Bài 26 Phương trình dirac cho electron trong điện từ trường
Bây giờ ta sẽ mở rộng bài toán về phương trình chuyển động của electron sang trường hợp hạt ở trong điện - từ trường. Sau khi nêu ra phương trình, ta sẽ thảo luận một vài vấn đề liên quan Sau đó, ta sẽ chứng mimh rằng trong trường hợp electron có năng lượng thấp thì từ phương trình chuyển động tương đối tính (phương trình Dirac trong điện - từ trường) có thể rút ra phương trình Pauli,
Bạn đang xem nội dung tài liệu Bài 26 Phương trình dirac cho electron trong điện từ trường, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
CƠ HỌC LƯỢNG TỬ Nguyễn Văn Khiêm Bài 26 PHƯƠNG TRÌNH DIRAC CHO ELECTRON TRONG ĐIỆN TỪ TRƯỜNG Bây giờ ta sẽ mở rộng bài toán về phương trình chuyển động của electron sang trường hợp hạt ở trong điện - từ trường. Sau khi nêu ra phương trình, ta sẽ thảo luận một vài vấn đề liên quan Sau đó, ta sẽ chứng mimh rằng trong trường hợp electron có năng lượng thấp thì từ phương trình chuyển động tương đối tính (phương trình Dirac trong điện - từ trường) có thể rút ra phương trình Pauli, Nghĩa là lý thuyết Schrödinger - Pauli có thể coi như phù hợp gần đúng với lý thuyết Dirac. Phương trình Dirac trong điện - từ trường. Phép liên hợp điện tích Trong lý thuyết cổ điển (phi lượng tử và phi tương đối tính), năng lượng của hạt tự do, như ta đã biết, được cho bởi hàm Hamilton: Nếu hạt ở trong điện - từ trường với thế vô hướng Φ vàthế vector thì (26.1) phải được thay bởi: trong đó q là điện tích của hạt. Theo nguyên lý Bohr, khi hạt ở trong điện - từ trường, trong phương trình Dirac ta cũng thực hiện một phép thay thế như vậy. Cụ thể, với electron (có điện tích -e), phương trình trong trường hợp có điện - từ trường sẽ là: Cùng với (26.3), ta xét phương trình sau: Phương trình này cũng được gọi là phương trình Dirac (cho electron trong điện từ trường) Phương trình (26.4) gọi là phương trình liên hợp điện tích của (26.3) Có thể chứng minh rằng tồn tại một toán tử ở dạng ma trận vuông cấp 4 sao cho: nếu ψ là nghiệm của (26.3) thì là nghiệm cuả (26.4); và thì E’ = -E. ii. nếu Phương trình (26.4) rõ ràng mô tả hạt có khối lượng m, spin 1/2 và điện tích e Do đó nếu (26.3) là phương trình cho electron thì (26.4) là phương trình cho hạt có khối lượng và spin giống như electron nhưng có điện tích đối dấu với electron. Ta gọi hạt đó là positron Việc (26.4) có nghiêm nói lên rằng, khái niệm về positron là có ý nghĩa Vật lý. Sự tồn tại trạng thái với năng lượng E0 xác định. Khi đó nên từ (26.6), (26.7) ta có: Từ (29.9) suy ra: Bây giờ giả sử E rất gần với mc2. Vì vậy mẫu số ở (26.10) có thể thay bằng 2mc2, tức là, một cách gần đúng ta có: Thế (26.11) vào (26.8) ta được Ta có : Vì σ2σ3=iσ1, σ3σ1=iσ2, σ2σ2=iσ3, và: hay: nên vế cuối của (26.14) có thể viết tiếp thành: Từ (26.14) và (26.15) suy ra vế phải của (26.12) bằng Mặt khác, vì E’=-E-mc2 chính là năng lượng cổ điển của hạt nên vế trái của (26.12) có thể viết thành với là hamiltonian phi tương đối tính. Như vậy, từ phương trình Dirac cho trường hợp E gần với mc2, ta có hamiltonian phi tương đối tính là Điều này có nghĩa là phương trình Pauli coi như trường hợp giới hạn của phương trình Dirac Ở đây có sự đồng nhất hàm ξ trong (26.15) với η1 ở (26.12). Việc biến mất của không quan trọng vì hai lý do: (i) thứ nhất, do η2 đã tham gia vào biểu thức của η1. (ii) thứ hai, cũng do (26.10), ta có là nhỏ nhất khi E gần với mc2.
