Bài giảng Các phương trình cơ bản của lý thuyết đàn hồi tuyến tính

Chương 1. Các phương trình cơ bản của lý thuyết Đàn hồi tuyến tính 1-1 Chương 1 CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH. 1.1 Khái niệm. Lý thuyết đàn hồi tuyến tính được xây dựng trên cơ sở giả thiết biến dạng nhỏ, còn lý thuyết đàn hồi phi tuyến dựa trên giả thiết các biến dạng lớn. Trong lý thuyết đàn hồi tuyến tính nguyên lý cộng tác dụng hoàn toàn đúng. Với một vật thể đàn hồi ta cần xét mối quan hệ giữa các đại lượng: chuyển vị - biến dạng, biến dạng - ứng suất, ứng suất - tải trọng. Các quan hệ này được mô tả bởi 15 phương trình vi phân đạo hàm riêng với bài toán không gian và 8 phương trình với bài toán phẳng, cụ thể như sau : 1.1.1 Bài toán không gian: -Sáu phương trình biểu thị sự liên hệ biến dạng- chuyển vị; -Sáu phương trình biểu thị liên hệ ứng suất- biến dạng; -Ba phương trình cân bằng biểu thị quan hệ ứng suất- tải trọng. 1.1.2 Bài toán phẳng. -Ba phương trình biểu thị sự liên hệ biến dạng -chuyển vị; -Ba phương trình biểu thị sự liên hệ ứng suất- biến dạng; -Hai phương trình cân bằng biểu thị quan hệ ứng suất- tải trọng. 1.2 Các phương trình biến dạng - chuyển vị. Biến dạng của kết cấu hoặc môi trường liên tục dưới tác động của một hệ tải trọng cho trước, hoàn toàn có thể xác định nếu biết được chuyển vị của một điểm bất kỳ thuộc kết cấu hay môi trường liên tục đó, dưới dạng hàm số liên tục tại điểm đang xét. 1.2.1 Bài toán không gian. Trong hệ toạ độ x, y, z chuyển vị tại một điểm được xác định bằng ba thành phần và thường được ký hiệu như sau: ),,();,,();,,( zyxuuzyxuuzyxuu zzyyxx === (1-1) Biến dạng dọc trục được xác định theo các công thức: z u y u x u z zz y yy x xx ∂ ∂=∂ ∂=∂ ∂= εεε ;; (1-2) Biểu diễn dưới dạng ma trận ta có: ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ = ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ z y x zz yy xx u u u z y x . 00 00 00 ε ε ε (1-3) Các biến dạng trượt được xác định theo các công thức sau: Chương 1. Các phương trình cơ bản của lý thuyết Đàn hồi tuyến tính 1-2 x u y u yx xy ∂ ∂+∂ ∂=ε y u z u zy yz ∂ ∂+∂ ∂=ε (1-4) z u x u xz zx ∂ ∂+∂ ∂=ε Trong đó: εxy = εyx εyz = εzy εzx = εxz Biểu diễn dưới dạng ma trận ta có: ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ z y x zx yz xy u u u xz yz xy . 0 0 0 ε ε ε (1-5) Nếu gộp thành một phương trình dưới dạng ma trận ta có: ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ = ⎪⎪ ⎪⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎧ z y x zx yz xy zz yy xx u u u xz yz xy z y x . 0 0 0 00 00 00 ε ε ε ε ε ε (1-6) Hay: { } [ ]{ }u.∇=ε (1-7) Trong đó: [ ]∇ là ma trận các toán tử vi phân. 1.2.2 Bài toán phẳng: Chuyển vị của một điểm bất kỳ gồm hai thành phần và được ký hiệu như sau: ux = ux(x,y); uy = uy (x,y) Biến dạng được xác định theo chuyển vị như sau: x ux xx ∂ ∂=ε Chương 1. Các phương trình cơ bản của lý thuyết Đàn hồi tuyến tính 1-3 y uy yy ∂ ∂=ε (1-8) x u y u yx xy ∂ ∂+∂ ∂=ε Viết dưới dạng ma trận: ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ = ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ y x xy yy xx u u xy y x .0 0 ε ε ε (1-9) Hay: { } [ ] { }u.∇=ε (1-10) 1.3 Phương trình ứng suất - biến dạng. Khi thừa nhận giả thuyết đàn hồi tuyến tính, đồng nhất và đẳng hướng, sự liên hệ giữa ứng suất và biến dạng được biểu thi bằng định luật Hooke tổng quát. Nếu kể đến ảnh hưởng của sự thay đổi nhiệt độ với giả thiết chỉ xét đến ảnh hưởng biến dạng dọc trục vì nhiệt độ mà bỏ qua ảnh hưởng đến biến dạng trượt vì nhiệt thì các phương trình ứng suất- biến dạng được thiết lập như sau: 1.3.1 Bài toán không gian. [ ] T E zzyyxxxx ασσμσε ++−= )(.1 [ ] T E zzxxyyyy ασσμσε ++−= )(.1 [ ] T E yyxxzzzz ασσμσε ++−= )(.1 (1-11) xyxyxy GE σσμε .1.)1.(2 =+= yzyzyz GE σσμε .1.)1.(2 =+= zxzxzx GE σσμε .1.)1.(2 =+= Trong đó: E - modul đàn hồi dọc trục; G - modul đàn hồi trượt; μ - hệ số Poisson; α - hệ số giãn nở vì nhiệt; Chương 1. Các phương trình cơ bản của lý thuyết Đàn hồi tuyến tính 1-4 T - độ biến thiên nhiệt độ. Nếu biểu diễn dưới dạng ma trận ta có: ⎪⎪ ⎪⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎧ + ⎪⎪ ⎪⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ + + + −− −− −− = ⎪⎪ ⎪⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎧ 0 0 0 1 1 1 .. )1(200000 0)1(20000 00)1(2000 0001 0001 0001 .1 T E zx yz xy zz yy xx zx yz xy zz yy xx α σ σ σ σ σ σ μ μ μ μμ μμ μμ ε ε ε ε ε ε (1-12) Trong trường hợp T=0 thì phương trình trên có dạng: { } [ ] { }σε .1−= D (1-13) Trong đó: [ ] ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ + + + −− −− −− =− )1(200000 0)1(20000 00)1(2000 0001 0001 0001 .11 μ μ μ μμ μμ μμ E D (1-14) Từ quan hệ của biến dạng - ứng suất ta có thể xác định được ứng suất theo biến dạng, thường được gọi là định luật Hooke tổng quát: [ ] TEE zzyyxxxx αμεεμεμμμσ .21)().1(.)21)(1( −−++−−+= [ ] TEE zzxxyyyy αμεεμεμμμσ .21)().1(.)21)(1( −−++−−+= [ ] TEE yyxxzzzz αμεεμεμμμσ .21)().1(.)21)(1( −−++−−+= (1-15) xyxyxy G E εεμσ ..)1(2 =+= yzyzyz G E εεμσ ..)1(2 =+= zxzxzx G E εεμσ ..)1(2 =+= Viết dưới dạng ma trận: Chương 1. Các phương trình cơ bản của lý thuyết Đàn hồi tuyến tính 1-5 ⎪⎪ ⎪⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎧ − − − −+ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − −+= ⎪⎪ ⎪⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎧ 0 0 0 1 1 1 . 21 . )1(200000 0)1(20000 00)1(2000 000)1(222 0002)1(22 00022)1(2 . )21)(1(2 μ α ε ε ε ε ε ε μ μ μ μμμ μμμ μμμ μμ σ σ σ σ σ σ TE E zx yz xy zz yy xx zx yz xy zz yy xx Trong trường hợp T = 0 ta có phương trình: { } [ ]{ }εσ .D= (1-16) Biểu thức này biểu thị định luật Hooke. Ma trận vuông [ ]D được gọi là ma trận đàn hồi. Ma trận này chứa tất cả các đặc trưng đàn hồi của kết cấu hoặc môi trường liên tục mà ta đang nghiên cứu. [ ] ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − −+= )21(00000 0)21(0000 00)21(000 000)1(222 0002)1(22 00022)1(2 . )21)(1(2 μ μ μ μμμ μμμ μμμ μμ ED Khi chấp nhận giả thiết vật liệu đàn hồi tuyến tính, đồng nhất và đẳng hướng thì ma trận [ ]D có tính đối xứng và không suy biến. 1.3.2 Bài toán phẳng. Bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi được chia thành hai loại: -Trạng thái phẳng về ứng suất; -Trạng thái phẳng về biến dạng. Hai trạng thái này được phân biệt theo các tính chất đặc biệt của hình dạng và cách chịu tải của vật thể đàn hồi nghiên cứu: 1.3.2.1 Trạng thái phẳng về ứng suất. Vật thể đàn hồi được nghiên cứu có dạng tấm với chiều dày nhỏ so với kích thước của hai chiều còn lại và chịu tải trọng trong mặt phẳng của tấm. Kí hiệu xoy là hệ trục nằm trong mặt phẳng của tấm và oz là trục vuông góc với mặt phẳng đó. Người ta thừa nhận các giả thiết dưới đây với ứng suất: 0=== zzzyzx σσσ Với các giả thiết trên ta có mối quan hệ biến dạng ứng suất: Chương 1. Các phương trình cơ bản của lý thuyết Đàn hồi tuyến tính 1-6 [ ] T E yyxxxx ...1 ασμσε +−= [ ] T E xxyyyy ...1 ασμσε +−= (1-17) xyxyyxxy GE σσμεε .1.)1(2 =+== Dạng ma trận: ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ + ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − − = ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ 0 1 1 ... )1(200 01 01 .1 T E xy yy xx xy yy xx α σ σ σ μ μ μ ε ε ε (1-18) Các biến dạng còn lại được xác định như sau: 0== zyzx εε T E yyxxzz .).(.1 ασσμε ++−= (1-19) Tyyxxzz ..1 1).( 1 αμ μεεμ με − +++−−= Rõ ràng 0≠zzε và có quan hệ tuyến tính với xxε và yyε . Tuy nhiên với phần tử có bề dày mỏng có thể cho 0=zzε mà vẫn bảo đảm chính xác so với nhu cầu thực tế. Nghịch đảo ma trận đàn hồi có dạng: [ ] ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − − =− )1(200 01 01 .11 μ μ μ E D (1-20) Biểu thức quan hệ giữa ứng suất- biến dạng thể hiện như sau: [ ] TEE yyxxxx αμεμεμσ .1..1 2 −−+−= [ ] TEE xxyyyy αμεμεμσ .1..1 2 −−+−= (1-21) xyxyyxxy G E εεμσσ ..)1(2 =+== Dạng ma trận: ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ −−⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− = ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ 0 1 1 .. 1 . 100 022 022 . )1(2 2 TEE xy yy xx xy yy xx αμε ε ε μ μ μ μσ σ σ (1-22) Nếu T=0 thì { } [ ]{ }εσ .D= Chương 1. Các phương trình cơ bản của lý thuyết Đàn hồi tuyến tính 1-7 Trong đó: [ ]D - ma trận đàn hồi của vật liệu trong bài toán ứng suất phẳng. [ ] ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− = μ μ μ μ 100 022 022 . )1(2 2 ED 1.3.2.2 Bài toán phẳng về biến dạng. Các vật thể đàn hồi được nghiên cứu có tiết diện ngang không đổi và chiều dày lớn hơn so với kích thước của hai chiều còn lại, tải trọng tác dụng vuông góc với trục dài của vật thể. Gọi xOy là hệ trục song song với mặt phẳng của tiết diện ngang. Thừa nhận các giả thiết sau: 0=zu ; 0=∂ ∂=∂ ∂ z u z u yx ; (1-23) 0=== zzzyzx εεε Ta có quan hệ giữa biến dạng và ứng suất: ( )[ ] T E yyxxxx αμσμσμμε ).1(..1.1 ++−−+= ( )[ ] T E xxyyyy αμσμσμμε ).1(..1.1 ++−−+= (1-24) xyxyyxxy GE σσμεε .1.)1(2 =+== Dưới dạng ma trận ta có biểu thức: ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ++ ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− −−+= ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ 0 1 1 .).1(. 200 01 01 .1 T E xy yy xx xy yy xx αμ σ σ σ μμ μμμ ε ε ε (1-25) Nếu T=0 ta có biểu thức rút gọn: { } [ ] { }σε .1−= D Trong đó: [ ] ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− −−+=− xy yy xx E D σ σ σ μμ μμμ . 200 01 01 .11 Từ quan hệ trên ta có mối quan hệ ứng suất biến dạng theo định luật Hooke: [ ] TEE yyxxxx αμεμεμμμσ .21.).1(.)21).(1( −−+−−+= Chương 1. Các phương trình cơ bản của lý thuyết Đàn hồi tuyến tính 1-8 [ ] TEE xxyyyy αμεμεμμμσ .21.).1(.)21).(1( −−+−−+= (1-26) xyxyyxxy G E εεμσσ ..)1(2 =+== 0== zyzx σσ [ ] TEE yyxxzz αμεεμμμσ .21.)21).(1( . −−+−+= TEyyxxzz ασσμσ .).( −+= Ta thấy σzz ≠0 và có liên hệ tuyến tính với σxx và σyy. Tuy nhiên trong thực tế có thể bỏ qua σzz mà vẫn đảm bảo sai số. Dưới dạng ma trận ta có: ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ −−⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − −+=⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ 0 1 1 .. 21 . 2100 0)1(22 02)1(2 . )21)(1(2 TEE xy yy xx xy yy xx αμε ε ε μ μμ μμ μμσ σ σ (1-27) Nếu T=0 ta có thể viết gọn: { } [ ]{ }εσ .D= Trong đó: [ ]D - ma trận đàn hồi của bài toán biến dạng phẳng. [ ] ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − −+= μ μμ μμ μμ 2100 0)1(22 02)1(2 . )21)(1(2 ED 1.3.3 Bài toán một chiều: T E xxxx ασε += .1 0==== zxyzzzyy εεεε (1-28) TEE xxxx αεσ .. −= 1.4 Các phương trình cân bằng. 1.4.1 Bài toán không gian. Nếu tách ra khỏi vật thể đàn hồi một phân tố có kích thước dx, dy, dz và thiết lập phương trình cân bằng theo 3 trục x, y, z ta có: 0=+∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂ x xzxyxx g zyx σσσ 0=+∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂ y yzyyyx g zyx σσσ (1-29) Chương 1. Các phương trình cơ bản của lý thuyết Đàn hồi tuyến tính 1-9 0=+∂ ∂+∂ ∂+∂ ∂ z zzzyzx g zyx σσσ Trong đó: zzyyxx σσσ ,, - ứng suất pháp; zxyzxy σσσ ,, - ứng suất tiếp; gx, gy, gz - các thành phần lực thể tích tác dụng theo các phương x, y, z trên một đơn vị thể tích của vật thể. Viết dưới dạng ma trận: ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ + ⎪⎪ ⎪⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 0 0 0 . 000 000 000 z y x zx yz xy zz yy xx g g g xyz zxy zyx σ σ σ σ σ σ (1-30) hay: [ ] { } { } 0. =+∇ gT σ (1-31) Các phương trình cân bằng phải được thoả mãn ở bất kỳ mọi điểm của vật thể đàn hồi, ở bên trong cũng như trên bề mặt của vật thể. Do đó, những điểm nằm trên bề mặt của vật thể sẽ cân bằng với ngoại lực tác dụng trên bề mặt. Sự cân bằng này được xây dựng trên cơ sở nghiên cứu ứng suất trên mặt cắt xiên và được biểu thị bằng các điều kiện bề mặt. xxzxyxx pnml =++ σσσ .. yyzyyyx pnml =++ σσσ .. (1-32) zzzzyzx pnml =++ σσσ .. Trong đó: l, m, n - các cosin chỉ phương của pháp tuyến ngoài của mặt vật thể đàn hồi tại điểm đang xét; px, py, pz - các thành phần ngoại lực theo 3 trục x, y, z tác dụng trên một đơn vị diện tích mặt ngoài của vật thể đàn hồi. Dạng ma trận: Chương 1. Các phương trình cơ bản của lý thuyết Đàn hồi tuyến tính 1-10 ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = ⎪⎪ ⎪⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ z y x zx yz xy zz yy xx p p p lmn nlm nml σ σ σ σ σ σ . 000 000 000 (1-33) hay: [ ]{ } { }pL =σ. [ ]L - ma trận cosin chỉ phương của pháp tuyến ngoài của mặt vật thể đàn hồi. 1.4.2 Bài toán phẳng. Trong bài toán hai chiều, bài toán phẳng về ứng suất và biến dạng phương trình cân bằng có dạng: 0=+∂ ∂+∂ ∂ x xyxx g yx σσ (1-34) 0=+∂ ∂+∂ ∂ y yyxy g yx σσ Dạng ma trận: ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧= ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧+ ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 0 0 . 0 0 y x xy yy xx g g xx yx σ σ σ (1-35) hay: [ ]{ } { } 0. =+∇ gσ (1-36) Trên chu vi thoả mãn phương trình sau: yyyyx xxyxx pml pml =+ =+ σσ σσ .. .. (1-37) Dạng ma trận: ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧= ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ y x xy yy xx p p lm ml σ σ σ . 0 0 (1-38) hay: [ ]{ } { }pL =σ. (1-39) 1.5 Các phương trình liên tục: Chương 1. Các phương trình cơ bản của lý thuyết Đàn hồi tuyến tính 1-11 Các biến dạng và các chuyển vị cần phải có sự thay đổi liên tục từ điểm này sang điểm khác trong cùng một vật thể đàn hồi. Điều kiện để sự liên tục này tồn tại là các phương trình liên tục hay còn gọi là các phương trình tương thích. 1.5.1 Đối với bài toán không gian: yxxy xyyyxx ∂∂ ∂=∂ ∂+∂ ∂ . 2 2 2 2 2 εεε zyyz yzzzyy ∂∂ ∂=∂ ∂+∂ ∂ . 2 2 2 2 2 εεε zxzx zxxxzz ∂∂ ∂=∂ ∂+∂ ∂ . 2 2 2 2 2 εεε (1-40) ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ∂ ∂+∂ ∂−∂ ∂ ∂ ∂=∂∂ ∂ yxzxzy zxyzxyxx εεεε . 2 1 . 2 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ∂ ∂+∂ ∂−∂ ∂ ∂ ∂=∂∂ ∂ zyxyzx xyzxyzyy εεεε . 2 1 . 2 ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ∂ ∂+∂ ∂−∂ ∂ ∂ ∂=∂∂ ∂ xzyzyx yzxyzxzz εεεε . 2 1 . 2 1.5.2 Bài toán phẳng phương trình: yxxy xyyyxx ∂∂ ∂=∂ ∂+∂ ∂ . 2 2 2 2 2 εεε (1-41)