Vi tích phân

PHẦN II. VI TÍCH PHÂN Chương 1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Chương 2. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN chương 3. HÀM NHIỀU BIẾN C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ HÀM SỐ MỘT BIẾN Định nghĩa ánh xạ: Cho X, Y là hai tập bất kỳ. Nếu x  X, cho tương ứng duy nhất một y = f(x)  Y theo qui tắc f, thì f gọi là một ánh xạ từ X vào Y. Ký hiệu: Đơn ánh: x1, x2  X, x1 ≠ x2 => f(x1) ≠ f(x2) Toàn ánh: Với mỗi y  Y, x  X: y = f(x) Song ánh: Nếu f vừa là đơn ánh và toàn ánh Nếu f: XY là song ánh thì f-1: YX là ánh xạ ngược của f C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Định nghĩa hàm số: Với X  R, ta gọi ánh xạ f:XY là một hàm số một biến. Ký hiệu là y = f(x). x: biến độc lập y: biến phụ thuộc. Tập X: miền xác định Tập f(X) = {f(x): x  X}: miền giá trị của f Ví dụ: Tìm miền xác định, giá trị: y = 2x2 - 4x + 6 C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Định nghĩa phép toán: Cho f, g cùng mxđ X: f = g: f(x) = g(x),  x  X (f  g)(x) = f(x)  g(x), xX (fg)(x) = f(x)g(x), xX Hàm số f/g có miền xác định X1 = X\{x: g(x) = 0} : (af)(x) = af(x), xX C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Hàm số hợp: Giả sử y = f(u) là hàm số của biến u, đồng thời u = g(x) là hàm số của biến x. Khi đó f = f[g(x)] là hàm số hợp của f và g. Ký hiệu fog. Ví dụ: Tìm gof, goh, fog, hog Hàm số ngược: Cho hàm số f có miền xác định X. Nếu f: XY là một song ánh thì f-1: YX được gọi là hàm số ngược của f. Đồ thị của f, f-1 đối xứng nhau qua đường y = x. C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Hàm số đơn điệu: f gọi là tăng (giảm) trên (a,b) nếu: x1,x2  (a,b): x1 f(x1)  f(x2) (f(x1)  f(x2)) f gọi là tăng (giảm) nghiêm ngặt trên (a,b) nếu: x1,x2  (a,b): x1 f(x1) f(x2)) Hàm số tăng hoặc giảm được gọi chung là hàm số đơn điệu. Chú ý: Một hàm số có thể không đơn điều trên miền xác định X, nhưng lại đơn điệu trên các tập D  X. C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Hàm số tuần hoàn: Cho hàm số f có miền xác định X. Hàm số được gọi là tuần hoàn nếu: T ≠ 0: f(x+T) = f(x),  x  X Số T0 > 0 nhỏ nhất (nếu có) của T được gọi là chu kỳ cơ sở của hàm số f. Ví dụ: Hàm số f(x) = sinx, g(x) = cos(x) tuần hoàn với chu kỳ cơ sở là T0 = 2. Hàm số f(x) = tg(x), g(x) = cotgx tuần hoàn với chu kỳ cơ sở là T0=. C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Hàm số chẵn, lẻ: f có miền xác định X, với x, -x  X. f được gọi là hàm số chẵn nếu: f(-x) = f(x),  x  X f được gọi là hàm số lẻ nếu: f(-x) = -f(x),  x  X Ví dụ: Hàm số f(x) = cosx + x- x2 là Hàm số chẵn Hàm số lẻ Ghi chú: Hàm số chẵn đối xứng qua Oy Hàm số lẻ đối xứng qua gốc toạ độ C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 1. Hàm số luỹ thừa: y = x , với   R   N: mxđ R  nguyên âm: mxđ x ≠ 0.  có dạng 1/p, p  Z: mxđ phụ thuộc vào p chẵn, lẻ  là số vô tỉ thì qui ước chỉ xét y = x tại mọi x  0 nếu  > 0 và tại mọi x > 0 nếu  0, không đi qua góc toạ độ nếu  0, a ≠ 1) Hàm số mũ xác định với mọi x dương. Hàm số mũ tăng khi a > 1. Hàm số mũ giảm khi a 0, a ≠ 1 Hàm số logarit chỉ xác định với x > 0. Hàm số logax tăng khi a > 1 Hàm số logax giảm khi a 0: x-x0 A x thuộc lân cận của -  B: x 0: 0 x0  x0 0 cho trước,  > 0: 0 0,  > 0: x0 0,  > 0: x0 -  0, N > 0 đủ lớn: x > N  f(x) - L 0, N 0 lớn tuỳ ý,  > 0: 0 N N 0: 0 < x – x0<   f(x) < N Ví dụ: chứng minh C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 3. Các tính chất của giới hạn hàm số: Định lý: nếu lim f(x) = L1 và lim g(x) = L2 thì Lim [f(x) ± g(x)] = L1 ± L2 Lim [f(x)g(x)] = L1L2 Lim [f(x)/g(x)] = L1/L2 (L2 ≠ 0) Lim [f(x)]m = L1m (L1m  R) Lim C = C Lim [Cf(x)] = CL1 Ghi chú: Nếu gặp các dạng vô định 0/0, 0.,  - , 1 thì phải biến đổi để khử chúng. C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Ví dụ: Tìm C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Định lý: Giả sử g(x)  f(x)  h(x) đối với mọi x thuộc lân cận của x0. Nếu Định lý: Trong một quá trình, nếu lim u(x) = L và f là hàm sơ cấp xác định trong lân cận của L, thì lim f[u(x)] = f(L) = f[lim u(x)] Ví dụ: Tìm C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 4. Một số giới hạn đặc biệt: C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Ví dụ: Chứng minh: Ví dụ: Tìm: 4. So sánh vô cùng bé Định nghĩa: Hàm số f(x) được gọi là vô cùng bé trong một quá trình nếu limf(x) = 0 C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Định nghĩa: Cho f(x), g(x) là hai VCB trong một quá trình: Nếu lim[f(x)/g(x)] = 0, f(x) là VCB bậc cao hơn g(x) Nếu lim[f(x)/g(x)] = , f(x) là VCB bậc thấp hơn g(x) Nếu lim[f(x)/g(x)] = A, f(x), g(x) là hai VCB cùng bậc Nếu lim[f(x)/g(x)] = 1, f(x), g(x) là hai VCB tương đương. Ký hiệu f(x)~g(x) Nếu lim[f(x)/g(x)] không tồn tại, ta nói f(x), g(x) là hai VCB không so sánh được C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Định lý: Nếu f(x), g(x) là hai VCB, Nếu f(x)~f1(x), g(x)~g1(x) thì lim[f(x)/g(x)] = lim[f1(x)/g1(x)] Định lý (qui tắc ngắt bỏ VCB bậc cao): Nếu g(x) là VCB bậc cao hơn f(x) trong cùng quá trình thì f(x) + g(x) ~ f(x) Ví dụ: Chứng minh Khi x 0 C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 7. So sánh vô cùng lớn: Định nghĩa: Hàm số F(x) gọi là một vô cùng lớn trong một quá trình nếu lim F(x) =  Trong cùng quá trình, nếu f(x) là CVB thì 1/f(x) là VCL Ngược lại, F(x) là VCL thì 1/F(x) là VCB C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Định nghĩa: Cho F(x), G(x) là hai VCL trong một quá trình: Nếu lim[F(x)/G(x)] = , F(x) là VCL bậc cao hơn G(x) Nếu lim[F(x)/G(x)] = 0, F(x) là VCL bậc thấp hơn G(x) Nếu lim[F(x)/G(x)] = A (A ≠ 0, A ≠ ), ta nói F(x), G(x) là hai VCL cùng bậc. Nếu lim[F(x)/G(x)] = 1, F(x), G(x) là hai VCL tương đương. Ký hiệu F(x)~G(x) C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Định lý: Nếu F(x), G(x) là hai VCL trong cùng quá trình, Nếu F(x)~F1(x) , G(x)~G1(x) thì lim[F(x)/G(x)] = lim[F1(x)/G1(x)] Định lý (qui tắc ngắt bỏ VCL bậc thấp): Nếu G(x) là VCL bậc thấp hơn F(x) trong cùng quá trình thì F(x) + G(x) ~ F(x) Ví dụ: Tìm C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 3. HÀM SỐ LIÊN TỤC Định nghĩa: Hàm số f được gọi là liên tục tại x0 nếu: Nếu chỉ có hoặc thì f được gọi là liên tục bên phải (bên trái) tại x0 C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Định nghĩa: Hàm số f(x) được gọi là gián đoạn tại x0 nếu nó không liên tục tại x0. Vậy x0 là điểm gián đoạn của hàm số f(x) nếu: - Hoặc f(x) không xác định tại x0 - Hoặc f(x) xác định tại x0 nhưng lim f(x) ≠ f(x0) khi x  x0 - Hoặc không tồn tại lim f(x) khi x  x0 C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Ví dụ: Xác định tính liên tục tại x0 = 0 Định nghĩa: f được gọi là liên tục trong khoảng mở (a,b) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó, f được gọi là liên tục trong khoảng đóng [a,b] nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng mở (a,b), liên tục bên phải tại a và liên tục bên trái tại b. C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Định lý: Nếu f, g là các hàm số liên tục tại x0 thì các hàm số sau cũng liên tục tại x0: kf (k hằng số), f+g, fg, g/f (g(x0)≠0). Định lý: Trong cùng một quá trình nếu limu(x) = u0 và f liên tục tại u0 thì Lim f[u(x)] = f[lim u(x)] = f(u0) Định lý: Nếu f liên tục trên (a,b) và f(a)f(b) < 0 thì x0  (a,b): f(x0) = 0. Định lý: Nếu f liên tục trên [a,b] thì f đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên [a,b]