100 bài tập Hệ phương trình

Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình Trang 1 HỆ PHƯƠNG TRÌNH (Phần I) 1.    2 2 2 2 2 2 x y y x xy x y         2.     2 2 ln 1 ln 1 12 20 0 x y x y x xy y          3. 3 3 2 2 2 2 22 2 6 3 9 2 0 1 1 log log 2 0 4 5 2 4 3 x y y x y x x y y y y                    4. 2 1 2 1 2 2 3 1 2 2 3 1 y x x x x y y y               5.     2 2 2 2 3 2 1 1 3log 2 6 2log 2 1 y x xe y x y x y           6. 2 8 16 y x x y x y x y x y          7. 3 2 2 1 5 4 4 12 x y x y x xy y xy              8.     2 3 4 6 2 2 2 2 1 1 x y y x x x y x          9. 23 23 1 6 1 1 6 1 x y y y x x             10. 4 2 2 2 698 81 3 4 4 0 x y x y xy x y            11.     3 3 2 3 1 2 3 x y x y       12.     2 1 2 2 1 3 2 1 4 .5 1 2 4 1 ln 2 0 x y x y x y y x y x               13. 7 2 5 2 2 x y x y x y x y           14. 2 2 3 2 16 2 4 33 xy x y x y x y         15.      2 22 22 5 4 6 2 0 1 2 3 2 x y x y x y x y x y              16. 2 2 2 2 3 4 1 3 2 9 8 3 x y x y x y x y           17. 8 5 x x x y y y x y        18. 2 2 5 5 2 2 2 x xy y y x x y xy            19.     2 2 2 2 2 3 10 y x y x x x y y       20. 6 5 6 2 9 x x y x y x x y xy          21. 3 3 4 2 5 5 1 x y y x x y        22. 24 4 32 3 32 6 24 x x y x x y            23.   2 2 2 1 1 3 4 1 1 x y x y x x xy x x            24. 2 2 2 2 2 6 1 5 y xy x x y x       Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình Trang 2 25.   2 2 2 5 4 4 5 4 16 8 16 0 y x x y x xy x y            26.      2 2 1 4 1 2 x y x y y x x y y           27.   3 3 2 2 2 9 2 3 3 x y x y xy x xy y          28.     2 2 2 3 4 4 7 1 2 3 xy y x x y x x y             29. 5 2 3 4 42 5 3 2 42 y y x x y x                   30. 2 3 2 2 23 2 2 9 2 2 9 xy x x y x x xy y y x y y               31. 3 3 3 4 2 6 2 y x x x y y          32. 2 2 1 2 log 3log 2 x yx y e e x y            33.     3 2 3 2 1 2 1 2 x x x y y y y x           34.   2 2 2 1 1 1 35 0 121 x x y y y y x              35.   2 4 2 3 9 4 2 3 48 48 155 0 x y y x y y x           36. 2 2 5 3 1 125 125 6 15 0 x y y y        37. 3 2 3 2 2000 0 500 0 x xy y y yx x         38. 2 2 2 2 3 2 0 2 4 3 0 x y x y x x y          39.     2 2 1 1 2 1 21 2 1 2 2 1 2 1 2 9 xyx y x x y y             40.     3 3 2 2 2 1 0 2 2 2 1 1 x x y y x y            41. 3 3 2 2 9 2 4 0 x y x y x y         42.   3 3 2 2 8 2 3 3 1 x x y y x y         43. 2 2 2 2 3 4 9 7 6 2 9 x y xy x y y x x         44. 4 3 2 2 3 2 1 1 x x y x y x y x xy         45. 4 2 2 2 2 4 6 9 0 2 22 0 x x y y x y x y            46. 3 3 3 2 2 8 27 18 4 6 x y y x y x y       47. 2 2 2 2 3 1 1 4 x y xy x y          48.  2 1 1 x y x y x y e e x e x y            Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình Trang 3 49.   1 2 2 1 4 .5 1 3 1 3 1 2 x y x y x y x y y y x                 50. 2 6 2 2 3 2 x y x y y x x y x y             51. 2 2 2 1 2 2 2 2 x x y y y x y           52. 2 2 2 2 12 12 y x y x y x y          53. 2 5 3 x y x y y x y         54.   2 2 2 2 1 4 2 7 2 x y xy y y x y x y           55. 2 2 3 3 2 1 2 2 y x x y y x        56. 2 2 2 2 x x y y y x       57.    2 2 2 4 1 3 5 2 0 4 2 3 4 7 x x y y x y x             58. 2 2 2 2 3 4 9 7 6 2 9 x y xy x y y x x         59. 3 3 2 4 4 8 4 1 2 8 2 0 x y xy x y x y          60. 2 2 3 3 3 6 1 19 y xy x x y x        61.     3 2 2 1 2 1 2 3 2 4 2 2 4 6 x x y y x y             62. 2 2 2 1 2 1 x y xy y y x y x            63.   4 3 3 2 2 2 2 9 9 7 x x y y y x x y x x y x          64. 3 3 2 2 35 2 3 4 9 x y x y x y        65.  2 2 1 2 2 1 1 3 3 y x x yx y x x            66. 12 1 2 3 12 1 6 3 x y x y y x                67. 2 2 2 2 3 3 3 0 x y x x y y x y x y           68. 4 2 4 3 3 4 2 5 2 2 xy x x y x x y x          69.   11 10 22 12 4 4 236 3 2 2 . 5 2 8 x xy y y y x y x x x            70.   2 2 2 1 5 57 4 3 3 1 25 x y x x y x            71. 24 4 2 2 6 2 2 2 2 6 2 2 8 2 x x y x x y            72. 2 2 2 2 3 2 0 2 4 3 0 x y x y x x y          Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình Trang 4 73.     4 4 3 3 2 2 240 2 3 4 4 8 x y x y x y x y          74. 3 3 2 2 3 4 2 1 2 1 y y x x x x y y             75.       3 2 3 2 2 2 1 1 4 1 ln 2 0 x x y x y y x y x             76. 3 2 2 2 33 2 2 2 2 1 14 2 x y x y xy x y y x            77.    2 21 1 1 1 1 2 x y y x x y          78. 4 3 2 2 2 2 2 9 2 6 6 x x y x y x x xy x          79.   2 2 2 2 7 2 1 2 1 2 7 6 14 0 xy x y x y xy x y             80. 2 cos cos 3 18 0 x y x y x y y        81. 2 2 4 2 2 2 4 2 2 2 18 208 x y y xy x xy x y y x y x x y           82. 1 2 1 xy y y xy y y          83. 3 2 3 2 4 3 7 6 7 x xy y y x y       84. 3 2 2 2 3 49 8 8 17 x xy x xy y x y          85. 3 2 2 2 2 12 0 8 12 x xy y y x        86. 3 2 2 3 6 0 3 y y x x y x xy         87. 3 3 2 4 4 1 4 4 x y xy x y x y         88. 3 3 3 2 2 27 125 9 45 75 6 x y y x y x y       89. 4 4 3 2 2 2 2 2 x y x x x y        90. 2 4 2 2 2 2 0 4 3 0 x xy x y x x y x y           91. 2 2 2 2 2 3 2 5 3 4 5 3 x y x xy y x y x xy x xy x               92. 2 2 2 2 1 xy x y x y x y x y          93.   2 5 3 2 4 3 1 5 4 0 xy y xy y y xy x                94.   2 3 2 4 2 5 4 5 1 2 4 x y x y xy xy x y xy x              95.   2 3 1 8 9 y x y x y x y           96.       2 2 3 22 2 5 4 3 2 0 2 x y xy y x y xy x y x y            97.     9 2 4 2 4 2 41 x y x y x x y y y            98.   2 2 2 2 4 3 1 3 2 x y x x y y y x y x y              99.       2 2 2 2 1 3 1 2 3 0 x x y y y x x y x y            100. 2 2 2 7 1 10 1 xy x y x y y       Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình Trang 5 CÁC BÀI GIẢI Bài 1. Ta có:       2 2 2 22 2 22 2 2 2 22 x y x y x yy x xy y x xy x yx y                   2 2 2 2 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2x y x y x y x y y x x y                  Xét hàm số   32tf t t  trên . Ta có:   2' 2 .ln 2 3 0tf t t t     nên  f t là hàm đồng biến trên . Vậy 3 32 2x yx y x y     . Lúc này, hệ trở thành: 2 2 1 12 x y x y x yx y           Vậy hệ có các nghiệm là      ; 1;1 , 1; 1x y    Bài 2: Điều kiện , 1x y   . Ta có:           2 2 2 10 0ln 1 ln 1 ln 1 ln 112 20 0 x y x yx y x y x y x yx xy y                         2 10 ln 1 ln 1 x y x y x x y y           Dễ thấy rằng ,x y cùng dấu. Xét hàm số    ln 1f t t t   trên  1;  . Đạo hàm:   1 ' 1 1 1 t f t t t       . Ta có:  ' 0 0f t t   . Vậy hàm số đồng biến trên  1;0 và nghịch biến trên  0; . +) Nếu ,x y cùng âm (tức là cùng thuộc  1;0 ) thì theo tính chất của hàm số  f t , ta có: x y . Thay vào hệ giải được nghiệm 0x y  (loại). +) Nếu ,x y cùng dương, tương tự ta cũng loại nốt. +) 0x y  thoả mãn hệ. Vậy nghiệm của hệ là    ; 0;0x y  Bài 3: Nhận xét: Chắc chắn không thể sử dụng phép thế hay đánh giá. Nhận thấy phương trình thứ nhất của hệ chứa các hàm riêng biệt với ,x y (chứa 3 ,x x và 3 2, ,y y y mà không chứa xy ) nên ta có thể đưa phương trình thứ nhất về cùng một hàm số rồi sử dụng đạo hàm để giải. Điều kiện    1;1 , 1;3x y   . Từ đó suy ra:    1 2;0x    và    3 2;0y    . Khai thác phương trình thứ nhất của hệ:      2 23 3 2 3 3 26 3 9 2 0 3 2 6 9 2 1 3x y y x y x x y y y x x y y                         2 2 1 3 1 3 3 3x x y y              . Xét hàm số     2 3 23 3f t t t t t    trên  2;0 . Đạo hàm:    2' 3 6 3 2f t t t t t    . Ta có:  ' 0 0 2f t t t      . Vậy trên đoạn  2;0 , hàm số  f t đơn điệu. Vậy, phương trình thứ nhất của hệ tương đương với 1 3 2x y y x      . Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình Trang 6 Thay vào phương trình thứ hai, ta có: 2 2 2 22 2 1 1 log log 2 0 4 5 2 4 3 x x y y y y                2 2 2 2 2 1 1 log 2 4 5 2 4 3 x x y y y y                     2 2 2 2 2 1 1 log 2 2 4 2 5 2 4 2 2 3 x x x x x x                                  2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 log 2 * 41 2 1 1 2 1 x x x x x x x x                Đặt   21 0;1x t t   . Lúc này  * trở thành:         2 3 2 3 2 3 2 2 1 1 1 4 1 2 2 4 3 2 2 0 42 2 t t t t t t t t t t t t t                     2 1 73 2 2 0 0 3 t t t t t           (do điều kiện nên đã loại nghiệm 1 7 3 t    ) +) 2 1 3 0 1 0 1 1 x y t x x y              +) 2 1 7 1 2 7 3 9 t x       1 2 7 1 2 7 2 3 3 1 2 7 1 2 7 2 3 3 x y x y                   Nghiệm:       1 2 7 1 2 7 1 2 7 1 2 7 , 1;3 , 1;1 , ; 2 , ;2 3 3 3 3 x y                        Bài 4: Phân tích: Hệ chứa ẩn là hàm hữu tỉ và hàm số mũ, chúng có tính chất khác nhau nên chắc chắn sẽ phải sử dụng đạo hàm. Và cũng lưu ý luôn, những hệ chứa hàm có tính chất khác nhau thì gần như 90% sử dụng đạo hàm hoặc phương pháp đánh giá. Cộng chéo vế theo vế và giữ một phương trình của hệ ta được hệ tương đương:           2 21 1 2 1 3 1 1 1 3 1 1 1 * 2 2 3 1 x y y x x y y x x x                       Xét hàm số   23 1tf t t t    trên . Hàm số có đạo hàm:   2 2 2 1 ' 3 .ln3 1 3 .ln3 1 1 t tt t tf t t t          . Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình Trang 7 Ta có: 2 2 21 1 0t t t t t t t         . Từ đây suy ra  ' 0f t t   . Vậy,  f t đồng biến trên . Ta thấy phương trình  * có dạng    1 1f x f y   . Từ đó suy ra 1 1x y x y     . Lúc này hệ sẽ tương đương với:           22 1 ln 1 1 1 1 .ln31 1 3 1x x yx y x x xx x                     Lại tiếp tục xét hàm số    2ln 1 ln3g t t t t    trên . Hàm số này có đạo hàm   2 2 2 1 11 ' ln3 ln3 1 1 t t g t t t t          . Dễ thấy 2 1 ln3 1 1t    nên  ' 0g t t   . Như vậy hàm số  g t nghịch biến trên . Mặt khác ta lại có  0 0g  nên phương trình   có nghiệm duy nhất là 1 0 1x x    . Vậy nghiệm của hệ là    ; 1;1x y  Bài 5: Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với:     2 22 21 1x yx e y e   Xét hàm số    1 tf t t e  trên  0; . Hàm số có đạo hàm      ' 1 0 0;t tf t e e t t        . Từ đó suy ra  f t đồng biến trên  0; . Vậy phương trình thứ nhất của hệ đã cho tương đương với: 2 2x y x y    . +) Nếu x y  . Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được:     13 2 33log 6 1 2log 2 3 log 6 1 6 3 3 3y y y y x               . +) Nếu x y . Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được:        3 2 3 23log 3 6 2log 2 2 1 3 1 log 2 2 1 log 1 1y y y y                          3 2 3 23log 2 2log 1 3log 2 2log 1 0 *y y y y         . Xét hàm số      3 23log 2 2log 1g t t t    trên  1;  . Hàm số này có đạo hàm:       3 2 ' 2 ln3 1 ln 2 g t t t     . Ta có:     3 2 3 2 ln3 ln 2 2 ln3 2 ln 2t t      mà     2 2 2 ln 2 1 ln 2t t    nên ta có:     3 2 2 ln3 1 ln 2t t    , tức là  ' 0g t  . Như vậy nên hàm số nghịch biến trên  1;  . Ta lại có  7 0g  . Vậy  * có nghiệm 7 7y x   . Vậy nghiệm của hệ phương trình là      ; 7;7 , 3 ; 3x y   Cách khác: Trong trường hợp x y , ta đặt    3 23log 2 2log 1 6x x u    thì hệ trở thành: Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình Trang 8 2 3 2 3 2 3 1 8 1 2 3 1 9 91 2 u uu u u u x x                       Ta lại thấy hàm số   1 8 9 9 u u h u              là hàm nghịch biến mà  1 1h  nên 1u  là nghiệm duy nhất của hệ 7x y   . Bài 6: Điều kiện: 0; 0x x y   . Đi từ phương trình thứ hai của hệ:  x y x y x y x y x x         (1) Xét hàm số   2f t t t  trên  0; . Đạohàm:  ' 2 1 0f t t   nên  f t đồng biến. Mặt khác (1) có dạng    f x y f x  nên (1) x y x y x x      . Đặt  0t x t  thì 2y t t  . Thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta có:    22 2 2 4 3 2 2 8 16 2 2 8 24 0 t t t t t t t t t t t                3 32 2 12 0 2 do 2 12 12t t t t t t          . Với 2 4,t x   2y  . Vậy nghiệm của hệ là    ; 4;2x y  Cách giải khác: Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với: Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với:       2 2 48 16 2 0 4 4 0 xy x yxy x y xy x y x y x y x y                         2 224 4 0 4 4 4 0xyx y x y x y x y x y x y                    Bài 7: Điều kiện: 1 0x y   . Khai thác phương trình thứ nhất:  31 5 1x y x y     Ta đặt 3t x y  (điều kiện: 1t   ) thì  1 trở thành: 3 1 5t t   . Dễ thấy rằng hàm số   3 1f t t t   đồng biến trên  1;  (vì khi t tăng thì  f t tăng). Như vậy phương trình với ẩn t trên sẽ có nhiều nhất một nghiệm. Nhận thấy t = 2 là một nghiệm của phương trình. Vậy, ta có: 2 8t x y    . Phương trình thứ hai của hệ tương đương với:    4 4 12 8 4 8 4 12x x y y x y x y           . Hệ đã cho sẽ tương đương với hệ sau:    88 2 2 2 2 2 1 2 1 362 1 2 1 6 x yx y x y x yx y                       8 8 8 4 4 2 1 81 162 1 2 1 9 x y x y x y x y xy x y xyx y                        Vậy nghiệm của hệ là    ; 4;4x y  Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình Trang 9 Bài 8: Điều kiện 1y   . Hệ đã cho:         2 3 4 6 2 2 2 1 2 1 1 2 x y y x x x y x          Nếu 0x  thì từ (1) suy ra 0y  , thay vào (2) không thỏa mãn 0x  . Chia hai vế của (1) cho 3 0x  ta có: 3 3 3 2 2 y y x x x x    (3). Xét hàm số   32f t t t  trên có đạo hàm   2' 3 2 0f t t   nên hàm số đồng biến trên . Mặt khác (3) có dạng   2 y y f f x x y x x x           . Thay vào (2), điều kiện 2x   :          2 2 42 2 22 1 1 2 1 1 3 3 3x x x x x x x x y                Vậy nghiệm của hệ là    ; 3;3x y   Bài 9: Điều kiện , 1x y  . Hệ đã cho tương đương với:     22 33 2 22 33 3 1 6 11 6 1 I 6 1 6 1 11 6 1 x y yx y y x x x y y yy x x                             Xét hàm số   2 3 6 1f t t t t     trên  1; . Hàm số có đạo hàm:       2 3 23 1 1 1 1 ' 2 6 2 3 2 1 2 13. 6 f t t t t t tt           . Ta sẽ chứng minh rằng   23 1 2 3. 6 t t   . Thật vậy:     23 23 1 2 6 . 6 1 3. 6 t t t t      . Điều này hiển nhiên đúng do t thuộc đoạn  1; . Như vậy,    ' 0 1;f t t      f t đồng biến trên  1; . Vì đó:  1 1x y      23 I 1 6 1 2 x y x x x         Nhẩm được nghiệm của (2) là 2x  nên ta dùng phương pháp nhân liên hợp:        2 32 4 1 1 6 2 0x x x              2 33 2 2 2 2 0 1 1 6 2. 6 4 x x x x x x x                   2 33 1 1 2 2 0 1 1 6 2. 6 4 x x x x x                      2 33 2 1 1 2 0 3 1 1 6 2. 6 4 x x x x x                2x  Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình Trang 10 (Dễ thấy phương trình  3 vô nghiệm do 1 1 1 1x      và   2 33 1 1 46 2. 6 4x x        ) Vậy nghiệm của hệ phương trình là    ; 2;2x y  Bài 10: Xem phương trình thứ hai của hệ là phương trình bậc hai ẩn x, tham số y :  2 23 4 4 0x y x y y      Phương trình này có nghiệm    2 2 20 3 4 4 4 0 3 10 7 0x y y y y y             2 7 49 1 1 3 9 y y      (1) Lại xem phương trình thứ hai là phương trình bậc hai ẩn y, tham số x :  2 24 3 4 0y x y x x      Phương trình này có nghiệm    2 2 20 4 4 3 4 0 3 4 0y x x x x x           4 4 256 0 0 3 81 x x      (2) Từ (1) và (2) suy ra 4 2 49 256 697 698 9 81 81 81 x y     , mâu thuẫn với phương trình thứ nhất. Từ đó suy ra hệ đã cho vô nghiệm Bài 11: Nhìn hệ số có 2 và 2 nên ta chia hai vế rồi cộng lại:     33 3 3 3 11 2 3 12 3 3 1 3 2 3 2 yy xx y y y x x x                    Xét hàm số   3 3f t t t  trên . Đạo hàm:   2' 3 3 0f t t t     . Từ đó suy ra hàm số  f t đồng biến trên . Điều này cũng có nghĩa là   1 2 y x   . Thay vào phương trình  1 ta được: 3 32 3 3 2 0y y y y          2 1 2 0 1 2y y y y         . +) Với 1 1 1 1y x x      . +) Với 1 1 2 2 2 y x x         . Vậy nghiệm của hệ là     1 ; 1;1 , ; 2 2 x y        Bài 12: Đặt 2t x y  thì phương trình thứ nhất trở thành:  1 4 5 5. 1 2 0 * 5 t t t         Xét hàm số   1 4 5 5. 1 2