Vận dụng xác suất thống kê trong thực tiễn

JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE Science., 2010, Vol. 55, N◦. 5, pp. 143-148 VẬN DỤNG XÁC SUẤT THỐNG KÊ TRONG THỰC TIỄN Nguyễn Thị Thu Hà Trường cao đẳng Kinh tế - Kỹ thuật Hải Dương 1. Đặt vấn đề Xác suất và Thống kê là ngành toán học ra đời khoảng thế kỉ XVII, có đối tượng nghiên cứu là các hiện tượng ngẫu nhiên, các quy luật ngẫu nhiên. Khác với một số chuyên ngành của toán học trừu tượng, XSTK mặc dù được xây dựng dựa trên các công cụ toán học hiện đại như Giải tích hàm, Lý thuyết độ đo,... nhưng gắn liền với các bài toán thực tế trong tự nhiên và xã hội. XSTK là một ngành khoa học đang phát triển cả trên lý thuyết và thực tiễn; là công cụ giải quyết nhiều vấn đề trên nhiều lĩnh vực: Khoa học tự nhiên, khoa học xã hội, khoa học giáo dục, các ngành kinh tế, kỹ thuật, y học, v.v.... Khả năng sử dụng XSTK ngày càng được mở rộng hơn rất nhiều. Các tổ chức và cá nhân sử dụng XSTK để tìm hiểu dữ liệu và ra quyết định. Các phương pháp và công cụ thống kê đã được vận dụng đan xen trong một số nội dung của nhiều môn học. Với định hướng cải tiến chương trình và nội dung gắn liền với thực tiễn, nhiều trường Đại học đã bắt đầu giảng dạy lí thuyết thống kê theo hướng ứng dụng và có thực hành trên máy vi tính. Hiện nay, XSTK không những được đưa vào giảng dạy ở hầu hết các ngành đào tạo trong các trường đại học và cao đẳng trên thế giới và trong nước, mà còn được đưa vào chương trình môn Toán ở trường phổ thông. Trong bài báo này chúng tôi trình bày về việc vận dụng XSTK trong một số tình huống thực tiễn. 2. Nội dung nghiên cứu Thực tế thường gặp những tình huống tưởng như ngẫu nhiên không thể dự đoán nhưng nếu vận dụng XSTK để phân tích, ta có thể biết các khả năng có thể xảy ra của nó như thế nào. Tình huống 1: Chơi số đề. 143 Nguyễn Thị Thu Hà Chơi số đề (đánh đề) đang là trò “đỏ đen” được nhiều người ham thích nhất. Chơi đề là trò chơi thông dụng bởi nó đơn giản, dễ hiểu và nếu trúng thì ăn rất nhiều(1 ăn 70). Khả năng trúng đề(1/100) cao hơn nhiều so với các giải xổ số chính thức của nhà nước. Những người chơi đề lâu ngày, thường ai cũng thắng hoặc quen biết những người đã thắng một vài lần. Tâm lý chơi đề để có một cơ hội “đổi đời” rất phổ biến. Vậy thực chất đánh đề có phải là một trò chơi đem lại nhiều hi vọng? Luật chơi số đề như sau: người chơi ghi vào sổ của chủ đề một số tự nhiên có 2 chữ số (từ 00 đến 99) và nộp cho chủ đề một khoản tiền; nếu số đó trùng với 2 chữ số cuối cùng của số trúng giải độc đắc của xổ số ngày hôm đó thì người chơi được chủ đề trả lại số tiền gấp 70 lần số tiền đã nộp; nếu không thì chủ đề sẽ được khoản tiền người chơi đã nộp. Vậy kết quả chơi số đề như thế nào? [3] Nhìn về khía cạnh toán học mà nói, thì luật chơi đề thiệt cho người chơi, vì kì vọng của nó là số âm. Giả sử ông Nguyễn Văn A chơi đề ngày một lần, mỗi lần đều đặn 1 triệu đồng. Như vậy sau 2000 ngày ông A bỏ ra 2 tỷ. Mỗi lần chơi, xác xuất trúng là 1%, như thế, trung bình ông A sẽ trúng 20 lần. Mỗi lần được 70 triệu, 20 lần là 1,4 tỉ. Vậy trung bình ông A lỗ 600 triệu. Tất nhiên, ông A sẽ nói “ trung bình là vậy, nhưng nhỡ tôi may mắn thì sao?”. Xác suất may của ông A hoàn toàn có thể tính được. Nó được biểu diễn qua một định lý rất nổi tiếng và cơ bản là Định lý giới hạn trung tâm [1] dưới đây: Định lý giới hạn trung tâm: Với x1, x2, ..., xn là các biến độc lập ngẫu nhiên, có cùng kỳ vọng là E và phương sai là V = σ2 . Khi đó nếu n tiến đến vô cùng thì Pr   n∑ i=1 xi − nE √ nσ ≥ x  → Φ (x) Trong đó Φ(x) là hàm phân bố Gauss: Φ (x) = 1√ 2pi ∞∫ x e−t 2/2dt Định lý trên có thể viết lại dưới dạng: Pr (∑n i=1 xi ≥ nE + x √ nσ ) ≈ Φ (x) 144 Vận dụng xác suất thống kê trong thực tiễn Quay trở lại ví dụ, do n = 2000 là khá lớn, ta ứng dụng định lý trên với xi là số tiền ông A thu hoạch trong lần chơi thứ i, xi có phân bố như sau: Pr(xi = −1) = 0.99 (thua) và Pr(xi = 69) = 0.01 (thắng). Kỳ vọng của xi là −0.3 (triệu đồng) và phương sai xấp xỉ 49 = 72. Nếu ông A không lỗ sau 2000 lần chơi, thì ∑2000 i=1 xi ≥ 0, tức ta phải lấy x ≥ n |E|√ nσ ≈ 600√ 2000.7 ≈ 1.9 Vậy xác suất để ông A “may” (không lỗ vốn) là độ Φ(1.9) ≈ 0.03, vậy xác suất này cỡ 3%. Tức là trong 100 người chơi, trung bình chỉ có 3 người không lỗ. Trên thực tế xác suất của một sự việc không nhất thiết phải là một hằng số, mà nó có thể thay đổi, phụ thuộc vào nhiều yếu tố. Xác suất có thể phụ thuộc vào thời gian; phụ thuộc vào thông tin; phụ thuộc vào điều kiện; hoặc phụ thuộc vào người quan sát. Ví dụ trên cũng phần nào cho ta hiểu sự phụ thuộc của xác suất vào các yếu tố đó [4]. Tình huống 2: Trò chơi nhắn tin trúng thưởng. Chưa bao giờ trò chơi gửi tin nhắn và gọi điện thoại qua tổng đài để dự đoán trúng thưởng bùng nổ mạnh như hiện nay, thu hút đông đảo người sử dụng điện thoại di động. Người ta thi nhau “soạn và gửi tin nhắn”... Giờ đây điệp khúc “hãy soạn và gửi tin nhắn qua tổng đài... để bình chọn...” được thường xuyên phát trên các đài truyền hình, trên sóng phát thanh mỗi ngày. Ở một số trò chơi, ngoài việc dự đoán đúng kết quả, người chơi phải đoán đúng (hoặc gần đúng) tổng số người tham gia, mới thắng cuộc. Nhà tổ chức thường công bố kết quả số người chơi và con số dự đoán (đúng) xê xích nhau chỉ là ±1. Vậy, thực chất, xác suất để đoán đúng tổng số người tham gia là như thế nào? Ví dụ chương trình nhắn tin dự đoán kết quả bóng đá. Trung bình, mỗi chương trình dự đoán kết quả bóng đá có trên 50.000 người tham gia gửi tin nhắn. Một tin nhắn được tính 1000 đồng. Giả sử có 5 giải thưởng dành cho 5 người dự đoán đúng, hoặc gần đúng với số người dự đoán chính xác, trị giá mỗi giải 1.000.000đ (tổng giá trị giải thưởng là 5.000.000đ). Khi đó khả năng trúng của người chơi là 0.01%, quả là một tỉ lệ nhỏ. Trong khi đó chúng ta thử xem số tiền thu được trung bình sau một cuộc chơi là bao nhiêu? Giả sử với mỗi tin nhắn là 1.000đ thì nhà sản xuất phải chịu chi phí về cước tin nhắn, tiền thuế, quảng cáo,. . . 200đ, tức là mất đi 20%, như vậy số tiền mà các nhà làm chương trình thu được là 40.000.000đ (bằng 80% tổng số tiền), trừ tiền thưởng 5.000.000đ thì họ sẽ còn 35.000.000đ (bằng 75% tổng số tiền). Như vậy nếu ta biết vận dụng tính xác suất vào đây thì thấy rằng tỉ lệ người trúng thưởng là rất thấp, và số tiền họ bị mất đi trung bình là 45.000.000/50.000.0000 = 145 Nguyễn Thị Thu Hà 90% số tiền họ chơi. Ngoài ra, trong thời lượng phát sóng chương trình các thuê bao di động càng gửi nhiều tin nhắn trả lời thì khả năng trúng càng cao, vì thế nếu muốn có cơ hội thắng thì người chơi càng phải nhắn tin thật nhiều. Như vậy, số các tin nhắn gửi đến tổng đài sẽ càng tăng, trong khi đó trị giá phần thưởng vẫn giữ nguyên, kết quả là số tiền thu được của nhà sản suất càng nhiều, số tiền người chơi mất càng nhiều. Tình huống 3: Trò chơi trên truyền hình. Tại châu Âu, từng thịnh hành trò chơi truyền hình mang tên “Dốc sức”, trong đó ở phần kết thúc, người chơi được chỉ một trong ba ô cửa kín mà phía sau một trong ba cửa đó có để phần thưởng chính, tương tự như chương trình “Ô cửa bí mật” phát sóng trên VTV3 đài truyền hình Việt Nam. Sau khi người chơi chọn một trong ba ô cửa, người dẫn chương trình mở một trong hai ô cửa còn lại mà sau ô cửa đó không có phần thưởng (Điều này người dẫn chương trình đã biết trước). Tiếp theo, người dẫn chương trình cho phép người chơi có thể thay đổi việc chọn ô cửa. Phần lớn người chơi không thay đổi ô cửa đã chọn lúc ban đầu bởi vì họ nghĩ rằng xác suất để có phần thưởng sau ô cửa là đúng 50% (lý do là hai ô cửa vẫn chưa được mở). Do vậy, việc đổi cửa hay không đổi cửa là không có ý nghĩa gì. Tuy nhiên, từ phương diện toán xác suất, thì thay đổi ô cửa lại có lợi hơn. Thật vậy, phân tích ban đầu ta thấy khả năng để phần thưởng nằm sau ô cửa đã chọn lần đầu chỉ là khoảng 33,3% (không phải là 50%). Ngược lại xác suất nhận được phần thưởng sau khi đổi ô cửa là 66,6%. Điều này có vẻ như mâu thuẫn nhưng thật ra nó có cơ sở toán học. Đó là nghịch lí toán học có tên là nghịch lí “Monty Hall” [2]. Do không biết về nghịch lý “Monty Hall” nên trong nhiều trường hợp người chơi để tuột mất cơ hội lớn hơn để nhận phần thưởng. Bài toán Monty-Hall Ta nêu lại bài toán như sau: Trong một chương trình gameshow truyền hình, một số tiền được giấu sau 1 trong 3 cánh cửa. Người chơi phải đoán được cánh cửa đó thì sẽ được số tiền. Người chơi đoán ngẫu nhiên 1 cánh cửa, giả sử cửa số 3. Khi đó người dẫn chương trình, người biết rõ số tiền ở cánh cửa nào, sẽ mở 1 ô không có tiền trong 2 cánh cửa còn lại, ví dụ cửa số 2. Người chơi lúc này có quyền, hoặc giữ nguyên lựa chọn của mình ở cửa số 3, hoặc thay đổi sang chọn cửa số 1 (vẫn đang đóng). Người chơi có nên thay đổi lựa chọn hay không? Câu trả lời theo cảm tính sẽ là: Giả sử người chơi thay đổi lựa chọn, cánh cửa thứ 3 được chọn ban đầu có xác suất trúng là 1/3, khi đó xác suất để sau cánh cửa số 3 có tiền là 1/3, bằng với xác suất người chơi sẽ thua cuộc. Trong khi đó nếu không đổi lựa chọn, xác suất thắng là 1/3 nên xác suất thua sẽ là 2/3, gấp 2 lần so với việc đổi lựa chọn. Vì vậy đổi lựa chọn sẽ làm tăng gấp đôi khả năng thắng cuộc. 146 Vận dụng xác suất thống kê trong thực tiễn Bây giờ ta xem xét lời giải của bài toán trên phương diện XSTK: Giả sử cánh cửa được chọ ban đầu là cửa số 3 và cửa được mở là cửa số 2. Xác suất có điều kiện để cánh cửa thứ 1 có tiền ở phía sau là bao nhiêu? Ta dùng các ký hiệu sau: Ai = sau cửa thứ i có tiền i = 1; 3 B= cửa thứ 2 được mở C= cửa thứ 3 được chọn ban đầu Theo công thức Bayes: P (A1 |B ∩ C ) = P (A1 ∩B ∩ C) P (B ∩ C) Lại dùng công thức Bayes để tính tử số: P (A1 ∩B ∩ C) = P (A1 ∩ C)P (B/A1 ∩ C) Vì 2 sự kiện Ai và C là độc lập nên: P (A1 ∩B ∩ C) = P (B|A1 ∩ C)P (A1)P (C) = 1× 1 3 × P (C) = 1 3 P (C) Mẫu số được tính bằng cách dùng quy luật xác suất đủ: P (B ∩ C) = 3∑ i=1 P (B ∩ C ∩ Ai) = = 3∑ i=1 P (B/C ∩Ai)P (C ∩Ai) = = 3∑ i=1 P (B/C ∩Ai)P (C)P (Ai) = = (1× 1 3 + 0× 1 3 + 1 2 × 1 3 )× P (C) = 1 2 P (C) Chú ý ở đây ta dùng giả thuyết là, nếu số tiền nằm sau cửa số 3, người dẫn chương trình sẽ chọn ngẫu nhiên 1 trong 2 cửa số 1 và số 2 để mở, nên xác suất để mở cửa số 1 bằng xác suất mở cửa số 2 và bằng 1/2. Như vậy là: P (A1 |B ∩ C ) = 1 3 P (C) 1 2 P (C) = 2 3 147 Nguyễn Thị Thu Hà Khi đó, P (A3/B ∩ C) = 1 3 Như vậy ta tìm được cùng một kết quả của cách suy luận cảm tính, với giả thiết là người dẫn chương trình chọn ngẫu nhiên 1 trong 2 cửa để mở nếu cả 2 cửa đều không có tiền phía sau. 3. Kết luận Các bài toán XSTK thường gắn liền với thực tiễn. Nếu biết vận dụng XSTK vào các lĩnh vực nghiên cứu cũng như đời sống hằng ngày thì chúng ta sẽ lựa chọn được những phương án tối ưu và tránh được những rủi ro nhất định. Khi giảng dạy XSTK, nếu giáo viên đưa ra nhiều ví dụ thực tế, gần gũi với đời sống sẽ làm sinh viên có hứng thú hơn khi học nhờ thấy được ý nghĩa của môn học, qua đó góp phần nâng cao hiệu quả học tập. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] A.A. Borokov, 1976. Lý thuyết xác suất. NXB Khoa học Maxcova. [2] Phạm Văn Kiều, 2000. Lý thuyết xác suất và thống kê toán học NXB Giáo Dục Đại học sư phạm(Giáo trình đào tạo giáo viên trung học cơ sở ). [3] Bùi Văn Nghị, 2008. Phương pháp dạy học những nội dung cụ thể môn Toán NXB Đại học Sư phạm. [4] Nguyễn Tiến Dũng, Nhập môn hiện đại xác suất và thống kê. ABSTRACT Practical applications of probability and statistics Probability and statistics plays an important role in economicsand,technology. . . etc. It’s wide and plentiful applications of human life. In this article, we would like to mention the applications of probability and statistics in some particular situations such as lottery, message sending for awards, games on television and then explain that situations with theorems so that we can know the applications of probability and statistics in daily life. Therefore, if probability and statistics are properly applied in some detail situations, the best solutions can be chosen and certain losses can be avoided. 148