Vận dụng bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất- giá trị nhỏ nhất và giải phương trình

Sưu tầm bởi: www.daihoc.com.vn Vận dụng bất đẳng thức t ìm GTLN - GTNN và giải phương trình Trang 1 PHẦN MỞ ĐẦU Sưu tầm bởi: www.daihoc.com.vn Vận dụng bất đẳng thức t ìm GTLN - GTNN và giải phương trình Trang 2 I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Có thể nói trong chương trình toán ở bậc trung học phổ thông th ì phần kiến thức về bất đẳng thức là khá khó. Nói về bất đẳng thức thì có rất nhiều bất đẳng thức được các nhà Toán học nổi tiếng tìm ra và chứng minh. Đối với phần kiến thức này thì có hai dạng bài tập là chứng minh bất đẳng thức và vận dụng bất đẳng thức để giải các bài toán có liên quan. Là một sinh viên ngành toán tôi không phủ nhận cái khó của bất đẳng thức v à muốn tìm hiểu thêm về các úng dụng của bất đẳng thức để phục vụ cho việc giảng dạy toán sau này. Do đó tôi chọn đề tài “Vận dụng bất đẳng thức để t ìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và giải phương trình” để tìm hiểu thêm. Khi vận dụng bất đẳng thức để giải các bài toán dạng này thì có rất nhiều bất đẳng thức để chúng ta vận dụng. Ở đây tôi chỉ giới hạn trong ba bất đẳng thức l à bất đẳng thức Côsi, Bunhiacopski và bất đẳng thức vectơ. Trong đề tài này tôi trình bày cách vận dụng ba bất đẳng thức trên để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và giải phương trình để rèn luyện khả năng vận dụng bất đẳng thức để giải toán v à qua đó có thể tích lũy được kinh nghiệm trong giải toán để giảng dạy sau n ày. II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Mục tiêu chính của đề tài này là tổng hợp các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất và giải phương trình bằng bất đẳng thức chủ yếu vận dụng ba bất đẳng thức nói trên. Qua đây tôi hi vọng sẽ đưa ra đầy đủ các dạng vận của các bất đẳng thức nói trên. III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Đối tượng của đề tài là ba bất đẳng thức Côsi, Bunhiacopski v à bất đẳng thức vectơ cùng với các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất và các phương trình. Đề tài này chủ yếu xoay quanh ba đối tượng trên bên cạnh đó tôi cũng giới thiệu và chứng minh một số bất đẳng thức thông d ụng khác. IV. PHẠM VI NGHIÊN CỨU Phạm vi của đề tài này chỉ xoay chủ yếu vào ba bất đẳng thức đã nêu trên để giải các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất và giải phương trình. VI. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN C ỨU Tìm và tham khảo tài liệu, sưu tầm phân tích và bài tập giải minh họa, tham khảo ý kiến của cán bộ hướng dẫn Sưu tầm bởi: www.daihoc.com.vn Vận dụng bất đẳng thức t ìm GTLN - GTNN và giải phương trình Trang 3 PHẦN NỘI DUNG Sưu tầm bởi: www.daihoc.com.vn Vận dụng bất đẳng thức t ìm GTLN - GTNN và giải phương trình Trang 4 Phần 1: SƠ LƯỢC VỀ BẤT ĐẲNG THỨC 1.1. Định nghĩa bất đẳng thức Cho hai số thực ba, bất kỳ, ta định nghĩa: 0 baba 1.2. Tính chất cơ bản của bất đẳng thức  cbcaba   bacbca   bcacba   ba  dc  fdbeca  fe   ba  và mbmam  0  ba  và mbmam  0  0 ba 0 dc bdac   0 ba nn ba  n ba  1.3. Một số bất đẳng thức cơ bản 1.3.1. Bất đẳng thức chứa trị tuyệt đối baba  dấu “=” xảy ra 0 ab baba  nn aaaaaa  ...... 2121 1.3.2. Bất đẳng thức Côsi Cho hai số dương a, b ta có: abba 2 Dấu “=” xảy ra ba  Tổng quát: cho n số không âm  1 2, ,..., 2na a a n  , ta luôn có: 1 2 1 2 ... . ... n n n a a a n a a a n     Dấu “=” xảy ra 1 2 ... na a a    Mở rộng: Cho n số dương  1 2, ,..., 2na a a n  và n số 1 2, ,...., n   dương có: 1 2 ... 1n      . Thì: 1 2 1 2 1 1 2 2. ... ... n n n na a a a a a         Dấu “=” xảy ra 1 2 ... na a a    Sưu tầm bởi: www.daihoc.com.vn Vận dụng bất đẳng thức t ìm GTLN - GTNN và giải phương trình Trang 5 1.3.3. Bất đẳng thức Bunhiacopski Bất đẳng thức Bunhiacopski: Cho hai bộ số a, b và c, d ta có:     22222 dcbabdac  Dấu “=” xảy ra d b c a  Tổng quát: Cho n số 1 2 1 2, ,..., và , ,..,n na a a b b b tùy ý ta có:     2 2 2 2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 2... ... ...n n n na b a b a b a a a b b b          Dấu “=” xảy ra 1 2 1 2 ... n n aa a b b b     Mở rộng: Cho m bộ số, mỗi bộ gồm n số không âm:    , ,... 1,2,...,i i ia b c i m Khi đó ta có:        1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 ... ... ... ... ... ... ... m m m m m m m m m m m m m m m m a a a b b b c c c a b c a b c a b c              Dấu “=” xảy ra 1 1 1 2 2 2: : ... : : : ... : ... : : ... :n n na b c a b c a b c    1.3.4. Bất đẳng thức Bernuolli Cho 1a và Nr :  Nếu 1n thì   naa n  11 dấu “=” xảy ra 0 a hoặc 1n  Nếu 1 na thì   naa n  11 1.3.5. Bất đẳng thức vectơ  vuvu ..   vuvu   vuvu   wvuwvuwvu  Sưu tầm bởi: www.daihoc.com.vn Vận dụng bất đẳng thức t ìm GTLN - GTNN và giải phương trình Trang 6 Phần 2: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ HOẶC BIỂU THỨC 2.1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ 2.1.1. Định nghĩa Cho biểu thức 1 2P( , ,..., )nx x x ( hàm số 1 2( , ,..., )nf x x x ), xác định trên D - Nếu 1 2P( , ,..., ) Mnx x x  (hoặc 1 2( , ,..., ) Mnf x x x  ) 1 2( , ,..., ) Dnx x x  và 1 2 ( , ,..., ) Dnx x x  sao cho: 1 2P( , ,..., ) Mnx x x  thì M gọi là giá trị lớn nhất của 1 2P( , ,..., )nx x x (hoặc 1 2( , ,..., )nf x x x ). Kí hiệu là maxP hoặc Pmax ( 1 2max ( , ,..., )nf x x x hoặc 1 2 max( , ,..., )nf x x x ). - Nếu 1 2P( , ,..., ) mnx x x  ( hoặc 1 2( , ,..., ) mnf x x x  ) thì m gọi là giá trị nhỏ nhất của 1 2P( , ,..., )nx x x ( hàm số 1 2( , ,..., )nf x x x ). Kí hiệu là minP hoặc Pmin (min 1 2( , ,..., )nf x x x hoặc 1 2 min( , ,..., )nf x x x ). 2.1.2. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức (hàm số) bằng phương pháp vận dụng bất đẳng thức Đối với việc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức (hàm số) thì có thể kể đến các phương pháp sau: phương pháp kh ảo sát, phương pháp đánh giá thông thường và phương pháp sử dụng bất đẳng thức. Trong các ph ương pháp nêu trên thì phương pháp sử dụng các bất đẳng thức có thể coi là một trong những phương pháp thông dụng và hiệu quả nhất để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức và hàm số. Đối với phương pháp này, ta sử dụng các bất đẳng thức thông dụng như: bất đẳng thức Côsi, Bunhiacopski, Schwartz, Bernouli, bất đẳng thức vectơ… để đánh giá biểu thức P (hoặc hàm số 1 2( , ,..., )nf x x x ), từ đó suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất cần t ìm. Phương pháp này, như tên gọi của nó, dựa trực tiếp vào định nghĩa của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức và hàm số. Lược đồ chung của phương pháp này có thể miêu tả như sau: - Trước hết chứng minh một bất đẳng thức có dạng 1 2P ( , ,..., ) Dnx x x   với bài toán tìm giá trị nhỏ nhất (hoặc 1 2P ( , ,..., ) Dnx x x   đối với bài toán tìm giá trị lớn nhất), ở đây P là biểu thức hoặc hàm số xác định trên D. - Sau đó chỉ ra một phần tử 01 02 0( , ,..., ) Dnx x x  sao cho 01 02 0P( , ,..., )nx x x  . Tùy theo dạng của bài toán cụ thể mà ta chọn một bất đẳng thức thích hợp để áp dụng vào việc tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất. Do phạm vi của đề tài, ở đây chỉ giới thiệu phương pháp sử dụng ba bất đẳng thức là: Côsi, Bunhiacopski và phương pháp b ất đẳng thức vectơ. Ví dụ : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 3 2( )f x x x   ( 0x  ) Giải: Ta có: 3 2 2 2 25 3 3 6 5 1 1 1 1 1 1 1 5( ) 5 3 3 3 3 27 f x x x x x x x x           ( BĐT Côsi) Sưu tầm bởi: www.daihoc.com.vn Vận dụng bất đẳng thức t ìm GTLN - GTNN và giải phương trình Trang 7 Dấu “ =” xảy ra 2 5 53 1 1 3 3 3 x x x x       Vậy Min  f x = 5 527 tại 5 3x  2.2. BÀI TẬP 2.2.1. Sử dụng bất đẳng thức Côsi Lưu ý: Để biết được bài toán nào sử dụng bất đẳng Côsi ta cần chú ý đến các thành phần của hàm số hoặc biểu thức. Nếu nó có dạng tích hoặc l à tổng của hai phần không âm và đặc biệt sau khi vận dụng bất đẳng thức Côsi th ì xuất hiện biểu thức của giả thiết ban đầu và đưa được về hằng số thì ta có thể sử dụng bất đẳng thức Côsi để đánh giá để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Bài 1: Cho ba số thực dương cba ,, . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:         a c c b b a 111P Giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: b a b a 21  c b c b 21  a c a c 21  Suy ra 88111         abc abc a c c b b a Hay 8P  Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1 cba Vậy 8P min  Bài 2: Cho ba số thực 0,, cba thỏa 2 1 1 1 1 1 1  cba . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M abc Giải: Ta có: 2 1 1 1 1 1 1  cba cba  1 1 1 12 1 1 c c b b acba       111 1 1 11 1 11 1 1 Sưu tầm bởi: www.daihoc.com.vn Vận dụng bất đẳng thức t ìm GTLN - GTNN và giải phương trình Trang 8 Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được:   cb bc c c b b  11211    1 2 1 1 1 bc a b c     (1) Tương tự, ta có:   ca ac b  1121 1 (2)   ba ab c  1121 1 (3) Từ (1) , (2) và (3) nhân vế với vế ta được:       2 2 2 2 2 2 1 1 1 8 1 1 1 1 1 1 a b c a b c a b c                         1 8 1 1 1 1 1 1 abc a b c a b c        Suy ra: 1 8 M abc  Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1 1 1 1 1 1 1 2 a b c a b c         (thỏa điều kiện ban đầu) Vậy 1 8 Mmax  tại 12a b c   Cách khác: Từ giả thiết ta có:             1 1 1 1 1 1 2 1 1 1b c a c a b a b c                 2 3 2 1 1 1a b c ab bc ac a b c           1 2abc ab bc ac     (1) Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: 3 3 342 4 2abc ab bc ac a b c    (2) Từ (1) và (2) ta được: 3 3 341 4 2 1 8a b c abc   hay 1M 8 abc  Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 12 2 abc ab bc ac a b c       Sưu tầm bởi: www.daihoc.com.vn Vận dụng bất đẳng thức t ìm GTLN - GTNN và giải phương trình Trang 9 Vậy Mmax = 1 8 tại 1 2 a b c   Bài toán tổng quát: Cho 1 2, ,..., 0na a a  thỏa mãn : 1 1 1 1 n i i n a    Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 2M . .... na a a Lập luận như trên ta được Mmax 2n tại 1 2 1... 1na a a n     Bài 3: Cho hàm số 24 4 4( ) 1 1 1f x x x x      xác định trên  D R : 1 1x x     . Tìm giá trị lớn nhất của ( )f x trên D. Giải: Áp dụng bất thức Côsi ta có: 24 4 4 1 11 1 . 1 2 x x x x x        (1) 4 4 1 11 1 .1 2 x x x      (2) 4 4 1 11 1 .1 2 x x x      (3) Từ (1), (2), (3) cộng vế theo vế ta đ ược: D( ) 1 1 1 xf x x x       (4) Nhận thấy (4) xảy ra khi và chỉ khi (1), (2) và (3) đồng thời xảy ra khi và chỉ khi 0x  . Lại áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:  1 11 1 .1 2 x x x      (5)  1 11 1 .1 2 x x x      (6) Từ (5), (6) đưa đến: 1 1 2 1 1 1 3x x x x          (7) Dấu “=” ở (7) xảy ra khi và chỉ khi ở (5) và (6) đồng thời xảy ra khi và chỉ khi 0x  . Từ (4) và (7) suy ra ( ) 3 Df x x   . Sưu tầm bởi: www.daihoc.com.vn Vận dụng bất đẳng thức t ìm GTLN - GTNN và giải phương trình Trang10 Ta lại có à 0 D(0) 3, vf  . Do đó: max ( )f x = 3. Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số thực sau: 1 1( ) 1 f x x x    với 0 1x  Giải: Ta có: 1 1 1 1 1 1( ) 1 1 1 1 x x x xf x x x x x x x x x                       1 2 1 x x x x    Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được: 21 1( ) 2 . 2 4 1 1 x x x xf x x x x x        Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1 1 1 2 x x x x x     Vậy min ( ) 4f x  tại 1 2 x  Bài 5: Cho ba số thực dương , ,a b c . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P a b c b c c a a b      Giải: Đặt: , ,x b c y c a z a b       1 2 a b c x y z      Và , , 2 2 2 y z x z x y x y z a b c        (*) Từ đó ta có: 1P 3 2 2 2 2 y z x z x y x y z y z z x x y x y z x y z                    1 3 2 y x z x z y x y x z y z                        Sưu tầm bởi: www.daihoc.com.vn Vận dụng bất đẳng thức t ìm GTLN - GTNN và giải phương trình Trang11   3 2 1 2 2 2 3 2     ( Bất đẳng thức Côsi) Dấu “=” xảy ra y x x y z x x y z x z z y y z        Từ (*) ta có a b c  Vậy min 3P 2  với mọi số thực dương , ,a b c thỏa a b c  . Bài 6: Cho ba số thực dương , ,a b c thỏa: 1a b c   . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức    S abc a b b c c a    Giải: Áp dụng BĐT Côsi cho ba số dương, ta có: 3 33 1 3a b c abc abc     (1) Và          33a b b c c a a b b c c a              32 3 a b b c c a     (2) Từ (1) và (2) nhân vế với vế ta được:     332 9 9 Sabc a b b c c a     38 9 S 8S 729     Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1 3 a b c   Vậy ax 8S 729m  Bài 7: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 2( ) 1 2 2 xf x x x    trên miền 1D R : 1 2 x x         . Sưu tầm bởi: www.daihoc.com.vn Vận dụng bất đẳng thức t ìm GTLN - GTNN và giải phương trình Trang12 Giải: Nhận thấy D là miền xác định của ( )f x . Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:    22 2 1 1 21 2 1. 1 2 D2 x x x x x x x           Do đó:  21 1 2( ) 2 2 x xxf x     2( ) 1f x x   Từ đó suy ra: ( ) 1 Df x x   Mặt khác để dấu “=” xảy ra th ì 2 2 1 1 2 1 1 0 D 11 2 x x x x x            Ta lại có: (0) 1f  Vậy D max ( ) 1 x f x   Bài 8: Cho hàm số  2 21 2( ) 1 1f x x x x        . Tìm giá trị nhỏ nhất của ( )f x với 0x  Giải: Ta có:     22 21 2 1( ) 1 1 1 1f x x xx x x                   Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được: 2 1( ) 2 .2 16f x x x      Dấu “=” xảy ra 1x  > 0. Vậy 0 min ( ) 16 x f x  tại 1x  Bài 9: Cho ba số thức dương , ,a b c . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: Sưu tầm bởi: www.daihoc.com.vn Vận dụng bất đẳng thức t ìm GTLN - GTNN và giải phương trình Trang13    1 1 1A 1 a b cabc a b c a b c b c a              Giải: Ta viết biểu thức A lại dưới dạng sau:  1 1 1A a b cab bc ac a b c b c a a b c                            Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được: 2 , 2 , 2a b cab a bc b ac c b c a       Từ đó suy ra:  1 1 1A 2 2 2a b c a b c a b c          1 1 1 1 1 1A a b c a b c a b c a b c                             1 1 12 . 2 . 2 . 6A a b c a b c      (BĐT Côsi) Dấu “=” xảy ra 1a b c    Vậy MinA = 6 tại 1a b c   Bài toán tổng quát: Cho  1 2 1 2 1 1 1P . ... 1 ...n n a a a a a a           1 2 1 2 2 3 1 3 1 2 1 ... ... . ... . ... . ... n n n n n aa a a a a a a a a a a a a a          với 0 1,ia i n   Thì MinP = 2n tại 1 2 ... 1na a a    Bài 10: Cho biểu thức sau:   2 2 23 3 3 3 3 31 1 1P ab bc caa b c c a b          Tìm giá trị nhỏ nhất của P với 0, 0, 0a b c   và 1abc  Giải: Ta có: 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3P 3 a a b b c c b c c a a b            Sưu tầm bởi: www.daihoc.com.vn Vận dụng bất đẳng thức t ìm GTLN - GTNN và giải phương trình Trang14  4 2 5 4 2 5 5 2 4 2 2 23 3 3 3 3 3a b ab b c bc a c a c ab bc cac c a a b b            (1) Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 6 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 36 . . . . . 6 a a b b c c a a b b c c b c c a a b b c c a a b        (2) 4 2 5 4 2 5 5 2 4 4 2 5 4 2 5 5 2 4 6 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 36 . . . . . a b ab b c bc a c a c a b ab b c bc a c a c c c a a b b c c a a b b       4 2 5 4 2 5 5 2 4 3 3 3 3 3 3 6 6 a b ab b c bc a c a c abc c c a a b b         (3) 2 2 2 2 2 233 . . 3 3ab bc ca ab bc ca abc     (4) Từ (1), (2), (3) và (4) ta có: P 3 6 6 3 18     Dấu “=” xảy ra 1a b c    Vậy Pmin = 18 tại 1a b c   Bài 11: Cho n số dương  1 2 3, , ,..., 2nx x x x n  thỏa mãn 1 2 ... 1nx x x    Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 21 2S . ... n aa a nx x x , Trong đó: 1 2 3, , ,..., na a a a là n số dương cho trước. Giải: Đặt 1 2 ... na a a a    ,   1, 2, ..,ii ab i n a   thì 0ib  Và 1 2 ... 1nb b b    . Áp dụng bất đẳng thức Côsi mở rộng ta có: 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 . ... ... nbb b n n n n n x bx x b b x x x a a a a a a                    1 21 1. . nx x x a a      1 2 1 2 1 2 1 2 1S . ... . ...n na aa a a an nax x x a a aa    Dấu “=” xảy ra 1 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ... ... ... ... n n n n n n x x x x xx x x x a a a a a a a a a               1 2 1 2 1 ... 1,2,...,n ii n x ax x x i n a a a a a         Vậy 1 2 max 1 2 1S . ... naa a na a a aa  Sưu tầm bởi: www.daihoc.com.vn Vận dụng bất đẳng thức t ìm GTLN - GTNN và giải phương trình Trang15 2.2.2. Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski Lưu ý: Để áp dụng được bất đẳng thức Bunhiacopski thì hàm số hoặc biểu thức hoặc các biểu thức giả thiết phải có dạng tích của hai biểu thức hoặc tổng của các biểu thức mà chúng là tích của hai thừa số. Và sau khi áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski thì phải có phần đưa về biểu thức giả thiết ban đầu v à đưa được về hằng số. Bài 1: Cho 3, , 4 a b c   và 3a b c   . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: P 4 3 4 3 4 3a b c      . Giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:     21. 4 3 1. 4 3 1. 4 3 1 1 1 4 3 3 3a b c a ab ac               3 4 9a b c     3 4.3 9 63   P 4 3 4 3 4 3 3 7a b c        Dấu “=” xảy ra 4 3 4 3 4 3 1 1 1 1 1 3 , , 4 a b c a b c a b c a b c               Vậy MinP = 3 7 tại 1a b c   . Bài 2: Cho các hằng số dương , ,a b c và các số dương , ,x y z thay đổi sao cho 1a b c x y z    . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x y z   . Giải: Ta có: a b ca b c x y z x y z      Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:    22 a b c a b ca b c x y z x y z x y z x y z                    2a b c x y z      Dấu “=” xảy ra ba c y a b cx z x y zx y z       (1) Sưu tầm bởi: www.daihoc.com.vn Vận dụng bất đẳng thức t ìm GTLN - GTNN và giải phương trình Trang16 Mặt khác: 1a b c x y z    (2) Từ (1) và (2) suy ra:  x a a b c    y b a b c    z c a b c   Vậy maxA =  2a b c  Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 4 4 4( , , )f x y z x y z   , trên miền   D , , : , , 0 và 1x y z x y z xy yz zx     Giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta d ược:    22 2 2 4 4 41. 1. 1. 3x y z x y z     (1) Lại áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:       22 2 2 2 2 2 2 2 2 2xy yz zx x y z x y z x y z          Vì 1xy yz zx   nên:  22 2 2 1x y z   (2) Từ (1) và (2) ta có:  4 4 43 1x y z   1( , , ) 3 f x y z  Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (1) và (2) đồng thời xảy ra 2 2 2x y z x y z y z x       kết hợp với điều kiện 1xy yz zx   Ta được: 3 3 x y z   Vậy ( , , ) D 1Max ( , , ) 3x y z f x y z   Bài 4: Cho các số dương , ,a b c thỏa 2 2 2 1a b c   . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 3 3 P 2 3 2 3 2 3 a b c a b c b c a c a b         Giải: Ta có: Sưu tầm bởi: www.daihoc.com.vn Vận dụng bất đẳng thức t ìm GTLN - GTNN và giải phương trình Trang17 4 4 4 2 2 2P 2 3 2 3 2 3 a b c a ab ac b bc ba c ca cb         (1) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski cho hai d ãy số sau: 2 2 22 3 , 2 3 , 2 3a ab ac b bc ba c ca cb      và 2 2 2 2 2 2 , , 2 3 2 3 2 3 a b c a ab ac b bc ba c ca cb      ta có:     4 4 422 2 2 2 2 2 2 2 2 . 2 3 2 3 2 3 . 2 3 2 3 2 3 a b c a b c a ab ac b bc ba c ca cb a ab ac b bc ba c ca cb                         22 2 2 2 2 2P 5a b c a b c ab bc ca           (2) Mà 2 2 2 1a b c   , từ (2) suy ra   1P 1 5 ab