Xác suất thống kê Và Quá trình ngẫu nhiên

Ts tô văn ban Bài giảng Xác suất thống kê Và Quá trình ngẫu nhiên (Dành cho cỏc lớp cao học kỹ thuật - HVKTQS) PHIên BảN 09/05 - 12/05 - 08/06 - 11/06 - 20/03/07 - 15/05/07 - 10/7/2007 - 05/09/07 (Ch−a hoàn thiện) Hà nội - 2005 - 2006 - 2007 M ỤC L ỤC Phần –Ch−ơng Nội dung trang Mục lục 2 Lời nói đầu 5 Các ký hiệu hay sử dụng 7 Phần I Xác suất Thống kê 9 Ch−ơng I Kiến thức bổ sung về xác suất 9 Đ1.1. Các biến ngẫu nhiên quan trọng 9 Đ1.1. Biến nhẫu nhiên chuẩn 8 Đ1.2. Véc tơ ngẫu nhiên chuẩn 11 Đ1.3. Mở rộng khái niệm mật độ đối với BNN rời rạc 17 Câu hỏi và bài tập Ch−ơng I 20 Ch−ơng II Ch−ơng III Đ3.5.Sự hội tụ của dãy các BNN 3.5.1. Các dạng hội tụ 3.5.2. Các định lý giới hạn 23 23 25 Ch−ơng IV Lý thuyết −ớc l−ợng Phần II Quá trình ngẫu nhiên 32 Ch−ơng V Những khái niệm tổng quát 32 Đ5.1. Mở đầu 5.1.1. Các định nghĩa 5.1.2. Phân loại sơ bộ 5.1.3. Ví dụ về QTNN 5.1.4. Họ các phân bố hữu hạn chiều 32 32 33 34 35 Đ5.2. Một số lớp các quá trình ngẫu nhiên 5.2.1. Quá trình cấp II 5.2.2. Quá trình số gia độc lập 5.2.3. Quá trình dừng (QT dừng theo nghĩa hẹp, dừng theo nghĩa rộng, dừng đồng thời) 5.2.4. Quá trình Gauss 36 36 38 39 45 Đ5.3.Tính chất ergodic và trung bình thời gian 46 2 5.3.1. Giới thiệu 5.3.2. Ergodic kỳ vọng 5.3.3. Ergodic ph−ơng sai, tự hiệp ph−ơngsai, PS chéo 5.3.4. Các loại ergodic khác 5.3.5. Đo hàm t−ơng quan 46 47 50 54 55 Đ5.4.Liên tục, đạo hàm, tích phân 5.4.1. Liên tục (theo xác suất, theo trung bình) 5.4.2. Đạo hàm (theo bình ph−ơng trung bình) 5.4.3. Tích phân (theo bình ph−ơng trung bình) 57 57 59 61 Đ5.5.Hai QTNN quan trọng 5.5.1. QT Poisson (định nghĩa, xác suất đồng thời n chiều, hàm tự t−ơng quan, dãy thời điểm đến, xác định c−ờng độ dòng đến, các biến thể, nhiễu bắn, sinh các quỹ đạo) 5.5.2. QT Wiener (đ. nghĩa, các tính chất, sinh quỹ đạo) 5.5.3. Giới thiệu về các QTNN khác 65 65 75 74 77 Đ5.6. Quá trình ngẫu nhiên phức Câu hỏi lý thuyết và bài tập ch−ơng V 77 79 Ch−ơng VI Xử lý các QTNN 86 Đ6.1.Mật độ phổ công suất 6.1.1. Vấn đề nghiên cứu QTNN trong miền tần số 6.1.2. Mật độ phổ công suất 6.1.3. Mật độ phổ công suất chéo 6.1.4. Mật độ phổ công suất cho QT thực không dừng 6.1.5. Mật độ phổ công suất cho dãy ngẫu nhiên 6.1.6. Một số mô hình nhiễu (nhiễu trắng, nhiễu nhiệt, nhiễu trắng thông dải, nhiễu màu, nhiễu bắn) 6.1.7. Phổ công suất của QTNN phức (Ví dụ: Phổ vạch, hiệu ứng Doppler) 86 86 89 93 95 97 99 103 Đ6.2.Căn bản về hệ tuyến tính 6.2.1. Hệ tuyến tính tổng quát 6.2.2. Hệ tuyến tính bất biến theo thời gian 6.2.3. Hệ nhân quả và hệ ổn định 107 107 109 112 3 6.2.4. Tr−ờng hợp hệ rời rạc 113 Đ6.3. Hệ tuyến tính với đầu vào ngẫu nhiên 6.3.1. Vấn đề đầu ra 6.3.2. Các đặc tr−ng xác suất của QT đầu ra 6.3.3. Đáp ứng hệ LTI rời rạc với đầu vào ngẫu nhiên 6.3.4. Các ví dụ (Hệ lý tưởng, Lọc bậc nhất, Trung bình trượt, Phổ của QT đạo hàm) 115 115 117 120 122 Đ6.4. Quá trình tự hồi quy – trung bình động 6.4.1. Quá trình tự hồi quy AR 4.4.2. Quá trình trung bình động MA 6.4.3. Quá trình ARMA 124 124 128 130 Đ6.5. Quá trình thông dải và điều chế 6.5.1. Quá trình thông dải 6.5.2. Nhiễu trong hệ thông tin điều biên AM 6.5.3. Nhiễu trong hệ thông tin điều tần FM 133 133 138 142 Đ6.6. Lọc phối hợp 6.6.1. Tr−ờng hợp tổng quát 6.6.2. Lọc phối hợp cho nhiễu màu 6.6.3. Lọc phối hợp cho nhiễu trắng Đ6.7. Ước l−ợng tuyến tính tối −u 6.7.1. Đặt bài toán 6.7.2. Bài toán là trơn – Lọc Wiener bất khả thi 6.7.3. Lọc Wiener khả thi Câu hỏi lý thuyết và bài tập Ch−ơng VI 147 147 148 149 151 151 153 155 159 Chương VII (dự trữ) ⎧⎨⎩ Quá trình Markov • Xích Markov • Quá trình Markov với thời gian liên tục Phần III Phụ lục A - Cỏc bảng thống kờ Phụ lục B - Phép biến đổi Fourier Bảng B-1 Tính chất của phép biến đổi Fourier Bảng B-2. Cặp phép biến đổi Fourier 171 171 172 Tài liệu tham khảo 173 4 Ch−ơng 1. kiến thức bổ Sung về xác suất Đ1.1.Các biến ngẫu nhiên quan trọng 1.1.1.Biến ngẫu nhiên rời rạc Tên Kí hiệu Xác suất P{ }X k= Kì vọng Ph−ơng sai Nhị thức B(n,p) k k n knC p (1 p) ;k 0,1,..., n −− = np np(1-p) Poisson P( ) λ ke ;k 0,1,... k! −λλ = λ λ Hình học G(p) p(1-p) k=0,1,2,... k ; 1 p p − 2 1 p p − Siêu hình học H(N,n,p) k n k Np N Np n N C C ;k 0,1,..., n C −− = ........ ......... Các luật phân bố rời rạc khác: đều rời rạc, nhị thức âm,... 1.1.2Biến ngẫu nhiên liên tục Tên Kí hiệu Mật độ Kì vọng Ph−ơng sai Đều U([a;b]) 1 ; a x b b a ≤ ≤− a b 2 + 2(b a) 12 − Mũ E( ) λ λ xe− λ ; λ ,x>0 1/λ 21/λ Cauchy C ( , )α β 2 2/[ ( (x ) )]β π β + −α Không tồn tại Không tồn tại Chuẩn N(m, 2σ ) 2 22 1 (x m)exp ( 0) 22 ⎧ ⎫−⎪ ⎪− σ >⎨ ⎬σ⎪ ⎪πσ ⎩ ⎭ m 2σ Gamma (r, )Γ λ r 1 x( x) e ; , r, x 0 (r) − −λλ λ λ >Γ r λ 2 r λ Khi bình ph−ơng 2 (n)χ n x n12 2 2x e /(2 (n / 2); x 0, n 1, 2,...− − Γ > = n 2n Student T(n) ((n 1) / 2)) n (n / 2) Γ + πΓ 2 (n 1) / 2x(1 ) n − ++ 0 n n 2− Fisher- Snecdecor F(n,m) n 2 n m 2Bx (m nx) ; − +−+ 2 m, n, x > 0 .......... .......... Weibul W( , )α λ 1 xx e ; , , x 0λλ− −ααλ α λ > 1 (1 1/ ) − λα Γ + λ .......... Lôga chuẩn 2LN(m, )σ 2 1 22 1 (ln x m)x exp ; , x 0 22 − ⎧ ⎫−⎪ ⎪− σ >⎨ ⎬σ⎪ ⎪πσ ⎩ ⎭ exp 2 m 2 ⎧ ⎫σ⎪ ⎪+⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭ …… Rayleigh 2(x a) / b2 (x a)e , x a b − −− ≥ ba 4 π+ 4b 4 − π L−u ý: với u>0 – hàm Gamma. u 1 to(u) t e dt ∞ − −Γ = ∫ Tính chất: ; (u 1) u (u)Γ + = Γ (n) (n 1)! ; (1/ 2)Γ = − Γ = π . Các luật phân bố liên tục khác: Bê ta, tam giác,... Biến ngẫu nhiên chuẩn rất quan trọng ta dành ra 1 phần riêng. Đ.1.2. Biến ngẫu nhiên chuẩn 1.2.1.Tính chất hàm mật độ . f(x) = 2 22 1 (x m)exp ( 0) 22 ⎧ ⎫−⎪ ⎪− σ >⎨ ⎬σ⎪ ⎪πσ ⎩ ⎭ +Hàm mật độ xác định trên Ă ; +f(x) > 0: Đồ thị nằm trên trục hoành; +Trục Ox là tiệm cận ngang; +Giá trị cực đại 2 1 2πσ , đạt đ−ợc tại x = m; +Đồ thị đối xứng qua đ−ờng thẳng x=m, có dạng hình chuông (Hình 1.1). Hình 1.1. Đồ thị hàm mật độ của phân bố chuẩn. 2 1 2πσ m xO 1.2.2.Các tham số đặc tr−ng 2 E[X] m; D[X] . =⎧⎪⎨ = σ⎪⎩ (1.1) Nh− vậy nhận thấy rằng, chỉ cần biết kì vọng và ph−ơng sai là có thể biết mật độ f(x) và do đó hoàn toàn biết về phân bố chuẩn. Còn có thể tính đ−ợc +Độ chệch Skew(X) = 3 3 E[(X EX) ]− σ = 0; +Độ nhọn Kurt(X) = 4 4 E[(X EX) ]− σ - 3 = 0. (1.2) 1.2. 3.Bnn chuẩn hoá (chuẩn tắc). X đ−ợc gọi là biến nn chuẩn tắc nếu X ∼ N(0,1).Hàm mật độ của nó cho bởi 8 2x 21(x) e 2 −ϕ = π . (1.3) Đặc điểm : -Giá trị của đ−ợc lập bảng với x(x)ϕ ∈{0;4]; -Đồ thị đối xứng qua trục tung; -Hàm phân bố t−ơng ứng 2tx 21F(x) e dt 2 − −∞ = π ∫ (1,4) cũng đ−ợc lập bảng. Tuy nhiên, để tiết kiệm bảng, thay cho F(x), ng−ời ta lập bảng giá trị của hàm Laplace: 2tx 2 0 1(x) e dt, 2 −Φ = π ∫ x∈[0; 3]. (1.5) Với x > 3, coi (x)Φ ≈ 1 2 . Hình 1.2. Đồ thị hàm mật độ chuẩn hoá (a) và đồ thị hàm Laplace (b). Khi cần tính F(x) qua Φ (x) hay ng−ợc lại, dùng công thức : F(x) = 1 2 + Φ (x). (1,6) Công thức sau rất có ích để tính xác suất X nằm trên đoạn nào đó: [ ]{ }P X a;b (b) (a).∈ =Φ −Φ (1,7) 1.2.4.Biến đổi tuyến tính bnn chuẩn. +Cho X ∼ N(m, ) Y= a X+b có phân bố chuẩn. 2σ ⇒ a,b ,∀ ∈ Ă Từ đó dễ thấy aX+b ∼ N(am+b, 2 2a σ ). +Hệ quả. X∼ 2 X mN(m, ) U −σ ⇒ = σ ∼ N(0,1). (1.8) 9 Hệ quả này cho ta ph−ơng pháp thuận lợi để tính { }P X [a;b]∈ : [ ]{ }P X a;b∈ =P a m X m b m− − −⎧ ⎫≤ ≤⎨ ⎬σ σ σ⎩ ⎭ b m a m( ) ( ).− −= Φ −Φσ σ (1.9) 1.2.5.Phân vị .Phân vị chuẩn mức α , kí hiệu Uα , là giá trị xác định bởi { }P U Uα> = α , với U ∼ N(0,1) 2t 2 U 1 e dt 2 +∞ − α ⇔ = απ ∫ . (1.10) Hình 1.3. Phân vị chuẩn mức α . Tính chất: 1U U−α α= − . (1.11) Một số giá trị đặc biệt: (1.12) 0,10 0,025 0,05 0,01 U 1,280; U 1,960; U 1,645; U 2,326. = =⎧⎪⎨ = =⎪⎩ L−u ý: Nhiều tài liệu không lập bảng của Uα mà lập bảng của hoặc pα uα với { }P U pα< = α ; { }P U uα< = α . 1.2. 6. Sai số trung gian, dạng mật độ chuẩn dùng trong pháo binh. Cho X ∼ , U( 2N m,σ ) α là phân vị chuẩn mức α, đặt σ=σ= 6745,0UL 25,0 ; .4769,02/U 25,0 ==ρ (1.13) Chúng ta có thể viết lại hàm mật độ của X d−ới dạng ( ) 2 2(x m) / Lf x e L −ρ − 2ρ= π . (1.14) Rõ ràng là , nếu m = 0 thì { } 5,0LXLP =<<− . (1.15) 10 Nh− vậy nếu quan sát BNN chuẩn quy tâm nhiều lần thì có khoảng 50% số lần BNN đó rơi vào khoảng (-L;L). Chính vì thế, L đ−ợc gọi là sai số trung gian, nó tỉ lệ với độ lệch chuẩn. Dạng mật độ (1.14) của phân bố chuẩn hay đ−ợc dùng trong pháo binh. 1.2.7.Quy tắc 2 ,σ 3 . σ Cho X ∼ N(m, ), theo công thức (1.9) ta có 2σ { } X mP X m P ε − ε⎧ ⎫− < ε = − < <⎨ ⎬σ σ σ⎩ ⎭=2 ( ) εΦ σ . (1.16) Thay ta đ−ợc 1 ,2 ,3ε = σ σ σ { }P X m 1 2 (1) 0,68268− < σ = Φ = ; { }P X m 2 2 (1) 0,95450− < σ = Φ = ; { }P X m 3 2 (1) 0,9973.− < σ = Φ = (1.17) Các xác suất 0,9545; 0,9973 là các xác suất rất lớn. Theo nguyên lí xác suất lớn ta có quy tắc 2 sau đây: ,(3 )σ σ Quy tắc.Nếu BNN có phân bố chuẩn thì hầu nh− chắc chắn (độ tin cậy trên 95%(trên 99%)), BNN chỉ sai lệch với giá trị trung bình cuả nó một l−ợng không quá 2 ). (3 )σ σ 1.2.8.Tính phổ cập của phân bố chuẩn. Thực tế chúng ta rất hay gặp phân bố chuẩn. Sở dĩ nh− vậy vì xảy ra Định lí giới hạn trung tâm sau đây (xem mục 3.5.2d): Nếu bnn X là kết quả của rất nhiều nguyên nhân, mỗi nguyên nhân chỉ có vai trò không đáng kể đến kết quả cuối cùng thì X có phân bố rất gần phân bố chuẩn. Đ1.3.Véc tơ ngẫu nhiên chuẩn. 1.3.1.Véc tơ kì vọng, ma trận t−ơng quan, ma trận hệ số t−ơng quan a)Tr−ờng hợp 2 biến. Xét 2 BNN X, Y bình ph−ơng khả tích. Mô men t−ơng quan (gốc) của X và Y, kí hiệu , xác định theo công thức XYR XYR E[XY= ]. Hiệp ph−ơng sai của X và Y, kí hiệu Cov(X,Y) xác định bởi . Cov(X,Y) E[(X EX)(Y EY)]= − − Hai BNN X và Y đ−ợc gọi là không t−ơng quan nếu . Cov(X,Y) E[(X EX)(Y EY)] 0= − − = Điều này t−ơng đ−ơng với . E[XY] E[X] E[Y]= Trái lại, nếu đẳng thức không xảy ra, X và Y đ−ợc gọi là không t−ơng quan. 11 Nếu X và Y độc lập thì chúng không t−ơng quan. Ng−ợc lại không đúng: Tồn tại những BNN X và Y không t−ơng quan, song chúng không độc lập. Đối với 2 BNN chuẩn X, Ythì X và Y độc lập ⇔ X và Y không t−ơng quan. b) Tr−ờng hợp tông quát. Cho là VTNN với các thành phần là những BNN bình ph−ơng khả tích. Đặt 1 T 1 n n X X ... (X ,...,X ) X ⎛ ⎞⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎞⎟⎟⎟⎠ 1 1 n n E[X ] m m E[X] ... ... E[X ] m ⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎟ ⎜= = =⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ - véc tơ kì vọng; Ma trận t−ơng quan của X cho bởi ( )ij i jR (R ) E[X X ]= = . Rõ ràng . 2ii iR E[X= ] Ma trận hiệp ph−ơng sai của X cho bởi ij( )Σ = Σ = Cov(X) = E[(X-m) . (1.18) T(X m) ]− L−u ý: 2 2 i i i i iiD[X ] E[(X m ) ]σ = = − = Σ j - ph−ơng sai của . iX ijΣ = - hiệp ph−ơng sai của . i i j j iE[X m )(X m )] Cov(X ,X )− − = i jX ,X i j i i j j ij i j i j Cov(X ,X ) E[(X m )(X m )] D[X ]D[X ] D[X ]D[X ] − −ρ = = - hệ số t−ơng quan của . i jX ,X R -ma trận các hệ số t−ơng quan. ij( )= ρ c)Tính chất 1) ij 1, i, j.ρ ≤ ∀ (1.19) 2) Nếu các thành phần X1 độc lập thì không t−ơng quan và R= –ma trận chéo, n j,...,X iX ,X ij(R ) ij( )ρ -ma trận đơn vị . Ng−ợc lại không đúng. 3) và R đối xứng , xác định không âm. Σ 1.3.2. VTNN chuẩn, các tính chất quan trọng. VTNN X= đ−ợc gọi là VTNN chuẩn ( X gọi là có phân bố chuẩn trong T 1 n(X ,...,X ) nĂ ) nếu tổ hợp tuyến tính bất kì các thành phần của nó có phân bố chuẩn. 12 Nói cách khác,∀u1,...,un, BNN Y= 1 1 n nu X ... u X+ + có phân bố chuẩn. Hệ quả. Từng thành phần của VTNN chuẩn là BNN chuẩn. L−u ý: Điều ng−ợc lại nói chung không đúng: Từng thành phần của VTNN là chuẩn ⇏ chuẩn. T1 nX (X ,...,X )= T1 nX (X ,...,X )= Bây giờ gọi m = E[X] là véc tơ kì vọng và Σ = Cov(X) là ma trận hiệp ph−ơng sai của X (dễ thấy tồn tại ), phân bố chuẩn đ−ợc kí hiệu bởi N(m, Σ ). VTNN chuẩn X có véc tơ kì vọng m và ma trận hiệp ph−ơng sai đ−ợc kí hiệu bởi Σ X ∼ N(m, ). Σ + Nếu định thức của Σ bằng 0 thì VTNN chuẩn X đ−ợc gọi là suy biến. Đặt (hạnh của ), tồn tại không gian con k chiều của k Rang( )= Σ Σ nĂ để chiếu của X trên không gian này là VTNN chuẩn không suy biến. Mệnh đề- định nghĩa. Giả sử X là VTNN chuẩn với ma trận t−ơng quanΣ . Nếu det(Σ ) 0 thì X đ−ợc gọi là VTNN chuẩn không suy biến và mật độ của nó cho bởi ≠ f(x)= T 1n / 2 1/ 2 1 1exp (x m) (x m) 2(2 ) (det ) −⎧ ⎫− − Σ −⎨ ⎬⎩ ⎭π Σ , nx∈ Ă . (1.20) Nh− vậy, véc tơ giá trị trung bình m và ma trận hiệp ph−ơng sai hoàn toàn xác định phân bố chuẩn; các thông tin về mô men cấp cao hơn là không cần thiết. Σ Đặt 1 n G . ⎛ ⎞σ⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟σ⎝ ⎠ Dễ thấy 1G− = 1 n 1/ . 1/ σ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟σ⎝ ⎠ , với i iD[X ]σ = Lại đặt ; 1 1R G G− −= Σ Dễ thấy Σ = GRG ; 1 1 1G R G 1− − − −Σ = ; 11 1n 1 n1 nn D ....D 1R .............. det(R) D ....D − ⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ trong đó là phần phụ đại số của trong ma trận R. Thay vào (1.20) ta đ−ợc ijD ijR 13 f(x) = n j ji i ijn / 2 1/ 2 i ji, j 11 n x m1 1 x mexp D . 2... (2 ) (det R) = ⎧ ⎫−−⎪ ⎪−⎨ ⎬σ σσ σ π ⎪ ⎪⎩ ⎭ ∑ (1.21) Mệnh đề . Cho X = T1 n(X ,...,X ) N(m, )Σ: . Khi đó là các BNN độc lập khi và chỉ khi không t−ơng quan 1X ,...,Xn n1X ,...,X ( là ma trận chéo: ⇔Σ 2 1 2 n . ⎛ ⎞σ⎜ ⎟Σ = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟σ⎝ ⎠ ) 1.3.3.Biến đổi tuyến tính VTNN chuẩn. Mệnh đề. Cho X ∼ N(m, Σ ), A- ma trận cấp kìn tuỳ ý còn kb∈ Ă bất kì. Khi đó VTNN Y=AX+b có phân bố chuẩn trên kĂ với T E[Y] Am b; Cov(Y) A A . = +⎧⎪⎨ = Σ⎪⎩ Hệ quả. Giả sử X∼N(m, Σ ) là VTNN chuẩn trong nĂ . Khi đó tồn tại ma trận trực giao A sao cho U = A(X-m) N(0, D) : trong đó D là ma trận chéo, các phần tử trên đ−ờng chéo chính của nó không âm. Nếu X không suy biến (det 0Σ ≠ ) thì các phần tử trên đ−ờng chéo chính của D d−ơng. Chứng minh. Ta chứng minh cho tr−ờng hợp det 0Σ ≠ . Khi đó, Σ đối xứng, xác định d−ơng, vậy tồn tại ma trận trực giao F có các véc tơ cột ei là các véc tơ riêng của Σ với các giá trị riêng iλ t−ơng ứng sao cho D = 1 1 T n F F .− − λ⎛ ⎞⎜ ⎟Σ = ⎜⎜ ⎟⎟λ⎝ ⎠ (1.22) là ma trận chéo. Vì Σ xác định d−ơng nên các giá trị riêng i 0λ > . Đặt A = 1F− thì E[U] = 0 ; Cov(U) = E T T T[F (X m)(X m) F] F F D− − = Σ = . (1.23) Khi đó U là VTNN chuẩn, quy tâm, các thành phần độc lập. Bởi vì mỗi phép biến đổi trực giao chính là một phép quay trong nĂ nên ta có thể phát biểu hệ quả trên bằng lời nh− sau: Đối với mỗi VTNN chuẩn, ta có thể dùng một phép quay thích hợp để biến nó thành VTNN chuẩn với các thành phần độc lập. 14 Hình 1.4.Đ−ờng đồng mức của mật độ chuần 2 chiều. O x y 1.3.4. Một số BNN liên quan đến VTNN chuẩn. Mệnh đề. độc lập cùng phân bố chuẩn N(0,1) thì 1X ,...,Xn 2 2 2 1 nY X ... X (n)= + + χ: . (1.24) Mệnh đề. U N(0,1) , V , U, V độc lập thì : 2 (n)χ: UT V / n = T(n): . (1.25) Mệnh đề (Fisher). Nếu X = là VTNN n chiều sao cho các thành phần là những BNN độc lập, cùng phân bố chuẩn N(m, T 1 n(X ,...,X ) 2σ ) thì : a) n i i 1 1X X n = = ∑ và ( )n2 2i i 1 1S X n X = = −∑ là hai BNN độc lập; b) 2 22 n 2i 2 i 1 X N(m, ); n X XnS (n 1). = ⎧ σ⎪⎪⎨ ⎛ ⎞−⎪ = χ⎜ ⎟⎪ σσ ⎝ ⎠⎩ ∑ : : − (1.26) Hệ quả. độc lập cùng phân bố chuẩn N(m,1X ,...,Xn 2σ ) thì n 2 i i 1 X m n 1 (X X) n 1 = − −− ∑ :T = T(n-1). (1.27) 1.3.5.Một số phân vị khác. a) . Phân vị mức α của phân bố “Khi bình ph−ơng” với n bậc tự do, kí hiệu là χ , là giá trị xác định từ biểu thức: 2 (n)αχ 2 (n)α 15 { }2P X (n)α> χ = α , 0 1< α < trong đó . 2X (χ: n) b) . Phân vị Student mức t (n)α α với n bậc tự do, kí hiệu là , là giá trị xác định từ biểu thức: t (n)α { }P T t (n)α> = α , 0 1< α < trong đó T . T(n): Tính chất: * 1t (n) t (n)−α α= − ; * t (n)α Uα≈ với n > 30. Ng−ời ta lập bảng giá trị của 2 (n)αχ và t (n)α với những giá trị khác nhau của và n. α 2 t (n)α(n)αχ Hình 1.5. Phân vị của phân bố “Khi bình ph−ơng”(a) và của phân bố Student (b). 1.3.5.Véc tơ ngẫu nhiên chuẩn 2 chiều. Cho Z = (X,Y) là VTNN chuẩn 2 chiều (không suy biến) với véc tơ kì vọng m = ( và ma trận hệ số t−ơng quan ) .T1, 2m m 1R 1ρ⎛ ⎞= ⎜ρ⎝ ⎠⎟ Theo công thức (1.21), mật độ đồng thời của Z cho bởi f(x,y) = 2 2 1 1 2 22 1 1 2 21 2 1 1 x m x m x m x mexp 2 2(1 )2 1 ⎧ ⎫ 2 ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − − −⎪ ⎪⎢ ⎥− − ρ +⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟σ σ σ σ⎢ ⎥−ρ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪πσ σ −ρ ⎣ ⎦⎩ ⎭ .(1.28) Dễ dàng tính đ−ợc E[X1] = m; D[X] = 2 1σ ; E[X2 ]= m; D[X] = 2 2σ ; XY .ρ = ρ (1.29) Đặc biệt, nếu X và Y độc lập ⇔ ρ= 0 (⇔ X và Y không t−ơng quan), mật độ đồng thời cho bởi 16 f(x,y) = 2 2 2 1 2 1 2 1 1 x y mexp 2 2 ⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎪ ⎪⎢ ⎥− +⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟πσ σ σ σ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭ . (1.30) Đối với mô men bậc cao chúng ta có kết quả quan trọng sau đây: Nếu (X, Y) là VTNN chuẩn quy tâm thì 2 2 2 2 2E[X Y ] E[X ]E[Y ] 2E [XY]= + . (1.31) Bây giờ chọn X = Y N(0,: 2 )σ thì 4E[X ] 3 4= σ và chúng ta nhận đ−ợc công thức tính độ nhọn (1.2). 1.3.6. Mật độ chuẩn 2 chiều dùng trong pháo binh - Elíp tản mát. Để nghiên cứu mức độ tản mát của đạn rơi trên mặt phẳng nằm ngang, ng−ời ta lập hệ trục Oxy với gốc O trùng với mục tiêu (điểm ngắm bắn), trục Ox là h−ớng bắn. T−ơng tự nh− (1.13) đặt (1.32) D 1 0,25 1 H 1 0,25 2 L U 0,6745 ; L U 0,6745 . = σ = σ⎧⎪⎨ = σ = σ⎪⎩ Định luật tản mát khẳng định rằng, toạ độ điểm đạn rơi (X, Y) tuân theo luật chuẩn với hàm mật độ (1.30), m1 = m2 = 0. Có thể viết lại mật độ này d−ới dạng 2 2 2 2 2 D H D H x yf (x, y) exp L L L L 2⎧ ⎫⎛ ⎞ρ ⎪ ⎪= −ρ +⎜ ⎟⎨ ⎬⎜π ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭ (1.33) trong đó LD - sai số trung gian về tầm, LH - sai số trung gian về h−ớng . Đối với hầu hết các pháo thông dụng, LD lớn gấp 10 15ữ lần LH. Elip tản mát (E) là elíp có các bán trục 4LD, 4LH (có tài liệu ghi là LD, LH). Xác suất để điểm đạn rơi (X,Y) nằm ngoài elip tản mát rất nhỏ, có thể bỏ qua: ( ) ( ){ } ( )2 2 20,25 X Y X YP X,Y E P 4U 0,025 ⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪∉ = + ≥ ≈⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟σ σ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭ . (1.34) Ng−ời ta chia (E) thành các vùng với tỉ lệ % xấp xỉ đạn rơi vào (Hình 1.5); nhờ đó có thể tính dễ dàng xác suất đạn rơi vào miền G cho tr−ớc nào đó. y 22 LD 71625 LH 25167 x 17 Hình 1.6 . Elip tản mát với thang chia độ. ⇓1.4. Mở rộng khái niệm mật độ đối với BNN rời rạc. +Chúng ta biết rằng, nếu X là BNN liên tục với hàm phân bố F(x) và hàm mật độ f(x) thì: * dF(x)f (x) , x dx = Ă∈ = ; 0. ; (1.35) * ; (1.36) f (x) 0; f (x)dx 1 ∞ −∞ ≥ ∫ * . (1.37) { } b a P a X b f (x)dx≤ < = ∫ +Để mở rộng khái niệm hàm mật độ cho BNN rời rạc tr−ớc hết ta đ−a ra hàm b−ớc nhảy đơn vị, đó là hàm: 1 khi x 0 u(x) 0 khi x ≥⎧= ⎨ <⎩ (1.38) +Hàm delta. Hàm delta (còn goị là hàm delta-Dirac) tại điểm x , kí hiệu , là hàm suy rộng, bằng không với 0 0(x x )δ − 0x x≠ và bằng vô hạn tại x = : 0x ( ) 00 0 0 khi x x ; x x khi x x , ≠⎧δ − = ⎨+∞ =⎩ (1.39) và thoả mãn quan hệ : Với a < b, b 0 0 0 oa 1 khi a x b; (x x )dx 0 khi x a hay x ≤ <⎧δ − = ⎨ b.< ≥⎩∫ (1.40) O x 1 y (a) x0xO O x 1 1 y y (c)(b) Hình 1.7. Hàm b−ớc nhảy đơn vị(a), hàm delta (b) và hàm delta tại (c). 0x Một định nghĩa khác cho hàm delta là 18 j x1(x) e d 2 ∞ − ω −∞ δ = π ∫ ω . (1.41) Hàm delta đ−ợc thể hiện bằng véc tơ đơn vị //Oy (Hình 1.7.). Nó có thể coi là đạo hàm của hàm b−ớc nhảy đơn vị: du(x)(x) dx δ = k 0 h;h,k 0 u(h) u(k)lim h k< < → −= − (1.42) Khi đó, nếu X là BNN rời rạc tập trung tại { }ix ,i 1,2,...= với { }i ip P X x ,= = i i 1 p 1 ≥ =∑ i , thì có thể coi X có mật độ . (1.43) i i 1 f (x) p (x x ) ≥ = δ −∑ Mật độ này thoả mãn các tính chất (1.36) - (1.37) của hàm mật độ thông th−ờng. Ngoài ra, có thể coi nó là đạo hàm