Bài 31 Bài toán tán xạ. Phương pháp Born

CƠ HỌC LƯỢNG TỬ Nguyễn Văn Khiêm Bài 31 BÀI TOÁN TÁN XẠ. PHƯƠNG PHÁP BORN Trong Vật lý lượng tử, lý thuyết tán xạ là một bộ phận quan trọng và được nghiên cứu qui mô, với nhiều cách đặt vấn đề và nhiều phương pháp khác nhau. Ở đây, chúng ta chỉ xét bài toán đơn giản và điển hình nhất về bài toán tán xạ. Chú ý rằng, trong Vật lý lượng tử thì lý thuyết tán xạ cũng là lý thuyết va chạm, vì đối với hạt vi mô, do tính bất định về vị trí, không thể nói đến va đập trực tiếp theo nghĩa cổ điển. Bài toán điển hình về tán xạ trong Cơ học lượng tử Khi nói về tán xạ trong Cơ học lượng tử, có thể hình dung ra các tán xạ sau đây. Kiểu thứ nhất là tán xạ (hay va chạm) giữa các hạt đồng nhất: hai hạt với với xung lượng và năng lượng xác định dược “bắn” lại gần nhau, tương tác với nhau và sau đó tiếp tục chuyển động theo một kiểu nào đó. Trong chương này ta không xét kiểu tán xạ đó. Kiểu thứ hai là tán xạ của một hạt hoặc một chùm hạt giống nhau “bắn” từ xa tới gần một tâm tán xạ, sau đó dổi hướng (hoặc không còn hướng xác định) và có thể mất một phần hoặc có thể nhận thêm năng lượng. Tâm tán xạ này là trường lực được hình dung theo kiểu cổ điển, mà điển hình là trường xuyên tâm (tâm đó có thể là một nguyên tử). Ở đây, chủ yếu ta sẽ xét sự tán xạ của một chùm (hay một dòng) ổn định trong một thời gian đủ dài. Vấn đề đặt ra là tìm phân bố số hạt bị tán xạ theo hướng khác nhau. Dưới đây là hình vẽ minh họa bức tranh tán xạ Chùm hạt tới (sóng tới) Tâm tán xạ Bức tranh tán xạ trong Cơ học cổ điển Tâm tán xạ Sóng bị tán xạ Bức tranh tán xạ trong Cơ học lượng tử Chú ý rằng hình vẽ “lượng tử” chỉ mang tính ước lệ, không được để nó tạo ra một sự ngộ nhận và sự cắt nghĩa thô thiển. Đơn giản nhất và quan trọng nhất là tán xạ đàn hồi, khi các hạt không mất cũng không nhận thêm năng lượng. 2. Hàm sóng tán xạ Trong số các giáo trình Cơ học lượng tử, thay cho thuật ngữ “hàm trạng thái” mà ta dung ở đây, người ta thường nói là “hàm sóng”. Từ đầu tới giờ, ta đã tránh dung thuật ngữ “hàm sóng” để khỏi gây ấn tượng về “hạt chuyển động trên sóng”. Ngoaì ra trên thực tế sự biến thiên của hàm trạng thái theo thời gian và không gian nói chung cũng không mang “tính sóng” theo nghĩa tính tuần hoàn. Tuy nhiên, trong bài toán về tán xạ của chùm hạt ổn định có sự tương tự đặc biệt với bài toán tương ứng trong quang học sóng. Vì vậy, ta sẽ nói đến hàm sóng: đó là hàm mà là mật độ hạt tại điểm Ta coi rằng tâm tán xạ nằm ở gốc tọa độ, còn chùm hạt tới (sóng tới) thì chuyển đọng dọc theo trục Oz theo chiều dương; (trục này được đặt nằm ngang). giả sử mỗi hạt trước tương tác với tâm tán xạ đều có xung lượng xác định là Khi đó, hàm trạng thái của mỗi hạt, cũng như hàm sóng của toàn bộ chùm hạt tới, có dạng: (31. 1) Điều này hoàn toàn giống như trong trong quang học sóng và điện động lực học: hàm (1) mô tả sóng phẳng với vector sóng Tiếp theo, khi gặp tâm tán xạ, sóng tới sẽ làm sinh ra một sóng thứ cấp mà ở một khoảng cách đủ lớn (so với tâm) nó sẽ giống như sóng xuất phát từ chính tâm tán xạ và lan truyền theo mọi hướng. Sóng thứ cấp này có dạng: (31. 2) (trong đó r có mặt ở mẫu số để bảo đảm cho cường độ của sóng, hay mật độ xác suất, tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách tính từ tâm tán xạ). Chú ý rằng theo các hướng khác nhau thì cường độ của sóng nói chung cũng khác nhau, tức là hệ số A phải phụ thuộc vào hướng. Tuy nhiên, tất cả các hướng với các vector tạo với Oz cùng một góc  rõ ràng là bình đẳng với nhau nên A không thể phụ thuộc tọa độ cầu thứ 3 là góc  (giữa Ox và hình chiếu của lên mặt phẳng Oxy). Do đó, ta có A=A(). Sóng trong vùng không gian chung quanh tâm tán xạ phải là sự chồng chất của sóng tới và sóng phản xạ, tức là mô tả bởi hàm: (31.3) trong đó có dạng (31.1) có dạng (31.2) Bây giờ giả sử U(r) là hàm thế năng của một hạt. Khi đó, do mỗi hạt đều có năng lượng (với  là khối lượng của hạt) nên hàm trạng thái của hạt phải thỏa mãn phương trình: (31.4) Vì dòng hạt là sự chồng chập của các hạt giống nhau nên hàm sóng của dòng cũng phải thỏa mãn phương trình (31.4) Đặt ta có Do đó, với thì (31.4) có thể viết thành: (31.5) Thế vào (31.5), ta được: (31.6) Xét trường hợp V(r) giảm nhanh hơn 1/r (khi r ) Khi đó, do 1 có dạng tiệm cận (31.2) tức là cũng giảm theo 1/r, nên trong (31.6) có thể bỏ qua V 1. Mặt khác, nên từ (31.6) ta có (31.7) Trong lý thuyết về phương trình đạo hàm riêng, ta cũng biết rằng phương trình dạng: (31.8) có nghiệm là: trong đó tích phân lấy theo toàn bộ không gian, dv’=dx’dy’dz’, Thay u bởi 1 và  bởi V  0, ta có nghiệm của (31.7) là : (31.10) Bây giờ ta chứng tỏ  1 đúng là có dạng tiệm cận (31.2) khi r+. Muốn vậy, trước hết ta nhận xét rằng do hàm dưới dấu tích phân giảm nhanh hơn nên có thể thay tích phân theo toàn bộ không gian bằng tích phân theo một hình cầu tâm O có bán kính nhất định (không quá nhỏ nhưng cũng không quá lớn). Khi đó, với r đủ lớn, có thể coi r’<<r. Ký hiệu ta có : Do đó, có thể coi: (31.11) Ta thay biểu thức gần đúng này vào phần mũ ở tử số trong (31.10) còn ở mẫu số thì đơn giản thay bằng r. Khi đó (31.10) trở thành: (31.12) Vì nên (31.12) lại có thể viết thành: (31.13) Ký hiệu vector đơn vị của Oz là Khi đó nên: (31.14) Đặt: = với Khi đó, A chỉ phụ thuộc tức là phụ thuộc hướng của Cũng dễ dàng thấy A không phụ thuộc  nên A=A(),đồng thời: Nên đúng là có dạng tiệm cận (31.2). Chú ý rằng hằng số C được chọn tùy theo mật độ dòng hạt tới. 3. Tính số hạt tán xạ theo một hướng Nói chính xác hơn, ta phải tính mật độ số hạt tán xạ trong một góc khối đỉnh O (tức là một hình nó đỉnh O) trong một đơn vị thời gian. Giả sử dS là diện tích một mặt nhỏ đặt tại điểm ứng với bán kính vector vàvuông góc với Tâm tán xạ Sóng bị tán xạ Bức tranh án xạ trong Cơ học lượng tử Khi đó, số hạt dN tán xạ qua dS trong một đơn vị thời gian phải tỷ lệ thuận với dS và tỉ lệ nghịch với r2 đồng thời tỉ lệ thuận với mật độ j=jz của dòng hạt tới. Như vậy: (31.16) Trong đó q() là hệ số tỷ lệ Đặt (đây chính là góc khối, góc nhìn dS từ O), ta có : (31.17) Theo công thức ở bài 14 cho mật độ dòng và do ta có: (31.18) Như vậy: (31.19) Mặt khác, nếu là mật độ dòng tán xạ thì nên: trong đó: tức là: (31.20) So sánh (31.19) với (31.20), ta được : (31.21) Trong đó (31.22) Thế và j vừa tính được vào (31.17), ta tìm được dN. Chú ý. Có một thuật ngữ là “tiết diện hiệu dụng vi phân” (differential effective section) nói về hoạc dN . Ở đây, ta không dùng thuật ngữ này và hãy gọi là hệ số mật độ tán xạ (theo góc ). Chùm hạt tới (sóng tới) Tâm tán xạ Bức tranh tán xạ trong Cơ học cổ điển Tâm tán xạ Sóng bị tán xạ Bức tranh án xạ trong Cơ học lượng tử Rutherford Scattering Alpha particles from a radioactive source were allowed to strike a thin gold foil. Alpha particles produce a tiny, but visible flash of light when they strike a fluorescent screen. Surprisingly, alpha particles were found at large deflection angles and some were even found to be back-scattered.                                                                                                                                                This experiment showed that the positive matter in atoms was concentrated in an incredibly small volume and gave birth to the idea of the nuclear atom. In so doing, it represented one of the great turning points in our understanding of nature. If the gold foil were 1 micrometer thick, then using the diameter of the gold atom from the periodic table suggests that the foil is about 2800 atoms thick. This is an active graphic. Click any part of it or highlighted text for more detail.