Bài 3. Biến đổi và đổi biến nâng cao tích phân hàm phân thức hữu tỉ

Bài 3. Biến đổi và đổi biến nâng cao tích phân hàm phân thức hữu tỉ www.mathvn.com 17 BÀI 3. BIẾN ĐỔI VÀ ĐỔI BIẾN NÂNG CAO TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ I. DẠNG 1: TÁCH CÁC MẪU SỐ CHỨA CÁC NHÂN TỬ ĐỒNG BẬC Các bài tập mẫu minh họa: • ( )( ) − ∫1 dxA = x 2 x + 5 ( ) ( ) ( )( ) 1 5 2 1 1 1 1 2ln 7 2 5 7 5 5 7 5 x x xdx dx c x x x x x + − − −  = = − = +  − + − + + ∫ ∫ ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) 1 x 4 x 5 dx 9 x 5 x 2 x 4 • + − − = − − + +∫ ∫2 dxA = x 5 x+ 2 x+ 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 5 1 4 2 9 5 2 2 4 63 5 2 18 2 4 1 1 1 1 1 1 1 5 1 4ln ln 63 5 2 18 4 2 63 2 18 2 x x x xdx dx dx x x x x x x x x x xdx dx c x x x x x x + − − + − +  = − = −  − + + + − + + +  − +    = − + − = + +    − + + + + +    ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ II. DẠNG 2: TÁCH CÁC MẪU SỐ CHỨA CÁC NHÂN TỬ KHÔNG ĐỒNG BẬC 1. Các bài tập mẫu minh họa: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 22 2 2 2 2 2 2 dx 1 x x 3 1 xdx dxdx 3 3 xx 3x x 3 x x 3 1 1 d x 3 dx 1 1 1 x 3ln x 3 ln x c ln c 3 2 x 3 2 6x 3 x • − −   = = = −  − −  − −   − −  = − = − − + = +      −  ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 1 3 dxB = x 3x • ( ) ( ) ( ) 4 4 4 33 4 3 4 dx 1 x x 10 1 xdx dxdx 10 10 x 10 xx x 10 x x 10 − −   = = = −  − −  − − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫2 7 3 dxB = x 10x ( ) ( ) 2 2 2 3 222 1 1 d x dx 1 1 x 10 1ln c 10 2 20x x10 x 10x 10    − = − = + +      +  −  ∫ ∫ 2. Các bài tập dành cho bạn ñọc tự giải: 1 2 3 4 53 9 4 11 5 6 7 dx dx dx dx dxB ; B ; B ; B ; B x 5x x 7x x 8x x 9x x 13x = = = = = + − − + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 6 7 83 2 3 2 4 3 2 dx dx dxB ; B ; B x 6x 19x 22 x 3x 14x 12 x 4x 6x 7x 4 = = = + + + − + − + + + +∫ ∫ ∫ Chương II. Nguyên hàm và tích phân − Trần Phương 18 III. DẠNG 3: KĨ THUẬT NHẢY TẦNG LẦU KHI MẪU SỐ LÀ HÀM ĐA THỨC BẬC 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 dx 1 x 1 x 1 1 x 1 1dx ln arctgx c 2 4 x 1 2x 1 x 1 x 1 x 1 • + − − − = = = − + + − − + − +∫ ∫ ∫1 4 dxC = x 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 22 2 1 d x 1 1 1 1 x 1d x ln c 2 4 4x 1 x 1 x 1x 1 x 1 • −  = = − = +  − − + +  − + ∫ ∫ ∫2 4 xdxC = x 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 22 2 2 2 1 x 1 x 1 1 1 1dx dx 2 2 x 1 x 1x 1 x 1 1 dx 1 dx 1 x 1 1ln arctgx c 2 2 4 x 1 2x 1 x 1 • + + −   = = +  − − + + − − = + = + + + − + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2 3 4 x dxC = x 1 • ( )4 4 4 1 d x 1 1 ln x 1 c 4 4x 1 − = = − + − − ∫ ∫ 3 4 4 x dxC = x 1 ( )4 14 4 x 1 1 dx 1 x 1 1dx dx x C x ln arctgx c 4 x 1 2x 1 x 1 • − + − = = + = + = + − + + − − − ∫ ∫ ∫ ∫ 4 5 4 x dxC = x 1 ( ) ( ) ( )2 2 22 1 d x 1 arctg x c 2 2x 1 • = = + + ∫ ∫6 4 xdxC = x + 1 ( )4 4 4 1 d x 1 1 ln x 1 c 4 4x 1 • + = = + + +∫ ∫ 3 7 4 x dxC = x + 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 22 2 1 1 11 d x x 21x xx dx ln c 1 12 21 x 2x x 2 xxx • − + + − − = = = + + ++ + − ∫ ∫ ∫ 2 8 4 x 1C = dx x + 1 • ( ) ( ) ( ) 22 2 22 2 1 11 d x 1 x 1xx dx arctg c 1 2 x 21x x 2 x x + − − = = = + + − + ∫ ∫ ∫ 2 9 4 x + 1C = dx x + 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 4 4 4 2 2 9 8 2 1 x 1 x 1 1 x 1 x 1dx dx dx 2 2x 1 x 1 x 1 1 1 1 x 1 1 x x 2 1C C arctg ln c 2 2 2 x 2 2 2 x x 2 1 •  + − − + − = = −  + + +    − − + = − = − +  + +  ∫ ∫ ∫ ∫10 4 dxC = x + 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 4 4 4 2 2 9 8 2 1 x 1 x 1 1 x 1 x 1dx dx dx 2 2x 1 x 1 x 1 1 1 1 x 1 1 x x 2 1C C arctg ln c 2 2 2 x 2 2 2 x x 2 1 •  + + − + − = = +  + + +    − − + = + = + +  + +  ∫ ∫ ∫ ∫ 2 11 4 x dxC = x + 1 Bài 3. Biến đổi và đổi biến nâng cao tích phân hàm phân thức hữu tỉ www.mathvn.com 19 ( )4 2 2 4 2 x 1 1 1 1 x 1 1 x x 2 1dx x arctg ln c 2x 1 2 x 2 2 2 x x 2 1 •  + − − − + = = − − +  + + +  ∫ ∫ 4 12 4 x dxC = x + 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 2 2 2 2 1 11 dx d x x x 1 1 1 1x 5 x 4 x 5 x 6 xx x x d u du 1 1 1 1 x 6x 1du ln c 7 u 6 u 1 7u 6 u 1u 5u 6 x x 1 •   − +    = = − − − + − + − + − + − − +  = = = − = +  − +− +  − − + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2 13 4 3 2 x - 1 dxC = x 5x 4x 5x + 1 • ( ) ( )2 2 2 2 4 2 4 2 4 2 1 x 1 x 1 1 x 1 x 1dx dx dx 2 2x x 1 x x 1 x x 1  + − − + − = = −  + + + + + + ∫ ∫ ∫ ∫14 4 2 dxC = x + x + 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 22 2 2 2 1 1 1 11 dx 1 dx d x d x1 1x x x x 1 12 4 1 1x 1 x 1 x 3 x 1 x x x x       + − − +          = − = −        + + + +   − + + −              ∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 2 1 1x x 11 1 1 x 1 1 x x 1x xarctg ln c arctg ln c 14 4 x x 12 3 3 2 3 x 3x 1 x − + − − − + = − + = − + + ++ + IV. DẠNG 4: KĨ THUẬT NHẢY TẦNG LẦU KHI MẪU SỐ LÀ HÀM ĐA THỨC BẬC 3 • ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 dx d x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 3 x 1 3 − = =  − − + + − − + − +  ∫ ∫ ∫1 3 dxD = x 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 22 2 dt 1 t 3t 3 t 3t 1 dt t 3 dtdt 3 3 t t 3t 3t t 3t 3 t t 3t 3  + + − + + = = = −  + + + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) 2 2 1 dt 1 2t 3 dt 3 dt 3 t 2 2t 3t 3 t 3t 3  + = − −  + + + + ∫ ∫ ∫ 2 2 1 x 2x 1 1 2x 1ln arctg c 6 x x 1 2 3 3 − + + = − + + + • ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 dx d x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 3 x 1 3 + = =  + − + + + − + +  ∫ ∫ ∫2 3 dxD = x + 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 22 2 dt 1 t 3t 3 t 3t 1 dt t 3 dtdt 3 3 t t 3t 3t t 3t 3 t t 3t 3  − + − − − = = = −  − +  − + − + ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) 2 2 2 1 dt 1 d t 3t 3 3 dt 3 t 2 2 3t 3t 3 3t 2 4   − + = − + =  − +  − +    ∫ ∫ ∫ Chương II. Nguyên hàm và tích phân − Trần Phương 20 2 2 2 2 1 1 t 2t 3 1 x 2x 1 1 2x 1ln 3arctg c ln arctg c 3 2 6t 3t 3 x x 13 2 3 3   − + + − + + = + +  − + − +  • ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 2 xdx 1 x x 1 x 1 dx 3x 1 x x 1 x 1 x x 1 + + − − = = − − + + − + + ∫ ∫ ∫3 3 xdxD = x 1 2 1 1 x 1 dx 3 x 1 x x 1 −  = −  − + + ∫ ( ) ( )2 22 1 dx 1 2x 1 dx 3 dx 3 x 1 2 2x x 1 31x 2 2  + = − +  − + +   + +      ∫ ∫ ∫ 21 1 2x 1ln x 1 ln x x 1 3arctg c 3 2 3 +  = − − + + + +    • ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 2 xdx 1 x x 1 x 1 dx 3x 1 x x 1 x 1 x x 1 − − + − + = = + − + + − + ∫ ∫ ∫4 3 xdxD = x + 1 ( ) ( )2 2 22 1 1 x 1 1 dx 1 2x 1 dx 3 dxdx 3 x 1 3 x 1 2 2x x 1 x x 1 31x 2 2  − + − −  = − = − −   + + − + − +     − +      ∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 2 1 1 2x 1 1 x 2x 1 1 2x 1ln x 1 ln x x 1 3arctg c ln arctg c 3 2 6 x x 13 3 3 − − − + + −  = + − − + − + = − +  − +  V. DẠNG 5: KĨ THUẬT NHẢY TẦNG LẦU KHI MẪU LÀ HÀM ĐA THỨC BẬC 6 • ( ) ( ) ( )1 23 33 3 dx 1 dx dx 1 D D 2 2x 1 x 1x 1 x 1   = = − = −  − − +  − + ∫ ∫ ∫ ∫1 6 dxE = x 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 x 2x 1 1 2x 1 1 x 2x 1 1 2x 1ln arctg ln arctg 2 6 6x x 1 x x 12 3 3 2 3 3 1 x 2x 1 x x 1 1 2x 1 2x 1ln arctg arctg c 12 4 3 3 3x 2x 1 x x 1      − + + + + − = − − +       + + − +      − + − + + −  = − + +  + + + +   • ( ) ( ) 2 13 32 1 d x 1 du 1 D 2 2 2u 1x 1 = = = − − − ∫ ∫ ∫2 6 xdxE = x 1 2 4 2 2 2 4 2 1 1 u 2u 1 1 2u 1 1 x 2x 1 1 2x 1ln arctg c ln arctg c 2 6 12u u 1 x x 12 3 3 2 3 3   − + + − + + = − + = − +  + + + +  ( )3 3 3 6 3 3 1 d x 1 1 x 1 1 x 1ln c ln c 3 3 2 6x 1 x 1 x 1 • − − = = ⋅ + = + − − + +∫ ∫ 2 3 6 x dxE = x 1 • ( ) ( ) ( ) 2 2 6 3 2 1 x d x 1 udu 1 udu 2 2 2x 1 u 1 u 1 u u 1 = = = = − − − − + + ∫ ∫ ∫ ∫ 3 4 6 x dxE = x 1 Bài 3. Biến đổi và đổi biến nâng cao tích phân hàm phân thức hữu tỉ www.mathvn.com 21 ( )2 4 2 2 2 4 2 1 u 1 1 2u 1 1 x 2x 1 1 2x 1ln arctg c ln arctg c 12 12u u 1 x x 12 3 3 2 3 3 − + − + + = + + = + + + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) 4 2 2 2 4 2 62 4 2 x x 1 x 1 2 dx dx dxdx 2 x 1 x x 1 x 1x 1 x x 1 • + + − − − = = − − − − + + − − + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 4 5 6 x dxE = x 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 x 2x 1 x x 1 1 2x 1 2x 1 x 1ln arctg arctg arctg c 12 2 3 3 3 x 3x 2x 1 x x 1   − + − + + − − = + + − +  + + + +   • ( )6 6 6 1 d x 1 ln x 1 c 6 6x 1 = = − + − − ∫ ∫ 5 6 6 x dxE = x 1 • ( )6 16 6 x 1 1 dxdx dx x E x 1 x 1 − + = = + = + − − − ∫ ∫ ∫ ∫ 6 7 6 x dxE = x 1 ( )( ) ( )( ) 2 2 2 2 1 x 2x 1 x x 1 1 2x 1 2x 1 x ln arctg arctg c 12 4 3 3 3x 2x 1 x x 1 − + − + + −  = + − + +  + + + +   • ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 4 22 4 2 2 2 11 dx x 1 x 1 dx x 1 dx x 1x x 1x 1 x x 1 x 1 x   −  − + − −   = = =  − ++ − + + −    ∫ ∫ ∫ ∫ 4 8 6 x 1E = dx x + 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 22 1 1d x x 31 1 x x 3 1x xln c ln c12 3 2 3 x x 3 11 x 3x 3 xx + + − − + = = + = + + ++ ++ − ∫ • ( ) ( ) ( ) 4 2 2 2 2 62 4 2 x x 1 x dx x dxdx x 1 x 1x 1 x x 1 − + + = = + + ++ − + ∫ ∫ ∫ ∫ 4 9 6 x + 1E = dx x + 1 ( ) ( )3 3 2 6 dx 1 d x 1 arctgx arctg x c 3 3x 1 x 1 = + = + + + +∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 9 86 2 3 2 1 x 1 x 1 1dx E E 2 2x 1 1 1 1 x x 3 1 arctgx arctg x ln c 2 3 2 3 x x 3 1 • + − − = = − = +   − + = + − +  + +  ∫ ∫10 6 dxE = x + 1 • ( ) ( ) ( )3 2 3 26 6 6 1 d x 1 d x 1 d x 1 D 3 2 3 2x 1 x 1 x 1 = + = + + + +∫ ∫ ∫ ∫ 2 11 6 x + xE = dx x + 1 (thay x2 vào D2) ( ) 4 2 23 4 2 1 1 1 x 2x 1 1 2x 1 arctg x ln arctg c 3 2 6 x x 1 2 3 3  + + − = + + +  − +  Chương II. Nguyên hàm và tích phân − Trần Phương 22 VI. DẠNG 6: SỦ DỤNG KHAI TRIỂN TAYLOR • Đa thức Pn(x) bậc n có khai triển Taylor tại điểm x = a là: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n 2 nn n n n n P a P a P a P x P a x a x a x a 1! 2! n! ′ ′′ = + − + − + ⋅ ⋅ ⋅ + − 1. Các bài tập mẫu minh họa: • ( ) − − ∫ 4 3 1 50 3x 5x + 7x 8F = dx x + 2 . Đặt ( ) 4 34P x 3x 5x 7x 8= − + − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 4 2 3 44 4 4 4 4 4 P 2 P 2 P 2 P 2 P x P 2 x 2 x 2 x 2 x 2 1! 2! 3! 4! ′ ′′ − − − − ⇔ = − + + + + + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 44P x 66 149 x 2 48 x 2 29 x 2 3 x 2⇔ = − + + + − + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 4 1 50 50 49 48 47 46 49 48 47 46 45 66 149 x 2 48 x 2 29 x 2 3 x 2F dx x 2 66 x 2 149 x 2 48 x 2 29 x 2 3 x 2 dx 66 149 48 29 3 c 49 x 2 48 x 2 47 x 2 46 x 2 45 x 2 − − − − − − + + + − + + + ⇒ = +   = + − + + + − + + +  − = + − + − + + + + + + ∫ ∫ VII. DẠNG 7: KĨ THUẬT NHẢY TẦNG LẦU KHI MẪU LÀ HÀM ĐA THỨC BẬC CAO 1. Các bài tập mẫu minh họa: • ( ) ( ) ( ) 99 99 98 9999 99 1 3 5 3 1 3 5 5 3 53 5 3 5  + − = = = −  + + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫1 100 dxG = 3x + 5x dx x x dx x dxdx x xx x x x ( )99 9999 99 99 1 dx 1 d 3x 5 1 1 1 xln x ln 3x 5 c ln c 5 x 99 5 99 4953x 5 3x 5  +   = − = − + + = +    + + ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 50 50 49 2 25050 50 50 50 49 49 49 2 50 250 50 50 50 50 1 2x 7 2x 1 dx 2x dxdx 7 7 x 2x 7x 2x 7 2x 7 1 1 2x 7 2x 2x dx 1 dx 2x dx 1 2x dxdx 7 7 49 x 72x 7x 2x 7 2x 7 2x 7 1 dx 1 d 2x 7 49 x 50 2x 7 •  + − = = −  + + +     + − = − = − −    + + + +   + = − + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2 250 dxG = x 2x +7 ( ) ( ) ( ) ( ) 50 250 50 50 5050 50 1 d 2x 7 350 2x 7 1 1 1 1 x 1ln x ln 2x 7 ln c 49 49.50 49.50 2x 7350 2x 7 350 2x 7 + −  + = − + + = + + ++ + ∫ Bài 3. Biến đổi và đổi biến nâng cao tích phân hàm phân thức hữu tỉ www.mathvn.com 23 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n k k 1 k n n n 1 ax b ax 1 dx 1 d ax bdx b b nbx ax b x ax b ax b − • + − + = = − + + + ∫ ∫ ∫ ∫3 k n dxG = x ax + b ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n 2 k 2 2 k 1 k n n n 1 dx 1 d ax b 1 d ax b nbb nbx ax b ax b ax b − − + + = − − = ⋅ ⋅ ⋅ + + + ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n k k 1 kk 1 nn n k n k 1 k 1 nn 1 1 1 1 1ln x ln ax b c nb bb ax bb k 1 ax b 1 x 1 1 1ln c nnb ax b b ax bb k 1 ax b − − − −   = + + ⋅ ⋅ ⋅ + − + +  + − +    = + + ⋅ ⋅ ⋅ + + + + − +  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2000 2000 1999 2000 2000 2000 1000 2000 20002000 1 x 2x dx 2x dxdx xx 1 x 1 x dx 1 d 1 x 1 xln x ln 1 x c ln c x 1000 1000 1 x1 x • − + − = = − + + + = − = − + + = + ++ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2000 4 2000 1 x dxG = x 1 + x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 10 9 10 10 10 10 2 2 210 10 10 10 10 10 10 2 1010 1 .10 1 1 3 3 3 10 10 103 3 3 1 3 3 1 33 ln 3 10 103 10 33 • + − = = + + + +  + + = − = + + +  + + +  ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 19 5 210 x dxG = = 3 + x x x dx x d x x d x x x x d x d x x c x xx ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 50 49 50 50 7 750 50 50 50 6 7 5 650 50 50 50 50 50 6 650 50 x .x dx 1 2x 3 3 d 2x 3 2002x 3 2x 3 1 d 2x 3 d 2x 3 1 1 13 c 200 2002x 3 2x 3 5 2x 3 2 2x 3 1 2 2x 3 5 1 4x c c 200 10 2x 3 2000 2x 3 • − + = = − − − −   − − −   = + = + +      − − − −    − − + − = ⋅ + = + − − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 99 6 750 x dxG = 2x 3 • ( ) ( ) n n 1 k n x x dx ax b − = + ∫ ∫ 2n-1 7 k n x dxG = ax + b ( ) ( ) ( )n n 2 k n 1 ax b b d ax b na ax b + − = + + ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n 2 k 1 k 2 k 2 k 1 n n n n 1 d ax b d ax b 1 1 bb c na naax b ax b k 2 ax b k 1 ax b − − −  + + −  = − = + +     + + − + − +    ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n 2 k 1 k 1 n 2 n 1 b k 2 k 1 ax b kax b c c na k 1 k 2 ax b na k 1 k 2 ax b − − − − − + − − = ⋅ + = + − − + − − + Chương II. Nguyên hàm và tích phân − Trần Phương 24 2. Các bài tập dành cho bạn ñọc tự giải: 5 **** 1 2 3 4 58 8 8 8 8 xdx x x dx xdx dxG ; G dx ; G ; G ; G x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 − = = = = = − + − + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ VIII. DẠNG 8: KĨ THUẬT CHỒNG NHỊ THỨC • ( ) ( ) ( ) 10 2 3x 5 dx x 2 x 2 − −  =   +  + ∫ ∫ 10 1 12 3x 5H = dx x + 2 10 111 3x 5 3x 5 1 3x 5d c 11 x 2 x 2 121 x 2 − − −      = = +      + + +     ∫ • ( ) ( ) ( ) 99 99 2 7x 1 dx 1 7x 1 7x 1d 2x 1 9 2x 1 2x 12x 1 − − − −      = =      + + +     + ∫ ∫ ∫ 99 2 101 7x 1H = dx 2x + 1 100 1001 1 7x 1 1 7x 1 c c 9 100 2x 1 900 2x 1 − −    = ⋅ + = +    + +    • ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 5 6 28 dx 1 1 dx x 3 x 3 x 5 x 5x 5 x 5 x 5 = = ⋅ ⋅ + + + ++ + + ∫ ∫ ∫3 5 3 dxH = x + 3 x + 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )6 67 5 7 51 1 x 3 x 5 1 1x 3d u 1 dux 5x 52 2 ux 3 x 5  + − + + = ⋅ = ⋅ −  ++ + + ∫ ∫ 6 5 4 3 2 7 5 7 2 3 4 5 2 7 2 3 4 1 u 6u 15u 20u 15u 6u 1 du 2 u 1 15 20 15 6 1u 6 du u2 u u u u 1 u 20 15 2 16u 15ln u c u22 2u u 4u − + − + − + =   = − + − + − +      = − + + − + − +    ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 7 2 3 4 7 1 1 x 3x 3 x 36 15ln x 5 x 52 x 52 1 x 5 15 x 5 x 5 x 5120 2 c x 3 2 x 3 x 3 4 x 32  ++ + = − + + + + +   + + + ++ − + − + + + + +  Các bài tập dành cho bạn ñọc tự giải: • ( ) ( ) − ∫1 7 3 dxH = 3x 2 3x+ 4 ; ( ) ( )1−∫2 3 4 dxH = 2x 3x - 1 ; ( ) ( )∫3 5 4 dxH = 3x+ 2 4x - 1