Xây dựng phổ năng lượng của bài toán Micz – Kepler ba chiều bằng các toán tử Casimir

Năm học 2012 - 2013 108 XÂY DỰNG PHỔ NĂNG LƯỢNG CỦA BÀI TOÁN MICZ – KEPLER BA CHIỀU BẰNG CÁC TOÁN TỬ CASIMIR Lê Đại Nam (SV năm 2, Khoa Vật lí) GVHD: ThS Phan Ngọc Hưng 1. Mở đầu Bài toán chuyển động của một hạt trong trường Coulomb có thêm đơn cực từ được gọi là bài toán MIC – Kepler hay MICZ – Kepler [6]. Bài toán lần dầu tiên được khảo sát vào những năm 60 của thế kỷ XX, bởi các nhà vật lý McIntosh và Cisneros [4] và Zwanziger [10]. Theo đó, hệ được xét bởi một hạt chuyển động quanh một dyon – một hạt gồm có cả điện tích và từ tích. Bài toán MICZ – Kepler ba chiều chính là bài toán Coulomb trong không gian ba chiều có đơn cực từ Dirac. Những bài toán MICZ – Kepler có số chiều cao hơn (năm chiều [5] và chín chiều [3], [6]) là những bài toán Coulomb có số chiều tương ứng và xét thêm các đơn cực từ có số chiều cao hơn. Trong quá trình tổng quát hóa đơn cực từ Dirac lên số chiều cao hơn, nhà vật lý Mỹ gốc Trung Quốc Dương Chấn Ninh (Yang Chen Ning) đã đưa ra đơn cực từ Yang [9] với thế đơn cực SU(2) ứng với bài toán MICZ – Kepler năm chiều. Và khi tổng quát hóa đơn cực từ Dirac và đơn cực từ Yang lên số chiều cao hơn nữa, nhóm nghiên cứu Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh (ĐHSP TPHCM) đưa ra đơn cực từ SO(8) với thế đơn cực SO(8) [3] ứng với bài toán MICZ – Kepler chín chiều [3], [6]. Bài toán MICZ – Kepler đã và đang được tiếp cận theo nhiều hướng khác nhau: giải phương trình Schrodinger theo cách thuần giải tích, sử dụng toán tử sinh – hủy, sử dụng toán tử bất biến Casimir, Trong đó, phương pháp sử dụng toán tử Casimir đã được Mardoyan, Sissakian, Ter-Antonyan áp dụng thành công cho bài toán MICZ – Kepler năm chiều [5]. Nhóm nghiên cứu Trường ĐHSP TPHCM đang tiếp cận bài toán MICZ – Kepler chín chiều theo nhiều hướng, trong đó cũng lưu ý đến việc sử dụng toán tử bất biến Casimir. 2. Mục tiêu Bài toán MICZ – Kepler ba chiều vẫn chưa được tiếp cận theo hướng sử dụng toán tử Casimir. Trong đề tài này, chúng tôi tiếp cận bài toán MICZ – Kepler ba chiều theo hướng sử dụng toán tử Casimir. Cụ thể là sử dụng toán tử bất biến Casimir để xây dựng phổ năng lượng cho bài toán MICZ – Kepler ba chiều. Từ đây, ta so sánh với các kết quả của Zwanziger [10] và McIntosh và Cisneros [4] cũng như so sánh giữa các hướng tiếp cận bài toán. Và rộng hơn, việc giải quyết bài toán ba chiều tạo cơ sở cho việc giải quyết bài toán MICZ – Kepler 9 chiều theo hướng sử dụng toán tử Casimir. Kỉ yếu Hội nghị sinh viên NCKH 109 Để hoàn thành mục tiêu trên, chúng tôi tập trung vào các nội dung sau: - Hệ thống hóa kiến thức về việc giải quyết bài toán Coulomb ba chiều lượng tử bằng cách sử dụng toán tử Casimir. - Giải quyết bài toán MICZ – Kepler ba chiều lượng tử bằng cách sử dụng toán tử Casimir. - So sánh các kết quả thu được với kết quả đã có từ [4], [10]. - Đưa ra những cơ sở để giải quyết bài toán MICZ – Kepler ở những chiều cao hơn bằng cách sử dụng toán tử Casimir. 3. Nội dung và kết quả nghiên cứu 3.1. Mô hình giải quyết bài toán Để giải quyết bài toán Coulomb ba chiều và MICZ – Kepler ba chiều lượng tử bằng cách sử sụng toán tử Casimir, chúng tôi thực hiện các bước sau: - Xác định tính đối xứng của bài toán (đối xứng được thừa nhận và đôi xứng ẩn), đưa ra một nhóm đối xứng cụ thể của bài toán. - Xây dựng các toán tử Casimir của nhóm đối xứng được đưa ra. - Liên hệ giữa các toán tử Casimir xây dựng được với Hamiltonian của bài toán, từ đây xây dựng mối liên hệ giữa trị riêng của các toán tử Casimir với phổ năng lượng tương ứng. - Rút ra phổ năng lượng của bài toán từ phổ trị riêng của các toán tử Casimir. 3.2. Bài toán Coulomb lượng tử 3.2.1. Hamiltonian của bài toán Xét bài toán Coulomb lượng tử gồm một electron điện tích e chuyển động quanh một hạt nhân có điện tích Ze . Trong hệ đơn vị nguyên tử 1m c e   h , Hamiltonian tương ứng cho bài toán trên là: 21ˆ ˆ 2 2 Z ZH r r      p , (3.1) trong đó, 2ˆ ˆ ˆk kp pp với ˆ k k p i x     là các toán tử hình chiếu xung lượng và 2 2 kr x (với 1, 2,3k  ). Từ định nghĩa toán tử xung lượng ở trên, ta thu được hệ thức giao hoán quen thuộc: 1 2 1 2 ˆ ,k k k kp x i     , (3.2) 3.2.2. Toán tử moment động lượng Trong bài toán Coulomb cổ điển, ta có vector moment động lượng: ˆ ˆ ˆL r p    L r p . (3.3) Năm học 2012 - 2013 110 Để thuận tiện cho việc mở rộng bài toán lên số chiều cao hơn, ta biểu diễn lại các thành phần của Lˆ như sau: 1 2 1 2 3 3 ˆ ˆ k k k k k kL L , (3.4) Từ đó suy ra: 1 2 1 2 2 1 ˆ ˆ ˆk k k k k kL x p x p  . (3.5) Biểu diễn như vậy cho ta thấy rõ tính phản đối xứng của các thành phần của toán tử moment động lượng 1 2 2 1 ˆ ˆ k k k kL L  nếu 1 2k k và 1 2ˆ 0k kL  nếu 1 2k k . Bằng cách tính trực tiếp, ta tìm được các hệ thức giao hoán giữa 1 2 ˆ k kL với ˆmp , mx : 1 2 1 2 2 1 ˆ ,k k m mk k mk kL x i x i x      , (3.6) 1 2 1 2 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ,k k m mk k mk kL p i p i p      , (3.7) và với Hamiltonian Hˆ : 1 2 ˆ ˆ, 0k kL H    . (3.8) Hệ thức trên cho thấy, moment động lượng là một đại lượng bảo toàn trong bài toán Coulomb ba chiều lượng tử. Tiếp tục tính toán trực tiếp và sử dụng các hệ thức (3.6) và (3.7), ta thu được hệ thức giao hoán giữa các thành phần của moment xung lượng: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ,L L i L i L i L i L                   . (3.9) Nghĩa là các 1 2 ˆ k kL là các vi tử của nhóm SO(3). Từ (3.8) và (3.9), ta có thể kết luận: bài toán Coulomb ba chiều có đối xứng SO(3). 3.2.3. Vector Runge – Lenz Trong bài toán Coulomb cổ điển, còn có một đại lượng bảo toàn - vector Runge – Lenz [6]: ˆ1ˆ ˆ ˆˆ ˆ 2 2 rZ M p L L p Z r r                      rM p L .(3.10) Từ đó, ta có các thành phần của vector Runge – Lenz: 1ˆ ˆ ˆˆ ˆ. . 2 2 k k m mk mk m m m xM p L L p Z r           . (3.11) Từ định nghĩa vector Runge – Lenz như trên, ta có thể tìm được các hệ thức giao hoán tử của thành phần ˆ kM của vector Runge – Lenz với các thành phần của toán tử Kỉ yếu Hội nghị sinh viên NCKH 111 moment động lượng Lˆ , với các thành phần của vector Runge – Lenz và với Hamiltonian Hˆ lần lượt như sau: ˆ ˆ ˆ ˆ, k k kL M i M i M          , (3.12) 1 2 1 2 ˆ ˆ ˆ ˆ, 2k k k kM M iHL     , (3.13) ˆ ˆ, 0kM H    . (3.14) Hệ thức trên cho thấy, vector Runge - Lenz là một đại lượng bảo toàn trong bài toán Coulomb ba chiều lượng tử. 3.2.4. Đối xứng ẩn của bài toán Để khảo sát tính đối xứng của bài toán, ta xây dựng ma trận Dˆ như sau: ˆ ˆ ˆ ˆ 0 mn k k L M D M        , trong đó,  1 2ˆ ˆ ˆ2k kM H M   . Từ (3.9), (3.12) và (3.13) suy ra: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ,D D i D i D i D i D                   .(3.15) Biểu thức (3.15) chứng tỏ rằng Dˆ là các vi tử của nhóm SO(4) và ˆ ˆ, 0D H    , do đó ta có thể kết luận: bài toán Coulomb ba chiều có đối xứng ẩn SO(4). 3.2.5. Các toán tử Casimir của nhóm D Các toán tử Casimir của nhóm D được định nghĩa như sau [3]:  1 2 2 1 2 22ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2C D D L M        , (3.16) 1 2 3 4 1 2 3 42 ˆ ˆ ˆ 8 .C D D           L M . (3.17) Từ định nghĩa toán tử moment động lượng và vector Runge – Lenz, sử dụng các phép biến đổi, ta tìm được các hệ thức sau: 2 2 2ˆ 1 ˆ2 ZM L H      , (3.18) . 0L M = . (3.19) Từ (3.16), (3.17), (3.18) và (3.19), ta suy ra được hai toán tử Casimir của nhóm D: 2 2 ˆ 2 ˆ ZC H   , (3.20) 2 ˆ 0C  . (3.21) Năm học 2012 - 2013 112 3.2.6. Phổ năng lượng của bài toán Coulomb Trị riêng của hai toán tử Casimir trên : 2 2 2 2 , 0. Zc E c        (3.22) Từ [7], các toán tử Casimir của nhóm SO(4) có dạng:      2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 , 8 1 . c c               (3.23) trong đó, 1 2,  là các số nguyên hoặc bán nguyên thỏa mãn  1 2  là một số nguyên và 1 2 0   . Thay (3.23) vào (3.22), ta giải ra được:   2 2 1 2 1 , 2 0. Z E          (3.24) trong đó, 1 1 n   là số nguyên dương. Phổ năng lượng của bài toán Coulomb là: 2 22 ZE n   với 1, 2,...n  . (3.25) 3.3. Bài toán MICZ – Kepler lượng tử 3.3.1. Hamiltonian của bài toán Xét bài toán MICZ – Kepler lượng tử gồm một electron điện tích e chuyển động quanh một hạt nhân có điện tích Ze , có đơn cực từ Dirac  1 30; ; 1; ; 2;... 2 2          trong không gian ba chiều. Hamiltonnian tương ứng cho bài toán trên là: 2 2 2 2 2 1 1ˆ ˆ 2 2 2 2 Z ZH r r r r           , (3.26) trong đó, 2ˆ ˆ ˆj j j   với ˆ ˆj j jp A   là toán tử hình chiếu xung lượng có chứa thế gauge A của đơn cực từ Dirac. Đơn cực từ Dirac gây ra từ trường: 3r  rB = . (3.27) Trong đó, thế gauge của đơn cực từ Dirac là: Kỉ yếu Hội nghị sinh viên NCKH 113      3 2 1 3 3 1 1 , ,0x x r r x r r x       A r e . (3.28) Thế gauge này thỏa mãn:   B = A . (3.29) Từ định nghĩa toán tử hình chiếu xung lượng như trên, ta có các hệ thức giao hoán sau: 1 2 1 2 ˆ ,k k k kx i      , (3.30) 1 2 1 2 3 3 3 3 ˆ ˆ,k k k k k k k i x r         . (3.31) 3.3.2. Toán tử moment động lượng mở rộng – vector Poincaré suy rộng Trong bài toán MICZ – Kepler cổ điển, vector moment động lượng không bảo toàn, chỉ có vector Poincaré bảo toàn [1]. Vector Poincaré được định nghĩa như sau: r   & rr r . (3.32) Do đó, vector Poincaré suy rộng trong bài toán MICZ-Kepler lượng tử ba chiều là: ˆˆ ˆ ˆ r    rr . (3.33) Ta biểu diễn lại các thành phần của vector Poincaré như sau: 1 2 1 2 3 3 ˆ ˆ k k k k k k   . (3.34) Sử dụng hệ thức giao hoán (3.31), ta biểu diễn lại các thành phần của vector Poincaré như sau: 1 2 1 2 2 1 1 2 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ,k k k k k k k kx x ir          . (3.35) Biểu diễn như vậy cho ta thấy rõ tính phản đối xứng của các thành phần của vector Poincaré 1 2 2 1 ˆ ˆ k k k k   nếu 1 2k k và 1 2ˆ 0k k  nếu 1 2k k . Bằng cách tính trực tiếp, ta tìm được các hệ thức giao hoán giữa 1 2 ˆ k k với ˆm , mx : 1 2 1 2 2 1 ˆ ,k k m mk k mk kx i x i x      , (3.36) 1 2 1 2 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ,k k m mk k mk ki i         , (3.37) và với Hamiltonian Hˆ : 1 2 ˆ ˆ, 0k k H    . (3.38) Năm học 2012 - 2013 114 Hệ thức trên cho thấy, vector Poincaré là một đại lượng bảo toàn trong bài toán MICZ – Kepler ba chiều lượng tử. Tiếp tục tính toán trực tiếp và sử dụng các hệ thức (2.40) và (2.41), ta thu được hệ thức giao hoán giữa các thành phần của vector Poincaré: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, i i i i                        .(3.39) Nghĩa là các 1 2 ˆ k k là các vi tử của nhóm SO(3). Từ (3.38) và (3.39), ta có thể kết luận: bài toán MICZ – Kepler ba chiều có đối xứng SO(3). 3.3.3. Vector Runge – Lenz Trong bài toán MICZ – Kepler cổ điển, còn có một đại lượng bảo toàn - vector Runge – Lenz [6][10]: ˆ1ˆ ˆ ˆˆ ˆ 2 2 rZ M Z r r                      rM  .(3.40) Từ đó, ta có các thành phần của vector Runge – Lenz:  1ˆ ˆ ˆˆ ˆ 22 k k m mk mk m m xM Z r             . (3.41) Từ định nghĩa vector Runge – Lenz như trên, ta có thể tìm được các hệ thức giao hoán tử của thành phần ˆ kM của vector Runge – Lenz với các thành phần vector Poincaré ˆ  , với các thành phần của vector Runge – Lenz và với Hamiltonian Hˆ lần lượt như sau: ˆ ˆ ˆ ˆ, k k kM i M i M          , (3.42) 1 2 1 2 ˆ ˆ ˆ ˆ, 2k k k kM M iH      , (3.43) ˆ ˆ, 0kM H    . (3.44) Hệ thức trên cho thấy, vector Runge - Lenz là một đại lượng bảo toàn trong bài toán MICZ – Kepler ba chiều lượng tử. 3.3.4. Đối xứng ẩn của bài toán Để khảo sát tính đối xứng của bài toán, ta xây dựng ma trận Dˆ như sau: ˆ ˆ ˆ ˆ 0 mn k k M D M         , trong đó,  1 2ˆ ˆ ˆ2k kM H M   . Từ (3.39), (3.42) và (3.43) suy ra: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ,D D i D i D i D i D                   .(3.45) Kỉ yếu Hội nghị sinh viên NCKH 115 Biểu thức (3.45) chứng tỏ rằng Dˆ là các vi tử của nhóm SO(4) và ˆ ˆ, 0D H    , do đó ta có thể kết luận: bài toán MICZ – Kepler ba chiều có đối xứng ẩn SO(4). 3.3.5. Các toán tử Casimir của nhóm D Các toán tử Casimir của nhóm D được định nghĩa như sau [3]:  1 2 2 1 2 22ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2C D D M         , (3.46) 1 2 3 4 1 2 3 42 ˆ ˆ ˆ 8 .C D D           M . (3.47) Từ định nghĩa vector Poincaré và vector Runge – Lenz, sử dụng các phép biến đổi, ta tìm được các hệ thức sau: 2 2 2 2ˆ ˆ 1 ˆ2 ZM H        , (3.48) . ˆ2 Z H   M = . (3.49) Từ đây, ta suy ra được hai toán tử Casimir của nhóm D: 2 2 2 ˆ 2 2ˆ ZC H    , (3.50) 2 8ˆ ˆ2 ZC H    . (3.51) 3.3.6. Phổ năng lượng của bài toán MICZ – Kepler ba chiều Trị riêng của hai toán tử Casimir trên : 2 2 2 2 2 2 , 8 . 2 Zc E Z E c             (3.52) Từ [7], các toán tử Casimir của nhóm SO(4) có dạng:      2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 , 8 1 . c c               (3.53) trong đó, 1 2,  là các số nguyên hoặc bán nguyên thỏa mãn  1 2  là một số nguyên và 1 2 0   . Thay (3.53) vào (3.52), ta giải ra được:   2 2 1 2 1 , 2 . Z E          (3.54) Năm học 2012 - 2013 116 trong đó, 1 1 n j    với n là số nguyên dương và , 1, 2,...j      . Phổ năng lượng của bài toán MICZ – Kepler ba chiều là:   2 22 ZE n j    , (3.55) với 1, 2,...n  và , 1, 2,...j      Đây là kết quả cần tìm của bài toán MICZ – Kepler ba chiều, kết quả này phù hợp với các kết quả của McIntosh và Cisneros (1970) [5] và Zwanziger (1968) [10]. 4. Kết luận và hướng phát triển Trong đề tài này, chúng tôi đã khảo sát tính đối xứng của bài toán MICZ – Kepler ba chiều và xây dựng các toán tử Casimir tương ứng với đối xứng ẩn tìm được. Dựa vào các toán tử Casimir xây dựng được, chúng tôi đã xây dựng được mối liên hệ giữa các toán tử Casimir đó và Hamiltonian của bài toán, từ đó, xây dựng được phổ năng lượng của bài toán MICZ – Kepler ba chiều. Dựa vào các kết quả thu được, chúng tôi có kết luận sau:  Bài toán MICZ – Kepler ba chiều được thừa nhận rộng rãi là có đối xứng SO(3). Với việc bổ sung thêm vector Runge – Lenz, bài toán đã được chứng minh là có đối xứng ẩn SO(4).  Tính đối xứng của bài toán và sử dụng các toán tử Casimir cho phép ta tìm ra công thức phổ năng lượng cho bài toán MICZ – Kepler ba chiều, kết quả (3.55) thu được hoàn toàn trùng khớp với kết quả đã thu được bởi McIntosh và Cisneros (1970) [4] và Zwanziger (1968) [10]. Tương tự bài toán MICZ – Kepler ba chiều, bài toán MICZ – Kepler n chiều cũng đã được chứng minh là có tính đối xứng ẩn  1SO n  – với n = 3 là SO(4) [4][10], n = 5 là SO(6) [5] và với n = 9 là SO(10) [6]. Việc sử dụng tính đối xứng của bài toán và toán tử Casimir cho phép ta tìm ra công thức phổ năng lượng cho bài toán MICZ – Kepler ba chiều (đề tài này) và bài toán MICZ – Kepler 5 chiều [5]. Do đó, hoàn toàn có thể sử dụng phương pháp này để tiếp cận bài toán MICZ – Kepler 9 chiều. Trong quá trình giải quyết bài toán MICZ – Kepler ba chiều, chúng tôi đã giải quyết bài toán theo hướng tổng quát nhất để có thể áp dụng cho các bài toán MICZ – Kepler với số chiều cao hơn, cụ thể là bài toán MICZ – Kepler 9 chiều. Kỉ yếu Hội nghị sinh viên NCKH 117 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Dirac P. (1931), “Quantised Singularities in the Electromagnetic Field”, Proc. Roy. Soc. A 133, pp. 60-71. 2. Iachello F. (2006), Lie Algebras and Applications, Lect. Notes Phys. 708, Springer, Berlin Heidelberg. 3. Le V.H. and Nguyen T.S. (2010), “A non-Abelian SO(8) monopole as generalization of Dirac-Yang monopoles for a 9-dimensional space”, J. Math. Phys. 52, pp. 032105-1-11 4. McIntosh H.V. and Cisneros A. (1970), “Degeneracy in the Presence of a Magnetic Monopole”, J. Math. Phys. 11, pp. 896-916. 5. Mardoyan L.G. , Sissakian A.N. , Ter-Antonyan V.M. (1999), “Hidden symmetry of the Yang-Coulomb monopole”, Mod. Phys. Lett. A 14 (19), pp. 1303-1307. 6. Phan N.H. and Le V.H. (2012), “Generalized Runge-Lenz vector and a hidden symmetry of the nine-dimensional MICZ-Kepler problem”, J. Math. Phys. 53, pp. 082103. 7. Perelomov A.M. and Popov V.S. (1966), “Casimir operators for the Orthogonal and Symplectic groups”, JETP Letters 2, pp. 20-22. 8. Wu T.T and Yang C.N. (1975), “Concept of nonintegrable phase factors and global formulation of gauge fields”, Phys. Rev. D 12 (12), pp. 3845-3857. 9. Yang C.N. (1978), “Generalization of Dirac’s monopole to SU2 gauge fields”, J. Math. Phys. 19, pp. 320-329. 10. Zwanziger D. (1968), “Exact Soluble Nonrelativistic Model of Particals with Both Electric and Magnetic Charges”, Phys. Rev 176, pp. 1480 – 1489.