Bài 3: Các toán tử toạ độ, xung lượng và năng lượng

BÀI 3: CÁC TOÁN TỬ TOẠ ĐỘ, XUNG LƯỢNG VÀ NĂNG LƯỢNG Ta bắt đầu từ việc xây dựng các toán tử cho các đại lượng cơ bản nhất, đặc trưng cho một hạt: đó là các toán tử toạ độ, xung lượng và năng lượng. Có nhiều cách khác nhau để xác định toán tử xung lượng, và kết quả thực chất là dẫn đến một toán tử duy nhất. Xin điểm qua tinh thần của một vài cách. 1. Toán tử xung lượng Cách thứ nhất: Có thể xác định toán tử xung lượng xuất phát từ các hệ thức tương tự như các hệ thức cho các “móc Poisson” trong Cơ học giải tích cổ điển. Cách thứ hai: Có thể xuất phát từ yêu cầu: tính bảo toàn của xung lượng đối với hệ kín làm trị riêng, và các hàm riêng tương ứng là: trong đó C không phụ thuộc x, y, z. Dễ thấy toán tử vector thoả mãn yêu cầu trên, chính là toán tử , (3.2) LÀ TOÁN TỬ XUNG LƯỢNG CẦN TÌM CHÚ Ý: NẾU CÒN PHỤ THUỘC CẢ VÀO THỜI GIAN t THÌ SỰ PHỤ THUỘC ĐÓ SẼ ĐƯỢC THỂ HIỆN QUA HỆ SỐ C (C KHÔNG PHỤ THUỘC X, Y, Z). 2. Hàm Dirac . Đồ thị của hàm số này có dạng như hình 1 Diện tích hình được gạch chéo bằng 1. Ta quy ước: Chú ý: Dịnh nghiã chính xác của hàm Dirac có thể tim trong các tài liệu về hàm suy rộng. Tuy nhiên, ở đây ta không cần chính xác hoá ở mức quá cao. Ngoài ra, chính định nghĩa kiểu “sơ khai” như trên có vẻ đẹp riêng và mang “tính lãng mạn Dirac”. Tiếp theo, hàm Dirac trong không gian 3 chiều TRONG (3.2) VÀ (3.3) NÓI ĐẾN TÍCH PHÂN 3 LỚP TRÊN TOÀN BỘ KHÔNG GIAN 3. Toán tử toạ độ . : 4. Các hệ thức giao hoán đối với các toán tử thành phần xung lượng và toạ độ nói một cách khác, hai toán tử toạ độ khác nhau thi GIAO HOÁN với nhau. Tiếp theo ta có tức là hai thành phần của toán tử xung lượng CŨNG GIAO HOÁN với nhau. . Bây giờ ta xét tương quan giữa một thành phần của toán tử xung lượng và một toán tử toạ độ. Ta có: hay: và tương tự Như vậy, toán tử của một toạ độ và thành phần xung lượng tương ứng không giao hoán với nhau. Các kết quả trên có thể diễn đạt như sau. Với hai toán tử và ta đặt và gọi biểu thức này là hoán tử của với . Rõ ràng với là giao hoán khi và chỉ khi Ngoài ra với tuỳ ý ta có: . Với thi: 5. Toán tử năng lượng Trong cơ học cổ điển, động năng T liên hệ với xung lượng bởi công thức: Theo nguyên lý Bohr, hệ thức trên phải được giữ nguyên trong Cơ học lượng tử với việc thay thế các biến số bởi các toán tử: tức là hay trong đó là toán tử Laplace. Nói một cách khác chặt chẽ hơn thi trường ngoài tác dụng lên hạt mà ta đang nghiên cứu cũng phai được lượng tử hoá. Tuy nhiên, trong thực tế thi rất nhiều bài toán có thể giai với độ chính xác cao, khi xem trường ngoài này là trường cổ điển, tức là hàm của điểm. Khi đó, toán tử thế nang sẽ được xem như phép nhân hàm trạng thái của hạt với hàm thế nang U(x, y, z): Như vậy, toán tử năng lượng toàn phần sẽ là: Việc chấp nhận hệ thức (3.11) HỢP LÝ ĐẾN MỨC NÀO, điều đó chỉ có thể được quyết định bởi việc đối chiếu các kết quả lý thuyết với các số liệu thực nghiệm. MÔ HÌNH LÝ THUYẾT KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM HỢP LÝ ĐẾN MỨC NÀO?????? Cho đến nay, quan điểm xây dựng toán tử năng lượng như vậy nói chung vẫn cho những kết quả với độ chính xác “đủ dùng”. Còn nếu muốn có các kết quả lý thuyết chính xác hơn nữa ta cần dùng một lý thuyết “cao hơn” lý thuyết trường lượng tử.