Xây dựng quy trình dạy học định lí toán học theo hướng phát hiện và giải quyết vấn đề (Vận dụng vào dạy học hình học không gian)

JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE Educational Science in Mathematics, 2014, Vol. 59, No. 2A, pp. 174-181 This paper is available online at XÂY DỰNG QUY TRÌNH DẠY HỌC ĐỊNH LÍ TOÁN HỌC THEO HƯỚNG PHÁT HIỆN VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ (VẬN DỤNG VÀO DẠY HỌC HÌNH HỌC KHÔNG GIAN) Nguyễn Chiến Thắng1, Đậu Thị Phúc2 1Khoa Sư phạm Toán học, Trường Đại học Vinh; 2Trường Trung học phổ thông Tuyên Hoá, Quảng Bình Tóm tắt. Dạy học định lí toán học là một trong những tình huống điển hình trong dạy học môn Toán ở trường phổ thông. Trong bài báo này, trên cơ sở tìm hiểu về dạy học định lí toán học ở trường phổ thông cũng như cách thức phát hiện và giải quyết vấn đề, chúng tôi xây dựng một quy trình dạy học định lí toán học theo hướng tiếp cận này. Từ khóa: Quy trình dạy học, phát hiện và giải quyết vấn đề, Hình học không gian. 1. Mở đầu Các định lí toán học đóng một vai trò quan trọng trong môn Toán ở trường phổ thông, “làm nền tảng cho việc rèn luyện kĩ năng bộ môn, đặc biệt là khả năng suy luận và chứng minh, phát triển năng lực trí tuệ chung, rèn luyện tư tưởng, phẩm chất và đạo đức” [3]. Hiện nay đã có nhiều công trình nghiên cứu về dạy học định lí toán học, chẳng hạn trong [3] đã đưa ra hai con đường cơ bản dạy học định lí là Con đường có khâu suy đoán và Con đường suy diễn hay trong [5] đưa ra ba tiến trình dạy học định lí là Thực nghiệm / Suy luận, Bài toán→ Định lí và Suy diễn. Các cách dạy học theo Con đường có khâu suy đoán và Thực nghiệm / Suy luận, Bài toán→ Định lí đã thể hiện được tư tưởng phát hiện và giải quyết vấn đề. Tuy nhiên, các quy trình tương ứng của các tác giả chưa thực sự “mịn”, ngoài ra vai trò của công nghệ thông tin (CNTT), đặc biệt là các phần mềm toán học, chưa được đề cập đến trong các quy trình đó. 2. Nội dung nghiên cứu 2.1. Các khái niệm cơ bản Theo [3], Vấn đề là một hệ thống câu hỏi, những mệnh đề hoặc các yêu cầu thỏa mãn hai điều kiện: - Học sinh chưa giải đáp được câu hỏi đó hoặc chưa thực hiện được hoạt động đó. - Học sinh chưa được học một quy tắc có tính thuật giải nào để giải đáp câu hỏi đó hay chưa thực hiện được hoạt động đã đặt ra. Liên hệ: Nguyễn Chiến Thắng, e-mail: ncthang2009@gmail.com. 174 Xây dựng quy trình dạy học định lí toán học theo hướng phát hiện và giải quyết vấn đề... Tình huống gợi vấn đề là một tình huống gợi ra cho học sinh những khó khăn về lí luận hay thực tiễn mà họ cảm thấy cần thiết và có khả năng vượt qua, nhưng không phải ngay tức khắc nhờ một thuật giải mà phải trải qua một quá trình tích cực suy nghĩ, hoạt động để biến đổi đối tượng hoạt động hoặc điều chỉnh kiến thức sẵn có [3]. Việc rèn luyện kĩ năng phát hiện và giải quyết vấn đề là một trong những mục tiêu của dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề, do vậy giáo viên cần nắm rõ các đặc tính của kiểu dạy học này để áp dụng một cách phù hợp vào quá trình dạy học định lí. Các mục tiêu của dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề [6]: - Vấn đề là điểm khởi đầu của quá trình dạy học. - Vấn đề thường là một bài toán thực tiễn xuất hiện không có cấu trúc. Nếu nó là một bài toán mô phỏng thì bài toán đó phải xác thực nhất có thể. - Vấn đề đòi hỏi nhiều khía cạnh. Việc sử dụng kiến thức liên môn là một đặc điểm cơ bản của trong nhiều chương trình dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề. Trong bất kì trường hợp nào thì dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề cũng khuyến khích việc giải quyết vấn đề bằng cách đưa vào các kiến thức liên quan từ các môn học và chủ đề khác nhau. - Vấn đề tạo ra thách thức đối với kiến thức, thái độ và năng lực của học sinh, vì vậy đòi hỏi nhận dạng các nhu cầu học tập và các lĩnh vực học tập mới. - Tự định hướng học tập là chính, như vậy học sinh có trách nhiệm thu thập thông tin và kiến thức nhiều hơn. - Khai thác một loạt các nguồn tri thức và việc sử dụng, đánh giá các tài nguyên thông tin là rất cần thiết trong quá trình dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề. - Học là quá trình hợp tác, liên kết, giao tiếp. Học sinh làm việc theo nhóm nhỏ với sự tương tác cao của các thành viên ngang nhau trong học tập, dạy học và thuyết trình theo nhóm. - Yêu cầu về phát triển thông tin và kĩ năng giải quyết vấn đề cũng quan trọng như là nội dung kiến thức cho các giải pháp của vấn đề 2.2. Quy trình dạy học định lí toán học theo hướng phát hiện và giải quyết vấn đề Trên cơ sở nghiên cứu các con đường dạy học định lí toán học đã biết và các khái niệm cơ bản nêu trên, chúng tôi xây dựng một quy trình dạy học định lí theo hướng phát hiện và giải quyết vấn đề (vận dụng vào dạy học hình học không gian) như sau: Tạo tình huống gợi vấn đề Tình huống thực tiễn hoặc nội bộ toán học. ↓ Học sinh khảo sát, phát hiện vấn đề - Xem xét tình huống, tìm thông tin. - Phân tích tình huống. - Dự đoán, phát biểu mệnh đề. ↓ 175 Nguyễn Chiến Thắng, Đậu Thị Phúc Giải quyết vấn đề - Tìm hướng chứng minh mệnh đề dự đoán. - Trình bày cách giải quyết. ↓ Hình thành định lí Phát biểu nội dung định lí. ↓ Củng cố định lí - Hoạt động ngôn ngữ. - Nhận dạng và thể hiện định lí. ↓ Khai thác các ứng dụng của định lí Sau đây chúng ta sẽ phân tích kĩ từng bước trong quy trình trên: Bước 1: Tạo tình huống gợi vấn đề Trong dạy học định lí, để khơi dậy nhu cầu nhận thức của học sinh, giáo viên cần tạo tình huống hàm chứa các đối tượng, các quan hệ, các quy luật chung ẩn chứa trong những trường hợp riêng lấy trong nội bộ toán học hoặc trong thực tiễn. Đây chính là hoạt động gợi động cơ mở đầu trong dạy học định lí. Tuy nhiên, không phải định lí nào cũng cần thiết tạo tình huống gợi vấn đề, tùy theo từng loại định lí mà giáo viên có thể tạo tình huống gợi vấn đề theo các cách thông dụng như sau: - Dự đoán nhờ nhận xét trực quan và thực nghiệm (nghiên cứu thực nghiệm qua các ví dụ, các đối tượng cụ thể: số, hình, đồ thị,...). - Lật ngược vấn đề. - Xem xét tương tự. - Khái quát hóa. Tuy nhiên, dù hoạt động tạo tình huống gợi vấn đề xuất phát từ thực tế hay từ nội bộ toán học thì đều có mục đích chính là đưa học sinh vào những vấn đề xảy ra trong hiện thực khách quan cần câu trả lời, kích thích trí tò mò, tạo niềm tin cho học sinh rằng mình có thể giải đáp vấn đề đó. Dạy học hình học không gian mà cụ thể là dạy học định lí trong hình học không gian, không chỉ là dạy cho học sinh nắm được định lí mà cần làm cho học sinh hiểu được cách vận dụng định lí và giải toán, ứng dụng của nó trong thực tế. Tuy nhiên, trong quá trình dạy học hình học không gian không phải bao giờ việc gợi động cơ cho một định lí nào cũng có thể làm được một cách dễ dàng bởi các hình hình học không gian nằm trong không gian ba chiều trong khi chúng ta chỉ có thể biểu diễn chúng trong không gian hai chiều. Vì vậy, trong quá trình hình thành định lí cho học sinh có thể sử dụng sự hỗ trợ của CNTT để tạo các hình ảnh minh họa. Ví dụ 2.1. Mở rộng định lí Pi-ta-go trong tam giác vuông cho tứ diện vuông trong không gian. 176 Xây dựng quy trình dạy học định lí toán học theo hướng phát hiện và giải quyết vấn đề... Hình 1. S2∆ABC = 78, 30 cm 4 S2∆ACD = 100, 31 cm 4 S2∆ABD = 101, 76 cm 4 Tổng: = 280, 37 cm4 S2∆BCD = 280, 37 cm 4 Giáo viên: Yêu cầu học sinh phát biểu nội dung định lí Pi-ta-go trong tam giác vuông. Từ đó hãy mở rộng kết quả cho tứ diện vuông trong không gian. Việc mở rộng kết quả của một định lí trong mặt phẳng thành một định lí trong không gian là một việc làm tương đối khó với học sinh. Tuy nhiên, nếu có sự hướng dẫn của giáo viên, học sinh sẽ dần làm quen. Ở đây, Ta có thể sử dụng CNTT để tạo tình huống gợi vấn đề cho học sinh. Với tứ diện ABCD vuông ở A, giáo viên sử dụng công cụ đo diện tích bằng phần mềm Cabri 3D để xác định diện tích của các mặt bên và diện tích mặt đáy, sau đó so sánh S2∆BCD với tổng của S2∆ABC , S 2 ∆ACD và S 2 ∆ABD (Hình 1). Tình huống này nhằm giúp học sinh phát hiện được định lí mở rộng lên không gian của định lí Pi-ta-go vào không gian: Cho tứ diện ABCD vuông ở A. Khi đó, tổng các bình phương diện tích các mặt tam giác vuông bằng bình phương diện tích mặt còn lại. Bước 2: Học sinh khảo sát, phát hiện vấn đề Việc khảo sát, phát hiện vấn đề được tiến hành thông qua các mô hình trực quan, các ví dụ, bài toán với hoạt động phân tích, so sánh, tổng hợp, khái quát hóa, hoạt động biến đổi đối tượng làm bộc lộ các mối liên hệ chung, các quy luật chung từ những tình huống mang những hình thức khác nhau. Ở giai đoạn này, học sinh cần phân tích vấn đề và tự mình đặt ra các câu hỏi về vấn đề. Hoạt động khảo sát, phát hiện vấn đề của học sinh tùy thuộc vào trình độ của học sinh và vấn đề đưa ra mà ta có thể để học sinh độc lập hoặc hợp tác làm việc với nhau theo nhóm hoặc làm việc dưới sự hướng dẫn của giáo viên. Tuy nhiên dù ở hình thức nào thì ở giai đoạn này, giáo viên cần hình thành cho học sinh khả năng phát hiện mấu chốt của vấn đề, khả năng tìm ra những quy luật chung từ những đối tượng đã biết, qua đó dự đoán mệnh đề. Trong quá trình này, giáo viên cần lưu ý tới việc sử dụng các phần mềm dạy học hỗ trợ học sinh dự đoán các tính chất, đặc điểm nổi bật của đối tượng. Có nhiều hình thức để tập luyện cho học sinh dự đoán mệnh đề, hình thành định lí, như: - Dự đoán bằng đặc biệt hóa. - Dự đoán bằng tương tự hóa. 177 Nguyễn Chiến Thắng, Đậu Thị Phúc - Dự đoán dựa vào những quan sát, phân tích, so sánh. Ví dụ 2.2. Dạy học định lí về công thức hình chiếu: S′ = S. cosα. Trước hết, giáo viên đưa ra bài toán: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), α là góc tạo bởi 2 mặt phẳng (ABC) và (SBC). Hãy nêu mối liên hệ giữa S∆ABC và S∆SBC? Ở đây giáo viên có thể sử dụng CNTT để giúp học sinh phát hiện vấn đề. giáo viên sử dụng phần mềm Cabri 3D để dựng hình, sử dụng công cụ đo diện tích để đo S∆ABC và S∆SBC . Dùng công cụ đo góc để đo góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (SBC), cho kết quả (Hình 2): cosα = S∆ABC S∆SBC . Từ đây, học sinh có thể dự đoán được mệnh đề nhưng vẫn có những nghi vấn rằng nếu S hoặc A thay đổi thì cosα cũng thay đổi. Khi đó liệu đẳng thức có còn đúng nữa không? Giáo viên có thể dùng chức năng động thay đổi vị trí của điểm A và điểm S. Cho học sinh quan sát thì thấy cosα thay đổi, S∆ABC và S∆SBC cũng thay đổi, nhưng luôn thỏa mãn đẳng thức trên (Hình 3). Khi đó học sinh tin vào dự đoán của mình là: cosα = S∆ABC S∆SBC và tìm cách chứng minh dự đoán. Hình 3. S∆ABC = 29, 16 cm 2 S∆SBC = 60, 93 cm 2 S∆ABC S∆SBC = 0, 48 cosα = 0, 48 Sau khi học sinh chứng minh, giáo viên đưa ra nhận xét: Chúng ta thấy ∆ABC và ∆SBC có mối liên hệ gì với nhau? Câu trả lời được mong đợi: ∆ABC là hình chiếu của ∆SBC lên mặt phẳng đáy. Giáo viên: Như vậy khi khái quát bài toán trên bằng cách thay ∆SBC bởi đa giác bất kì nằm ta cũng chứng minh được kết quả tương tự, đó chính là định lí về công thức diện tích hình chiếu. 178 Xây dựng quy trình dạy học định lí toán học theo hướng phát hiện và giải quyết vấn đề... Hoạt động trên có sự hỗ trợ của phần mềm Cabri 3D đã giúp học sinh phát hiện vấn đề và tạo niềm tin để đi chứng minh vấn đề đó. Cần lưu ý rằng việc áp dụng phần mềm có những ưu điểm và nhược điểm riêng của nó. Nếu ta sử dụng phần mềm một cách hợp lí, đúng lúc thì sẽ làm tăng hiệu quả của bài giảng, giúp học sinh tư duy, biết nhìn nhận bài toán dưới nhiều góc độ, nhất là dưới góc độ của sự vận động, còn nếu ta quá lạm dụng phần mềm sẽ làm mất đi trí sáng tạo của học sinh. Bước 3: Giải quyết vấn đề Sau quá trình biến đổi đối tượng, hoạt động điều ứng, phân tích, thiết lập các mối liên hệ giữa vấn đề với kiến thức đã biết, học sinh có thể trình bày cách giải quyết, giải thích các quy luật, các mối liên hệ theo quy tắc lôgic. Trong giai đoạn này, không thể bỏ qua đánh giá phản hồi của giáo viên. Giáo viên không chỉ là người chính xác hóa lại nội dung kiến thức mà còn là người kết luận cuối cùng tính ngắn gọn và ưu việt của giải pháp. Một vấn đề có thể có nhiều hướng giải quyết, nhưng cần chọn ra hướng giải quyết tốt nhất cho học sinh. Khi học sinh lúng túng trong việc giải quyết vấn đề thì giáo viên cần hướng cho học sinh quay trở lại phân tích vấn đề để tìm ra cách giải quyết. Ví dụ 2.3. Sau khi dẫn dắt học sinh dự đoán đưa ra mệnh đề : “Hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng cũng vuông góc với mặt phẳng đó”. Hình 4. Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh giải quyết vấn đề như sau: Theo giả thiết:   (P )⊥(R) (Q)⊥(R) (P )× (Q) = a Do đó, ta cần chứng minh a vuông góc với (R) (Hình 4). Giáo viên: Để chứng minh một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng ta có những hướng nào? Học sinh: Ta có hai hướng. - Hướng 1: Chứng minh a vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (R). 179 Nguyễn Chiến Thắng, Đậu Thị Phúc - Hướng 2: Tìm một đường thẳng d nào đó vuông góc với (R) và chứng minh a song song với d. Giáo viên: Căn cứ vào giả thiết ta nên chọn hướng nào? Học sinh: (có thể chưa phát hiện ra hướng giải quyết tối ưu). Giáo viên phân tích: (P )⊥(R) nên tồn tại đường thẳng d nằm trong (P ) và d⊥(R). (Q)⊥(R) nên tồn tại đường thẳng b nằm trong (Q) và b⊥(R). Học sinh: Ta nên chọn hướng 2. Giáo viên: Dựa vào các định lí đã học tìm mối tương quan giữa d, b và a ? Mong đợi học sinh trả lời : - Nếu d trùng với a hoặc b trùng với a thì suy ra a vuông góc với (R). - Nếu d khác a và b khác a thì do d⊥(R), b⊥(R) nên d//b. Do đó qua d và b xác định mặt phẳng (d, b). Áp dụng định lí về giao tuyến của 3 mặt phẳng đối với (P ), (Q), (d, b) ta có:{ a//d a//b ⇒ a⊥(R). Bước 4: Hình thành định lí Tất cả mọi hoạt động ở trên đều nhằm mục đích giải quyết một vấn đề và khi vấn đề được giải quyết là đã hoàn thành nhiệm vụ kiến tạo một định lí mới cho học sinh bằng những hoạt động của học sinh. Ở bước này, cần làm cho học sinh nắm vững các điều kiện giả thiết và kết luận suy ra được khi có các giả thiết đó. Nội dung của giả thiết phải đầy đủ, chính xác thì kết luận mới đúng. Ở giai đoạn này, học sinh đã phát biểu được nội dung định lí hoàn chỉnh. Bước 5: Củng cố định lí Việc củng cố tri thức, kĩ năng một cách có định hướng và có hệ thống có một ý nghĩa to lớn trong dạy học toán. Củng cố cần được phát biểu thành mục tiêu trong chương trình, tức là không chỉ đối với tri thức mà còn đối với cả kĩ năng, kĩ xảo, thói quen và thái độ. Tuy nhiên, việc củng cố ở đây ta chỉ xét ở việc củng cố tri thức và kĩ năng. Hình thành định lí xong không chỉ dừng lại ở đó mà giáo viên có thể đưa ra các câu hỏi, các tình huống giúp học sinh liên hệ, so sánh định lí này với các định lí đã được học, xem chúng có mối liên hệ như thế nào không, hoặc có những định lí ở không gian hai chiều thì đúng nhưng lên không gian ba chiều thì không còn đúng nữa. Hoạt động này giúp học sinh nắm vững định lí và biết được tình huống đúng đắn của định lí trong từng trường hợp riêng. Khâu này thường được thực hiện bằng các hoạt động sau: - Nhận dạng và thể hiện định lí. - Hoạt động ngôn ngữ. - Khái quát hóa, đặc biệt hóa và hệ thống hóa những định lí. Hoạt động củng cố định lí là rất cần thiết, qua đây giúp học sinh nắm được nội dung định lí, biết áp dụng định lí vào giải toán. Có thể sử dụng sự hỗ trợ của CNTT để thực hiện hoạt động củng cố định lí. Ví dụ 2.4. Sau khi dạy xong định lí “Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường 180 Xây dựng quy trình dạy học định lí toán học theo hướng phát hiện và giải quyết vấn đề... thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia”. Giáo viên có thể sử dụng CNTT đưa ra sơ đồ sau giúp học sinh khái quát được nội dung và những vấn đề liên quan đến định lí. Bước 6: Khai thác các ứng dụng của định lí Một trong những hoạt động khá quan trọng trong các biện pháp củng cố định lí toán học là khai thác, khám phá các ứng dụng khác nhau của nó vào việc dạy học toán. Khai thác các ứng dụng của định lí góp phần nâng cao chất lượng học tập thông qua các hoạt động trí tuệ của học sinh. Việc luyện tập các hoạt động khai thác các hướng khác nhau của một đính lí toán học được tiến hành theo trình tự sau: 1. Phát hiện thêm các dạng toán ứng dụng định lí và xây dựng thuật giải tương ứng. 2. Lựa chọn các bài toán gốc nhằm vận dụng, khắc sâu cách giải. 3. Lựa chọn và phát triển các bài toán nâng cao mức độ khó khăn nhằm rèn luyện năng lực, huy động kiến thức trong quá trình giải toán. 3. Kết luận Bên cạnh các quy trình dạy học đã biết, quy trình được xây dựng trong bài báo này sẽ góp phần giúp giáo viên dạy học hiệu quả định lí theo hướng tích cực hóa hoạt động nhận thức của học sinh, với sự hỗ trợ của CNTT. Qua cách dạy học này, giáo viên rèn luyện được cho học sinh kĩ năng phát hiện các vấn đề từ thực tiễn hay từ chính nội bộ môn Toán học và cách thức giải quyết vấn đề đó. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Văn Như Cương (Chủ biên), 2011. Hình học 11- nâng cao. Nxb Giaó dục Việt Nam. [2] Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên), 2007. Hình học 11. Nxb Giáo dục. [3] Nguyễn Bá Kim, 2008. Phương pháp dạy học môn Toán. Nxb Đại Học Sư Phạm. [4] Đào Tam, Nguyễn Chiến Thắng, Sử dụng phần mềm cabri trong dạy học hình học không gian nhằm phát huy tính tích cực học tập của học sinh. Tạp chí Giáo dục,số 175 (kì 2). [5] Lê Văn Tiến, 2004. Phương pháp dạy học môn toán (Dạy học các tình huống điển hình). Nxb Đại học Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh. [6] Oon- Seng Tan, 2003. Problem - based Learing Innovation. ABSTRACT Creating a way to teach mathematical theorems in order to detect and solve problems (applied in the teaching of solid geometry) Teaching mathematics at high school typically involves teaching mathematical theorems. Teachers who have learned how to teach mathematical theorems in high school and how to detect and solve problems can construct a process of teaching mathematical theorems. 181