Bài giảng Biến ngẫu nhiên nhiều chiều

CHƯƠNG 3 BIẾN NGẪU NHIÊN NHIỀU CHIỀU I. BIẾN NGẪU NHIÊN 2 CHIỀU 1. Khái niệm. Từ trước đến nay ta mới chỉ xét đến các biến ngẫu nhiên 1 chiều, tức là các biến ngẫu nhiên có các giá trị thực. Tuy nhiên trong thực tế chúng ta phải xét đến các hệ thống có niều biến ngẫu nhiên. + Ví dụ 1. Một thùng có a quả cầu trắng và b quả cầu đen. Rút liên tiếp 2 quả cầu (không trả lại vào thùng). Ký hiệu Xi, i=1,2, là các biến ngẫu nhiên nhận giá trị 1 nếu lần rút i được quả cầu trắng, nhận giá trị 0 nếu lần rút i được quả cầu đen. Khi đó cặp (X1, X2) tạo thành biến ngẫu nhiên 2 chiều. + Ví dụ 2. Gọi X, Y, Z tương ứng là chiều dài , chiều rộng, chiều cao của một loại thùng hình hộp chữ nhật. Nếu X, Y, Z là các biến ngẫu nhiên thì bộ ba (X, Y, Z) tạo thành một biến ngẫu nhiên ba chiều. · Định nghĩa. Cho không gian xác suất (W, B, P), n Î N, n > 1. Ánh xạ X: W®Rn, X(w) = (X1(w), X2(w), … , Xn(w) ) gọi là biến ngẫu nhiên n chiều hay vectơ ngẫu nhiên n chiều , nếu X1, X2, …, Xn là các biến ngẫu nhiên trên không gian (W, B, P). Ký hiệu X = ( X1, X2, …, Xn ) Để đơn giản ta chỉ cần xét kỹ các biến ngẫu nhiên 2 chiều, sau đó mở rộng cho biến ngẫu nhiên n chiều. 2. Luật phân phối của cặp biến ngẫu nhiên rời rạc. · Định nghĩa. Cho biến ngẫu nhiên Z = (X, Y), trong đó (X, Y) nhận các cặp giá trị (xi, yj), i Î I, j Î J với I, J là các tập chỉ số dạng hữu hạn {1,2,…,n} hoặc vô hạn {1,2,…, ∞}. Khi đó luật phân phối của Z là dãy {[(xi, yj), pij ] | i Î I, j Î J } trong đó pij = P(X = xi , Y = yj ) , i Î I, j Î J Nếu Z hữu hạn, tức I = {1, 2, …, m} và J = {1, 2, … , n} , ta có thể biểu diễn luật phân phối của Z dạng bảng như sau: Y X y1 y2 … yj … yn x1 p11 p12 … p1j … p1n x2 p21 p22 … p2j … p2n : : : … : … : xi pi1 pi2 … pij … pin : : : … : … : xm pm1 pm2 … pmj … pmn · Định lý. (i) (ii) Biến ngẫu nhiên rời rạc X có luật phân phối {(xi, pi) | i Î I} trong đó pi = " i Î I (iii) Biến ngẫu nhiên rời rạc Y có luật phân phối {(yj, qj) | j Î J} trong đó qj = " j Î J CM. (i) Tập {(xi, yj), i Î I, j Î J} tạo thành nhóm đầy đủ các sự kiện, vì vậy (ii) Ta có pi = P(X = xi) = = " i Î I (iii) Ta có qj = P(Y = yj) = = " j Î J + Ví dụ 1. Trở lại ví dụ 1 mục 1. Một thùng có a quả cầu trắng và b quả cầu đen. Rút liên tiếp 2 quả cầu (không trả lại vào thùng). Ký hiệu Xi, i=1,2, là các biến ngẫu nhiên nhận giá trị 1 nếu lần rút i được quả cầu trắng, nhận giá trị 0 nếu lần rút i được quả cầu đen. Khi đó cặp (X1, X2) tạo thành biến ngẫu nhiên 2 chiều. p11 = P(X1 = 1; X2 = 1) = P(X1 = 1).P(X2 = 1/X1 = 1) = p10 = P(X1 = 1; X2 = 0) = P(X1 = 1).P(X2 = 0/X1 = 1) = p01 = P(X1 = 0; X2 = 1) = P(X1 = 0).P(X2 = 1/X1 = 0) = p00 = P(X1 = 0; X2 = 0) = P(X1 = 0).P(X2 = 0/X1 = 0) = Þ Bảng phân phối của vectơ ngẫu nhiên (X1, X2) có dạng X2 X1 1 0 1 0 Từ đó suy ra luật phân phối của X1 và X2 p1 = P(X1 = 1) = p11 + p10 = p0 = P(X1 = 0) = p01 + p00 = q1 = P(X2 = 1) = p11 + p01 = q0 = P(X2 = 0) = p10 + p00 = + Ví dụ 2. Một thùng có n quả cầu đánh số từ 1 đến n , n Î N, n > 0. Rút liên tiếp (có trả lại) 2 quả cầu. Gọi X là số nhỏ, Y là số lớn trong 2 số rút được. Xác định luật phân phối của vectơ ngẫu nhiên (X,Y), các biến ngẫu nhiên X và Y. Giải. Các cặp giá trị của (X,Y) là {(i,j) | i,j = 1,2,…,n}. Ta có - Trường hợp i > j : P(X = i; Y = j) = 0 - Trường hợp i = j : P(X = i; Y = j) = 1/n2 - Trường hợp i < j : Gọi Ai , Aj tương ứng là sự kiện lần rút thứ nhất được số i, số j Bi , Bj tương ứng là sự kiện lần rút thứ hai được số i, số j Ta có P(X = i; Y = j) = P(Ai.Bj) + P(Aj.Bi) = 1/n2 + 1/n2 = 2/n2 Suy ra bảng phân phối xác suất của (X,Y) như sau Y X 1 2 … i … n 1 1/n2 2/n2 … 2/n2 … 2/n2 2 0 1/n2 … 2/n2 … 2/n2 : : : … : … : i 0 0 … 1/n2 … 2/n2 : : : … : … : n 0 0 … 0 … 1/n2 Từ đó suy ra luật phân phối xác suất của X và Y như sau: pi = P(X = i) = " i=1, 2, …, n qi = P(Y = i) = " i=1, 2, …, n 3. Hàm phân phối xác suất · Định nghĩa. Hàm phân phối xác suất của vectơ ngẫu nhiên (X,Y) là hàm 2 biến F(x,y) = P(X ≤ x, Y ≤ y) " (x,y) Î R2 · Tính chất. (i) Ký hiệu FX và FY tương ứng là các hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X và Y. Ta có FX(x) = = F(x, +∞) " x Î R FY(y) = = F(+∞, y) " y Î R (ii) (iii) (iv) Hàm F(x,y) không giảm theo từng đối số F(x1, y1) ≤ F(x2, y2) " (x1, y1), (x2, y2) Î R2, x1 ≤ x2 & y1 ≤ y2 (v) Cho a, b, c, d Î R, a < b, c < d. Ta có P(a < X ≤ b; c < Y ≤ d) = F(b, d) − F(a, d) − F(b, c) + F(a, c) CM. Các tính chất (i) − (iv) suy ra từ định nghĩa. Để chứng minh tính chất (v) ta biểu diễn sự kiện (a < X ≤ b; c < Y ≤ d) = (X ≤ b ; Y ≤ d) − (X ≤ a ; Y ≤ d)È(X ≤ b ; Y ≤ c) và từ đó, áp dụng công thức tính xác suất của sự kiện tổng, suy ra P(a < X ≤ b; c < Y ≤ d) = F(b, d) − [F(a, d) + F(b, c) − F(a, c)] = F(b, d) − F(a, d) − F(b, c) + F(a, c) đpcm 4. Hàm mật độ phân phối xác suất · Định nghĩa. Hàm mật độ phân phối xác suất của vectơ ngẫu nhiên liên tục (X,Y) là đạo hàm hỗn hợp cấp 2 của hàm phân phối F(x,y) f(x,y) = " (x,y) Î R2 · Tính chất. (i) Hàm mật độ không âm f(x,y) ≥ 0 " (x,y) Î R2 (ii) Hàm phân phối F(x,y) = " (x,y) Î R2 (iii) Tích phân kép (iv) Với mọi miền D Ì R2, xác suất P((x,y) Î D) = CM. (i) hiển nhiên (ii) Đặt G(x,y) = " (x,y) Î R2 Suy ra = f(x,y) " (x,y) Î R2 và Vậy F(x,y) = G(x,y) " (x,y) Î R2 (iii) suy ra từ (ii). (iv) Nếu D là miền chữ nhật thì (iv) suy ra từ (ii). Nếu D là miền bất kỳ ta chia D thành các hình chữ nhật nhỏ, và bằng phương pháp giới hạn ta suy ra (iv). + Ví dụ. Cho vectơ ngẫu nhiên (X,Y) có mật độ f(x,y) = " (x,y) Î R2 Ta có F(x,y) = Cho miền chữ nhật D = {(x,y) | 1 < x < & 0 < y < 1} ta tính xác suất (X,Y) rơi vào D: P((x,y) Î D) = F(,1) − F(1,1) − F(,0) + F(1,0) = = · Hàm mật độ của các toạ độ. Cho hàm mật độ f(x,y) của vectơ ngẫu nhiên (X,Y). Ta xác định hàm mật độ fX và fY của các biến ngẫu nhiên X và Y. Từ mục 2, 3 ta suy ra các hàm phân phối FX và FY của X và Y như sau FX(x) = F(x, +∞) = FY(y) = F(+∞, y) = Vậy fX(x) = = và fY(y) = = + Ví dụ. Cho vectơ ngẫu nhiên (X,Y) có hàm mật độ sau f(x,y) = Tìm hàm mật độ fX và fY của X và Y. Giải. Khi |x| ≤ 3 ta có fX(x) = còn nếu |x| > 3 thì hiển nhiên fX(x) = 0. Vậy fX(x) = Tương tự ta có fY(y) = 5. Hiệp phương sai và hệ số tương quan. Cho vectơ ngẫu nhiên (X,Y). Giả sử tồn tại kỳ vọng a = E(X) và b = E(Y). · Hiệp phương sai của X và Y , ký hiệu µX,Y , là trị µX,Y = cov(X,Y) = E[(X − a).(Y − b)] nếu kỳ vọng ở vế phải tồn tại. · Trường hợp (X,Y) là vectơ ngẫu nhiên rời rạc với luật phân phối: {[(xi, yj), pij ] | i Î I, j Î J } ta có · Trường hợp (X,Y) là vectơ ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ f(x,y) ta có Ä Ghi chú: xem bài Hàm biến ngẫu nhiên. · Công thức Koenig−Huyghens: µX,Y = E(X.Y) − E(X).E(Y) CM. µX,Y = E[(X − a).(Y − b)] = E(X.Y) − bE(X) − aE(Y) + a.b = E(X.Y) − E(X).E(Y) · Bổ đề. Cho biến ngẫu nhiên X và Y có độ lệch quân phương sX và sY . Khi đó hiệp phương sai µX,Y tồn tại và |µX,Y| ≤ sX.sY CM. Sử dụng bất đẳng thức x.y ≤ và các công thức tính hiệp phương sai ở trên ta suy ra sự tồn tại của µX,Y . Bây giờ ta xét biểu thức không âm 0 ≤ g(λ) = D(λ.X + Y) = cov(λ.X + Y, λ.X + Y) = λ2sX2 + 2.λ.µX,Y + sY2 - Trường hợp sX = 0: g(λ) = 2.λ.µX,Y + sY2 ≥ 0 "λ Þ µX,Y = 0 Þ |µX,Y| ≤ sX.sY - Trường hợp sX > 0: Tam thức g(λ) ≥ 0 "λ nên D’ = Þ |µX,Y| ≤ sX.sY · Hệ số tương quan của X và Y , ký hiệu rX,Y , là trị rX,Y = trong đó sX và sY ( ≠ 0) là độ lệch quân phương của X và Y. Từ bổ đề suy ra |rX,Y| ≤ 1 Ä Hai biến ngẫu nhiên X và Y gọi là tương quan nếu rX,Y ≠ 0, ngược lại, nếu rX,Y =0 ta nói X và Y không tương quan. Nếu rX,Y > 0 thì biến này “tăng” kéo theo biến kia “tăng”. Nếu rX,Y < 0 thì biến này “tăng” kéo theo biến kia “giảm”. Ä Ta xét trường hợp sX ≠ 0 và |µX,Y| = sX.sY . Khi đó, theo chứng minh bổ đề, D’ = 0, tức g(λ) có nghiệm kép λ0. Như vậy biến ngẫu nhiên λ0X + Y có phương sai bằng 0. Từ đó suy ra λ0X + Y = C (hằng) hầu như khắp nơi (trừ vùng có xác suất bằng 0). Vậy có thể viết Y = −λ0.X + C tức Y là hàm tuyến tính của X. Như vậy, sX ≠ 0, sY ≠ 0 và |rX,Y| = 1 thì ta nói X và Y tương quan tuyến tính. + Ví dụ 1. Trở lại ví dụ 1 mục 1. Một thùng có a quả cầu trắng và b quả cầu đen. Rút liên tiếp 2 quả cầu (không trả lại vào thùng). Ký hiệu Xi, i=1,2, là các biến ngẫu nhiên nhận giá trị 1 nếu lần rút i được quả cầu trắng, nhận giá trị 0 nếu lần rút i được quả cầu đen. Khi đó cặp (X1, X2) tạo thành biến ngẫu nhiên 2 chiều. Ta có E(X1) = , E(X2) = , E(X1.X2) = Þ = E(X1.X2) − E(X1).E(X2) = − = Mặt khác D(X1) = D(X2) = Þ + Ví dụ 2. Luật phân phối chính qui hai chiều. Vectơ ngẫu nhiên (X,Y) gọi là tuân theo luật phân phối chính qui 2 chiều nếu có hàm mật độ dạng f(x,y) = trong đó a, b là kỳ vọng của X, Y sX , sY là độ lệch quân phương của X, Y r là hệ số tương quan của X và Y Ä Ghi chú: Nếu r = 0 thì f(x,y) = = fX(x).fY(y) với fX , fY là các hàm mật độ của X, Y có phân phối chuẩn N(a,sX), N(b,sY). II. PHÂN PHỐI CÓ ĐIỀU KIỆN - BIẾN NGẪU NHIÊN ĐỘC LẬP 1. Trường hợp vectơ ngẫu nhiên rời rạc. Cho vectơ ngẫu nhiên rời rạc (X,Y) với luật phân phối {[(xi, yj), pij ] | i Î I, j Î J } Với mọi xi, yj , i Î I và j Î J, xác suất để X = xi với giả thiết Y = yj gọi là xác suất có điều kiện điều kiện P(xi / yj). Xác suất để Y = yj với giả thiết X = xi gọi là xác suất có điều kiện điều kiện P(yj / xi). Cố định yj , j Î J, phân phối {(xi, P(xi / yj)) | i Î I} gọi là phân phối có điều kiện của biến ngẫu nhiên X với điều kiện Y = yj. Cố định xi , i Î I, phân phối {(yj, P(yj / xi)) | j Î J} gọi là phân phối có điều kiện của biến ngẫu nhiên Y với điều kiện X = xi. Ta có P(xi / yj) = P(yj / xi ) = Ä Ghi chú: Hiển nhiên ta có · Kỳ vọng có điều kiện Kỳ vọng có điều kiện của X với điều kiện Y = yj, j Î J, là đại lượng E(X / yj) = Kỳ vọng có điều kiện của Y với điều kiện X = xi, i Î I, là đại lượng E(Y / xi) = · Biến ngẫu nhiên độc lập. Hai biến ngẫu nhiên X và Y gọi là độc lập với nhau nếu luật phân phối có điều kiện của mỗi biến trùng với luật phân phối (không điều kiện) của nó, tức là P(xi / yj ) = P(X = xi) = pi "i Î I, j Î J P(yj / xi ) = P(Y = yj) = qj "i Î I, j Î J Từ định nghĩa ta thấy biến ngẫu nhiên X và Y độc lập khi và chỉ khi pij = pi.qj " i Î I, j Î J + Ví dụ 1. Một thùng có a quả cầu trắng và b quả cầu đen. Rút ngẫu nhiên 1 quả cầu, trả lại vào thùng, sau đó rút 1 quả nữa. Ký hiệu Xi, i=1,2, là các biến ngẫu nhiên nhận giá trị 1 nếu lần rút i được quả cầu trắng, nhận giá trị 0 nếu lần rút i được quả cầu đen. Khi đó cặp (X1, X2) tạo thành biến ngẫu nhiên 2 chiều và ta dễ dàng thấy rằng X1 và X2 độc lập với nhau. + Ví dụ 2. Trở lại ví dụ 1 mục 1. Một thùng có a quả cầu trắng và b quả cầu đen. Rút liên tiếp 2 quả cầu (không trả lại vào thùng). Ký hiệu Xi, i=1,2, là các biến ngẫu nhiên nhận giá trị 1 nếu lần rút i được quả cầu trắng, nhận giá trị 0 nếu lần rút i được quả cầu đen. Khi đó cặp (X1, X2) tạo thành biến ngẫu nhiên 2 chiều. Hãy xác định luật phân phối có điều kiện của X2 đối với X1 =1. Ta có P(X2 = 1 / X1 = 1) = P(X2 = 0 / X1 = 1) = Ta thấy phân phối có điều kiện của X2 đối với X1 = 1 khác phân phối không điều kiện của X2. Vậy X1 và X2 không độc lập. Kỳ vọng có điều kiện của X2 đối vơi X1 = 1 là E(X2 / X1 = 1) = Trong khi đó E(X2) = 2. Trường hợp vectơ ngẫu nhiên liên tục Cho vectơ ngẫu nhiên liên tục (X, Y) có mật độ f(x,y). Với mọi y Î R thoả fY(y) ≠ 0, hàm fX(x/y) = , x Î R, gọi là hàm mật độ phân phối có điều kiện của X với điều kiện Y = y. Tương tự, với mọi x Î R thoả fX(x) ≠ 0, hàm fY(y/x) = , y Î R, gọi là hàm mật độ phân phối có điều kiện của Y với điều kiện X = x. Hiển nhiên ta có fX(x/y) ≥ 0 " xÎ R , fY(y/x) ≥ 0 " yÎ R , · Biến ngẫu nhiên X và Y gọi là độc lập với nhau nếu fX(x/y) = fX(x) " y Î R , fY(y) ≠ 0, " x Î R hoặc fY(y/x) = fY(y) " x Î R , fX(x) ≠ 0, " y Î R Suy ra X và Y gọi là độc lập với nhau nếu f(x,y) = fX(x).fY(y) " (x, y) Î R · Kỳ vọng có điều kiện của X với điều kiện Y = y, fY(y) ≠ 0 , là giá trị E(X / y) = Và kỳ vọng có điều kiện của Y với điều kiện X = x, fX(x) ≠ 0 , là giá trị E(Y / x) = + Ví dụ. Cho r > 0 và vectơ ngẫu nhiên (X,Y) có mật độ f(x,y) = Với |y| < r ta có fY(y) = Với |y| ≥ r ta có fY(y) = 0. Vậy, với |y| < r, ta có fX(x/y) = = Suy ra fX(./y) ≠ fX(.), vậy X và Y không độc lập với nhau. Vì hàm mật độ chẵn, nên kỳ vọng có điều kiện E(X / y) = III. HÀM ĐỐI SỐ NGẪU NHIÊN 1. Hàm 1 đối số ngẫu nhiên. Y = j(X) a) Trường hợp X là biến ngẫu nhiên rời rạc. Cho X có luật phân phối {(xi, pi) | i Î I} Ký hiệu {yj | j Î J } là tập hợp các trị khác nhau của j(xi), i Î I. Đặt qj = " j Î J Khi đó biến ngẫu nhiên Y = j(X) có luật phân phối {(yj, qj) | j Î J} + Ví dụ. Cho n Î N, n > 0, X là biến ngẫu nhiên có phân phối Khi đó biến ngẫu nhiên Y = |X| có phân phối với p0 = 1/(2n+1) và pk = 2/(2n+1) "k = 1, 2, …, n b) Trường hợp X là biến ngẫu nhiên liên tục. Cho X có hàm mật độ f(x). (i) Giả thiết j(x) khả vi đơn điệu tăng trong (a,b) chứa các giá trị của X. Ta có FY(y) = P(Y ≤ y) = P(j(X) ≤ y) = P(X ≤ j−1(y)) = FX(j−1(y)) Suy ra Þ (ii) Giả thiết j(x) khả vi, đơn điệu giảm trong (a,b) chứa các giá trị của X. Ta có FY(y) = P(Y ≤ y) = P(j(X) ≤ y) = P(X ≥ j−1(y)) = 1 − FX(j−1(y)) Suy ra Þ Hợp nhất cả hai trường hợp ta có + Ví dụ 1. Cho biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn N(0,1). Tìm luật phân phối của Y = X3. Giải. Hàm mật độ phân phối của X là f(x) = Hàm y = j(x) = x3 là hàm đơn điệu tăng và khả vi trong (−∞, +∞). Ta có x = j−1(y) = Þ Vậy hàm mật độ của Y là g(y) = + Ví dụ 2. Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ f(x). Tìm hàm mật độ của biến ngẫu nhiên Y = a.X + b, a, b Î R, a ≠ 0. Giải. Hàm y = j(x) = a.x + b đơn điệu. Ta có x = j−1(y) = Þ Vậy hàm mật độ của Y là g(y) = (iii) Trường hợp hàm j(x) không đơn điệu. Giả sử biến ngẫu nhiên X lấy giá trị thuộc khoảng (a,b), còn j(x) đơn điệu từng khúc trên (a,b), nghĩa là có thể chia (a,b) thành n khoảng con Ji, i=1, 2,…,n, rời nhau sao cho j(x) đơn điệu trên mỗi khoảng con đó. Ký hiệu ji : Ji ® (a,b), ji(x) = j(x) " x Î Ji , i=1, 2, …,n. Cho khoảng (y,y+Dy) Ì (a,b). Ký hiệu (xi, xi + Dxi) = ji−1((y,y+Dy)) " i = 1, 2, …, n. (có thể Dxi có dấu bất kỳ). Ta có P(y < Y < y + Dy) = Vậy, hàm mật độ của Y là g(y) = = = + Ví dụ. Cho biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn N(0,1). Tìm hàm mật độ của biến ngẫu nhiên Y = X2. Giải. Hàm y = j(x) = x2 có hai nhánh đơn điệu trên J1 = (0, +∞) và J2 = (−∞, 0). Các hàm j1 : J1®R+, j1(x) = x2 và j2 : J2®R+, j2(x) = x2 có các hàm ngược tương ứng là x = trên R+ và x = trên R+. Hàm mật độ của X là f(x) = Áp dụng công thức trên ta nhận được g(y) = = " y > 0 2. Hàm nhiều đối số ngẫu nhiên rời rạc. a) Cho (X, Y) là vectơ ngẫu nhiên với luật phân phối {((xi,yj), pij) | i Î I, j Î J } Cho j(x,y) là hàm hai biến. Xét biến ngẫu nhiên Z = j(X,Y). Ký hiệu { zk | k Î K } là tập hợp các giá trị khác nhau của tập {j(xi,yj) | i Î I, j Î J } Với mỗi k Î K, ký hiệu rk = Khi đó Z có luật phân phối {(zk, rk) | k Î K } Cho X và Y có luật phân phối tương ứng {(xi, pi) | i Î I } và {(yj, qj) | j Î J } Nếu X và Y độc lập với nhau thì rk = + Ví dụ. Một thùng chứa n quả cầu đánh số từ 1 đến n. Rút ngẫu nhiên quả cầu thứ nhất, không bỏ lại thùng, sau đó rút quả thứ hai. Gọi X và Y là số của quả cầu thứ nhất và số của quả cầu thứ hai. Hãy tìm luật phân phối của X+Y. Giải. Ta dễ dàng tính được xác suất pij = P(X = i, Y = j) = Hiển nhiên là X+Y nhận các giá trị từ 3 đến 2n−1. Cho k Î {3, 4, …, 2n−1}. Xét các trường hợp sau: (i) 3 ≤ k ≤ n và k lẻ. Ta có P(X+Y = k) = (vì k lẻ nên không thể xảy ra i=k−i Þ pi,k−1 = 1/n(n−1) " i = 1, 2, …, k−1) (ii) 3 ≤ k ≤ n và k chẵn. Ta có P(X+Y = k) = (vì k chẵn nên pi,k−1 = 1/n(n−1) " i = 1, 2, …, k−1 & i ≠ k/2) (iii) n + 1 ≤ k ≤ 2n − 1 và k lẻ. Xét cặp (i, j), i + j = k. Ta có j = k − i , và 1 ≤ i ≤ n & 1 ≤ k − i ≤ n Þ k − n ≤ i ≤ n Từ đó suy ra P(X+Y = k) = (iv) n + 1 ≤ k ≤ 2n − 1 và k chẵn. Với i = k/2, pi,k−i = 0. Suy ra P(X+Y = k) = b) Tính ổn định của phân phối nhị thức và phân phối Poisson. · Định lý 1. Cho các biến ngẫu nhiên X và Y độc lập, tuân theo luật phân phối nhị thức B(m,p) và B(n,p), 0<p<1. Khi đó tổng X+Y có phân phối nhị thức B(m+n,p). CM. Miền giá trị của X+Y là 0, 1, 2, …, m+n. Cho k Î N, 0 ≤ k ≤ m+n, ký hiệu q=1−p, ta có P(X+Y = k) = = Vậy X+Y có phân phối nhị thức B(m+n,p). · Định lý 2. Cho các biến ngẫu nhiên X và Y độc lập, tuân theo luật phân phối Poisson P(λ) và P(µ), λ>0 và µ>0. Khi đó tổng X+Y có phân phối Poisson P(λ+µ). CM. Miền giá trị của X+Y là N. Cho n Î N, ta có P(X+Y = n) = = Vậy X+Y có phân phối Poisson P(λ+µ). 3. Hàm nhiều đối số ngẫu nhiên liên tục. a) Tổng hai biến ngẫu nhiên. Cho vectơ ngẫu nhiên (X,Y) có hàm mật độ f(x,y). Xét biến ngẫu nhiên Z = X+Y. Gọi G(z) là hàm phân phối của Z. Ký hiệu Dz = {(x,y) | x+y ≤ z }. Ta có G(z) = P(Z ≤ z) = P(X+Y ≤ z) = P((X,Y) Î Dz ) = " z Î R Lấy đạo hàm G(z) ta nhận được hàm mật độ g(z) của Z. g(z) = G’(z) = Tương tự ta có g(z) = · Trường hợp X và Y độc lập ta có g(z) = trong đó fX và fY là các hàm mật độ của X và Y. Ä Ghi chú: Các phép toán với fX và fY như trên gọi là tích chập và ký hiệu là fX * fY + Ví dụ 1. Cho X và Y là các biến ngẫu nhiên độc lập, phân phối đều trên [0, 1]. Tìm phân phối của X+Y. Giải. Hàm mật độ fX và fY của X và Y như sau: fX(t) = fY(t) = Suy ra hàm mật độ g(z) , zÎR, theo công thức g(z) = Ta xét các trường hợp sau. (i) z ≤ 0: Ta có z - x < 0 "xÎ(0; 1) Þ fY(z-x) = 0 "xÎ(0; 1) Þ g(z) = 0 (ii) z > 2: Ta có z - x > 1 "xÎ(0; 1) Þ fY(z-x) = 0 "xÎ(0; 1) Þ g(z) = 0 (iii) 0 < z ≤ 1: Ta có fY(z-x) = Þ g(z) = (iv) 1 < z ≤ 2: Ta có fY(z-x) = Þ g(z) = Cuối cùng ta có 2 1 0 1 g(z) = và đồ thị: + Ví dụ 2. Cho X và Y là các biến ngẫu nhiên độc lập, có phân phối mũ E(λ), λ>0. Khi đó X+Y có phân phối Gamma G(b,t) với b=1/λ và t=2. Ä Ghi chú: Luật phân phối Gamma G(b,t) có hàm mật độ f(t) = trong đó hàm Gamma G(t) = (có tính chất G(t+1) = t.G(t)). Giải. Hàm mật độ fX và fY của X và Y như sau: fX(t) = fY(t) = Suy ra hàm mật độ g(z) , zÎR, theo công thức g(z) = Ta có Vậy g(z) = + Ví dụ 3. Cho X1 và X2 là các biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối chính qui N(m1,s1) và N(m2,s2) . Hãy chứng minh rằng X1+ X2 có phân phối chính qui N(m, s) với m = m1 + m2 và s2 = s12 + s22 . CM. Ta biểu diễn các biến ngẫu nhiên X1 và X2 như sau X1 = s1.N1 + m1 và X2 = s2.N2 + m2 trong đó N1 và N2 là các biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn N(0, 1). Suy ra X1 + X2 = s1.N1 + s2.N2 + m1 + m2 Þ với Bây giờ ta chứng minh rằng Y = α.N1 + β.N2 có phân phối chuẩn N(0, 1). Hàm mật độ của α.N1 và β.N2 tương ứng là f1(t) = và f2(t) = Gọi g là hàm mật độ của Y. Ta có g(x) = Biến đổi biểu thức Q(t) = = Suy ra g(x) = là mật độ của phân phối chuẩn N(0, 1). Cuối cùng từ X1 + X2 = suy ra đpcm. b) Hiệu hai biến ngẫu nhiên. Cho vectơ ngẫu nhiên (X,Y) có hàm mật độ f(x,y). Xét biến ngẫu nhiên Z = X−Y. Gọi G(z) là hàm phân phối của Z. Ký hiệu Dz = {(x,y) | x−y ≤ z }. Ta có G(z) = P(Z ≤ z) = P(X−Y ≤ z) = P((X,Y) Î Dz ) = " z Î R Lấy đạo hàm G(z) ta nhận được hàm mật độ g(z) của Z. g(z) = G’(z) = Tương tự ta có g(z) = · Trường hợp X và Y độc lập ta có g(z) = trong đó fX và fY là các hàm mật độ của X và Y. + Ví dụ . Cho X và Y là các biến ngẫu nhiên độc lập, phân phối đều trên [0, 1]. Tìm phân phối của X−Y. Giải. Hàm mật độ fX và fY của X và Y như sau: fX(t) = fY(t) = Suy ra hàm mật độ g(z) , zÎR, theo công thức g(z) = Ta xét các trường hợp sau. (i) z < −1: Ta có x - z > 1 "xÎ(0; 1) Þ fY(x-z) = 0 "x