0) bÊt kú thuéc cung AB nªn x02 + y02 = R2 Ta cã to¹ ®é h×nh chiÕu P, Q, R, S lµ: P (x0;-b), Q (-a;y0), R (x0;b), S (a;y0). Suy ra Nªn VËy . §­êng th¼ng PQ ®i qua P (x0;-b) vµ cã vect¬ ph¸p tuyÕn Nªn cã ph­¬ng tr×nh PQ lµ : T­¬ng tù ph­¬ng tr×nh RS lµ : Gäi I ( xI ; yI ) lµ giao ®iÓm cña PQ vµ RS th× ta cã ( xI ; yI ) lµ nghiÖm cña hÖ sau : Céng vÕ víi vÕ cña (1) vµ (2) ta ®­îc bx + ay = 0 Suy ra bxI + ayI = 0 (3) Do ®iÓm B (-a;b), D (a;-b) nªn ph­¬ng tr×nh ®­¬ng chÐo BD cã d¹ng : ( b + b )( x + a ) - ( a + a ) ( y + b ) = 0 Hay ay + bx = 0. Tõ ®¼ng thøc (3) chøng tá I ( xI ; yI ) BD (®pcm ). D¹ng 2 : Bµi to¸n quü tÝch Bµi 4 : Cho , M lµ ®iÓm di ®éng trªn c¹nh BC. H¹ MN, PQ t­¬ng øng vu«ng gãc vµ song song víi AB ( NAB, QBC ). Gäi P lµ h×nh chiÕu cña Q trªn AB, I lµ t©m cña h×nh ch÷ nhËt MNPQ. T×m quü tÝch t©m I khi M ch¹y trªn c¹nh AB. Gi¶i : H­íng dÉn : Gäi O lµ ch©n ®­êng cao h¹ tõ C xuèng AB. Chän hÖ trôc to¹ ®é Oxy sao cho Aox, oy qua BC T×m to¹ ®é cña N, Q, I theo to¹ ®é cña ®iÓm A, B, C, M T×m mèi liªn hÖ tung ®é vµ hoµnh ®é cña ®iÓm I chó y ®iÒu kiÖn cña ®iÓm M Lêi gi¶i : - Gäi O lµ ch©n ®­êng cao h¹ tõ C xuèng AB - Chän hÖ trôc to¹ ®é Oxy ( nh­ h×nh vÏ ). Gi¶ sö to¹ ®é c¸c ®Ønh A, B, C lµ : A ( a;0 ), B ( b;0 ), C ( 0; h ) , h > 0 Ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng AB theo ®o¹n ch¾n : Ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng BC theo ®o¹n ch¾n : . Gi¶ sö MQ cã ph­¬ng tr×nh y = m To¹ ®é cña ®iÓm Q lµ nghiÖm cña hÖ ph­¬ng tr×nh T­¬ng tù ta cã : . To¹ ®é cña ®iÓm P lµ Gäi I lµ t©m cña h×nh ch÷ nhËt ABCD. Suy ra I lµ trung diÎm cña MP Khi ®ã (*) Tõ (1) suy ra (2) suy ra m = 2yI . V× nªn (**) Tõ (*) vµ (**) suy ra quü tÝch t©m I cña h×nh ch÷ nhËt MNPQ lµ ®o¹n KH, ë ®©y K, H lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña OC vµ AB. (đpcm) Chó ý : Mäi lËp luËn ë ®©y kh«ng phô thuéc vµo h×nh d¸ng cña Bµi 5 : Cho ®­êng trßn ( C ) cã ®­êng kÝnh AB kh«ng ®æi, mét ®iÓm M di ®éng trªn ( C ). Gäi H lµ h×nh chiÕu cña M trªn AB. T×m quü tÝch trung ®iÓm I cña MH. Gi¶i : H­íng dÉn : §Ó ph­¬ng tr×nh cña ®­êng trßn ®¬n gi¶n ta chän hÖ trôc to¹ ®é cã gèc O trïng víi t©m O cña ®­êng trßn Trôc Ox ®i qua AB T×m to¹ ®é trung ®iÓm I cña MH theo to¹ ®é ®iÓm M T×n mèi liªn hÖ gi÷a tung ®é vµ hoµnh ®é cña ®iÓm I Lêi gi¶i : - Chän hÖ trôc to¹ ®é Oxy ( nh­ h×nh vÏ ) - §Æt R = , R lµ kh«ng ®æi . §­êng trßn ( C ) cã ph­¬ng tr×nh : . XÐt ®iÓm M ( x0; y0 ) ( C ) (1) H lµ h×nh chiÕu cña M trªn AB H ( x0; 0 ) I lµ trung ®iÓm cña MH Thay vµo (1) hay Chøng tá quü tÝch I lµ elip (E) : ®é dµi trôc lín lµ 2R, trôc bÐ lµ R. D¹ng 3 : Bµi to¸n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh §iÓm M ( x0; y0 ) ®­îc gäi lµ ®iÓm cè ®Þnh cña hä ®å thÞ ®· cho nÕu mäi ®å thÞ cña hä ®ã øng víi mäi gi¸ trÞ m A ®Òu ®i qua M Trong ®ã gi¶ sö y = f ( m, x ) , m A lµ tham sè Bµi 7 : Cho gãc vu«ng Oxy, ABCD lµ h×nh ch÷ nhËt cã chu vi kh«ng ®æi, A, C lµ 2 ®iÓm thay ®æi thuéc Ox, Oy. Chøng minh r»ng ®­êng d vu«ng gãc kÎ tõ B vu«ng gãc víi ®­êng chÐo AC lu«n ®i qua 1 ®iÓm cè ®Þnh. Gi¶i H­íng dÉn : - Bµi to¸n nµy cã d¸ng dÊp cña 1 bµi to¸n ®¹i sè t×m ®iÓm cè ®Þnh, v× thÕ rÊt thuËn tiÖn khi ta ®¹i sè ho¸ b»ng PPT§. - §Ó ®¬n gi¶n ta chän ngay hÖ trôc to¹ ®é lµ Oxy trïng víi gãc Oxy. Lêi gi¶i : - Chän hÖ trôc to¹ ®é Oxy ( nh­ h×nh vÏ ) - Trong hÖ trôc to¹ ®é nµy gi¶ sö A (a; 0), B (a; c), C ( 0; c) §Æt a + c = b = const ( v× chu vi OABC kh«ng ®æi ). Ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng AB theo ®o¹n ch¾n lµ : Ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng d qua B (a; c) vµ vu«ng gãc víi AC cã d¹ng : do a + c = b Gi¶ sö d ®i qua ®iÓm cè ®Þnh M ( x0; y0 ). Khi ®ã Do b kh«ng ®æi chøng tá d lu«n ®i qua diÓm cè ®Þnh M ( b; b ). (®pcm ) D¹ng 4 : Mét sè bµi to¸n ¸p dông kh¸c Bµi 8: Cho vu«ng t¹i A, AB = c, AC= b. M n»m trªn c¹nh BC sao cho gãc BAM b»ng . Chøng minh r»ng . Gi¶i : H­íng dÉn : §Ó thuËn tiÖn ta chän hÖ trôc to¹ ®é Oxy sao cho 2 c¹nh gãc vu«ng cña n»m trªn 2 trôc to¹ ®é Gi¶ sö M (x; y) Dùa vµo ®iÒu kiÖn vect¬ vµ vect¬ cïng ph­¬ng ®Ó chøng minh. Lêi gi¶i : - Chän hÖ trôc to¹ ®é Oxy ( nh­ h×nh vÏ ) - Trong hÖ to¹ ®é nµy A (0; 0), B (b; 0), C (0; c) Gi¶ sö M (x; y) Do ®ã M (; ). V× M BC nªn vect¬ vµ vect¬ cïng ph­¬ng mµ ( - c ) vµ ( b; - c ) nªn .(- c) - ( - c). b = 0 c + b - bc = 0 Hay (®pcm). Bµi 9 : Cho cã trùc t©m H. Trªn ®o¹n HB, HC lÊy ®iÓm B1, C1 sao cho gãc AB1C vµ gãc AC1B b»ng 1 vu«ng. Chøng minh r»ng AB1 = AC1. Gi¶i : H­íng dÉn : Do bµi to¸n cho trùc t©m H nªn ta chän hÖ trôc to¹ ®é Oxy sao cho H n»m trªn Oy, BC n»m trªn Ox. Gi¶ sö B1 ( x1; y1) Dùa vµo ®iÒu kiÖn vu«ng gãc tÝnh AB1 theo to¹ ®é ®iÓm A, B, C vµ B1 T­¬ng tù tÝnh AC1 Lêi gi¶i : - Chän hÖ trôc to¹ ®é Oxy ( nh­ h×nh vÏ ) - Trong hÖ to¹ ®é nµy A (0; h), B (b; 0), C (c; 0) , ( ë ®©y h, c > 0, b < 0 ) Ta cã = (c; - h). Theo gt §­êng cao BH qua B (b; 0) vµ cã vect¬ ph¸p tuyÕn = (c; - h) nªn cã ph­¬ng tr×nh : c ( x- b) - h( y – 0 ) = 0 cx – hy – bc = 0 . Gäi B1 ( x1; y1) do B1 BH cx1 – hy1 – bc = 0 cx1 – hy1 = bc (1) Ta cã = ( x1; y1 – h ), = ( x1 – c; y1) V× hay x1( x1 – c ) + y1( y1 – h ) = 0 (2) MÆt kh¸c : AB12 = x12 + ( y1 – h )2 = x12 + y12 - 2hy1 + h2 = ( x12 + y12 - hy1 - cx1 ) + ( cx1 – hy1 ) + h2 (3) Thay (1),(2) vµo (3) ta ®­îc AB1 = bc + h2 T­¬ng tù ta cã : AC1 = bc + h2 Tõ ®ã suy ra AB1 = AC1 (®pcm). KÕt luËn Trong ch­¬ng tr×nh to¸n PTTH hiÖn nay, PPT§ ®­îc xem lµ ph­¬ng ph¸p to¸n häc c¬ b¶n vµ c©n thiÕt, kÕt hîp víi ph­¬ng ph¸p tæng hîp ta gi¶i quyÕt ®­îc c¸c ®èi t­îng trªn mÆt ph¼ng vµ kh«ng gian. PPT§ lµ c«ng cô chñ yÕu ë ch­¬ng tr×nh h×nh häc líp 10 vµ líp 12 cho nªn viÖc h­íng dÉn häc sinh l¬p 10 gi¶i bµi to¸n h×nh häc ph¼ng b»ng nµy lµ cÇn thiÕt. Ngoµi viÖc gióp c¸c em cñng cè kiÕn thøc vÒ to¹ ®é cßn gióp c¸c em thÊy râ ®­îc øng dông to lín cña ph­¬ng ph¸p nµy trong bµi to¸n h×nh häc ph¼ng vµ lµ tiÒn ®Ò ®Ó c¸c em häc tèt h¬n trong ch­¬ng tr×nh h×nh häc líp 12. Thùc tÕ cho thÊy nhiÒu bµi to¸n h×nh häc ph¼ng gi¶i b»ng PPT§ cho lêi gi¶i ng¾n gän, dÔ hiÓu h¬n so víi c¸c ph­¬ng ph¸p kh¸c. VËy khi gi¶i b»ng PPT§ häc sinh cÇn biÕt c¸ch phiªn dÞch yªu cÇu vµ ®Ò bµi cña bµi to¸n sang ng«n ng÷ to¹ ®é, sau ®ã dïng kiÕn thøc to¹ ®é ®Ó gi¶i to¸n, cuèi cïng lµ chuyÓn kÕt qu¶ tõ ng«n ng÷ to¹ ®é sang ng«n ng÷ h×nh häc. CÇn h­íng dÉn cho häc sinh chän trôc to¹ ®é §ecac thÝch hîp. Do tr×nh ®é cßn h¹n chÕ vµ thêi gian lµm bµi viÕt nµy cßn Ýt nªn bµi viÕt nµy kh«ng tr¸nh khái sù s¬ xuÊt mong c¸c thÇy c« vµ c¸c b¹n th«ng c¶m. Cuèi cïng, em xin ch©n thµnh c¶m ¬n thÇy Bïi §øc Thä vµ c¸c thÇy c« trong tæ To¸n tr­êng THPT D­¬ng X¸ ®· tËn t×nh h­íng dÉn em ®Ó hoµn thµnh bµi viÕt nµy vµ d¹y dç em trong suèt thêi gian thùc tËp .