Vai trò của thực nghiệm Toán học trong các phần mềm hình học động

JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE Vol. 56, No. 5, pp. 101-108 VAI TRÒ CỦA THỰC NGHIỆM TOÁN HỌC TRONG CÁC PHẦN MỀM HÌNH HỌC ĐỘNG Nguyễn Đăng Minh Phúc Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế E-mail: phucsp@gmail.com Tóm tắt.Máy tính đang dần thay đổi một cách căn bản một số thực nghiệm toán học. Các phần mềm hình học động tạo nên môi trường hỗ trợ các tương tác giúp học sinh thấu hiểu những nội dung toán học. Bài viết này sẽ nêu ra những vai trò của phần mềm hình học động trong việc tạo ra các thực nghiệm toán học có ý nghĩa. Những biểu diễn hình học động thật sự giúp học sinh thực nghiệm các ý tưởng toán học, từ đó khám phá tri thức mới. 1. Mở đầu Ngày nay với công nghệ khoa học máy tính phát triển, việc vận dụng sản phẩm công nghệ như các phần mềm dạy học là một hướng đi đúng trong dạy và học nói chung và bộ môn Toán nói riêng. Trong nghiên cứu toán học thì thực nghiệm được coi là một hoạt động hoặc thao tác được thực hiện dưới những điều kiện xác định để phát hiện, xác minh hoặc minh họa một lí thuyết, giả thuyết hoặc sự kiện. Theo Borba và Villarreal [1], một thực nghiệm nhằm để phát hiện một kết quả chưa biết trước, để kiểm chứng một sự thật của một giả thuyết, để chấp nhận hoặc bác bỏ nó hoặc để tạo nên một ví dụ minh họa cho một kết quả đúng. Trong khuôn khổ bài báo này, tác giả đề cập đến vai trò của thực nghiệm toán học trong các phần mềm hình học động, đặc biệt là phần mềm The Geometer’s Sketchpad". 2. Nội dung nghiên cứu 2.1. Thực nghiệm Toán học Thực nghiệm trước hết là sự kiểm tra hoặc thực hiện các phép thử. Thật khó khi chấp nhận một kết quả toán “được chứng minh bởi Mathematica” hoặc “được thiết lập bởi Maple”. Tuy nhiên, nhiều nhà toán học sử dụng các phần mềm đó như là các công cụ cần thiết trong công việc nghiên cứu hàng ngày. Theo Borwein & Bailey [2], sử dụng công nghệ tính toán trong nghiên cứu toán học là một tiếp cận 101 Nguyễn Đăng Minh Phúc mới, được gọi là toán học thực nghiệm. Máy tính cung cấp cho nhà toán học một “phòng thí nghiệm”, trong đó họ có thể tiến hành các thực nghiệm: phân tích các ví dụ, kiểm tra các ý tưởng mới hoặc tìm kiếm các qui luật. Không giống như các phần mềm Mathematica và Maple, nơi mà các đối tượng toán học chủ yếu được điều khiển gián tiếp thông qua các dòng lệnh mang tính cú pháp, phần mềm hình học động cho phép thực hiện các tương tác trực tiếp lên đối tượng: kéo rê đối tượng, thay đổi đối tượng, tạo ra các biểu diễn khác nhau trên cùng một trang hình [6]. Những tương tác này đòi hỏi rất ít các kĩ năng điều khiển công nghệ. Thay vào đó, học sinh chỉ tập trung vào nội dung toán học trên các biểu diễn, khám phá chúng, làm việc với chúng. 2.2. Vai trò của thực nghiệm toán học trong các phần mềm hình học động Các phần mềm hình học động hỗ trợ rất tốt trong việc thể hiện biểu diễn bội [6]. Chúng thể hiện được những quá trình trung gian trong các chuyển động và biến đổi. Mặc khác, những cấu trúc toán học đã được xác định trước giữa các đối tượng vẫn được bảo toàn. Một cách chính xác, thực nghiệm toán phổ thông là phương pháp luận của việc làm toán mà bao gồm việc sử dụng các thao tác điện tử trên phần mềm hình học động. a. Biểu diễn trực quan. Ý nghĩa của các biểu diễn kí hiệu trừu tượng cần được thể hiện ở một dạng khác bằng các biểu diễn trực quan. Việc hiểu khái niệm toán sẽ tốt hơn khi học sinh “thấy” được khái niệm đó thông qua nhiều bối cảnh hoặc biểu hiện khác nhau. b. Phát hiện các sự kiện, qui luật và các mối quan hệ. Phần mềm hình học động giữ nguyên các mối quan hệ bản chất của đối tượng khi tiến hành tương tác lên đối tượng. Những tương tác này hỗ trợ cho học sinh cơ hội phát hiện ra các sự kiện, qui luật và mối quan hệ mới. c. Đồ thị hóa để thể hiện các dữ kiện, cấu trúc hoặc qui tắc. Các dữ kiện khi được đồ thị hóa có thể giúp học sinh dễ dàng hơn trong việc phát hiện cấu trúc, qui luật của chúng. Không những thế, những đồ thị được dựng trên phần mềm hình học động còn có tính cập nhật tức thời: nếu học sinh thay đổi dữ kiện, hình dáng đồ thị cũng thay đổi theo tương ứng. Với các mô hình vật thể trong không gian 3 chiều, các phần mềm còn cho phép học sinh quan sát ở nhiều góc độ khác nhau, thậm chí cho phép tương tác trực tiếp lên mô hình. d. Kiểm tra tính chặt chẽ, khẳng định hoặc bác bỏ giả thuyết. Từ một kết quả đúng, học sinh có thể thay thế hoặc giảm bớt điều kiện đầu để hình thành 102 Vai trò của thực nghiệm toán học trong các phần mềm hình học động giả thuyết mới. Phần mềm hình học động hỗ trợ học sinh tiến hành các thực nghiệm để tăng độ tin cậy của các giả thuyết hoặc bác bỏ nó qua một trường hợp riêng. e. Đề xuất các tiếp cận cho chứng minh suy diễn. Trong quá trình tìm kiếm một chứng minh suy diễn, học sinh có thể tiến hành thực nghiệm trên máy tính trước khi làm việc với các biểu diễn kí hiệu. Những thực nghiệm đó có thể đề xuất ra những con đường khác nhau để đi đến chứng minh logic. f. Giảm các tính toán rườm rà bằng tay. Phần mềm động hỗ trợ công cụ tính toán để giảm bớt những bước tính rườm rà, phức tạp nếu phải thực hiện bằng tay. Tất nhiên giá trị cuối cùng của các phép tính sẽ thay đổi tương ứng nếu các giá trị tạo ra nó thay đổi. g. Kiểm chứng các kết quả. Phần mềm động hỗ trợ các thực nghiệm để kiểm chứng kết quả. Đó có thể là một bước trong chứng minh hình thức, một ví dụ hoặc trường hợp riêng. Những hoạt động ở trên, đối với hầu hết các phần, rất giống với vai trò của thực nghiệm trong các ngành khoa học khác như vật lí và hóa học. Một trong lợi ích đáng giá nhất của tiếp cận thực nghiệm dựa trên máy tính trong toán học hiện đại là loại bỏ một giả thuyết sai. Một ví dụ tính toán đơn giản có thể tiết kiệm hàng giờ nỗ lực của con người để chứng minh nó sai [3]. 2.3. Một số mô hình giúp học sinh thực nghiệm toán học trên máy tính Yêu cầu của một mô hình hỗ trợ tốt cho việc tiến hành thực nghiệm toán: - Các tham số, các điều kiện đầu có thể thay đổi được. - Các đối tượng trong mô hình có mối quan hệ toán học chặt chẽ với nhau. - Thể hiện được các quá trình trung gian trong các chuyển động và biến đổi. - Kết quả thực nghiệm chỉ xuất hiện sau khi tiến hành thực nghiệm. - Kết quả thực nghiệm có thể được quan sát và phân tích dễ dàng. Theo [4], Villiers đưa ra một số mô hình thực nghiệm giúp kiểm chứng giả thuyết, bác bỏ giả thuyết sai (mục d) cũng như việc hiểu các kí hiệu, khái niệm và chứng minh (mục a). Các mô hình sau được thiết kế trên phần mềm The Geometer’s Sketchpad 5 (GSP5) trong chủ đề giải tích ở THPT. 2.3.1. Mô hình điểm cố định của đồ thị hàm số chứa tham số Trên GSP5 cho hàm số chứa tham số f(x) = mx2 + (n− 3m)x+ 2m− n+ 1. Khảo sát những tính chất chung của hàm số khi: 103 Nguyễn Đăng Minh Phúc 1. m thay đổi. 2. n thay đổi. 3. cả m và n cùng thay đổi. Trong mô hình này, học sinh có thể tiến hành các hoạt động thực nghiệm: Thay đổi các tham số m,n riêng biệt hoặc cùng một lúc tới những giá trị khác nhau; tạo và xóa vết đồ thị; khảo sát hình dáng đồ thị; thực hiện các phép tính toán; dựng các đối tượng mới. Hình 1. m thay đổi, n = 2 Hình 2. n thay đổi, m = 2 Mô hình này có thể minh họa tốt cho các vai trò ở mục b, c và có thể là e ở trên. 2.3.2. Mô hình đồ thị của hàm số đạo hàm Trên GSP5, sử dụng công cụ đánh dấu (Marker Tool) để phác thảo một đường cong có dạng hàm số khả vi bất kì trên khoảngK. Áp dụng Number\Define Function from Drawing để định nghĩa đường cong biểu diễn đồ thị hàm số f(x). Lấy điểm xM trên K và đo hoành độ của nó, tính giá trị của hàm số f tại xM là f(xM) rồi vẽ điểm M(xM ; f(xM)). Ta biết rằng với một điểm N khác trên đồ thị thì cát tuyến MN sẽ trở thành tiếp tuyến tại điểm M khi N tiến dần đến M . Do đó ta sẽ dựng MN trong đó xN chênh lệch xM là dx. Giá trị dx có được từ việc dựng thanh trượt tham số (xem Hình 3). Chọn MN , áp dụng Measure\Slope để đo độ dốc của MN (hệ số góc của đường thẳng MN). Có xM và giá trị độ dốc, ta dựng được điểm M ′ có hoành độ xM và tung độ là giá trị độ dốc vừa tính. M ′ là một xấp xỉ của điểm nằm trên đồ thị hàm số f ′(x) có hoành độ xM . Xấp xỉ này sẽ tốt hơn khi dx dần về 0. Chọn điểm xM rồi M ′, áp dụng Construct\Locus. Đường cong quỹ tích vừa xuất hiện chính là một xấp xỉ của đồ thị hàm số f ′(x). Tương tự như trên, khi dx dần về 0, ta sẽ có xấp xỉ tốt hơn của đồ thị f ′(x). Việc thực nghiệm trên mô hình giúp học sinh hiểu mối quan hệ giữa hàm số với đạo hàm, ý nghĩa của đạo hàm, sự biến thiên của hàm số, cực trị. . . Nếu thay đồ thị hàm f bởi một biểu diễn thực tế, như hình dáng của đồi núi chẳng hạn, mô hình sẽ mang nhiều ý nghĩa ứng dụng. Tất nhiên, có thể thay f bởi một hàm số 104 Vai trò của thực nghiệm toán học trong các phần mềm hình học động được cho bởi một biểu thức theo biến x. Mô hình này có thể minh họa tốt cho các vai trò a, b, c và g ở trên. Hình 3. Dựng xấp xỉ đồ thị hàm số đạo hàm 2.3.3. Mô hình đồ thị của các hàm số nguyên hàm Mô hình này đưa ra một bài toán ngược với mô hình trong mục 2.3.2. Chúng ta có đồ thị của hàm số f ′(x) và cần tìm đồ thị của các hàm số f(x). Tương tự như mô hình 2.3.2., sử dụng công cụ đánh dấu (Marker Tool) để phác thảo một đường cong có dạng hàm số liên tục bất kì trên khoảng K. Áp dụng Number\Define Function from Drawing để định nghĩa đường cong là biểu diễn đồ thị của hàm số f ′(x). Lấy điểm M nằm trên mặt phẳng sao cho xM thuộc K. Tiến hành đo tung độ của M . Giá trị f ′(xM) lúc đó chính là hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm M . Tiếp tuyến này là của đồ thị f(x) tại điểm M mà ta đang tìm cách dựng xấp xỉ nó. Tiếp tuyến dựng được do có hệ số góc và điểm đi qua. Áp dụng Number\New Function để tạo hàm số g(x) = f ′(xM)(x− xM ) + yM . Ta biết rằng với một điểm N khác M trên tiếp tuyến có phương trình g(x) ở trên thì đoạn thẳng MN sẽ xấp xỉ tốt cho phần đồ thị của f(x) đi qua điểm M khi N đủ gần với M . Do đó ta sẽ dựng đoạn thẳng MN trong đó xN chênh lệch xM là dx dương và nhỏ tùy ý. Giá trị dx có được từ việc dựng thanh trượt tham số (xem Hình 4). Tọa độ của N là (xM + dx; g(xM + dx)). Để phác thảo đồ thị f(x), ta tạo vết cho đoạn thẳng MN . Chọn đoạn thẳng MN rồi áp dụng Display\Trace Segment. Thay vì di chuyển điểm M bằng tay theo hướng điểm N , phần mềm cho phép tạo các chuyển động: chọn M rồi N , áp dụng 105 Nguyễn Đăng Minh Phúc Edit\Action Button\Movement để tạo một nút hoạt động di chuyển điểm M đến N . Tất nhiên khi M chuyển động thì N cũng chuyển động theo, do cách dựng điểm N như trên. Khi đó, vết của đoạn thẳng MN sẽ cho ta một xấp xỉ của đồ thị hàm số f(x). Xấp xỉ sẽ tốt hơn khi dx càng dần về giá trị 0. Hình 4. Dựng xấp xỉ đồ thị hàm số nguyên hàm Nếu thay đổi vị trí ban đầu của M rồi tạo chuyển động, ta được một họ các đồ thị hàm số xấp xỉ f(x) với đạo hàm là f ′(x) có đồ thị được dựng ban đầu. Hoạt động thực nghiệm trên mô hình này giúp tìm kiếm đồ thị của hàm số f(x) khi biết đồ thị hàm số đạo hàm của nó. Việc tìm kiếm này có thể nói theo một cách hiện đại là minh họa tập nghiệm của phương trình vi phân. Nếu áp dụng Graph\Snap Point rồi di chuyển điểm M , vết của đoạn thẳng MN cho ta một biểu diễn trực quan của trường độ dốc minh họa xấp xỉ cho các hàm số có đạo hàm là f ′(x). Học sinh có thể tiến hành các thực nghiệm trên mô hình thông qua các thao tác động để phát hiện mối quan hệ giữa hàm số và nguyên hàm của nó, tìm nguyên hàm thỏa mãn điều kiện đầu cho trước, thực hiện các tính toán. . . Có thể thay hàm số f ′(x) ban đầu bởi một hàm số biểu diễn qua một biểu thức theo biến x mà ta có thể tính nguyên hàm thông qua các biến đổi trên biểu diễn kí hiệu. Phần mềm cho phép dựng trực tiếp đồ thị của hàm số nguyên hàm đó (vì đã biết được công thức) để kiểm chứng cách dựng xấp xỉ vừa rồi. Mô hình này có thể minh họa tốt cho các vai trò a, b, g ở mục trước. 106 Vai trò của thực nghiệm toán học trong các phần mềm hình học động 2.4. Thảo luận Thực nghiệm toán học nên được hiểu theo nghĩa rộng hơn, vì nó có thể được thực hiện với máy tính, giấy và bút, hoặc với những kĩ thuật thực nghiệm khác như là việc xây dựng các mô hình vật lí. Thật vậy, những thực nghiệm toán không sử dụng máy tính đã được nhiều nhà toán học tiến hành trong lịch sử phát triển toán học. Như thế, nếu toán học diễn tả một thế giới khách quan giống như vật lí, chẳng có lí do gì các phương pháp qui nạp lại không được áp dụng trong toán như đã có trong vật lí [1, 3]. Khi dạy toán học có sự hỗ trợ của các phần mềm động cho thực nghiệm, người giáo viên có cơ hội nắm bắt được hiểu biết toán của riêng từng học sinh. Giáo viên quan sát những thao tác, những biểu hiện của học sinh, đưa ra những tư vấn phù hợp để giúp em đó giải quyết vấn đề và phát triển tư duy. Để tiến hành các thực nghiệm mà không gặp phải các rắc rối về mặt điều khiển công nghệ, học sinh cần thành thạo các thao tác động lên mô hình [5]. Các phần mềm động, từ đó, nên được đưa vào trong dạy học toán ở các bậc học như là một bộ phận cốt yếu. Các thực nghiệm toán học hỗ trợ tốt cho việc phát triển suy luận ngoại suy thông qua thao tác trên mô hình [7]. Những suy luận này giúp tạo nên các chứng cứ đáng tin cậy, đưa ra các giải thích có lí cho các hiện tượng hoặc sự kiện quan sát được để hình thành nên các giả thuyết. 3. Kết luận Toán học, dựa trên một hệ tiên đề chặt chẽ, như là một khoa học suy diễn và hệ thống. Nhưng xét trên khía cạnh phát hiện và khám phá, toán học là một khoa học sử dụng nhiều phép ngoại suy, qui nạp và thực nghiệm. Sự phát triển của các phần mềm hình học động cho phép người giáo viên thay đổi các hoạt động dạy học: học sinh hình thành tri thức từ các thực nghiệm, khảo sát, khám phá một cách chủ động trên các mô hình toán. Công nghệ có một vai trò to lớn liên quan đến việc sử dụng các thực nghiệm trong toán học cũng như trong giáo dục toán học. Thực nghiệm toán học phổ thông khi đó là một bộ phận đáng quan tâm của giáo dục toán liên quan đến các thực nghiệm trên những phần mềm toán học chuyên dụng. Với sự tối ưu cho các tương tác của phần mềm hình học động, học sinh nên được khuyến khích tiến hành các thực nghiệm trên mô hình toán nhằm đạt đến những hiểu biết toán sâu sắc. Lời cảm ơn: Bài báo này được tài trợ một phần bởi Quỹ Phát triển Khoa học và Công nghệ Quốc gia Việt Nam - NAFOSTED với đề tài mã số: VI2.2-2010.11. 107 Nguyễn Đăng Minh Phúc TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Marcelo C. Borba & Monica E. Villarreal, 2005. Humans-with-Media and the Reorganization of Mathematical Thinking. Springer, USA. [2] Jonathan Borwein, David Bailey, 2004. Mathematics by Experiment: Plausible Reasoning in the 21st Century. A K Peters, Natick, Massachusetts. [3] David Bailey, 2006. Experimental Mathematics in Action. A K Peters, Natick, Massachusetts. [4] Michael de Villiers, 2009. Experimentation and Proof in Mathematics. In Gila Hanna et al. (ed.), Explanation and Proof in Mathematics. Springer, USA. [5] Nguyễn Đăng Minh Phúc, 2010. Những phản hồi có ý nghĩa của học sinh đối với môi trường học tập toán điện tử. Tạp chí Giáo dục, Bộ Giáo dục và Đào tạo, số 239 (kì 1), tr. 42-44. [6] Nguyễn Đăng Minh Phúc, 2010. Thiết kế thiết bị dạy học sử dụng biểu diễn bội hỗ trợ học sinh khám phá kiến thức đạo hàm. Tạp chí Thiết bị giáo dục, Bộ Giáo dục và Đào tạo, số 59, tr. 21-22 & 41. [7] Nguyễn Đăng Minh Phúc, 2010. Phát triển suy luận ngoại suy thông qua các mô hình thao tác động điện tử. Tạp chí Khoa học, Đại học Vinh, tập 39, 2A. ABSTRACT The role of Mathematical Experiments in dynamic geometry software Computers are gradually changing the nature of the mathematics experience. Dynamic geometry software creates environments supporting interactions to help students understand the mathematics contents learned. This article will point out the role of dynamic geometry software in the creation of meaningful mathematical experiments. Dynamic geometry representations actually help students experiment- ing with mathematics ideas, so as to explore new knowledge. 108