Vận dụng mô hình hóa vào dạy học môn Toán ở trường phổ thông

JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE Educational Sci. 2011, Vol. 56, No. 6, pp. 104-108 VẬN DỤNG MÔ HÌNH HÓA VÀO DẠY HỌC MÔN TOÁN Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG Trần Trung Trường Dự bị Đại học Dân tộc Sầm Sơn Email: trungt.dbdhss@moet.edu.vn Tóm tắt. Mô hình hóa (MHH) trong dạy học Toán là quá trình giúp học sinh tìm hiểu, khám phá các tình huống nảy sinh từ thực tiễn bằng công cụ toán học. Bài báo này trình bày quy trình mô hình hóa trong dạy học môn Toán ở trường phổ thông. Quy trình này đòi hỏi các kỹ năng và thao tác tư duy toán học như phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, trừu tượng hóa của học sinh. MHH cũng cho thấy mối quan hệ giữa thực tiễn với các vấn đề trong sách giáo khoa dưới góc nhìn của Toán học. Ở trường phổ thông, cách tiếp cận này giúp việc học toán của học sinh trở nên có ý nghĩa hơn, tạo động cơ và niềm say mê học Toán. 1. Mở đầu Mô hình được dùng để mô tả một tình huống thực tiễn nào đó, mô hình toán học là sử dụng công cụ toán học để thể hiện dưới dạng của ngôn ngữ toán học, trong đó MHH là quá trình tạo ra mô hình nhằm hướng tới giải quyết một vấn đề. MHH có thể xem là một quá trình khép kín và kết quả của nó được dùng để giải thích và cải thiện các vấn đề trong thực tiễn. Quá trình này tuân theo một quy trình sử dụng các quy tắc đặc biệt để thành lập giả thuyết hay cấu trúc toán học như: công thức, thuật toán, phương trình, bảng biểu, biểu tượng, đồ thị biểu diễn,. . . để từ đó học sinh (HS) có một cái nhìn rõ ràng hơn về các vấn đề tồn tại trong thực tiễn. 2. Nội dung nghiên cứu 2.1. Quy trình mô hình hóa Quy trình MHH trong dạy học môn Toán ở trường phổ thông gồm 4 bước: Bước 1: Toán học hóa. Hiểu vấn đề thực tế, thành lập các giả thuyết để đơn giản hóa vấn đề, mô tả và diễn đạt vấn đề bằng ngôn ngữ toán học: Đây là quá trình chuyển các vấn đề từ thực tiễn sang toán học bằng cách tạo ra các mô hình toán học tương ứng 104 Vận dụng mô hình hóa vào dạy học môn Toán ở trường phổ thông của chúng. Quá trình này đòi hỏi phải hiểu vấn đề, có thể là vấn đề mở hoặc có độ phức tạp khác nhau. Lập các giả thuyết, đơn giản hóa vấn đề để có thể giải được bài toán. Xác định các khái niệm toán học liên quan, các biến số, biểu diễn vấn đề bằng ngôn ngữ toán học và lập mô hình toán học như bảng biểu, hình vẽ, đồ thị, hàm số hay phương trình hay công thức toán học. Bước 2: Giải bài toán. Sử dụng các công cụ và phương pháp toán học thích hợp để giải bài toán, bao gồm cả sự hỗ trợ của công nghệ thông tin (CNTT): Yêu cầu HS lựa chọn, sử dụng các phương pháp và công cụ toán học thích hợp để thành lập và giải quyết vấn đề sử dụng ngôn ngữ toán học. Ở giai đoạn này, CNTT sẽ hỗ trợ HS phân tích dữ liệu, thực hiện tính toán phức tạp và đưa ra đáp số của bài toán. Bước 3: Thông hiểu. Hiểu lời giải của bài toán đối với tình huống trong thực tiễn (bài toán ban đầu); Hiểu được ý nghĩa lời giải của bài toán trong thực tiễn, trong đó cần nhận ra được những hạn chế và khó khăn có thể có khi áp dụng kết quả này vào tình huống thực tiễn. Bước 4: Đối chiếu. Xem xét lại các giả thuyết, tìm hiểu các hạn chế của mô hình toán học cũng như lời giải của bài toán, xem lại các công cụ và phương pháp toán học đã sử dụng, đối chiếu thực tiễn để cải tiến mô hình đã xây dựng: Đây là giai đoạn đòi hỏi HS có hiểu biết rõ về các công cụ toán học cũng như việc sử dụng nó để giải quyết các vấn đề nảy sinh trong cuộc sống. Từ đó, xem lại các phương pháp và công cụ toán học đã sử dụng; xem lại các giả thuyết, hạn chế của mô hình và tiến tới cải tiến mô hình cũng như lời giải của bài toán. Ví dụ 1.Hai thành phố A và B nằm ở hai phía của hai nhánh hình chữ Y của một con sông. Hãy chọn địa điểm xây dựng hai chiếc cầu C1 và C2 sao cho quãng đường đi giữa hai thành phố là nhỏ nhất? (giả sử hai bờ sông song song với nhau và cầu nằm vuông góc với bờ sông). Xuất phát từ tình huống thực tế là phải xây dựng hai chiếc cầu, giáo viên hướng dẫn HS MHH bài toán trên máy vi tính (sử dụng phần mềm GeoGebra) để xác định vị trí cần tìm: - Vẽ các đường thẳng song song thể hiện các bờ của hai nhánh sông; - Lấy hai điểm bất kì L,M thể hiện vị trí cần xây dựng cầu; - Dựng đường gấp khúc ALNOMB thể hiện quãng đường đi từ thành phố A đến thành phố B; - Di chuyển các điểm L,M sao cho tổng độ dài đường gấp khúc trên đạt giá trị nhỏ nhất; - Xác định các vị trí mà quãng đường đi là nhỏ nhất và đưa ra các giả thuyết; - Tập hợp các lập luận để kiểm chứng các giả thuyết đã nêu ra; 105 Trần Trung - Hoàn chỉnh chứng minh và đào sâu vấn đề. Dựa vào quan sát và kiểm chứng trên mô hình, HS nhận thấy vị trí cần xây dựng cầu là các điểm L′N ′ vàM ′O′. Tại vị trí này, các đường thẳng AL’, M’B, N’O’ song song với nhau. Bất biến trong bài toán này chính là tính song song của các đường thẳng trên. Dựa vào bất biến này, HS xác định phép biến hình sử dụng để giải quyết vấn đề này. Hình 1: Xác định vị trí hai chiếc cầu bằng phần mềm GeoGebra Dựng ảnh A’ của A qua phép tịnh tiến theo véctơ và B’ là ảnh của B qua phép tịnh tiến theo véctơ (các véctơ lần lượt có hướng như hình vẽ và độ lớn bằng độ rộng của mỗi nhánh sông) và nối đoạn thẳng A’B’. Giao điểm N’ và O’ của A’B’ với các đường thẳng bờ sông chính là các địa điểm tốt nhất để xây dựng cầu vì: AL+ LN +NO +OM +MB = AA′ + A′N +NO +OB′ +BB′ ≥ AA′ + A′B′ +B′B = AA′ + A′N +N ′O′ +O′B′ +B′B Như vậy thông qua hai bài toán trên, giáo viên tập cho HS tham gia các hoạt động MHH trên máy tính để dự đoán, tìm bất biến và đưa ra ý tưởng chứng minh cho bài toán. Từ đó, giúp HS phát triển kĩ năng giao tiếp, tư duy và giải quyết các vấn đề về giao thông trong thực tế cuộc sống. 2.2. Sử dụng mô hình hóa trong dạy học môn Toán Phương pháp MHH trong dạy toán ở trường phổ thông được chú trọng nghiên cứu trong gian đoạn hiện nay. Phương pháp này giúp HS giải quyết các bài toán thực tiễn bằng phương pháp toán học, từ đó hiểu sâu và nắm chắc các kiến thức toán học: 106 Vận dụng mô hình hóa vào dạy học môn Toán ở trường phổ thông - Đối với cấp tiểu học, phương pháp MHH thường được sử dụng để giải quyết lớp các bài toán có lời văn. Mô hình thường là được biểu diễn dưới dạng biểu tượng như hình chữ nhật, hình thang, hình tròn,. . . Tuy nhiên hoạt động MHH không thể hiện một cách rõ ràng ở bậc tiểu học. Van de Walle (2004) cho rằng mô hình diễn tả các khái niệm toán học và mối quan hệ giữa các khái niệm đó có thể là đồ vật, bức tranh hay hình vẽ cụ thể giống như việc sử dụng các khối hình chữ nhật để biểu diễn các phân số bằng nhau [1,10]. Quá trình MHH đòi hỏi hoạt động nhóm, hợp tác và thảo luận để có thể tập hợp, liên kết các lập luận của thành viên trong nhóm. - Đối với cấp trung học, HS tiếp cận với khối lượng tri thức lớn hơn, các chủ đề rộng hơn. Bài tập toán thường được chia thành ba loại: sử dụng mối quan hệ giữa các phân môn khác nhau của môn toán, giải quyết các vấn đề thực tiễn dưới dạng các bài toán và giải quyết các vấn đề thực tiễn phải sử dụng các kiến thức toán học. HS cần phải linh hoạt trong việc giải hai dạng bài toán đầu tiên, đó là bài toán ứng dụng toán học. Từ đó chuẩn bị cho việc tiếp cận dạng bài toán thứ 3 là giải toán thực tế thông qua mô phỏng và MHH. Ví dụ 2. Tìm hiểu về quỹ đạo của nước mưa rơi từ mái nhà xuống đất. Nhập bức ảnh nước mưa rơi (HS có thể chụp bằng máy ảnh kỹ thuật số) vào giao diện của phần mềm GeoGebra. Dựa trên định luật chuyển động của phân tử, ta có thể dự đoán quỹ đạo chuyển động của nó là dạng hình parabôn có phương trình y = ax2 + bx+ c, trong đó việc chọn gốc tọa độ là tùy ý. Để tổ chức hoạt động MHH hiện tượng này, giáo viên yêu cầu các nhóm sử dụng phần mềm GeoGebra, nhập các tham số a, b, c vào máy tính và thay đổi giá trị của chúng để xác định đúng quỹ đạo chuyển động và phương trình biểu diễn hiện tượng nước mưa rơi: Hình 2. Mô hình hóa quỹ đạo chuyển động của nước mưa rơi bằng phần mềm GeoGebra Như vậy dựa vào mô hình trên, HS có thể nhận ra được quỹ đạo chuyển động của nước mưa rơi từ mái nhà xuống mặt đất có dạng hình parabôn. Tùy thuộc vào cách chọn gốc tọa độ mà mỗi nhóm sẽ có dạng phương trình biểu diễn khác nhau. Các bài toán MHH có đặc điểm là yêu cầu HS toán học hóa các tình huống, thường là các tình huống thực tiễn. Toán học hóa là thành phần quan trọng của bài toán MHH vì nó dựa trên các ý tưởng toán học quan trọng giúp HS có thể đào sâu và phát triển sự thông hiểu toán học. Giáo viên nên lựa chọn các tình huống thực tiễn đòi hỏi việc thu thập các số liệu, hình 107 Trần Trung ảnh hay hiện tượng nào đó. Thông qua đó thực hiện các hoạt động MHH, đưa ra kết luận và dự đoán về tính khả thi của mô hình. Thảo luận nhóm là biện pháp tốt nhất giúp HS làm quen và biến những vấn đề toán học trong sách giáo khoa thành những vấn đề trong cuộc sống, tranh luận về những ưu điểm và nhược điểm của các mô hình đã thiết kế,... các bài toán MHH sẽ giúp giáo viên thiết lập các hoạt động nhóm mới trong lớp học nhằm tạo ra sự xung đột về kiến thức và thúc đẩy quá trình hợp tác. Các hoạt động MHH này sẽ tạo cơ hội cho HS hiểu được tình huống thực tiễn theo các cách khác nhau để từ đó chia sẻ kế hoạch, tranh luận, đưa ra quyết định và công bố kết quả. 3. Kết luận MHH là một quá trình khép kín: chuyển các vấn đề thực tiễn sang các vấn đề toán học, hiểu, đánh giá, chọn lọc và cải tiến cho phù hợp với thực tiễn. Hoạt động MHH gắn kết giữa không gian lớp học với các vấn đề của thế giới bên ngoài. Với sự phát triển của CNTT, các hoạt động MHH sẽ dễ dàng tiếp cận hơn ở nhà trường phổ thông, giúp HS có cơ hội học toán gắn với các tình huống thực tế, rèn luyện và phát triển năng lực toán học cần thiết cho cuộc sống. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Berinderjeet Kaur & Jaguthsing Dindyal, 2010. Mathematical applications and modelling. World Scientific Publishing, Singapore. [2] Myint Swe Khine & Issa M. Saleh, 2011. Models and modeling: Cognitive tools for scientific enquiry. Springer-Verlag, London. [3] Peter Lancaster, 1976. Mathematics: Models of the real world, Englewood Cliffs, New Jersey, USA. [4] Dirk Ifenthaler, Pablo Pirnay-Dummer & J. Michael Spector, 2008. Understand- ing models for learningand instruction. Springer-Verlag. ABSTRACT Applying the modeling into teaching maths in high school Modelling in teaching mathematics is the process of helping students learn, ex- plore situations that arise from the practice by mathematical tools with the support of Information Technology. This paper presents the modeling process in teaching maths in high school. This process requires the skills and operations of mathemat- ical thinking such as analysis, synthesis, comparison, generalization, abstraction of the students. Modelling also shows the relationship between the practice and the problems in the textbook through mathematical perspectives. In high schools, this approach helps students’ mathematical learning to become more meaningful, creat- ing motivation and a passion for mathematics. 108