Bài 9 Rào thế và hố thế

CƠ HỌC LƯỢNG TỬ Nguyễn Văn Khiêm BÀI 9 RÀO THẾ VÀ HỐ THẾ Ta xét tiếp hai ví dụ điển hình của chuyển động một chiều: chuyển động trong rào thế và hố thế. Rào thế Rào thế là trường thế có dạng: giá trị của U(x) tại x = 0 và x = a có thể cho tuỳ ý). Đồ thị hàm U(x) cho bởi hình 2. ở hai vùng x a, phương trình (8.7) trở thành: hay Nghiệm tổng quát của (9.1) có dạng: trong đó Tuy nhiên, do yêu cầu tự nhiên về tính liên tục khi “khớp” nghiệm ở hai bên với nghiệm khoảng giữa nên nói chung các hệ số A và B trong (9.2) phải được chọn khác nhau cho khoảng x a. Do đó, nghiệm cho khoảng bên trái sẽ là: và cho khoảng bên phải là: ở khoảng giữa, phương trình (9.7) trở thành: hay Nghiệm tổng quát của phương trinh này là: trong đó . Do yêu cầu về tính liên tục như đã nói trên, phai có nên: A1 + B1 = A3 + B3 (9.4) Tương tự, từ đẳng thức ta có: Tiếp theo, vì, nên từ các đẳng thức và suy ra: k(A1 - B1) = l(A3 - B3) (9.6) và Do sáu số A1, B1, A2, B2, A3, B3, chỉ phải thoả mãn bốn đẳng thức nên ta có thể chọn tuỳ ý hai số mà không làm mất tính tổng quát. Bốn số còn lại khi đó sẽ được xác định duy nhất theo hai số đã chọn. Vì giá trị cụ thể của các hệ số không quan trọng về mặt nguyên tắc nên ta sẽ không thực hiện việc tính toán ở đây. Bây giờ ta xét trường hợp E a có dạng: Điều này vô nghĩa về mặt vật lý. Do đó phải có A1 = 0, tức là với x  (0, a), phương trình (9.7) trở thành giống như (9.3): Do nên nghiệm của (9.10) có dạng: trong đó Từ yêu cầu về tính liên tục của ’/ suy ra: Hệ này tương đương với Từ đó suy ra: Đẳng thức này không thể thoả mãn với mọi E cho trước. Có thể thấy rằng chỉ có một số giá trị rời rạc kn của k mới thoả mãn (9.11), do đó phổ năng lượng là rời rạc: E = E1, E2, ... Điều này có nghĩa là nếu động năng ban đầu của hạt không thuộc phổ năng lượng trên thì không thể có trạng thái dừng Có thể thấy rằng phương trình (9.11) không thể được giải một cách chính xác. Tuy nhiên, nếu cho U0   thì ta có thể tìm nghiệm tiệm cận của nó Thật vậy, khi đó vế trái của (9.11) tiến tới 0, và do đó ta có từ đó suy ra phổ nang lượng gồm các giá trị