Vai trò của toán học hóa trong phát triển năng lực về thay đổi và các mối quan hệ của học sinh

JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE Educational Science in Mathematics, 2014, Vol. 59, No. 2A, pp. 14-22 This paper is available online at VAI TRÒ CỦA TOÁN HỌC HÓA TRONG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC VỀ THAY ĐỔI VÀ CÁCMỐI QUAN HỆ CỦA HỌC SINH Trần Vui Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế Tóm tắt. Trong bài báo này, chúng tôi sẽ trình bày các kết quả khảo sát những năng lực về “thay đổi và các mối quan hệ” của học sinh mười lăm tuổi hiện nay được thể hiện như thế nào qua bài làm của các em. Từ đó tìm hiểu vai trò của quy trình toán học hóa trong phát triển năng lực suy luận quan trọng này trong quá trình học sinh giải quyết các vấn đề thực tế một cách có ý nghĩa theo các mức suy luận từ thấp đến cao. Từ khóa: Toán học hóa, thay đổi, các mối quan hệ, giải quyết vấn đề thực tế. 1. Mở đầu Tất cả các hiện tượng tự nhiên là một biểu hiện của sự thay đổi. Một số ví dụ như những sinh vật thay đổi khi chúng lớn, chu kì của mùa, dòng chảy của thủy triều, chu kì cho tỉ lệ thất nghiệp và thay đổi thời tiết. Một số quá trình thay đổi có thể được mô tả hoặc mô hình hóa bởi một số kiến thức toán học khá đơn giản như hàm số tuyến tính, mũ, tuần hoàn hay logarit, rời rạc hay liên tục. Nhưng có nhiều mối quan hệ lại rơi vào những phạm trù khác nhau, và phân tích dữ liệu thường là rất cần thiết. Các mẫu dữ liệu của sự thay đổi trong tự nhiên và trong toán học không theo nghĩa của các nội dung toán học được trình bày theo truyền thống ở nhà trường. Các trình bày theo truyền thống thường quá đẹp và mang tính toán học lí tưởng. PISA, viết tắt của “The Programme for International Student Assessment”, là chương trình đánh giá học sinh quốc tế với quy mô toàn cầu do các quốc gia công nghiệp phát triển thuộc tổ chức hợp tác và phát triển kinh tế OECD, viết tắt của “Organization for Economic Co-operation and Development” và một số quốc gia khác tổ chức 3 năm một lần [2,3]. OECD/PISA có nhiều quan tâm đến các mô hình của sự thay đổi và các mối quan hệ với mục đích khảo sát xem học sinh có thể: - Trình bày những thay đổi theo một hình thức dễ hiểu; - Tìm hiểu các loại cơ bản của sự thay đổi; - Nhận dạng cụ thể của những thay đổi khi chúng xảy ra; - Áp dụng những kiến thức đã học ở nhà trường vào thế giới bên ngoài lớp học; - Kiểm soát sự thay đổi của thế giới thực tiễn theo hướng tạo lợi thế tốt nhất cho con người giải quyết vấn đề. Liên hệ: Trần Vui, e-mail: tranvui@yahoo.com. 14 Vai trò của Toán học hóa trong phát triển năng lực về thay đổi và các mối quan hệ của học sinh Việc rèn luyện thành thạo các kĩ năng đại sô trong giải phương trình không bảo đảm rằng các em sẽ vận dụng được các kiến thức đó để giải quyêt các bài toán thực tế. Việc phát triển năng lực suy luận về thay đổi và các mối quan hệ là hết sức cần thiết và quan trọng để có thể giải quyết những vấn đề gặp phải trong cuộc sống một cách có ý nghĩa. Trong phạm vi bài báo này, chúng tôi sẽ trình bày các kết quả khảo sát những năng lực về thay đổi và các mối quan hệ của học sinh mười lăm tuổi hiện nay và tìm hiểu vai trò của toán học hóa trong phát triển năng lực suy luận quan trọng này. 2. Nội dung nghiên cứu 2.1. Suy luận theo ý tưởng toán về thay đổi và các mối quan hệ Thay đổi và các mối quan hệ: là một trong bốn ý tưởng toán bao quát được sử dụng trong OECD/PISA. Thay đổi và các mối quan hệ liên quan đến các kiến thức về toán học biểu hiện của sự thay đổi, cũng như mối quan hệ chức năng và phụ thuộc giữa các biến [3]. Bốn ý tưởng bao quát: là một lựa chọn về các ý tưởng bao quát toàn bộ nội dung toán học được thực hiện, đó là các quy luật về: đại lượng, không gian và hình, thay đổi và các mối quan hệ, tính không chắc chắn, tạo nên các khái niệm trung tâm và chính yếu cho bất kì mô tả nào về toán học và chúng tạo nên “trái tim” của bất kì một chương trình toán nào ở trung học [3]. Các mối quan hệ có thể cho ta nhiều biểu diễn khác nhau, bao gồm kí hiệu, đại số, đồ thị, bảng và hình. Các biểu diễn khác nhau có thể phục vụ cho những mục đích khác nhau và có những tính chất khác nhau. Do đó, sự chuyển dịch giữa các biểu diễn khác nhau thường là chìa khóa quan trọng trong việc xử lí các bối cảnh hay các nhiệm vụ liên quan đến các mối quan hệ có tính chất toán học [5]. Chúng ta sẽ tìm hiểu việc thay đổi và các mối quan hệ qua bài toán “Chiều cao trung bình” được trình bày sau đây. Bài toán: Chiều cao trung bình Năm 2010 chiều cao trung bình của cả hai giới trẻ nữ và giới trẻ nam ở Zedland được thể hiện ở Đồ thị 1. Đồ thị 1. Chiều cao trung bình của giới trẻ nữ và nam ở Zedland năm 2010 15 Trần Vui Câu hỏi 1: Theo đồ thị này, giai đoạn nào trong cuộc đời mà chiều cao trung bình của nữ hơn nam ở cùng độ tuổi? Câu hỏi 2: Giải thích đồ thị chỉ ra như thế nào về giá trị trung bình của tỉ lệ phát triển chiều cao của con gái chậm lại sau 12 tuổi. Cách thức truyền tải thông tin là một trong những vấn đề mà con người luôn quan tâm. Thông tin có thể tìm thấy ở bất kì đâu, trên internet, trên tivi, trên báo hay tạp chí... Nếu gặp khó khăn trong việc đọc biểu bảng nhiều khi còn được xem là "mù số". Chiều cao trung bình là một bài toán nhằm kiểm tra khả năng đọc đồ thị của học sinh với ý tưởng toán học là "thay đổi và các mối quan hệ", tập trung vào thay đổi chiều cao liên quan đến tuổi tác (OECD, 2009). Câu hỏi 1 thuộc “cụm năng lực tái tạo”; các nội dung toán học được mô tả thuộc kiểu "dữ liệu": học sinh được yêu cầu so sánh đặc điểm của hai bộ dữ liệu, giải thích các bộ dữ liệu và rút ra kết luận. Học sinh cần phải suy nghĩ và tìm ra lí do (nơi làm cho hai đồ thị có điểm chung?). Sử dụng năng lực lập luận để giải thích những điểm này nhằm tìm kiếm câu trả lời như mong muốn. Câu hỏi này đòi hỏi học sinh phải: - Giải thích và sử dụng đồ thị; - Đưa ra kết luận trực tiếp từ đồ thị; - Trình bày kết quả lập luận của mình một cách chính xác. Câu hỏi 2 thuộc “cụm năng lực liên kết”. Nó yêu cầu học sinh giải quyết một vấn đề trong một tình huống không bình thường, mặc dù vẫn liên quan đến những kiến thức toán học quen thuộc. Học sinh cần phải suy nghĩ và đưa ra lí do cũng như các câu hỏi có ý nghĩa gì về mặt toán học, thiết lập các biến số, và giao tiếp một cách thích hợp chứ không phải chỉ đơn giản là nhớ lại các quy trình. Học sinh cũng cần giải quyết vấn đề và giải mã các biểu đồ. Các câu hỏi với bối cảnh thực tế mới chắc chắn sẽ không quen thuộc nên đòi hỏi học sinh phải thông minh trong việc liên kết các ý tưởng và thông tin khác nhau. Câu hỏi đặt ra yêu cầu học sinh phải: - Thể hiện sự hiểu biết toán học; - Phân tích các đường cong tăng trưởng khác nhau; - Đánh giá các đặc điểm của một tập hợp các dữ liệu, đại diện trên đồ thị; - Lưu ý và giải thích độ dốc thay đổi ở những điểm khác nhau của đồ thị; - Trình bày lí do và các lập luận của mình một cách rõ ràng và chính xác. Trong bối cảnh thực tế: tình huống khi mua sắm, đi lại, nấu nướng, giải quyết các vấn đề tài chính cá nhân, phán xét các vấn đề chính trị. . . ở đó việc áp dụng suy luận "thay đổi và các mối quan hệ" sẽ giúp làm sáng tỏ, thiết lập và giải quyết vấn đề thực tế liên quan bằng con đường toán học hóa. 2.2. Quy trình toán học hóa các tình huống thực tế Những quy trình toán học hóa theo một nghĩa rộng là đặc trưng cho việc con người sử dụng toán học như thế nào trong nghề nghiệp hiện nay. Những công dân có hiểu biết và biết phản ánh công việc của mình nên dùng toán học để tham gia một cách hoàn toàn và có năng lực vào thế giới thực tế. Thực ra, học cách để toán học hóa nên là mục đích giáo dục đầu tiên cho học sinh. Để hiểu thêm về toán học hóa, chúng ta xét hai dạng câu hỏi sau đây: câu hỏi 1 thăm dò các kĩ năng tính toán đại số của học sinh, câu hỏi 2 khảo sát các năng lực của học sinh sử dụng những hiểu biết của mình về “thay đổi và các mối quan hệ” để giải quyết một tình huống xảy ra trong đời sống thực tế. 16 Vai trò của Toán học hóa trong phát triển năng lực về thay đổi và các mối quan hệ của học sinh Câu hỏi 1: Kĩ năng đại số a) Giải phương trình: 580 − x− (500 − 0, 6x) = 0. b) Cho phương trình: y = 500− 0, 6x. i) Tìm giá trị của y khi x = 6, ii) Giá trị của y thay đổi như thế nào khi x tăng lên 1? Câu hỏi 2: Nhịp tim Vì những lí do sức khỏe người ta nên giới hạn những nổ lực của mình để khỏi phải vượt quá một tần suất nhịp tim nào đó, chẳng hạn như trong thể thao. Trong nhiều năm mối quan hệ giữa nhịp tim tối đa được khuyến cáo của một người và độ tuổi của người đó được mô tả bằng công thức sau đây: Nhịp tim tối đa được khuyến cáo = 220 - tuổi Nghiên cứu gần đây đã chỉ ra rằng công thức này nên được thay đổi đi một ít cho phù hợp. Công thức mới như sau: Nhịp tim tối đa được khuyến cáo mới = 208 − (0, 7 × tuổi) a) Ta chú ý rằng hiệu số của hai nhịp tim tối đa được khuyến cáo trong bảng có vẻ giảm đi khi tuổi tăng lên. Tìm và rút gọn một công thức cho hiệu số này theo tuổi. b) Ở tuổi nào thì công thức cũ và công thức mới cho chính xác cùng một giá trị? c) Công thức mới đã thay đổi nhịp tim tối đa được khuyến cáo theo độ tuổi như thế nào? Hãy giải thích câu trả lời của bạn một cách rõ ràng. Nghiên cứu chỉ ra rằng tập thể dục có hiệu quả nhất khi nhịp tim là 80% của nhịp tim tối đa được khuyến cáo theo công thức mới. d) Đối với một người cụ thể, nhịp tim hiệu quả nhất để tập thể dục sẽ thay đổi như thế nào khi người đó tăng lên một tuổi? Khi học sinh trả lời các vấn đề ở câu hỏi 1, các em chỉ biến đổi và tính toán trên các phương trình đại số đã cho. Còn ở câu hỏi 2, các nội dung toán học rất giống với câu hỏi 1, nhưng đòi hỏi học sinh phải hiểu và vận dụng các kiến thức đại số để giải một bài toán thực tế. Để trả lời các bài toán như ở câu hỏi 2, học sinh cần phải sử dụng một quy trình gọi là “toán học hóa” để giải quyết các vấn đề thực tế được đề cập. Trong bài báo này chúng tôi sử dụng quy trình toán học hóa được sử dụng bởi PISA, là quy trình nối kết thế giới hiện thực với thế giới toán học được thể hiện qua sơ đồ minh họa sau [2]. Trong đó: (1) Bắt đầu từ một vấn đề được đặt ra trong thực tế; (2) Tổ chức vấn đề theo các khái niệm toán học; (3) Không ngừng cắt tỉa để thoát dần ra khỏi thực tế thông qua các quá trình như đặt giả thiết về các yếu tố quan trọng của vấn đề. Tổng quát hóa và hình thức hóa vấn đề, coi trọng các yếu tố toán học của tình huống và chuyển thể vấn đề thực tế sang bài toán đại diện cho tình huống; (4) Giải quyết bài toán; (5) Làm cho lời giải toán có ý nghĩa theo tình huống thực tế. Quy trình này được chúng tôi vận dụng vào việc thiết kế các bài toán có nguồn gốc thực tế để khảo sát năng lực về thay đổi và các mối quan hệ của học sinh [4]. 17 Trần Vui Sơ đồ 1. Quy trình toán học hóa 2.3. Các mức năng lực về thay đổi và các mối quan hệ Để làm cơ sở cho việc đánh giá các năng lực về thay đổi và các mối quan hệ mà học sinh thể hiện qua các bài toán được thiết kế trong nghiên cứu này, chúng tôi sử dụng sáu mức năng lực về thay đổi và các mối quan hệ, phỏng theo sáu mức hiểu biết toán của PISA [3]. Các mức suy luận này thể hiện các năng lực cụ thể cần khảo sát của học sinh. Mức 1: Học sinh ở mức này có thể: - Làm việc với những thuật toán đơn giản, công thức, và các quy trình từng bước; - Liên kết lời văn với các biểu diễn đơn giản. Mức 2: Học sinh ở mức này có thể: - Lí giải lời văn để đưa ra mô hình toán học đơn giản trong tình huống có tính áp dụng; - Hiểu các ý tưởng thay đổi và các mối quan hệ trong tình huống thực tế quen thuộc. Mức 3: Học sinh ở mức này có thể: - Làm việc với các biểu diễn liên quan gồm lời văn, đồ thị, bảng số và đại số đơn giản; - Lí giải các biểu diễn bằng đồ thị không quen thuộc của các tình huống thực tiễn; - Liên kết và nối liền các biểu diễn có liên quan khác nhau. Mức 4: Học sinh ở mức này có thể: - Hiểu và làm việc với các biểu diễn bội, bao gồm các mô hình toán tường minh của các tình huống thực tế; - Thể hiện sự hiểu biết sâu sắc đối với các bài toán có mối quan hệ hình học không gian. Mức 5: Học sinh ở mức này có thể: - Sử dụng hoàn toàn nâng cao các biểu thức hay những dạng toán học hình thức khác; - Khả năng liên kết các biểu diễn toán học hình thức bằng kí hiệu toán học với các tình huống thực tế phức tạp; - Khả năng giải các bài toán phức tạp và có nhiều bước. Mức 6: Học sinh ở mức này có thể: - Áp dụng sự hiểu biết sâu sắc cùng với sự thành thạo các kĩ năng và các mối liên hệ để tiếp cận các tình huống mới lạ không quen thuộc; - Lí giải các thông tin toán học phức tạp trong tình huống của một bài toán. 18 Vai trò của Toán học hóa trong phát triển năng lực về thay đổi và các mối quan hệ của học sinh 2.4. Kết quả nghiên cứu Chúng tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu điều tra khảo sát với công cụ là các bài toán chứa đựng các yếu tố thay đổi và các mối quan hệ, có sử dụng các biểu diễn khác nhau. Các bài toán này đã được thử nghiệm để kiểm tra độ tin cây trên đối tượng 107 học sinh ở Thừa Thiên Huế. Từ việc phân tích kết quả thử nghiệm chúng tôi đã chỉnh sửa tình huống và các câu hỏi của bài toán phù hợp với đáp ứng của học sinh. Trong phần này, chúng tôi sẽ phân tích các kết quả nghiên cứu rút ra được từ các dữ liệu thu thập được qua kết quả của các bài làm của học sinh lớp 10 ở một số tỉnh miền trung, tây nguyên và nam bộ (N=1320) khi giải quyết một bài toán cụ thể có sử dụng các loại biểu diễn khác nhau. Các kết quả bài làm của học sinh được thống kê và phân tích dựa trên sáu mức năng lực về thay đổi và các mối quan hệ đã trình bày ở trên. Trong khuôn khổ của bài báo này chúng tôi chỉ phân tích một bài toán cụ thể được thiết kế gồm ba câu hỏi nâng dần các năng lực về thay đổi và các mối quan hệ của học sinh từ mức 1 đến mức 6. * Bài toán chiều cao Trong nhiều năm trước đây, công thức tính chiều cao trung bình của trẻ em (từ 1 đến 16 tuổi) được tính bởi công thức: h(cm) = 75 + 5(N − 1) trong đó N là tuổi tính bằng năm, ví dụ: 16 năm 11 tháng 30 ngày, tính là 16 tuổi. Nghiên cứu gần đây cho thấy công thức tính chiều cao trung bình mới là: h(cm) = 77 + 6N với N là tuổi tính bằng năm. Câu hỏi 1: Chiều cao trung bình của trẻ 16 tuổi tính theo công thức mới là: A. 150 (cm) B. 173 (cm) C. 170 (cm) D. 167 (cm) Câu hỏi 2: Em hãy cho biết chiều cao và ngày, tháng, năm sinh của mình, từ đó đưa ra nhận xét về chiều cao của mình so với chiều cao trung bình mà công thức mới đưa ra? Câu hỏi 3: Một bài báo đã viết Trong những năm gần đây, chiều cao của con người tăng lên đáng kể. Chẳng hạn, một trẻ em 10 tuổi có chiều cao trung bình tăng từ 15-20 cm. Điều này có phù hợp với nghiên cứu gần đây ở trên không? Hãy trình bày kiến giải của em? * Các trả lời được dự kiến tương ứng với các mức năng lực Bài toán gắn với một tình huống thực tế rất gần gũi với học sinh, việc đọc và hiểu được các thông tin về thay đổi và các mối quan hệ thể hiện qua các biểu thức toán học là năng lực hết sức cơ bản và cần thiết. Câu hỏi 1: Đáp án B (1 điểm). Ở câu hỏi 1 chỉ đòi hỏi học sinh đọc và hiểu được thông tin cho bằng biểu thức toán học. Từ đó học sinh áp dụng biểu thức để tính toán cho trường hợp cụ thể với N = 16. Chiều cao trung bình của trẻ 16 tuổi: h = 77 + 6× 16 = 173 (cm). 19 Trần Vui Câu hỏi 1 gắn với mức năng lực 1, 2, yêu cầu học sinh tái tạo lại kiến thức về hàm số bậc nhất. Câu hỏi 2: Trả lời 1 (2 điểm): Đưa ra chiều cao và ngày, tháng, năm sinh của mình. So sánh được chiều cao của mình với chiều cao trung bình theo công thức mới ứng với tuổi của mình (tuổi không làm tròn theo năm). Trả lời 2 (1 điểm): Thực hiện được các yêu cầu ở trả lời 1, nhưng làm tròn tuổi của các em theo năm. Câu hỏi 2 có trả lời theo cấu trúc mở. Học sinh trả lời theo số liệu của cá nhân mình đưa ra. Học sinh phải biết liên kết số liệu thực tế về tuổi và chiều cao của mình để lí giải với chiều cao trung bình được tính toán bằng công thức mới. Câu hỏi này liên quan đến hai mức năng lực 3 và 4. Câu hỏi 3: Trả lời 1 (2 điểm): Bài báo nhận xét đúng vì: (77 + 6× 10) − (75 + 5× 9) = 17 (cm); Trả lời 2 (1 điểm): Đồng ý với nhận xét của bài báo nhưng không có giải thích hoặc giải thích không chính xác. Câu hỏi 3 gắn với mức năng lực 5, 6. * Phân tích kết quả khảo sát Có 1320 học sinh tham gia giải quyết bài toán này. Kết quả cụ thể được thống kê ở Bảng 1: Bảng 1. Số phần trăm học sinh đạt từng mức điểm (N = 1320) Mức điểm Số phần trăm học sinh đạt từng mức điểm (N = 1320)Câu hỏi 1 Câu hỏi 2 Câu hỏi 3 2 điểm lllllllllllllllllllllllllll 30,5 24,5 1 điểm 84 49,0 40,5 0 điểm 16 20,5 35 Đời sống ngày một phát triển, con người không còn hướng đến "ăn no, mặc ấm" mà hướng đến "ăn ngon, mặc đẹp". Do vậy, hình thức bên ngoài mà đặc biệt là chiều cao ngày càng được quan tâm. Trong vài thập niên qua nhiều thực phẩm, nhiều công cụ tập luyện ra đời với mục đích hỗ trợ phát triển chiều cao. Đó là nguyên nhân chính mà chiều cao của người Việt Nam tăng đáng kể trong những năm gần đây. Câu hỏi 1 là một tình huống quen thuộc mà học sinh thường đối mặt khi học sinh tính toán giá trị của một biểu thức đại số ứng với một biến số cho trước. số học sinh trả lời đúng khá cao (chiếm 84%). Chiều cao theo tuổi là hàm bậc nhất mà các em được làm quen ở lớp 7, việc tìm giá trị hàm số tại một điểm cố định (đã có giá trị của biến số) chỉ đòi hỏi việc nhớ lại (cách tìm giá trị của hàm số) của học sinh. Câu hỏi này đòi hỏi về năng lực sử dụng ngôn ngữ kí hiệu, hình thức, kĩ thuật và các phép toán ở mức tái tạo nên học sinh có thể giải quyết khá dễ dàng. Như vậy phần lớn số học sinh đã đạt được mức 2 của suy luận về “thay đổi và các mối quan hệ”. Câu hỏi 2 yêu cầu các năng lực suy luận về “thay đổi và các mối quan hệ” ở mức 3 và 4. 20 Vai trò của Toán học hóa trong phát triển năng lực về thay đổi và các mối quan hệ của học sinh Vào lúc khảo sát (cuối tháng 4), tuổi phổ biến của học sinh từ 14 năm 8 tháng đến 15 năm 7 tháng. Tuy nhiên, khi giải quyết câu hỏi 2, nhiều học sinh làm tròn tuổi của mình theo năm (chiếm 49%) rồi tính theo công thức. Với cách làm này dẫn đến sự thiếu chính xác trong việc so sánh chiều cao của học sinh với chiều cao theo công thức đưa ra. Những học sinh làm tròn tuổi theo năm rồi so sánh được xếp vào nhóm 1 điểm. Có 21% sinh vào tháng 4 hoặc đầu tháng 5 nên kết quả so sánh chấp nhận là đúng mặc dù các em đã làm tròn. Vấn đề mà bài toán đưa ra không khó, nó đòi hỏi năng lực tư duy và suy luận ở mức liên kết các kiến thức liên quan của học sinh khi giải quyết một vấn đề thực tế. Có 79,5% học sinh có điểm ở câu hỏi 3, trong đó có 30,5% học sinh đạt mức 4 của năng lực. Qua phân tích hai câu hỏi trên, chúng tôi thấy khả năng nhận diện các biểu diễn và chuyển đổi giữa các dạng biểu diễn đơn giản của học sinh là khá tốt, làm nền tảng cho việc phát triển những năng lực suy luận về “thay đổi và các mối quan hệ” ở mức cao hơn. Câu hỏi 3 yêu cầu các năng lực về “thay đổi và các mối quan hệ” ở mức 5 và 6. Rất nhiều học sinh không giải quyết được vấn đề trong câu hỏi 3. Sai lầm chủ yếu là các em hiểu nhầm vấn đề cần giải quyết (độ chệch về chiều cao giữa hai công thức) với chiều cao tăng trưởng trong 1 năm theo công thức mới (chiếm 21%) cho thấy học sinh gặp thách thức trong việc tự đặt vấn đề toán học để giải quyết [1]. Ngoài ra, có 24% học sinh bỏ trống câu hỏi này vì không biết phải bắt đầu từ đâu, nói cách khác học sinh còn hạn chế về năng lực đặt vấn đề và giải. Với những hạn chế về năng lực giao tiếp và đặt vấn đề và giải làm cho bước 2 của quy trình 5 bước trong toán học hóa gặp những trở ngại đòi hỏi các em phải điều chỉnh. Có 15% học sinh cho rằng nhận xét của bài báo đúng nhưng không giải thích hoặc giải thích không hợp lí, những học sinh này được xếp vào nhóm 1 điểm. Có 24,5% học sinh giải quyết trọn vẹn vấn đề của câu hỏi này, các em đạt mức 6 của năng lực cần khảo sát. 3. Kết luận Nâng cao năng lực toán học hóa về "thay đổi và các mối quan hệ" trong toán phổ thông góp phần giúp học sinh thực hành tốt các kĩ năng toán học để giải quyết các vấn đề trong đời sống. Cần lưu ý rằng kĩ năng tính toán trong đời sống không chỉ là kĩ năng giải một dạng toán nào đó mà bao gồm các kĩ năng