Bài 21 Nguyên lý đồng nhất

CƠ HỌC LƯỢNG TỬ Nguyễn Văn Khiêm Bài 21 NGUYÊN LÝ ĐỒNG NHẤT Lý thuyết về hệ nhiều hạt mà ta đã trình bày ở chương trước là khá thô vì hai lý do. Lý do thứ nhất, như đã nói là: để có thể nhân số bậc tự do, tương tác giữa các hạt phải được coi gần như tức thời và phải đủ yếu. Lý do thứ hai, quan trọng hơn nhiều, là tính phi các thể của cái gọi là hạt vi mô. Như đã nói từ đầu giáo trình, cái gọi là hạt vi mô chỉ là một “lượng”, dù là lượng nhỏ nhất “lượng tử”, chứ không phải là một cá thể Dưới đây, ta sẽ phân tích xem vì sao tính phi cá thể lại làm cho việc xét hệ nhiều hạt như ở chương trước trở nên thô thiển, đặc biệt khi trong hệ có ít nhất hai lượng tử của cùng một trường. Trước hết, để tiện cho việc so sánh, ta hãy xét một mô hình đơn giản về phân bố xác suất. Phân bố hai hạt theo hai trạng thái: thống kê cổ điển. Hãy hình dung rằng ta có một chiếc hộp kín đựng hai vật nhỏ a và b. không có vật nhỏ nào được ưu tiên Rõ ràng, có 4 kết quả khả dĩ như sau: 1, Cả hai vật nằm ở ngăn bên trái; 4, Vật a ở ngăn bên phải,vật b nằm ở ngăn bên trái; 3, Vật a ở ngăn bên trái,vật b nằm ở ngăn bên phải; 2, Cả hai vật nằm ở ngăn bên phải; Theo những suy luận thông thường và theo rất nhiều quan sát kiểm chứng,, có thể thấy rằng bốn trường hợp trên là bình đẳng và mỗi trường hợp đều có xác suất bằng ¼ (với giả thiết là các vật không hút nhau hoặc đẩy nhau, ví dụ: do tích điện) Tất cả những điều nói trên vẫn giữ nguyên giá trị, nếu thay “hai ngăn của hộp” bằng “hai trạng thái” Khi đó, bốn trường hợp bình đẳng sẽ là: 1, Cả hai vật ở trạng thái thứ nhất; 2, Cả hai vật đề ở trạng thái thứ hai; 3, Vật a ở trạng thái thứ nhất, vật b ở trạng thái thứ hai; 4, Vật a ở trạng thái thứ hai, vật b ở trạng thái thứ nhất; Kết quả quan sát cũng có thể phân thành ba trường hợp sau: Cả hai vật đều ở trạng thái thứ nhất; Cả hai vật đều ở trạng thái thứ hai; Mỗi vật ở một trạng thái; Với cách phân chia kết quả như vậy, ba trường hợp không còn bình đẳng nữa. Cụ thể, mỗi trường hợp a, hoặc b, đều có xác suất là 1/4, trong khi trường hợp c, có xác suất bằng 2/4 (hay 1/2). 2. Phân bố hai hạt theo hai trạng thái: thống kê lượng tử. Sự việc sẽ hoàn toàn khác, nếu trong mô hình trên ta thay hai vật bằng hai lượng tử của một trường. Trong Vật lý lượng tử, các hạt vi mô được chia làm hai loại. Loại thứ nhất là các boson; chúng có spin nguyên và tuân theo cái gọi là thống kê Bose-Einstein. Loại thứ hai là các fermion; chúng có spin bán nguyên và tuân theo thống kê Fermi-Dirac. Ở đây, ta tạm thời xét loại hạt thứ nhất: các boson. Trong mô hình hai hạt boson của cùng một trường với hai trạng thái khả dĩ, lý thuyết và thực nghiệm đều dẫn tới kết luận sau: cũng như trong thống kê cổ điển, có thể phân kết quả thành ba trường hợp: Cả hai hạt đều ở trạng thái thứ nhất; Cả hai hạt đều ở trạng thái thứ hai; Mỗi hạt ở một trạng thái; Tuy nhiên, khác biệt cơ bản ở đây là: phân bố xác suất cho ba trường hợp này không phải là 1/4, 1/4, 2/4 mà là 1/3, 1/3,1/3, nghĩa là ba trường hợp bình đẳng! Điều này thoạt nghe chẳng có gì là quá lạ Nhưng nếu bạn đã từng làm việc nhiều lần với những bài toán xác suất cổ điển thì bạn sẽ thấy thực sự bất ngờ. Và càng nghiền ngẫm, bạn sẽ càng thấy kinh ngạc!. Quả vậy, đây chính là một trong những chỗ khó hiểu nhất của Vật lý lượng tử. 3. Nguyên lý đồng nhất Vì sao ba trường hợp a, b, c, trong mô hình trên lại bình đẳng?. Để trả lời câu hỏi này, rất nhiều phép thử, nhiều phương án, nhiều giả thuyết đã được nêu ra. Nhưng cuối cùng chỉ có một phương án được chấp nhận; đó là phương án đơn giản nhất nhưng cũng “điên rồ” nhất. Nội dung của nó như sau: nếu trường hợp “mỗi hạt ở một trạng thái” là bình đẳng (có cùng xác suất) với hai trường hợp kia thì thực chất trường hợp này không thể phân chia thành hai trường hợp nhỏ là (c1) hạt a ở trạng thái thứ nhất và hạt b ở trạng thái thứ hai, và (c2): hạt a ở trạng thái thứ hai và hạt b ở trạng thái thứ nhất Nói cách khác, ở đây ta có hai hạt, nhưng là hai hạt không phân biệt được. Nói rộng hơn, ta có khẳng định sau: Các lượng tử của cùng một trường là các hạt đồng nhất, tức là không tồn tại bất kỳ một phương tiện nào, một cách thức nào để phân biệt chúng với nhau. Đây là nội dung của cái gọi là nguyên lý đồng nhất hay nguyên lý về tính bất khả phân biệt. Nó được áp dụng, ví dụ, cho hệ các electron, hệ các proton, v.v… Cần nhấn mạnh rằng, tính chất đồng nhất ở đây là tuyệt đối. Các hạt của cùng một trường là không biệt được với nhau không phải vì ta chua đủ phương tiện phân biệt chúng Các hạt vi mô không phải là các vật, mà như chúng ta đã nói từ đầu giáo trình, chúng là các “lượng”. Tính hạt của chúng chỉ thể hiện ở chỗ chúng không thể được phân chia thành những phần nhỏ hơn mà vẫn còn giống với chúng. Sự so sánh, như ở đầu giáo trình, hai lượng tử của một trường với hai lượng nhiệt bằng nhau ở đây tỏ ra khá tương đồng: sẽ là vô nghĩa, nếu ta coi hai lượng nhiệt là hai vật. Việc phân phối xác suất cho ba trường hợp không phải là ba số 1/4, 1/4, 1/2, mà là 1/3, 1/3, 1/3 không lien quan gì đến các hạt chuyển động phức tạp. W. Heisenberg nói “Nguyên tử không phải là vật (Atoms are not things)” Nhận xét Một số giáo trình giải thích việc không thể phân biệt được các hạt của cùng một trường, bằng tính bất định về vị trí của các hạt: do mỗi hạt đều không có vị trí xác định,nên nếu ở một giai đoạn nào đó trong quá trình quan sát ta “bắt” được một hạt, ta sẽ không thể nói được là hạt nào trong các hạt mà ta đã biết lúc đầu. Việc giải thích như thế không sai, nhưng vẫn dừng lại ở việc khẳng định là ta không thể phân biệt được các hạt với nhau và tạo ra ấn tượng rằng, các hạt là những các thể riêng biệt. Cần nhớ rằng, khi ta xét một hệ hạt đồng nhất thì hạt không còn hàm trạng thái nữa; cả hệ sẽ được mô tả bởi một hàm trạng thái chung. Nếu hệ có n hạt thì cũng không thể coi nó là một tập hợp của n các thể,mà chính xác là phải xem hệ như một đối tượng; đối tượng đó là một trường, và trường này đang ở trạng thái có “mức lượng tử n hạt”. Cũng xin nói thêm rằng, trong lý thuyết trường lượng tử, số hạt cũng là trị riêng của một toán tử (toán tử số hạt ), và nếu hàm trường không phải hàm riêng của thì số hạt không xác định!. Một lần nữa, cần nhấn mạnh: không phải ta không biết trường có bao nhiêu hạt,mà nói chung khái niệm số hạt là vô nghĩa