Bài giảng Chương 3: Phân tích trong miền tần số

1 Hình 2.1: Daïng soùng tuaàn hoaøn chu kyø T 0 v(t) 0 t +A -A T 0 /2-T 0 /2 T 0 CHƯƠNG 3: PHÂN TÍCH TRONG MIỀN TẦN SỐ Tín hiệu và hệ thống rời rạc thời gian có thể phân tích trong miền tần số ta sẽ thấy một đặc điểm quan trọng của hệ thống là đáp ứng tần số. Phân tích Fourier liên tục thời gian bao gồm chuỗi Fourier và biến đổi Fourier chúng thì hữu ích cho sự phân tích và thiết kế của tín hiệu và hệ thống liên tục thời gian. Sự phát triển của lý thuyết xử lý tín hiệu số đặc biêt, biến đổi Fourier rời rạc, và xử lý tín hiệu số cũng như máy tín có thể phân tích Fourier duy trì trong việc sử dụng. Sau đây một sự tóm tắt ngắn gọn biến đổi Fourier liên tục thời gian, chuơng này sẽ đưa ra biến đổi Fourier rời rạc thời gian bao gồm chuỗi Fourier rời rạc thời gian (DTFS) và biến đổi Fourỉe rời rạc thời gian (DTFT). Phần kế tiếp sẽ thảo luận một khía cạnh quan trọng của DTFT đó là đáp ứng tần số của hệ thống. DTFT thì liên quan với nhiều biến đổi phổ biến cho sự phân tích và thiết kế hệ thống rời rạc thời gian, biến đổi z, một chủ đề của chuơng kế tiếp. Để hòan thành bức tranh về biến đổi Fourier, phần cuối cùng đưa ra một giới thiệu biến đổi Fourier rời rạc (DFT), đó là phiên bản tần số đuợc lấy mẫu của DTFT. DFT và những ứng dụng của nó vuợt trội hơn những phân tích Fourỉe khác. Chúng thì đuợc nêu ra chi tiết trong chuơng 8. 3.1 CHUỖI FOURIER LIÊN TỤC THỜI GIAN (CTFS) Phân tích Fourier liên tục thời gian bao gồm chuỗi Fourier và biến đổi Fourier, hoặc tích phân Fourier. Phân tích Fourier liên tục thời gian không đuọec trình bày chi tiết nhưng sẽ là cái nhìn tổng quát. 3.1.1: Chuỗi lƣợng giác Nhà toán học nổi tiếng người Pháp Jean Baptiste Joseph Fourier đã minh họa rằng một sóng tuần hoàn có thể phân tích thành một chuỗi vô hạn của những thành phần sin và cosin có những tần số là tích của tần số cơ bản của sóng. Bắt đầu với tín hiệu thời gian )(tx (Hình.3.1), tuần hoàn tại chu kỳ T0 (s) hoặc tần số gốc 00 /2 T (rad/sec) hoặc tần số F0 = 1/T0 (Hz). Khai triển lượng giác là        1 0 1 00 sincos)( n n n n tbtnaatx (3.1) Ở đây những hệ số được cho bởi x(t) Hình.3.1: Mộ t sóng tuầ n hoàn vớ i chu kỳ To 2  2/ 2/ 0 0 0 0 )( 1 T T dttx T a (3.2a)   2/ 2/ 0 0 0 0 cos)( 2 T Tn tdtntx T a (3.2b)   2/ 2/ 0 0 0 0 sin)( 2 T Tn tdtntx T b (3.2c) Tích phân trên giới hạn ở –T0/2 và T0/2, nhưng giới hạn khác có thể được sử dụng cùng với khoản cách giữa chúng là chu kỳ T0, ví dụ 0 và T0. Những thành phần khai triển chứa đựng ý nghĩa sau:  a0 : Trung bình của tín hiệu (hoặc thành phần DC)  a1cos  0t + b1sin  0t : Thành phần cơ bản (nhớ tổng của hai sin có cùng tần số là sin tại tần số đó, (xem phần (3.3)) , hoặc họa tần thứ nhất.  a2cos0t + b2sin0t : Họa tần thứ hai  a3cos0t + b3sin0t : Họa tần thứ ba Ví dụ 3.1.1 Tìm chuỗi Fourier cho sóng vuông đối xứng hình 3.2 Giải Ta quan sát trực tiếp rằng thành phần DC là 0 vì phần dương và âm của tín hiệu bằng nhau. a0 =0 Tất nhiên, khi sử dụng công thức (3.2a), ta sẽ có cùng kết quả. Kế đến, vì sóng là bất đối xứng, có nghĩa, đối xứng qua gốc, thành phần cosin bằng 0: an =0 , với tất cả n Thành phần sin còn lại được cho bởi       even n ,011 1 2 4 cos 14 cos 14 sin 4 2/ 00 00 2/ 00 00 0 2/ 0 0 0 0 0            n A tn nT A tn nT A tdtn T A b T T T n    +A -A 0 t v(t) T0/2 T0/2 T0 Hình.3.2 : Ví dụ 3.1.1 (sóng vuông đ ố i xứng) 3   n A n A 1 2 4 11 1 2 4     , n lẻ Những hệ số nb có thể đặt trong hình thức ngắn gọn: )12( 14   n A bn , n = 1, 2, 3, Vì vậy chuỗi Fourier là tn n A tx n 0 1 )12sin( )12( 14 )(       , n = 1, 2, 3,          ...5sin 5 1 3sin 3 1 sin 4 000 ttt A Hình 3.3 là hình vẽ những hệ số được chuẩn hóa tương ứng với sự chuẩn hóa tần số gốc. Ta biết rằng tổng của hai sin có cùng tần số là một sin cùng tần số đó, đặc biệt         a b tbatbta 122 tancossincos (3.3) Vì điều này, công thưc (3.1) có thể thay đổi sang dạng của biên độ và pha: )Φcos()( 0     1n 00n tncctx (3.4) Với 00 ac  (3.5a) 22 nnn bac  (3.5b) n n n a b  1tan (3.5c) Trong sự phân tích này ta có thể nhận thấy 0c là thành phần trung bình, )cos( 101  tc thành phần tần số cơ bản, và )2cos( 202  tc họa tần thứ hai... Hình vẽ của những hệ số so với tần số là phổ biên độ (Hình 3.3), và hình vẽ pha n so với tần số là phổ pha. Cả hai phổ là rời rạc hoặc phổ đường. Ví dụ 3.1.2 Tìm phân tích Fourier của sóng trong ví dụ 3.1.1 trong hình thức biên độ và pha. Giải Những hệ số là 1 /4A bn 1/7 /0 8 7 6 5 4 3 2 1 0 Hình.3.3: Ví dụ 3.1.1 (Phổ biên độ ) 1/5 1/3 4 00 ac  cn = 22 nn ba  = bn n = tan -1 n n a b = – 90O ( = –/2) Phổ biên độ như trước, phổ pha được cho trong hình 3.4 Sự phân tích diễn tả như sau:        1n t1-2n 1-2n 14A tx 00 90)(cos)(       1n t1-2n 1-2n 14A 0)cos(  3.1.2 Khai triển dạng mũ Khai triển Fourier dạng mũ phức được dùng hơn vì nó thể hiện được biên độ và pha, dẽ liên hệ với biến đổi Fourier.      n tjn neXtx 0)( (Tổng hợp công thức) (3.6) Hai thành phần đối xứng nX và nX  luôn luôn xuất hiện theo cặp và tổng của mỗi cặp là thực. Sự liên hệ giữa mũ phức và hệ số lượng giác là 00 caX0  (3.7a) n jnnn n e cjba X     22 (3.7b) n jnnn n e cjba X     22 (3.7c) Những hệ số nX có thể được tính trực tiếp từ    OT 0 tjn 0 n dtx(t)e T 1 X 0 (phân tích công thưc) (3.8) Ngưỡng của tích phân có thể là /T- 20 và /T 20 thay vì 0 và T như trên Vì những hệ số nX là nói chung là phức, ta viết n j nn eXX   (3.9) Biến thiên của Xn là phổ biên độ, biến thiên của n là phổ pha của tín hiệu. Với một tín hiệu thực, phổ biên độ là đối xứng chẵn (đối xứng) và phổ pha là đối xứng lẻ (bất đối xứng) n 0/7 6 5 4 3 2 1 0 2   Hình.3.4: Ví dụ 3.1.2 (Phổ pha) 5 Ví dụ 3.1.3 Tìm khai triển Fourier của chuỗi xung đồng nhất. Giải Xét một chuỗi xung đồng nhất )(tA trong khoản chu kỳ 0T (Hình.3.5a):     k kTtAtx )()( 0 Những hệ số khai triển được cho bởi 0 0 0 0 /2 0 /2 0 0 0 1 1 ( ) ( ) T jn t jn n T A X A t e dt A t e dt T T T              Hình.3.5 là phổ biên độ. Từ những hệ số ta có thể tổng hợp tín hiệu như:     n tjn e T A tx 0 0 )(  3.1.3 Hàm sinx/x Xem sự phân tích Fourier, đây là một hàm đặc biệt sinx/x (hoặc hàm sincx , hoặc hàm Sa(x)). Chú ý ở đây ta viết sinx / x to nghĩa hoặc sin(x) / x . Biến thiên trên sinx/x với x được chỉ trong hình 3.6. Nó là một hàm đối xứng với vùng đơn vị, có giá trị lớn nhất là 1 tại gốc, và 0 xuyên qua tại khoảng . Khoản cách giữa gốc và điểm không đầu tiên là . x(t) A t 2T0 T0 0 –T0 –2T0 (a) Xn A/T0 0/ 2 1 0 –1 –2 (b) Hình.3.5: Ví dụ 3.1.4 (tín hiệu và phổ của nó) x 0 0.2 0.4 0.6 0.8 – 0.2178  2 3 4 – –2 –3 –4 sinx/x 0.1284 1.0 Hình.3.6: Hàm sinx/x (hoặc sincx, hoặc Sa(x)) 6 Hàm dao động và hủy dần. Đỉnh nhỏ nhất đầu tiên có giá trị -0.2178, và đỉnh lớn nhất có giá trị 0.1284. Điểm 0 xuyên qua là xác định như sau: 0 sin  x x 0sin  x  nx , n = 1, 2, 3,... sinx = 1  x = (2n + 1) 2  , n = 1, 2, 3, Một vài giá trị đỉnh đầu tiên là ,...2/5,2/3  xx Chú ý rằng, đây là giữa của điểm 0. Tuy nhiên, vì sự hủy 1/x những giá trị đỉnh không xuất hiện chính xác ở giữa mà hơi sớm hơn. Một số tác giả, vẽ hàm sin x / x  thay vì sin x / x được sử dụng ở đây. Ví dụ 3.1.4 (a) Tìm khai triển hệ số Fourier của sóng vuông đối xứng được đưa trong hình 3.7a, và vẽ phổ biên độ cho trường hợp 6/1/ 0  T . (b) Lặp lại câu hỏi trên khi sóng vuông bị làm chậm để xung trung tâm bắt đầu tại t=0 Giải (a) Những hệ số là 0 0 0 0 0 /2 /2 /2 /2 0 0 /2 0 0 0 0 0/2 1 2sin / 2 T jn t jn t n T jn t A X Ae dt e dt T T nA e A T jn T n                           Thay 00 /2 T ta có 0 0 0 / /sin Tn Tn T A X n    Cái này có hình thức hàm sinx/x với 0/Tnx  . Cực đại xuất hiện tại gốc n = 0 và có X0 = n 0n X  lim = 1 0T A = 0T A Hình. 3.7b vẽ phổ biên độ cho trường hợp 0/T = 1/6. Chú ý đường bao sinx/x x(t) A -T0 0 T0 -/2 /2 -T0/2 T0/2 t Hình.3.7a: Ví dụ 3.1.4 (Sóng vuông đối xứng chẵn )  7 (b) Bây giờ, sóng vuông được làm chậm (dịch sang phải) bởi 2/ và xuất hiện như trong hình 3.7c. Những hệ số phân tích 0 00 / 0 0 0 000 2/ 0 0 / /sin 11 Tjn tjntjn n e Tn Tn T A e jnT A dtAe T X                  Vì 10 /  Tjne biến thiên biên độ giống chính xác như trên. Trong hình 3.7d ta vẽ phổ biên độ thay vì phổ pha. Độ lớn là giá trị tuyệt đối (chỉ dương), ngược lại biên độ là giá trị có dấu. Vì thừa số pha xuất hiện trong nX , phổ pha thì khác (xem ví dụ 3.2.1 sau)  -T0 0 T0  t  x(t) A T0+ -T0+ Hình.3.7c: Ví dụ 3.1.4 (Sóng vuông được dịch) n 0 2 6 12 18 -2 -6 A/6 Xn -12 -18 envelope Hình.3.7d: Ví dụ 3.1.5 (phổ biên độ của sóng vuông được dịch) A/6 Xn 0/ 0 2 4 6 12 15 18 -2 -4 -6 -12 -15 -18 Hình.3.7b: Ví dụ 3.1.4 (Phổ biên độ khi 6/1/ 0  T ) envelope 8 3.1.4 Hiệu ứng Gibbs (Hiện tƣợng Gibbs) Vì chuỗi khai triển là vô hạn, trong thực tế ta phải bỏ những họa tần cao. Đây là sự cắt cụt. Khi tái tạo (tổng hợp) tín hiệu từ chuỗi được cắt cụt ta sẽ không lấy được lại tín hiệu gốc. Nó minh họa rằng khai triển Fourier là tối giản, nghĩa là lỗi bình phương trung bình (MSE) giữa tín hiệu gốc và tín hiệu tái tạo từ chuỗi cắt cụt là nhỏ nhất so với những khai triển khác có cùng hệ số. Vì vậy khai triển Fourier, tất nhiên số họa tần lấy được ít lỗi hơn. Nhưng một sự thật đáng chú ý là ở đây luôn có hiện tượng overshot và undershot tại sự thay đổi đột ngột của sóng tín hiệu (hình 3.8), dù số họa tần là lớn. Đây là hiệu ứng Gibbs, hoặc hiện tượng Gibbs. Với một sống vuông overshoot và undershoot là khoảng 9% (hình 3.8). Trong hình 3.9 sóng gốc tam giác được so sánh với sóng tái tạo từ bẩy thành phần khai triển đầu tiên. Từ điều này ta có thể đoán sự nẩy sẽ vẫn rõ dù hàng tá hoặc nhiều họa tần được lấy, được biệt tại thời gian thay đổi đột ngột. Thực ra, hiện tượng Gibbs bao gồm sự nẩy và overshoot, undershoot. 1/2 -1/2 0 T 0 2T 0 t 3.2 BIẾN ĐỔI FOURIER LIÊN TỤC THỜI GIAN (CTFT) Khai triển chuỗi Fourier của một tín hiệu cho ta cấu trúc tần số tín hiệu. Nhưng không may mắn, khai triển chuỗi Fourier chỉ áp dụng với tín hiệu tuần hoàn trong khi đó những tín hiệu thực sự hầu như không tuần hoàn (tuần hoàn trong một thời gian ngắn, không lặp lại) và biến đổi Fourier (hay tính phân Fourier) được phát triển cho tín hiệu không tuần hoàn. 3.2.1 Đôi biến đổi Fourier Hình.3.10 chỉ sự cải tiến từ chuỗi Fourier đến biến đổi Fourier. Trong công thức (3.6) ta thay 0 bằng 02 F , và viết )( 0nFX với nX , thì Fig.3.8: Gibbs effect in Fourier expansion Hình.3.9: Sóng tam giác gốc và songs tái tạo từ bảy thành phần khai triển đầu tiên. undershoot overshoot Sóng tam giác gốc Sóng tam giác tái tạo t t 9 00 /T1F      n tnF2j 0 0enFXtx )()( (3.10) Hệ số phân tích tƣơng ứng (công thức (3.8)) là   2/ 2/ 2 0 0 0 0 0)( 1 )( T T tnFj dtetx T nFX (3.11) Tín hiệu tuần hoàn có phổ rời rạc. Bây giờ ta thay công thức phân tích )( 0nFX vào công thức tổng hợp:               n tnFj T T tnFj edtetx T tx 0 0 0 0 2 2/ 2/ 2 0 )( 1 )( Lấy 0T để đẩy tất cả chu kỳ hai bên của chu kỳ trung tâm x(t) đến vô hạn, điều này biến tín hiệu tuần hoàn thành một tín hiệu không tuần hoàn. Mặt khác, khi chu kỳ 0T , dFT1 0 / (một đại lượng vô cùng nhỏ), FnF 0 (tần số tương tự) và sự giới hạn  0T , phổ rời rạc trở thành liên tục. Vì vậy khi 0T , x(t) = Ft2j n Ft2j edtetxdF            )( Thành phần trong ngoặc, bằng định nghĩa, là biến đổi Fourier (tích phần Fourier) )(FX của )(tx . Vì vậy     dtetxFX Ftj2)()( (CTFT) ( công thức phân tích) (3.12) Biến đổi ngược     n Ft2jeFdFXtx )()( Hoặc     ∞ j2πFt -∞ x t = x F e dF (ICTFT) (công thức tổng hợp) (3.13) )(tx và )(FX hình thành một đôi biến đổi Fourier (CTFT): ( ) ( ) CTFTx t X F (3.14) original triangular wave reestablished triangular T0/2-T0/2 v(t) tuaàn hoaøn 0 v(t) khoâng tuaàn hoaøn 0t t T 0  0 T 0  df f ff V(nf 0 ) V(f) f 0 =1/T 0 f 0 -f 0 x(t) Chu kỳ trung tâm Tuần à x(t) aperiodic )X(nF0 X(F) dF Hình.3.10: Cải tiến từ chuỗi Fourier sang biến đổi Fourier F -F0 0 F0 F 0nF 0 F 0 01/F T 10 3.2.2 Phổ biên độ và phổ pha Biến đổi Fourier )(FX nhìn chung là phức, ta viết (3.15a) Với )f(X là phổ biên đ ộ , và )(F phổ pha )()()( 22 FXFXFX IR  (3.15b) )( )( tan)( 1 FX FX F R I (3.15c) Nó cho thấy nếu tín )(tx là thực thì )(FX R đối xứng (cũng được gọi là đối xứng chẵn hoặc đối xứng dương) và )(FX I là bất đối xứng (đối xứng lẻ hoặc đối xứng âm), vì vậy phổ biên độ ( )X F là đối xứng và phổ pha bất đối xứng: F)X(X(F)  và )()( FF  (3.16) Ví dụ 3.2.1 (a) Tìm biến đổi Fourier, phổ biên độ và phổ pha của một xung chũ nhật đối xứng có độ lớn A và chiều rộng . (b) Áp dụng kết quả trên để tìm biến đổi của xung đơn vị (t) (Hàm delta Dirac). (c) Lặp lại câu hỏi khi xung làm chậm đi t0. Giải (a) Xung nêu ra được vẽ trong hình Fig.3.11a. Nó được chú thích như x(t) = Ap         2 , 2 Biến đổi Fourier CTFT X(F) = 2j Ftx(t)e dt     = /2 2 /2 j FtAe dt     = /2 2 /2 2 j Fte A j F            = A   F Fsin 2  2   0 A x(t) t t0+ 2  t0 2   0 A x(t – t0) t t0   Hình.3.11a: Ví dụ 3.2.1 (Xung và sự trễ của nó) 11 Notice that the result has the form of sinx/x function. The magnitude spectrum is X(F) =    F F A sin = A   F Fsin For the amplitude spectrum we leave its negative part as is (that is,. we do not take the alsolute value) (Fig.3.11b). As X(F) is a real function, its phase is zero at all frequency. But in Fourier analysis the phase spectrum is interpreted differently. That is for a real function, the phase spectrum is zero for positive value and is  for negative value. Besides, to ensure the phase spectrum is an antisymmetric function, the phase is understood to be + for positive frequency and - for negative frequency (Fig.3.11b). (b) In order to find the transform of (t) we consider the amplitude A as 1/, hence the spectrum of the rectangular pulse of amplitude 1/, width , is X(F) =     F Fsin1 =   F Fsin Now let 0 then 1)( FX which is the transform of )(t : 1)(  t The amplitude spectrum is 1 at all frequencies and the phase spectrum is zero. From the amplitude spectrum of the rectangular pulse of Fig.3.11b, as   0 the points 1/ and -1/ go to  and the central lobe extends to  and the amplitude spectrum of (t) is 1 for all frequencies. (c) The delayed pulse is denoted as x(t – t0) = Ap           2 , 2 00 tt Its CTFT is   4   3   2   1  4  3  2  1  fX A F 0  –  1  2  3  4   4   3   2   1 0 F (f) Hình.3.11b: Ví dụ 3.2.1 (Phổ biên độ và phổ pha) 12 X(F) =    2/ 2/ 20 0 t t Ftj dtAe = 0 0 /2 2 /2 2 t j Ft t e A j F            = A 02 sin Ftj e F F    Chú ý sự xuất hiện của thừa số pha 02 Ftje  . Đáp ứng biên độ thì chính xác như trong (a). Tuyên nhiên sự xuất hiện của thừa số pha làm khác phổ pha Nó được hiểu như (F) =           02 sin Ft F F Với  chú thích là phổ pha (hoặc đối số). Phổ pha được chi tiết như sau: (F) = – 2Ft0 ,   F Fsin > 0 and F > 0 or F < 0 = – 2Ft0 +  ,   F Fsin 0 = – 2Ft0 –  ,   F Fsin < 0 and F < 0 Chú ý rằng phổ pha (hình 3.11c) là bất đối xứng 3.2.3 Một số thuộc tính của CTFT Biến đổi Fourier liên tục thời gian có nhiều thuộc tính giúp ta tìm biến đổi Fourier nhanh hơn sự sử dụng định nghĩa của nó. Sau đây chỉ là một vài thuộc tính thông thường được đề cập. (a) Tuyến tính )()()()( 22112211 FXaFXatxatxa  (3.17) a1, a2 là hằng số (b) Dịch thời gian 02 0 )()( Ftj efXttx   (3.18) Khi tín hiệu bị chậm bởi 0t biến đổi của nó dịch pha đi 02 Ft . (c) Dịch tần số (đƣợc gọi là lý thuyết điều biến) )()( 0 2 0 FFXetx tFj   (3.19) Khi tín hiệu có pha dịch đi bởi +2Ft0 biến đổi của nó dịch tần số đi F0. Ví dụ 3.2.2 Tìm phổ biên độ của tín hiệu điều biến biên độ (AM) x(t) = m(t) cos2Fct –   1  2  3  4   4   3   2   1 0 F Φ(F) Hình.3.11c: Ví dụ 3.2.1 (Phổ pha của xung trễ) 13 Với phổ của tín hiệu tần số thấp trình bày thông tin thì được biết, và cos2Fct là sóng mang (Tần số của nó là Fc lơn hơn nhiều tần số của m(t)). Điều biến biên độ trên được gọi là DSB-SC (double sideband with suppressed carrier). Giải Phổ biên độ M(f) của thông tín điều biến m(t) được giả sử như trong hình 3.12 với FM là tần số lớn nhất của nó. FM nhỏ hơn nhiều so với tần số sóng mang FC. Biểu diễn thành phần cosin trong dạng mũ phức x(t) = m(t) cos2Fct = tFjtFj CC etmetm   22 )( 2 1 )( 2 1 Áp dụng thuộc tính dịch chuyển tần số sẽ có phổ của tín hiệu AM như )( 2 1 )( 2 1 )( cc FFMFFMFX  Vì vậy phổ của x(t) là phổ của m(t) được dịch đến tần số –FC và FC và với biên độ bằng với nửa biên độ của m(t) (Hình.3.12) ■ (d) Nhân chập thời gian (cũng đƣợc gọi là lý thuyết nhân chập) Nhân chập của hai tín hiệu x1(t) và x2(t), chú thích x1(t)  x2(t), được định nghĩa như     ')'()'()()( 2121 dtttxtxtxtx (3.20) Nó có thể được minh họa )()()()( 2121 FXFXtxtx  (3.21) Điều này có nghĩa nhân chập trong miền thời gian tương ứng với nhân thường trong miền tần số. Liên hệ với nhân chập thời gian, đây là kết liên hệ hữu ích )()()( txttx  (3.22) i.e nhân chập thời gian một tín hiệu x(n) với xung đơn vị (t) là chính tín hiệu x(n). Sự đảo ngược của nhân chập thời gian được phát biểu như: )()()()( 2121 tXtXtxtx  (3.23) (e) Định lý Parseval Định lý này cân bằng năng lượng tín hiệu trong miền thời gian so với miền tần số:        dFFXdttxE 22 )()( (3.24) Hình.3.12: Ví dụ 3.2.2 (Phổ của m(t) và x(t)) 14 3.2.4 CTFT của những tín hiệu cơ bản Đôi biến đổi Fourier thông thường được đề cập với những hình vẽ được minh họa nhưng không có bằng chứng. (a) Xung hẹp t Đây là xung có biên độ 1 và độ rộng rất nhỏ. Biến đổi là tt  (3.25) (b) Xung đơn vị )(t Đây là hàm delta Dirac, không phải xung được đề cập bên trên, biến đổi là 1)(  t (c) Hằng số Biến đổi là )()( FAFAA  (3.26) (d) Mũ nhân quả Đây là hàm x(t) = e –at , t  0 (3.27) 0 , t < 0 Biến đổi X(F) = Fj2a 1  (3.28) Vì vậy phổ biên độ 0 t 1 t 0 F X(F ) t Siêu nhỏ Hình.3.13: Xung hẹp t 0 t 0 F 1 (t) X(f) 1 Hình.3.14: Xung đơn vị (t) 0 F A(t) 0 t A x(t) = A X(F) = A(F) Hình.3.15: Hằng số 15 )(FX = Fja  2 1 =  22 2 Fa 1  (e) Bậc đơn vị Sự biến đổi và phổ biên độ tương ứng là X(F) = 2 1 (F) +