Bài 12 Trường xuyên tâm

CƠ HỌC LƯỢNG TỬ Nguyễn Văn Khiêm Bài 12 TRƯỜNG XUYÊN TÂM Một trong những bài toán điển hình của cơ học, kể cả cổ điển lẫn lượng tử, là bài toán chuyển động trong trường xuyên tâm,vì hai trường lực quan trọng nhất đối với các bài toán thực tế - điện trường và trường hấp dẫn - đều là trường như vậy Hamiltonian của hạt trong trường xuyên tâm. Phương trình trạng thái dừng. Xét chuyển động của một hạt trong trường với hàm thế năng U(r) chỉ phụ thuộc Hamiltonian của hạt trong trường hợp này là: (với  là khối lượng của hạt) Ta chuyển biểu thức của sang tọa độ cầu. Muốn vậy, ta phải dùng đẳng thức quan trọng sau đây: Từ đó, ta có: Như vậy, phương trình cho trạng thái dừng sẽ là: 2. Tính giao hoán giữa hamiltonian với các hình chiếu của moment và hệ quả. Trước hết ta chứng tỏ giao hoán với Thật vậy, ta có đồng thời số hạng toán tử thứ nhất ở (12.2) chỉ tác dụng lên biến r nên số hạng này giao hoán với Điều này cũng đúng với số hạng thứ ba, tức là U(r). Còn số hạng thứ hai chứa tuy tác dụng lên cả  và , nhưng như ta đã biết, cũng giao hoán với Bằng cách lý giải tương tự, ta cũng có thể chỉ ra rằng giao hoán với và . Mặt khác, vì giao hoán với , và nên nó giao hoán với , và Do đó, giao hoán với Vì vậy, ta có thể tìm nghiệm của (12.3) sao cho nó cũng thoả mãn cả các phương trình: và Nhưng điều đó có nghĩa là ta chỉ cần tìm các nghiệm của phương trình: ở dạng: với Ylm là các hàm cầu đã xét trong §11. (R(r) gọi là hàm bán kính) 3. Phương trình với hàm bán kính Thế (12.7) vào (12.8). Do toán tử ở vế trái chỉ tác dụng lên r nên thừa số Ylm sẽ bị rút gọn, ta còn lại phương trình đối với R(r): hay ở vế trái (12.8) cũng có thể viết thành: đặt rR(r) = (r); khi đó (12.8’) lại trở thành: hay Có thể coi đây là phương trình chuyển động một chiều Ta sẽ giả thiết rằng U(r) tăng chậm hơn khi r  0 Như vậy, với r đủ nhỏ thì là không đáng kể Vì vậy, kghi r gần với 0 thì (12.9) có dạng tiệm cận là: Ta tìm nghiệm của (12.10) dưới dạng  = C.r. Khi đó Như vậy, (12.10) trở thành: nên Rõ ràng (12.11) thoã mãn khi và chỉ khi  = l + 1 hoặc  = - l. Nhưng nếu  = - l thì  = C.r-(l+1) = Do đó Ta bỏ qua trường hợp này, vì các trường xuyên tâm có ý nghĩa vật lý là đều tăng không nhanh hơn khi r  0 Như vậy, ta phải lấy trường hợp  = l + 1, tức là R = C.rl. Khi đó, nếu l > 0 thì R(0) = 0 và nếu l = 0 thì R(0)  0 (nhưng hữu hạn) Điều này mang một ý nghĩa tương tự như trong Cơ học cổ điển: nếu l > 0 tức là moment động lượng khác không thì “cánh tay đòn” so với gốc toạ độ bắt buộc phải khác không, tức là hạt không thể nào có mặt ở gốc toạ độ Suy ra mật độ xác suất có mặt tại gốc toạ độ bằng 0, tức là hay Trong trường hợp ngược lại, sự có mặt của hạt ở gốc toạ độ là có thể xảy ra Bây giờ ta xét các giá trị r lớn. Khi đó, trong (12.9) có thể bỏ qua các số hạng chứa r2 ở gần mẫu, đồng thời bỏ qua số hạng U(r) vị ta sẽ coi như là U(r)  0 khi r  + Như vậy dạng tiệm cận của (12.8) sẽ là : Nghiệm tổng quát của phương trình này có dạng: Xét trường hợp E > 0. Khi đó: và nghiệm tương ứng của (12.8) với r lớn sẽ là: Dễ thấy rằng, mật độ xác suất để tìm thấy hạt ở khoảng cách r tính từ gốc tọa độ không phải là mà phải là Mặt khác, do với  là số thực, nên theo (12.14) thì cùng cấp với do đó tích phân dùng để tính xác suất toàn phần là phân kỳ Điều này tương ứng với phổ liên tục của năng lượng, và do đó nếu hạt có năng lượng dương thì giá trị của năng lượng có thể có thể là tuỳ ý (miễn là dương). Bây giờ xét trường hợp E 0, E<0