Xác định tham số để phương trình, bất phương trình, hệ phương trình có nghiệm

THAM LUẬN XÁC ĐỊNH THAM SỐ ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM Bài toán dạng này thường xuất hiện trong đề thi tuyển sinh vào Đại học & Cao đẳng và thuộc vào loại khó đối với học sinh. Để giúp học sinh có một cách nhìn bài toán rõ ràng và biết cách giải quyết nó. Chúng tôi xin trích dẫn một số đề thi vào Đại học & Cao đẳng các năm qua và đưa ra cách giải , qua đó giúp học sinh nắm được phương pháp giải .Cuối mỗi phần có bài tập tương tự để học sinh kiểm tra kỹ năng tiếp thu của mình. I.Xác định tham số để phương trình có nghiệm trên tập D A. Phương pháp giải: +Biến đổi (có thể đặt ẩn phụ) đưa về dạng f(x) = m (hoặc f(t) = m) +Lập BBT hàm số suy ra kết quả *Ví dụ 1: Xác định các giá trị m để phương trình sau có nghiệm thực: (1) ( ĐH khối B – 2004 ) HD: ĐK . Đặt t = . Lập BBT suy ra , [– 1; 1] (1) trở thành: m(t + 2) = 2 – t2 + t m = (2) +Phương trình (1) có nghiệm (2) có nghiệm t[0; 2] +Đặt f(t) = . Lập BBT từ đó suy ra : phương trình có nghiệm *Ví dụ 2: Xác định các giá trị m để phương trình sau có 2 nghiệm thực phân biệt: (1) (ĐH khối B – 2006) HD: (1) (1) có 2 nghiệm phân biệt (2) có 2 nghiệm phân biệt x +Đặt f(x) = 3x + 4 . Lập BBT từ đó suy ra :phương trình có 2 nghiệm phân biệt m *Ví dụ 3:Xác định các giá trị m để phương trình sau có nghiệm thực: (1) (ĐH khối A – 2007) HD: ĐK . Ta có (1) (2) +Đặt t = , thì (2) trở thành: m = – 3t2 + 2t (3) +(1) có nghiệm (3) có nghiệm t[0; 1). Đặt f(t) = – 3t2 + 2t . Lập BBT từ đó suy ra: phương trình có nghiệm *Ví dụ 4:Xác định các giá trị m để phương trình sau có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn [1; ] (1) (ĐH khối A – 2002) HD: Đặt t = thì (1) trở thành t2 + t – 2m – 2 = 0 m = (t2 + t – 2) (2) + Ta có + (1) có ít nhất một nghiệm x[1; ] (2) có ít nhất một nghiệm t[1; 2] + Đặt f(t) = (t2 + t – 2). Lập BBT suy ra kết quả: *Ví dụ 5: Xác định các giá trị m để phương trình sau có 4 nghiệm thực phân biệt : (1) HD:(1). Đặt t = (2) , ta có pt : – t2 + 2t + 9 = m (3) t = + (2) có 2 nghiệm phân biệt (*) có 2 nghiệm phân biệt + Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt phương trình (3) có 2 nghiệm phân biệt t +Đặt f(t) = – t2 + 2t + 9 . Lập BBT suy ra kết quả B. Một số bài tập tương tự để luyện tập: Bài 1:Xác địnhcác giá trị m để phương trình sau có nghiệm thực: (1) HD: ĐK . Đặt t = t2 = 8 + 2 BĐT Cô-Si: 288 t2 16 (1) trở thành (2) . Phương trình (1) có nghiệm (2) có nghiệm t +Đặt f(t) = . Lập BBT suy ra kết quả Bài 2:Xác định các giá trị m để phương trình sau có nghiệm thực: (1) HD:ĐK . Ta có (1) (2) +Đặt t = ,thì (2) trở thành: 1 + 4mt + (m + 3)t2 = 0 m(t2 + 4t) = – 3t2 – 1 (3) +Vì t = 0 không thỏa (3) , nên với 0 < t < 1 thì (3) tương đương m = (4) +(1) có nghiệm(4) có nghiệm t(0; 1). Đặt f(t) = . Lập BBT suy ra phương trình có nghiệm m Bài 3:Xác định các giá trị m để phương trình sau có 2 nghiệm thực phân biệt : (1) HD: (1) +(1) có 2 nghiệm phân biệt (2) có 2 nghiệm phân biệt x + Đặt f(x) = . Lập BBT suy ra kết quả Bài 4: Xác định các giá trị m để phương trình sau có nghiệm thuộc nửa khoảng [32; +) (1) HD: Đặt t = , với x[32; +)t[5; +) +(1) trở thành = m (2) +(1) có nghiệm x[32; +)(2) có nghiệm t[5; +) + Đặt f(t) = thì f’(t) = < 0 ,t[5; +) f(t) nghịch biến trên [5; +) . Từ đó suy ra kết quả 1 < m thỏa bài toán Bài 5: Xác định các giá trị m để phương trình sau có nghiệm duy nhất 9x – (m – 1)3x + 2m = 0 (1) HD: Đặt t = 3x , t > 0 . Phương trình (1) trở thành t2 – (m – 1)t + 2m = 0m(t – 2) = t2 + t (2) + Vì t = 2 không thỏa (2). Với 0 < t thì (2) tương đương m = (3) + (1) có nghiệm duy nhất (3) có đúng 1 nghiệm trên (0; +) \ {2} + Đặt f(t) = . Lập BBT suy ra kết quả m Bài 6:Xác định các giá trị m để phương trình sau có 2 nghiệm thực phân biệt (1) HD: Với ĐK x > 2 , đặt t = thì (1) trở thành (m – 1)t2 – (m – 5)t + m – 1 = 0 m(t2 – t + 1) = t2 – 5t +1m = (2) + (1) có 2 nghiệm phân biệt (2) có 2 nghiệm phân biệt + Đặt f(t) = . Lập BBT suy ra (2) có 2 nghiệm phân biệt Bài 7: Xác định các giá trị m để phương trình sau có nghiệm: HD: + Với x > 0, đặt = t . Khi đó phương trình (1) có dạng: (2) + Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi (2) có nghiệm Đường thẳng y = m cắt đồ thị f(t) = trên miền [1; +) Từ BBT suy ra phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 1 < m 4 II. Xác định tham số để bất phương trình có nghiệm trên D hoặc đúng mọi xD A.Phương pháp giải: Trong trường hợp tồn tại , + f(x) < m, D + f(x) >, D + f(x) < m có nghiệm xD + f(x) >có nghiệm xD Chú ý: Trong trường hợp không tồn tại, thì dựa vào BBT để kết luận cụ thể *Ví dụ 1: Xác định các giá trị m để bất phương trình sau có nghiệm : (1) HD: ĐK thì (1)m(x – 1) m (2) + Đặt f(x) = . Ta có bpt (2) có nghiệm mm *Ví dụ 2:Xác định các giá trị m để bất phương trình sau có nghiệm : (1) HD: ĐK (4 – x)(2 + x) . Đặt t = , (1) trở thành t2 – 4t + 10 m (2). Đặt f(t) = t2 – 4t + 10 + (1) có nghiệm (2) có nghiệm t[0; 3] 6 m *Ví dụ 3: Xác định các giá trị m để bất phương trình sau có nghiệm: HD:ĐK: 0 x 4 . Khi đó log2(2+1. Bpt tương đương: + Đặt f(x) = với 0 x 4 . Ta có f’(x) = , trong đó : u = ; v = log2(2+. + Suy ra f’(x)> 0, (0; 4) . Vì f(x) liên tục trên đoạn [0; 4] nên f(x) đồng biến trên [0; 4]. f(x) m có nghiệm trên [0; 4] *Ví dụ 4: Xác định các giá trị m để bất phương trình sau đúng với mọi x[0; 2] (1) HD: Đặt t = thì (1) có dạng : t2 + 1 + m t + 4m – t2 + t + 3 (2) + Hàm t = có t’(x) = > 0t đồng biến trên [0; 2] + (1) đúng với mọi x[0; 2](2) đúng với mọi t m, với f(t) = – t2 + t + 3 m *Ví dụ 5:Xác định các giá trị m để bất phương trình sau đúng với mọi x (1) HD:Đặt t = 2x , t > 0 .Khi đó (1) trở thành : (m – 1 )t2 + 2t + m + 1 > 0m > (2) + (1) đúng với mọi x (2) đúng mọi t > 0 + Đặt f(t) = . Lập BBT hàm f(t) suy ra : m > f(t),m1 B. Một số bài tập tương tự để luyện tập: Bài 1:Xác định các giá trị m để bất phương trình sau có nghiệm (1) HD: (1). Đặt t = , 01 , + (1) thở thành (2). Đặt f(t) = . Ta có (1) có nghiệm (2) có nghiệm t[0; 1]mm Bài 2: Xác định các giá trị m để bất phương trình sau có nghiệm (1) HD:ĐK . Khi đó (1) (2) + Đặt f(x) = . Ta có f(x)m có nghiệm trên [0;9] +Hàm f(x) đồng biến trên [0; 9] nên = f(0) = . Vậy m Bài 3: Xác định các giá trị m để bất phương trình sau đúng với mọi x0 (1) HD: (1)(2) . Đặt t = , với x0 + (2) trở thành 2m + (2m + 1)t + < 0 2m(1 + t) < (3) + (1) đúng với mọi x0(3) đúng với mọi m < với mọi + Đặt f(t) = . Lập BBT suy ra m < f(t) với mọi m < III. Xác định tham số để hệ phương trình có nghiệm 1.Loại dùng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai và định lý Vi-ét *Ví dụ 1: Xác định các giá trị m để hệ sau có nghiệm: (I) HD: Đặt u = x + x2 , v = y + y2 , điều kiện u, v Hệ trở thành: . Khi đó u, v là hai nghiệm phương trình: t2 – 24t + m = 0 (1) Hệ (I) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (1) có 2 nghiệm t1, t2 thỏa mãn *Ví dụ 2: Xác định các giá trị m để hệ sau có nghiệm: (I) HD: Đặt u = , v = , điều kiện u, v Hệ trở thành: . Khi đó u, v là hai nghiệm phương trình : t2 – mt + (m2 – 2m – 1) = 0 (1) Hệ (I) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (1) có nghiệm t1, t2 thỏa 0 *Ví dụ 3: Xác định các giá trị m để hệ sau có nghiệm: HD: +Nều x = 0 thì hệ trở thành . Với m = 33 thì hệ có nghiệm +Xét m 33 thì x = 0 không thỏa hệ. Với x0, đặt y = tx khi đó hệ trở thành + Vì t2 + 2t + 3 > 0 ,t. Suy ra (2) có nghiệm x với mọi t. Hệ có nghiệm (1) có nghiệm = (11 – m)=2222 2 – (33 – m)(11 – 3m)0 ( m 33 ) – m2 + 44 – 121 0 Vậy : 2. Loại dùng điều kiện cần và đủ *Ví dụ 1: Xác định các giá trị m để hệ sau có nghiệm duy nhất: HD: Giả sử (x0, y0) là nghiệm của hệ thì (y0, x0) cũng là nghiệm của hệ. Hệ có nghiệm duy nhất x0 = y0 2– mx0 + m = 0 (*) (*) có nghiệm duy nhất = m2 – 8m = 0m = 0 hoặc m = 8 + Với m = 0 ta có hệ có vô số nghiệm thỏa x + y = 0 + Với m = 8 ta có (I) hoặc (II) Hệ (I) có nghiệm duy nhất x = y = 2 , hệ (II) vô nghiệm . Vậy m = 8 thỏa bài toán *Ví dụ 2 : Xác định các giá trị m để hệ sau có nghiệm duy nhất: HD:Hệ tương đương . Giả sử hệ có nghiệm (x0, y0 ) thì ( – x0, y0) cũng là nghiệm của hệ. Vì hệ có nghiệm duy nhất suy ra x0 = – x0 x0 = 0. Thay vào hệ ta có 3m2 – m – 4 = 0 + Nếu m = – 1 hệ trở thành Hệ có nghiệm duy nhất (0, 0) khi m = – 1 + Nếu m = hệ trở thành Hệ có nghiệm duy nhất (0, ) khi m = Kết luận : m = – 1 , m = 3. Loại dùng phương pháp hàm số *Ví dụ 1: Xác định các giá trị m để hệ sau có nhiều hơn 2 nghiệm HD: Hệ tương đương + Hệ có nhiều hơn 2 nghiệm khi và chỉ khi (1) có 3 nghiệm phân biệt Hàm f(x) = x3 – mx2 + 2m có cực đại và cực tiểu , đồng thời GTCĐ và GTCT trái dấu + Hàm có cực đại và cực tiểu f’(x) = 3x2 – 2mx có 2 nghiệm phân biệtm0 + Ta có f’(x) = 0 x = 0 hoặc x = . Khi đó f(0).f() Vậy hệ có nghiệm *Ví dụ 2:Với giá trị nào của m thì hệ phương trình sau có nghiệm thực: HD: ĐK: x > – 1 và y > – 1 . Ta có (1)ln(1 + x) + x = ln(1 + y) + y + Xét f(t) = ln(1 + t) + t , t > – 1 thì f’(t) = + 1 > 0, t > – 1f(t) đồng biến trên (-1,+) (1) có dạng f(x) = f(y) x = y. Thế vào (2) ta có x2(2 – m) + 4x + 5 – m = 0m= + Đặt f(x) = thì f’(x) = , f’(x) = 0x = – 2 x = x – 1 1/2 + f’(x) + 0 – f(x) 6 3/2 2 Hệ có nghiệmm = f(x) có nghiệm trong khoảng (–1,+) *Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi a > 0 hệ sau có nghiệm duy nhất (ĐH khối D – 2006) HD: ĐK x > – 1 và y > – 1 . Hệ tương đương . Hệ có nghiệm duy nhất (1) có nghiệm duy nhất Đặt f(x) = thì f’(x) = + Do a > o nên ea – 1> 0 suy ra f’(x) > 0 với mọi x > – 1 suy ra f(x) đồng biến trên (–1, +) Ta có và suy ra phương trình f(x) = 0 có nghiệm duy nhất Bài tập tương tự: Bài 1: Xác định các giá trị m để hệ sau có nghiệm: HD: ĐK: và . Hệ tương đương Đặt f(t) = , f(t) nghịch biến trên [2, +) . Nên (1) f(x) = f(y) x = y Thế vào (2) ta có (3) . Hệ có nghiệm (3) có nghiệm m3 . Bài 2: xác định các giá trị m để hệ có nghiệm duy nhất HD: ĐK x0 và y0. Hệ tương đương Hệ có nghiệm duy nhất phương trình (1) có nghiệm dương duy nhất Đường thẳng y = m2 cắt đồ thị f(x) = 2x3 – x2 trên khoảng (0, +) tại một điểm duy nhất + Lập BBT hàm f(x) suy ra hệ có nghiệm duy nhất với mọi m 4. Loại dùng phương pháp hình học *Ví dụ 1: xác định tham số m để hệ sau có nghiệm HD: phương trình x + my – m = 0 là phương trình một đường thẳng d Phương trình x2 + y2 – x = 0 là phương trình đường tròn (C) tâm I(– , 0 ) bán kính R = Hệ có nghiệm d và (C) có điểm chung d(I, d) R Bài tập tương tự: Bài 1: Xác định m để hệ sau có nghiệm duy nhất: HD:Hệ tương đương (1)là nửa dưới mặt phẳng xác định bởi đường thẳng x + y = 1( phần chứa gốc O) kể cả biên, còn (2) là đường tròn (C) tâm I(1, 1) bán kính R = (m 1, khi m = 1 thì (2) là một điểm (1, 1)) + Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi đường thẳng d: x + y – 1 = 0 tiếp xúc đường tròn (C) d(I,d) = R Tam Kỳ, ngày 10 tháng 3 năm 2011 Tổ Toán - Tin Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm