Xác suất thống kê kinh tế - Đoàn Hồng Chương

XÁC SUẤT THỐNG KÊ KINH TẾ Đoàn Hồng Chương1 1Bộ môn Toán - TKKT, Đại học Kinh Tế - Luật Chương 1 NHẮC LẠI VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP 1.1 Qui tắc cộng Nếu một công việc có thể thực hiện theo k phương án A1, A2 . . . , Ak và mỗi phương án có ni(i = 1, 2, . . . , k) cách thực hiện thì số cách thực hiện công việc là n = n1 + n2 + . . . + nk. (1.1) Ví dụ 1.1.Một người muốn mua một đôi giày cỡ 39 hoặc 40. Cỡ 39 có hai màu đen và trắng, cỡ 40 có ba màu đen, trắng và nâu. Hỏi người đó có bao nhiêu cách chọn mua giày? (Đáp số: n = 2 + 3 = 5). Trang 1 1.2 Qui tắc nhân Nếumột công việc bao gồm k giai đoạn vàmỗi giai đoạn có ni (i = 1, 2, ..., k) cách thực hiện thì số cách thực hiện công việc là n = n1.n2 . . . nk (1.2) Ví dụ 1.2. Trong một trò chơi, mỗi thí sinh phải trả lời 5 câu hỏi trắc nghiệm có sẵn của ban tổ chức, mỗi câu hỏi có 4 lựa chọn. Hỏi mỗi thí sinh có bao nhiêu phương án trả lời? (Đáp số: n = 45 = 1024). 1.3 Hoán vị Định nghĩa 1.1. Cho tập hợp gồm n phần tử khác nhau. Mỗi cách sắp xếp n phần tử theo một thứ tự gọi là một hoán vị. Trang 2 Tính chất 1.1. Số hoán vị của n phần tử là Pn = n! (1.3) • Qui ước: 0! = 1. Ví dụ 1.3.Một bàn có 4 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi? Giải. Vì mỗi cách xếp học sinh vào một bàn dài là một hoán vị nên số cách xếp là P4 = 4! = 24.  Ví dụ 1.4. Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho 5 bạn học sinh vào một bàn dài biết rằng 2 bạn Hoa và Lan muốn ngồi cạnh nhau? Hoa và Lan không ngồi cạnh nhau? Giải. Nếu 2 bạn Hoa và Lan ngồi cạnh nhau thì ta có thể giải bài toán theo 2 bước sau đây: • Bước 1: Xem 2 bạn Hoa và Lan như là 1 người. Khi đó số cách xếp là số hoán vị của 4 phần tử P4 = 4! = 24. Trang 3 • Bước 2: Đổi chỗ 2 bạn Hoa và Lan. Khi đó số cách xếp là số hoán vị của 2 phần tử P2 = 2! = 2. Vậy số cách xếp là n = P4.P2 = 48. Trường hợp 2 bạn Hoa và Lan không ngồi cạnh nhau là phần bù của trường hợp trên. Do đó số cách xếp là hiệu của số cách xếp tùy ý 5 người và số cách xếp 2 bạn Hoa và Lan ngồi cạnh nhau n = P5 − 48 = 5!− 48 = 72. 1.4 Chỉnh hợp Định nghĩa 1.2. Cho tập hợp gồm n phần tử khác nhau. Mỗi cách xếp k phần tử (1 ≤ k ≤ n) lấy từ n phần tử của tập hợp theo một thứ tự gọi là một chỉnh hợp chập k của n. Tính chất 1.2. Số chỉnh hợp chập k của n phần tử là Akn = n! (n− k)!. (1.4) Trang 4 Ví dụ 1.5. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 7, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số đôi một khác nhau? Giải. Ý tưởng giải bài toán này là nguyên lý phần bù. Gọi Ω là tập hợp các số gồm 3 chữ số abc trong đó chữ số đầu tiên có thể nhận giá trị 0 và A là tập hợp các số thỏa đề bài. Khi đó A (phần bù của A trong Ω) là tập hợp các số gồm 3 chữ số trong đó chữ số đầu tiên bằng 0. Mỗi phần tử của Ω là một cách chọn có thứ tự 3 số trong tập hợp các số {0, 1, 2, 3, 4, 7}. Số phần tử của Ω là n(Ω) = A36. Đối với tập hợp A, vì chữ số đầu tiên bằng 0 nên mỗi phần tử của A là một cách chọn có thứ tự 2 số trong tập hợp {1, 2, 3, 4, 7}. Số phần tử của A là n(Ω) = A25. Khi đó số phần tử của A là n(A) = A36 − A25 = 100. Trang 5 1.5 Tổ hợp Định nghĩa 1.3. Cho tập hợp gồm n phần tử khác nhau. Mỗi cách chọn k phần tử (1 ≤ k ≤ n) từ n phần tử của tập hợp gọi là một tổ hợp chập k của n. Tính chất 1.3. Số tổ hợp chập k của n phần tử là Ckn = n! k!(n− k)!. (1.5) Tính chất 1.4. Ckn = C n−k n . (1.6) Ckn + C k+1 n = C k+1 n+1. (1.7) Ví dụ 1.6.Một lớp học có 30 học sinh nam và 20 học sinh nữ. Cần lập ra một đội văn nghệ gồm 5 nam và 5 nữ từ các học sinh nói trên. Hỏi có bao nhiêu cách thực hiện việc này? (Đáp số: n = C530.C520). Ví dụ 1.7. Từ các chữ số 1, 2, 3, 6, 7, 8, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số trong đó chữ số 8 xuất hiện 2 lần, các chữ số còn lại xuất hiện tối đa 1 lần? Trang 6 Giải. Với mỗi số tự nhiên thỏa mãn đề bài, ta biễu diễn thành một hàng gồm 4 ô, trong đó có 2 ô chứa số 8, 2 ô còn lại là số tùy ý trong tập hợp {1, 2, 3, 6, 7}. © © © © Như vậy, bài toán có thể chia thành 2 bước như sau: • B1: Chọn 2 ô trong 4 ô để xếp chữ số 8. Số cách chọn sẽ là C24 . • B2: Chọn có thứ tự 2 số trong tập hợp {1, 2, 3, 6, 7}. Số cách chọn là A25. Vậy số các số tự nhiên thỏa mãn đề bài là C24 .A25 = 120.  1.6 Tổ hợp lặp Định nghĩa 1.4. Tổ hợp lặp chập k của n phần tử là một nhóm k phần tử không phân biệt thứ tự, có thể trùng nhau được chọn ra từ n phần tử đã cho. Chú ý: có thể k n. Ví dụ 1.8.Một cửa hàng có 3 loại sản phẩm a1, a2, a3. Một khách hàng muốn mua 2 sản phẩm của cửa hàng. Vì không có điều kiện ràng buộc nên khách hàng đó có Trang 7 thể mua 2 sản phẩm a1, hoặc 2 sản phẩm a2 hoặc 1 sản phẩm a1 và 1 sản phẩm a3. Mỗi trường hợp được liệt kê ở trên chính là một tổ hợp lặp chập 2 của 3 phần tử. Sau đây là liệt kê đầy đủ các trường hợp của bài toán: a1a1, a2a2, a3a3, a1a2, a1a3, a2a3. Tính chất 1.5. Số tổ hợp lặp chập k của n phần tử là C˜kn = C k n+k−1. (1.8) Ví dụ 1.9. Có 4 loại bút bi: xanh, đỏ, tím, vàng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mua 6 chiếc bút? (giả sử số lượng bút bi mỗi loại lớn hơn 6). Giải. Vì khách hàng chọn 6 chiếc bút trong 4 loại và có thể chọn cùng một màu nên mỗi cách chọn là một tổ hợp lặp chập 6 của 4. Số cách chọn là C˜64 = C 6 4+6−1 = C 6 9 = 84. Ví dụ 1.10.Giả sử có 8 viên bi màu hoàn toàn giống nhau. Nammuốn xếp các viên bi này vào 5 ngăn kéo. Hỏi có bao nhiêu cách xếp? (Đáp số: n = C˜85 = C813 = 1287) Trang 8 BẢNG TÓM TẮT ĐẠI SỐ TỔ HỢP Trang 9 Chương 2 XÁC SUẤT VÀ CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT §1. Phép thử và biến cố 1.1 Phép thử và biến cố Định nghĩa 1.1. Phép thử ngẫu nhiên là một quá trình thực hiện một nhóm các điều kiện để quan sát hiện tượng mà kết quả của nó không đoán trước được. Định nghĩa 1.2. Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử gọi là không gian mẫu, kí hiệu Ω. Ví dụ 1.1. Xét phép thử tung hai đồng xu, nếu xét kết quả xuất hiện là mặt "sấp" S hay "ngửa" N thì không gian mẫu sẽ là Ω = {SS, SN,NS,NN}. Quy ước: "ngửa" là mặt hiện giá trị của đồng xu và "sấp" là phía ngược lại. Ví dụ 1.2. Trong ví dụ (1.1), nếu xét kết quả là tổng số mặt sấp S thì không gian mẫu sẽ là Ω = {0; 1; 2}. Trang 10 Ví dụ 1.3.Xét phép thử tung một đồng xu cho đến khi xuất hiện mặt sấp S. Không gian mẫu của phép thử này sẽ là Ω = {1; 2; 3; 4; ...}. Định nghĩa 1.3. Biến cố là một tập hợp con của không gian mẫu. Các biến cố thường được kí hiệu bằng các chữ cái in hoa: A, B, C, ... Định nghĩa 1.4. Biến cố A gọi là biến cố sơ cấp nếu A chỉ chứa một phần tử của không gian mẫu Ω. Định nghĩa 1.5. Biến cố chắc chắn là Ω; Biến cố không thể là ∅. Ví dụ 1.4. Xét phép thử tung 2 đồng xu của ví dụ (1.1). Khi đó • Biến cố "có ít nhất một mặt S" là A = {SS, SN,NS}. • Các biến cố sơ cấp là A1 = {SS}, A2 = {SN}, A3 = {NS}, A4 = {NN}. • Biến cố Ω = {SS, SN,NS,NN} là biến cố chắc chắn. • Biến cố "có 3 mặt sấp" là biến cố không thể. Trang 11 1.2 Quan hệ giữa các biến cố 1. Biến cố giao Định nghĩa 1.6. Giao của hai biến cố A và B, kí hiệu A ∩B hoặc A.B, là biến cố "A và B đồng thời xảy ra". Ví dụ 1.5. Xét phép thử tung hai đồng xu. Gọi A là biến cố "xuất hiện mặt sấp ở đồng xu thứ nhất", B là biến cố "xuất hiện mặt sấp ở đồng xu thứ hai". Khi đó A ∩B là biến cố "xuất hiện mặt sấp ở cả hai đồng xu". Ví dụ 1.6.Một lớp có 30 sinh viên biết ít nhất một trong hai ngoại ngữ Anh văn hoặc Pháp văn, trong đó có 20 sinh viên giỏi Anh văn, 15 sinh viên giỏi Pháp văn. Hỏi có bao nhiêu sinh viên giỏi cả hai môn. (Đáp số: n = 5). 2. Biến cố hợp Định nghĩa 1.7. Hợp của hai biến cố A và B, kí hiệu A ∪ B, là biến cố "có ít nhất một trong hai biến cố A, B xảy ra". Trường hợp A ∩B = ∅ thì ta dùng kí hiệu A + B thay cho A ∪B. Trang 12 Ví dụ 1.7. Xét phép thử tung ba đồng xu. Gọi A là biến cố "xuất hiện đúng hai mặt sấp trong ba đồng xu", B là biến cố "cả 3 mặt đều sấp". Khi đó A ∪B là biến cố "có ít nhất hai mặt sấp trong ba đồng xu". 3. Biến cố kéo theo Định nghĩa 1.8. Biến cố A gọi là kéo theo biến cố B, nếu A ⊂ B. 4. Biến cố xung khắc Định nghĩa 1.9. Biến cố A và B gọi là xung khắc nếu chúng không đồng thời xảy ra trong một phép thử, nghĩa là A ∩B = ∅. Trang 13 Ví dụ 1.8. Xét phép thử trong ví dụ (1.7). Biến cố A ∩ B = ∅ nên A và B là hai biến cố xung khắc Ví dụ 1.9. Xét phép thử tung một con súc sắc cân đối đồng chất. Các biến cố nào sau đây là xung khắc với nhau? A: "xuất hiện mặt chẵn". B: "xuất hiện mặt nhị". C: "xuất hiện mặt lẻ". D: "xuất hiện mặt nhất hoặc tam". 5. Biến cố bù Định nghĩa 1.10. Biến cố bù của biến cố A, kí hiệu A hoặc Ac, là biến cố "A không xảy ra". Ví dụ 1.10. Xét phép thử tung một đồng xu 2 lần và A là biến cố "mặt sấp S xuất hiện ít nhất một lần". Khi đó biến cố bù A là "mặt sấp không xuất hiện". Ví dụ 1.11. Bắn lần lượt ba viên đạn vào một bia. Gọi Ai là biến cố "viên đạn thứ i trúng bia" (i = 1, 2, 3). Khi đó biến cố 1. "có đúng một viên đạn trúng bia" là A = A1.A2.A3 ∪ A1.A2.A3 ∪ A1.A2.A3. Trang 14 2. "có đúng hai viên đạn trúng bia" là B = A1A2A3 ∪ A1A2A3 ∪ A1A2A3. 3. "có 3 viên đạn trúng bia" là C = A1A2A3. 4. "không có viên đạn nào trúng bia" là D = A1.A2.A3. 6. Tính chất Tính chất 1.6. Giả sử A,B,C là các biến cố trong không gian mẫu Ω. Khi đó ta có các tính chất sau: 1. Tính chất giao hoán A.B = B.A và A ∪B = B ∪ A. 2. Tính chất kết hợp (A.B).C = A.(B.C) và (A ∪B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C). 3. Luật De-Morgan a) A ∪B = A.B. b) A.B = A + B. c) A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An = A1.A2 . . . An. d) A1.A2 . . . An = A1 ∪ A2 . . . ∪ An. Trang 15 4. A + A = Ω và A.A = ∅. Ví dụ 1.12. Cho A, B là các biến cố. Chứng minh rằng A ∪B = A + B.A. Giải. Ta có B.A ⊂ B, do đó với mỗi x ∈ A + B.A, suy ra x ∈ A hoặc x ∈ B. Vậy A + B.A ⊂ A ∪ B. Ngược lại, nếu x ∈ A ∪ B thì x ∈ A hoặc x ∈ B\A. Do đó x ∈ A + B.A.  Trang 16 §2. Xác suất và công thức tính Xác suất là một đại lượng thể hiện mức độ xảy ra (thường xuyên hay ít khi) của một biến cố. Số gán cho biến cố A, kí hiệu là P (A), gọi là xác suất của biến cố A. 2.1 Định nghĩa xác suất Định nghĩa 2.1. Giả sử không gian mẫu Ω của một phép thử gồm có n(Ω) biến cố sơ cấp đồng khả năng và biến cố A gồm có n(A) biến cố sơ cấp. Khi đó xác suất của biến cố A là P (A) = n(A) n(Ω) . (2.1) Ví dụ 2.1. Xét phép thử tung hai đồng xu cân đối, đồng chất. A là biến cố "có đúng một mặt sấp S", nghĩa là A = {SN,NS}. Khi đó xác suất của biến cố A là P (A) = n(A) n(Ω) = 2 4 = 1 2 . Trang 17 Ví dụ 2.2.Một lô hàng có 50 sản phẩm trong đó có 3 phế phẩm. Chọn ngẫu nhiên 5 sản phẩm để kiểm tra. Tính xác suất để cả 5 sản phẩm đều tốt. Giải. Gọi A là biến cố "5 sản phẩm đều tốt". Không gian mẫu của bài toán trên là tập hợp các cách chọn tùy ý 5 sản phẩm trong 50 sản phẩm. Khi đó n(Ω) = C550. Mỗi cách chọn được 5 sản phẩm tốt là một tổ hợp chập 5 của 47 sản phẩm tốt. Số cách chọn 5 sản phẩm tốt là n(A) = C547. Vậy xác suất chọn được 5 sản phẩm tốt là P (A) = C547 C550 = 1419 1960 .  Ví dụ 2.3.Một nhóm học sinh gồm 3 nam và 4 nữ xếp thành một hàng dài. Hãy tính xác suất để 3 bạn nam a) Đứng cạnh nhau. b) Không đứng cạnh nhau. c) Không có ai đứng cạnh nhau. Giải. Nếu xếp 3 bạn nam và 4 bạn nữ một cách tùy ý thì mỗi cách xếp là một hoán vị của 7 người. Vậy n(Ω) = 7! cách xếp. Trang 18 a) Gọi A là biến cố "3 bạn nam đứng cạnh nhau". Chúng ta thực hiện như sau: • Bước 1: Xem 3 bạn nam là một người. Khi đó số cách xếp là P5 = 5!. • Bước 2: đổi chỗ của 3 bạn nam. Số cách xếp là P3 = 3!. Số cách xếp 3 bạn nam cạnh nhau là n(A) = 3!.5!. Vậy xác suất để 3 bạn nam đứng cạnh nhau là P (A) = 3!× 5! 7! = 1 7 . b) Gọi B là biến cố "3 bạn nam không đứng cạnh nhau". Khi đó B là biến cố bù của A nên số phần tử của B là hiệu của n(Ω) và n(A). Vậy n(B) = 7!− 5!.3! = 4320. Xác suất để 3 nam không đứng cạnh nhau là P (B) = 4320 7! = 6 7 . c) Với yêu cầu xếp 3 bạn nam không có ai đứng cạnh nhau, chúng ta thực hiện như sau: Trang 19 • Bước 1: Hoán vị 4 bạn nữ, số cách xếp là 4! cách. • Bước 2: Xếp 3 bạn nam vào các chỗ trống giữa hai bạn nữ hoặc hai đầu dãy (minh họa bằng hình dưới, các ô tròn tượng trưng cho các bạn nữ) © © © © Vì yêu cầu các bạn nam không có ai xếp hàng cạnh nhau nên giữa hai bạn nữ chỉ xếp được một nam và mỗi đầu dãy chỉ xếp được một nam. Như vậy có 5 vị trí có thể xếp được các bạn nam vào đó. Do chỉ có 3 bạn nam và các cách xếp phân biệt thứ tự nên số cách xếp 3 nam vào 5 vị trí là A35 cách. Vậy số cách xếp 3 nam không có ai đứng cạnh nhau là 4!×A35 và xác suất để 3 bạn nam không có ai đứng cạnh nhau là 4!× A35 7! = 2 7 .  Lưu ý: Trong ví dụ (2.3) các biến cố "3 bạn nam xếp hàng cạnh nhau" và "3 bạn nam không có ai xếp hàng cạnh nhau" không phải là hai biến cố đối lập (biến cố bù). Trang 20 2.2 Định nghĩa xác suất theo quan điểm thống kê Trong thực tiễn nhiều khi chúng ta không thể xác định được số phần tử n(Ω) của không gian mẫu Ω, số phần tử n(A) của biến cố A hoặc việc xác định các thông số trên là có thể nhưng khó khăn hoặc gây thiệt hại về kinh tế (chẳng hạn như: xác định tỉ lệ (xác suất) hộp sữa hỏng trong một kho, xác định xác suất bắn trúng mục tiêu của một xạ thủ, ...). Do đó người ta đưa một cách tính xác suất theo quan điểm thống kê như sau: Giả sử một phép thử được tiến hành N lần và biến cố A xuất hiện m lần. Xác suất của biến cố A theo quan điểm thống kê là số P (A) = lim N→+∞ fA, (2.2) trong đó fA = m N , số này gọi là tần suất của biến cố A. Ví dụ 2.4. Xét phép thử tung một con súc sắc cân đối, đồng chất và A là biến cố "xuất hiện mặt một chấm". Thực hiện phép thử 30 lần và 600 lần, ta thu được 2 bảng sau: Trang 21 Số chấm 1 2 3 4 5 6 Tần số 4 5 4 7 4 6 n = 30 Tần số 96 107 98 103 97 99 n = 600 Tần suất của biến cố A lần lượt trong hai lần thực hiện là fA = 4 30 ≈ 0, 13 (tương ứng với việc thực hiện phép thử 30 lần) và fA = 96 600 = 0, 16 ≈ 1 6 (tương ứng với việc thực hiện phép thử 600 lần). Hai kết quả trên cho thấy việc thực hiện phép thử càng nhiều lần thì tần suất của biến cốA càng gần với xác suất tính theo công thức cổ điển.  2.3 Định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học Định nghĩa 2.2. Giả sử một điểm được gieo ngẫu nhiên vào một miền D và A là một miền con của D. Khi đó xác suất của biến cố "điểm đó rơi vào miền A" là P (A) = S(A) S(D) , (2.3) trong đó S(.) là số đo miền (.) (số đo có thể là độ dài, diện tích, thể tích...). Trang 22 Ví dụ 2.5. Gieo ngẫu nhiên một điểm M vào trong hình vuông có cạnh là a. Tìm xác suất để điểm đó rơi vào hình tròn nội tiếp hình vuông. Gọi A là biến cố điểm M rơi vào hình tròn nội tiếp hình vuông. Khi đó P (A) = Shình tròn Shình vuông = π × (a 2 )2 a2 = π 4 . Ví dụ 2.6. Hai người hẹn gặp nhau tại một địa điểm vào khoảng từ 11 giờ đến 12 giờ. Họ quy ước: người đến trước sẽ đợi 20 phút, nếu không gặp sẽ bỏ đi. Giả sử việc đến điểm hẹn của mỗi người là ngẫu nhiên. Tìm xác suất hai người gặp nhau. Giải. Gọi x, y (đơn vị: phút) là thời điểm đến điểm hẹn của người thứ nhất và người thứ hai. Để đơn giản ta giả sử 0 ≤ x ≤ 60; 0 ≤ y ≤ 60. Biểu diễn Trang 23 x, y lên mặt phẳng tọa độ Oxy. Không gian mẫu là tập hợp các điểm Ω = {(x; y)/0 ≤ x ≤ 60; 0 ≤ y ≤ 60}. Đặt A là biến cố "hai người gặp nhau". Vì hai người chỉ gặp nhau khi thời điểm đến điểm hẹn của cả hai không lệch quá 20 phút, nghĩa là |x−y| ≤ 20, do đó A chính là tập hợp các điểm trong phần tô đậm, A = {(x; y) ∈ Ω/|x− y| ≤ 20}. Xác suất để hai người gặp nhau là P (A) = S(A) S(Ω) = 602 − 402 602 = 5 9 . Trang 24 2.4 Các tính chất Định lý 2.1. Cho không gian mẫu Ω và A là một biến cố. Khi đó 1. 0 ≤ P (A) ≤ 1. 2. P (Ω) = 1 và P (∅) = 0. 3. Nếu A ⊂ B thì P (A) ≤ P (B). 4. P (A) = 1− P (A). Ví dụ 2.7.Một lọ có 4 bi trắng và 6 bi vàng. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi. Hãy tính xác suất để 1. Có 2 viên bi trắng trong 4 viên được chọn. (P = C24 .C 2 6 C410 = 3 7 ) 2. Có ít nhất 1 viên bi trắng trong 4 viên bi được chọn. (P = 1− C 4 6 C410 ) Ví dụ 2.8.Một lô hàng có 30 sản phẩm của phân xưởng I và 20 sản phẩm của phân xưởng II. Chọn ngẫu nhiên 4 sản phẩm trong lô hàng. Hãy tính xác suất để 1. 4 sản phẩm được chọn ra không thuộc cùng một phân xưởng. 2. có ít nhất 1 sản phẩm của phân xưởng I. Trang 25 Giải. Gọi Ω là không gian mẫu. Khi đó n(Ω) = C450 = 230300. 1. Gọi A là biến cố "4 sản phẩm được chọn ra không cùng thuộc một phân xưởng". Khi đó biến cố bùA là "4 sản phẩmđược chọn ra thuộc cùngmột phân xưởng". Vậy số cách chọn sản phẩm là n(A) = C430 + C420 = 32250. Xác suất để 4 sản phẩm cùng thuộc một phân xưởng là P (A) = 32250 230300 = 645 4606 . Suy ra P (A) = 1− P (A) = 3961 4606 . 2. Gọi B là biến cố "có ít nhất một sản phẩm của phân xưởng I". Khi đó P (B) = 1− P (B) = 1− C 4 20 C450 = 1− 969 4606 = 3637 4606 . Trang 26 §3. Qui tắc cộng xác suất - Qui tắc nhân xác suất 3.1 Qui tắc cộng xác suất 3.1.1 Trường hợp các biến cố xung khắc Định lý 3.1. Nếu A,B là các biến cố xung khắc, thì P (A + B) = P (A) + P (B). (3.1) Định lý 3.2. Nếu A1, . . . , An là các biến cố xung khắc đôi một thì P (A1 + . . . + An) = P (A1) + . . . + P (An). (3.2) Ví dụ 3.1.Một lớp học có 15 nam và 23 nữ. Chọn ngẫu nhiên một đội 5 người từ lớp nói trên. Tính xác suất để đội này có đủ cả nam và nữ. Giải. Gọi A là biến cố "5 người được chọn có đủ cả nam và nữ". Khi đó biến cố bù A là "5 người được chọn hoặc toàn nam hoặc toàn nữ". Như vậy biến cố bù A là hợp của 2 biến cố (2 trường hợp): • A1: "5 người được chọn toàn là nam". • A2: "5 người được chọn toàn là nữ". Trang 27 Vì A1, A2 xung khắc nên P (A) = P (A1) + P (A2) = C515 C538 + C523 C538 = 154 2109 . Vậy P (A) = 1− P (A) = 1955 2109 .  3.1.2 Trường hợp các biến cố không xung khắc Định lý 3.3. Cho A và B là 2 biến cố bất kì. Khi đó P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A.B). (3.3) Định lý 3.4. Cho A1, A2, . . . , An là các biến cố bất kì. Khi đó P ( n⋃ i=1 Ai) = n∑ i=1 P (Ai)− ∑ i=j P (AiAj) + . . . + (−1)n+1P ( n∏ i=1 Ai). (3.4) Ví dụ 3.2. Davis tham dự 2 trận đấu. Xác suất để anh ấy thắng trận thứ nhất là 0.7; xác suất để anh ấy thắng trận thứ hai là 0.6 và xác suất để anh ấy thắng cả 2 trận là 0.5. Hãy tính xác suất Davis thắng ít nhất 1 trận; thắng đúng 1 trận. Trang 28 Giải. Gọi A là biến cố "Davis thắng trận thứ nhất", B là biến cố "Davis thắng trận thứ hai". Khi đó A ∪B là biến cố "thắng ít nhất 1 trận". Ta có P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (AB) = 0.7 + 0.6− 0.5 = 0.8. Gọi C là biến cố "Davis thắng đúng 1 trận". Xét trong tập hợp A ∪ B, biến cố "thắng cả 2 trận" và biến cố "thắng đúng 1 trận" là 2 biến cố bù nhau. Do đó P (C) = P (A ∪B)− P (AB) = 0.8− 0.5 = 0.3. 3.2 Qui tắc nhân xác suất 3.2.1 Biến cố độc lập Định nghĩa 3.1. Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu xác suất của biến cố này không phụ thuộc vào việc xuất hiện hay không xuất hiện của biến cố kia. Trang 29 Định lý 3.5. Nếu A, B là các biến cố độc lập thì P (A.B) = P (A).P (B). (3.5) Định lý 3.6. Nếu A1, . . . , An là các biến cố độc lập thì P (A1 . . . An) = P (A1) . . . P (An). (3.6) 3.2.2 Tính chất Định lý 3.7. Nếu A, B là các biến cố độc lập thì các cặp A và B; A và B; A và B cũng là các biến cố độc lập. Ví dụ 3.3. Ba xạ thủ bắn độc lập vào một mục tiêu. Xác suất bắn trúng của mỗi người là 0.5; 0.6; 0.7. Hãy tính xác suất để có ít nhất một xạ thủ bắn trúng mục tiêu. (Đáp số: P = 1− 0.5.0.4.0.3 = 0.94) Trang 30 §4. Xác suất có điều kiện 4.1 Xác suất có điều kiện Một hộp có 10 quả bóng khác nhau gồm 4 bóng vàng, 6 bóng đỏ. Lấy ngẫu nhiên lần lượt hai bóng (mỗi lần lấy xong không trả lại bóng vào hộp). Đặt • A1 là biến cố "lấy được bóng màu vàng ở lần thứ nhất". • A2 là biến cố "lấy được bóng màu vàng ở lần thứ hai". Bảng sau là P (A2) trong trường hợp A1 xảy ra và không xảy ra. A1 A1 Số bóng vàng còn lại 3 4 Số bóng còn lại 9 9 P (A2) 1 3 4 9 Kết quả trên cho thấy P (A2) phụ thuộc vào việc xuất hiện hay không xuất hiện biến cố A1. Người ta dùng kí hiệu P (A2|A1) (thay vì P (A2)) để chỉ xác suất xảy ra biến cố A2 khi A1 đã xảy ra và kí hiệu P (A2|A1) để chỉ xác suất