Bài 2 Các đại lượng vật lý trong cơ học lượng tử

CƠ HỌC LƯỢNG TỬ Nguyễn Văn Khiêm BÀI 2 CÁC ĐẠI LƯỢNG VẬT LÝ TRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ Bắt đầu từ đây, ta sẽ chỉ xét trường với số lượng lượng tử (tạm gọi là số hạt) hoàn toàn xác định, mà ở phần đầu là trường hợp một hạt. Trong bài này, ta sẽ đề cập đến khái niệm về những đại lượng vật lý của hạt, ví dụ: xung lượng, năng lượng, toạ độ ...... Trong bài này, ta sẽ đề cập đến khái niệm về những đại lượng vật lý của hạt, ví dụ: xung lượng, năng lượng, toạ độ ...... Để nghiên cứu một đối tượng vật lý, ta phải dùng đến những “máy đo”. 1. Những yêu cầu đối với việc định nghĩa các đại lượng vật lý Kết quả đo thực chất là phản ảnh tương tác giữa “đối tượng nghiên cứu” với “máy đo”, và được thể hiện bởi sự thay đổi của các đại lượng vật lý cổ điển đặc trưng cho trạng thái của “máy đo”. Chẳng hạn, để khảo sát điện trường tại một điểm trong không gian, ta có thể dùng một lực kế đo lực tác dụng của điện trường tại điểm đó lên một điện tích thử. Độ giãn của lò xo thể hiện tương tác của điện trường và “máy đo” (gồm lực kế và điện tích thử). MÁY ĐO ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU TRẠNG THÁI CỦA MÁY ĐO KHI BỊ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU TÁC DỤNG ĐẠI LƯỢNG CẦN ĐO TRẠNG THÁI HẠT VI MÔ ĐẠI LƯỢNG VẬT LÝ TRONG VẬT LÝ HẠT VI MÔ ????? Nếu đối tượng nghiên cứu thuộc loại đã biết thì khái niệm về các đại lượng vật lý đã được định nghĩa. Nếu đối tượng thuộc loại mới, ta phải định nghĩa các đại lượng vật lý đặc trưng cho đối tượng đó. Chẳng hạn, khi lần đầu tiên ta biết đến điện trường, ta có thể nêu ra khái niệm cường độ điện trường như tỷ số giữa lực tác dụng của điện trường lên điện tích thử và độ lớn của điện tích thử. Cũng có thể nêu ra các khái niệm với tên gọi cũ nhưng nội dung mới, ví dụ như năng lượng của điện trường. Đối với đối tượng nghiên cứu là lượng tử của trường (gọi tắt là hạt lượng tử), việc định nghĩa các đại lượng mới với tên gọi cũ cần thoả mãn các yêu cầu sau: (i) Trong những điều kiện mà hạt lượng tử có tính chất rất gần với hạt theo nghĩa cổ điển (tức là coi như chất điểm) thì đại lượng này gần với đại lượng cùng tên của hạt cổ điển. (ii) Các hệ thức (có ý nghĩa như định luật) giữa các đại lượng mới của hạt lượng tử cũng phải giống như các hệ thức đã có giữa các đại lượng cổ điển tương ứng (yêu cầu này gọi là nguyên lý về tính tương ứng hay nguyên lý Bohr) (iii) Nếu các đại lượng cổ điển tương ứng có tính bảo toàn (cho hệ kín) thì các đại lượng mới (đại lượng lượng tử) tương ứng cũng phải có tính chất đó. VỀ MẶT LOGIC TOÁN HỌC, CÓ THỂ KHÔNG TUÂN THEO NHỮNG YÊU CẦU TRÊN. NHƯNG VỀ PHƯƠNG DIỆN VẬT LÝ, VIỆC KHƯỚC TỪ CHÚNG SẼ LÀM CHO LÝ THUYẾT MỚI VÔ GIÁ TRỊ, VÌ CÁC ĐẠI LƯỢNG MỚI SẼ LÀ NHỮNG ĐẠI LƯỢNG KHÔNG CÓ LIÊN QUAN GÌ ĐẾN CÁC ĐẠI LƯỢNG CŨ CÙNG TÊN, VÀ DO ĐÓ KHÔNG ĐO ĐƯỢC. 2. Các đại lượng lượng tử với tư cách là các toán tử Mô hình nguyên tử của E. Rutherford cần phải được “chỉnh sửa” lại, và không chỉ có thế, các khẳng định của N. Bohr cũng phải được chính xác hoá. 1. Không phải các electron chuyển động trên các quỹ đạo tròn quanh hạt nhân. 2. Cần nói một cách chính xác hơn là trong vùng không gian quanh hạt nhân có một trường electron (với số hạt xác định bằng điện tích hạt nhân). 3. Trong trường đó có các trạng thái dừng với năng lượng xác định, và trong mỗi trạng thái dừng có tối đa một electron. 4. ở trạng thái dừng electron không bức xạ, không hấp thụ năng lượng điện từ. Năng lượng điện từ chỉ được bức xạ hoặc hấp thụ khi có một electron chuyển từ trạng thái dừng này sang một trạng thái dừng khác, và khi đó lượng tử năng lượng được trao đổi chính bằng hiệu hai mức năng lượng ở hai trạng thái dừng. VIỆC PHÂN TÍCH CÁC MÔ HÌNH TƯƠNG TỰ DẪN ĐẾN MỘT DỰ ĐOÁN NHƯ SAU. Với một hạt vi mô (hạt lượng tử) hàm trạng thái của nó có thể là tuỳ ý, nhưng đại lượng vật lý L của hạt chỉ có giá trị  nào đó, nếu là hàm riêng của một toán tử tuyến tính ứng với trị riêng bằng nghĩa là:  (2.1) Nội dung toán học của phát biểu vừa nêu sẽ được giải thích ngay dưới đây.  là hàm riêng của một toán tử tuyến tính (L) trị riêng bằng một toán tử tuyến tính (L) 3. Toán tử, trị riêng, hàm riêng Trước hết, toán tử tuyến tính (gọi tắt là toán tử) là quy luật biến mỗi hàm  thành một hàm mới L thoả mãn điều kiện sau: (với k là một số phức tuỳ ý) Ví dụ 1: Ví dụ 2: (khả vi) là một toán tử tuyến tính, vì Quy tắc biến thành hàm sao cho cũng là toán tử tuyến tính ). Toán tử được gọi là tổng của các toán tử và (viết ) nếu luôn có: 1 Tích của số k với toán tử là toán tử (ký hiệu ) sao cho: 2 Toán tử được gọi là tích của với (viết ), nếu luôn có: 3 Nói chung, . Trong trường hợp , ta nói giao hoán với nhau. là một hàm sao cho: . Tập hợp mọi trị riêng của một toán tử gọi là phổ của nó. Phổ có thể là liên tục, tức là có dạng một khoang trên trục số, như trường hợp phổ của toán tử ; nó cũng có thể là rời rạc, tức là gồm nhung điểm rời nhau. CÁC ĐẠI LƯỢNG VỚI PHỔ RỜI RẠC SẼ ĐƯỢC GẶP Ở NHỮNG BÀI TIẾP THEO. 4. Tính bất định của đại lượng lượng tử Trong vật lý cổ điển, mỗi đại lượng vật lý là một biến số hoặc biến vector với những giá trị hoàn toàn xác định. Việc chuyển từ biến số sang toán tử đồng nghĩa với việc khước từ tính xác định Đại lượng vật lý nói chung không có giá trị cụ thể nào, nếu hàm trạng thái của hạt không phải là hàm riêng của toán tử tương ứng, vì như ta đã nói, đại lượng L ứng với toán tử (nói tắt là đại lượng L ) nhận giá trị  khi và chỉ khi hàm trạng thái thoả mãn hệ thức . Nếu không tồn tại  sao cho hệ thức này đúng thì trong trạng thái ,  , L không có giá trị nào 5. Tính thực của đại lượng vật lý và tính hermitic của toán tử Toán tử được gọi là toán tử liên hợp của toán tử nếu với mọi cặp hàm , (xác định trong không gian 3 chiều) đều có: (2.3) được hiểu là tích phân 3 lớp theo toàn bộ không gian (chứ không phải tích phân bất định) ký hiệu phép lấy liên hợp phức Trên thực tế có thể hiểu là , thoa mãn điều kiện là tiến đến 0 đủ nhanh khi , thậm chí có thể coi là = = 0 khi đủ lớn. là toán tử tự liên hợp hay toán tử hermitic (tên toán tử lấy theo tên của nhà toán học người Pháp C. Hermite) Một toán tử là hermitic khi và chỉ khi mọi trị riêng của nó đều là thực. Thật vậy, gia sử là toán tử hermitic và là một hàm riêng ứng với trị riêng . Khi đó . Mặt khác: nên: tức là từ đó suy ra hay là số thực. đều thực thi là toán tử hermitic. HÃY TỰ TÌM CÁCH CHỨNG MINH PHẦN ĐẢO, TỨC LÀ NẾU MỌI TRỊ RIÊNG CỦA