Bài 25 Phương trình dirac cho hạt tự do

CƠ HỌC LƯỢNG TỬ Nguyễn Văn Khiêm Bài 25 PHƯƠNG TRÌNH DIRAC CHO HẠT TỰ DO Trong bài này, ta tìm phương trình trạng thái ở dạng chỉ chứa các đạo hàm bậc nhất theo tọa độ không thời gian. Như đã nói ở bài trước, đây là một trong hai cách đói xứng hóa tương đối tính phương trình Schrödinger. 1. Phương trình Dirac Trở lại phương trình Schrödinger cho hạt tự do: (25.1) Để đối xứng hóa bậc nhất, ta phải thay biểu thức của toán tử này bằng biểu thức có dạng: trong đó (25.2) trong đó Là những toán tử chưa biết. Tuy nhiên, dể bảo đảm (25.2) chỉ chứa các đạo hàm bậc nhất theo các biến số không gian, ba toán tử không được phép chứa . thỏa mãn hệ thức năng - xung lượng sau: (25.3) Bình phương hai vế đẳng thức (25.2) và so sánh kết quả với (25.3) ta được : Ta yêu cầu Đồng thời, để bảo đảm tính bất biến của khi dịch chuyển hệ tọa độ và dịch mốc thời gian, còn phải thừa nhận rằng không chứa chính các tọa độ x, y, z, t. trong đó là toán tử đồng nhất (hay toán tử đơn vị). Bây giờ nếu đặt với i = 1, 2, 3 và thì: đồng thời: Như vậy, (25.1) được thay thế bởi phương trình: Phương trình (25.7) chính là phương trình Dirac. Chú ý: muốn cho phương trình Dirac có vẻ ngoài hoàn toàn đối xứng với x, y, z và τ=ct, ta thay sau đó nhân hai vế với α4 (từ phía trái) và chú ý rằng , chuyển vế và chia hai vế cho , ta được: hay với , Phương trình Dirac. 2. Dạng ma trận của phương trinhg Dirac Phương trình (25.7) vẫn còn mang tính hình thức. Ta vẫn chưa biết được các toán tử tác dụng ra sao lên hàm trạng thái. Để cụ thể hóa thêm, ta hãy chú ý rằng ngoài các hệ thức (25.6) ra, các toán tử này không còn phải tuân theo bất kỳ điều kiện nào khác, đồng thời (25.6) gợi ra tính chất của các ma trận Vì vậy, có thể coi các toán tử là các ma trận sau (và từ đây chú ý rằng thay cho ta sẽ viết đon giản là Còn những phương án khác, nhưng về mặt vật lý, chúng dẫn đễn những kết quả như nhau. Bây giờ ta sẽ thấy nên thể hiện tác dụng của các toán tử αi lên hàm sóng ra sao Phương án chọn này do V. Fock đề xuất Bạn đọc hãy tự kiểm tra để thấy rằng các ma trận này thảo mãn hệ thức (25.6). Vì toán tử là ma trậm vuông cấp 4, một cách tự nhiên ta sẽ phải coi rằng hàm ψ là một cột gồm bốn hàm thành phần, mỗi hàm đều phụ thuộc x, y, z, t và đều nhận giá trị là các số phức: Do đó, ta có: Như vậy, phương trình (25.7) trở thành một hệ phương trình như sau: và: 3. Nhận phương trình Klein-Gordon từ phương trình Dirac Ta hãy viết lại (25.7) dưới dạng: Tác dụng α4 từ phía trái lên hai vế, ta được: Lại tác dụng lên hai vế phương trình này (từ phía trái) bởi toán tử Khi đó vế phải vẫn bằng 0, còn toán tử tích ở vế trái, do các hệ thức giữa các αi, sẽ trở thành: Do đó, ta thu được phương trình: Đây chính là phương trình Klein-Gordon. 4. Tính spinor của hàm trạng thái trong phương trình Dirac Xét phép quay hệ trục tọa độ Oxyz quanh trục Oz một góc φ. Khi đó, ta nhận được hệ trục mới Ox’y’z’sao cho: Các toán tử αi chỉ cần thỏa mãn (25.6), còn lại là hoàn toàn tùy ý. Tuy nhiên, khi đã chọn biểu thức cụ thể cho αi trong một hệ tọa độ Ox’y’z’ ta phải có những biểu thức mới cho chúng. Có thể chứng minh rằng, khi đó cần phải thay các αi bởi các ma trận sau: Như vậy, có thể nói là vector (hiệp biến) ba chiều Tương ứng, muốn bảo đảm để phương trình Dirac giữ nguyên dạng hàm trạng thái (Tr ≡ Transposition - ký hiệu phép chuyển vị (đổi dòng thành cột)) phải được biến đổi như sau thành (25.12) chứng tỏ ψ biến đổi như spinor ba chiều. Như vậy, phương trình Dirac mô tả hạt có spin 1/2 5. Một vài nghiệm đặc biệt của phương trình Dirac Ta hãy thử tìm một vài nghiệm đặc biệt của phương trình Dirac. Trước hết, ta viết lại hệ phương trình (25.9) trong hệ đơn vị sao cho . Khi đó, ta có : Ta tìm nghiệm dưới dạng ,trong đó: Trước hết, xét trường hợp C1 = 0. Khi đó và thỏa mãn hệ: Tiếp theo và tương tự ta có Thế các biểu thức này vào (25.17), (25.18), (25.19), (25.20) rồi rút gọn cho Từ (25.21) suy ra , ( là số phức tùy ý). Ta sẽ chọn  thực và dương. Thế C2 vào (25.10), ta được: 6. Trạng thái với năng lượng âm Dễ chứng tỏ rằng, cùng với nghiệm có dạng: phương trình Dirac cũng có nghiệm: Từ (25.25) ta có còn từ (25.14) lại có Như vậy, bất kể E lấy dấu như thế nào, luôn có cùng lúc hai trạng thái, một với năng lượng dương và một với năng lương âm. Dirac cho rằng, nghiệm với năng lượng âm cũng phải có một ý nghĩa vật lý nào đó. Do hệ thức nên Vì vậy phổ năng lượng gồm hai khoảng rời nhau: và . Theo cơ chế phi lượng tử, năng lượng của hạt thay đổi liên tục nên hạt đang có năng lượng E > m không thể nào mất năng lượng để đạt tới giá trị âm. Tuy nhiên, như ta đã biết, trong cơ chế lượng tử thì hạt mất năng lượng một cách gián đoạn, do đó nếu electron đang có năng lượng E > m, nó có thể mất đi một lượng tử năng lượng sao cho giá trị mới của năng lượng trở thành E’< -m. Nhưng điều này lại mâu thuẫn với việc trên thực tế không có electron nào có năng lượng âm. P. Dirac đã đề xuất một cách lý giải như sau. Như ta biết, trong lý thuyết lượng tử thì chân không không phải là vùng không gian mà ở đó tuyệt đối không có gì. Trạng thái chân không vẫn có một sự dự trữ năng lượng. P. Dirac cho rằng, đó là một “môi trường” mà trong đó mọi trạng thái với năng lượng âm đã được chiếm giữ, và do đó, theo nguyên lý Pauli, electron không thể “chui” vào vùng năng lượng âm được. Tuy nhiên, electron ở vùng năng lượng âm lại có thể nhận một lượng tử năng lượng đủ lớn để trở thành electron với năng lượng dương. Khi đó, chân không sẽ bị “khuyết”, và ở đó xuất hiện một “lỗ trống”. Theo định luật bảo toàn điện tích, lỗ trống này có điện tích e và nó cũng giống như một hạt mang điện. P. Dirac gọi lỗ trống này là positron; đó là “đối hạt” hay “phản hạt” của electron. Khi đã xuất hiện lỗ trống thì sẽ có cơ hội để một electron với năng lượng dương “nhảy vào” và lấp đầy lỗ trống đó, sau khi mất một lượng tử năng lượng thích hợp. Hiện tượng lỗ trống xuất hiện cùng với việc electron cũng “từ chân không thoát ra” ngày nay được gọi là sự sinh cặp. Quá trình này đòi hỏi phải có một lượng tử năng lượng đủ lớn để đưa chân không vào trạng thái kích thích. Quá trình ngược lại được gọi là sự hủy cặp: lỗ trống và electron đều biến mất, để lại một lượng tử năng lượng. Tất cả những điều nói trên là khá mơ hồ và khó tin. Tuy nhiên, nó thể hiện một tư duy lượng tử đỉnh cao và đầy tính lãng mạn ! Mặc dù vậy, toàn bộ những điều mà P. Dirac phát biểu vẫn chỉ được coi như sự mơ mộng hão huyền. Ý tưởng của ông chỉ được khẳng định sau phát hiện của Anderson vào năm 1936 về positron. Bằng thực nghiệm, Anderson đã quan sát thấy một hạt như Dirac đã tiên đoán. Ngày nay, người ta đã biết rằng không riêng electron mà bất cứ một hạt vi mô nào cũng có đối hạt. Trong bài sau, ta sẽ quay lại vấn đề về positrron với một cách lý giải chặt chẽ hơn. Ở đó cũng sẽ thấy rõ sự bình đẳng giữa electron và positron, và việc coi positron cũng là hạt hệt như electron là hoàn toàn hợp lý.