Bài giảng Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính

Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính 1 CHƯƠNG 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1. Các khái niệm về hệ PTTT 2. Các phương pháp giải hệ PTTT 3. Định lý Kronecker – Capelli --------------------------------------------------
Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính 2 1. Các khái niệm về hệ PTTT • Hệ gồm m phương trình và n ẩn ix ( ,...,i n=1 ) dạng ... ... ...................................... ... ... n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b  + + + = + + + =  = + + + = 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 (*) được gọi là một hệ phương trình tuyến tính.
Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính 3 • , ,..., mna a a ∈11 12 ℝ là các hệ số của hệ; • , ,..., nx x x1 2 là các ẩn số của hệ; • , ,..., mb b b ∈1 2 ℝ là các hệ số tự do của hệ. Chú ý. Nếu ... mb b b= = = =1 2 0 thì hệ phương trình đã cho được gọi là hệ thuần nhất.
Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính 4 • Bộ ( ), ,..., nα α α1 2 được gọi là một nghiệm của hệ (*) nếu khi ta thay x α=1 1, x α=2 2, ..., n nx α= vào hệ thì tất cả các phương trình trong hệ đều thỏa mãn. • Giải một hệ phương trình tuyến tính là ta đi tìm tập hợp nghiệm của nó.
Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính 5 • Đặt ... ... ... ... ... ... ... n n m m mn a a a a a a A a a a        =       11 12 1 21 22 2 1 2 , ... n x x X x        =       1 2 , ... m b b B b        =       1 2 , thì hệ (*) được viết lại dưới dạng AX B= .
Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính 6 • Xét hệ phương trình tuyến tính (*). Khi đó, ma trận ( ) ... ... ... ... ... ... ... ... n n m m mn m a a a b a a a b A A B a a a b        = =       11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 được gọi là ma trận mở rộng của hệ.
Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính 7 VD 1. Viết ma trận mở rộng của hệ phương trình ; ; . x y z x y z x y z  + + = − + − =  + − = 4 5 1 2 7 11 2 3 11 6 1
Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính 8 2. Các phương pháp giải hệ PTTT 2.1. Phương pháp Gauss Cho hệ phương trình AX B= . Để giải hệ, ta thực hiện các bước sau: • Bước 1. Đưa ma trận mở rộng ( )A A B= về dạng bậc thang. • Bước 2. Từ dạng bậc thang có được, ta viết lại thành hệ và giải ngược từ dòng dưới lên trên.
Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính 9 Lưu ý.
Khi thực hiện bước 1, nếu ta gặp một dòng có dạng ( )... a0 0 0 với a≠ 0 thì ta kết luận hệ vô nghiệm.
Nếu ma trận bậc thang có được có hạng bằng số ẩn thì hệ có duy nhất nghiệm.
Nếu ma trận bậc thang có được có hạng nhỏ hơn số ẩn thì hệ có vô số nghiệm.
Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính 10 VD 2. Giải hệ phương trình tuyến tính ; ; . x y z y z x y z  + − = + =  + + = − 2 1 3 3 2 1
Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính 11 VD 3. Giải hệ phương trình tuyến tính ; ; . x x x x x x x x x x x  − + − = + + − =  + − = − 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 5 2 5 3 3 4 3 2 5 2 7 1
Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính 12 VD 4. Tìm nghiệm của hệ phương trình ; ; . x y z x y z x y z  + + = − + − =  + − = 4 5 1 2 7 11 2 3 11 6 1 A. , ,x y z= =− =15 4 0; B. Vô số nghiệm; C. . x y z α α α  = − =− −  = ∈ 15 79 4 21 ℝ D. . x y z α α α  = + =− −  = ∈ 15 79 4 21 ℝ
Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính 13 VD 5. Giải hệ phương trình ; ; ; . x x x x x x x x x x x x  + + = − + =   − + = + + = 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 2 0 2 3 0 3 5 4 0 17 4 0
Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính 14 VD 6. Định m để hệ sau có vô số nghiệm: ( ) ; ; . x y m z x y z x y mz  + + − = + − =  + + = 2 7 2 2 4 5 1 3 6 3 A. m=±1 B. m=1 C. m=−7 D. m= 7
Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính 15 Chú ý. • Khi hệ phương trình tuyến tính có vô số nghiệm thì ta gọi nghiệm phụ thuộc tham số là nghiệm tổng quát. • Nếu cho các tham số bởi các giá trị cụ thể thì nghiệm nhận được gọi là nghiệm riêng hay nghiệm cơ bản.
Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính 16 VD 7. Giải hệ phương trình tuyến tính sau: ; ; ; . x x x x x x x x x x x x x x x x  + − + = + − + = −   + + − = + + − = 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 5 1 3 13 22 1 3 5 2 5 2 3 4 7 4 Cho hệ AX B= , với A là ma trận vuông cấp n . • Bước 1. Tính các định thức: 11 1 1 1 ... ... det ... ... ... ... ... ... ... j n n nj nn a a a A a a a ∆ = = , 1 1 1 11 ... ... ... ... ... ... , 1, .. ... . ... n n j n nn a a j ba b n a ∆ = = (thay cột thứ j trong ∆ bởi cột tự do).
Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính 17 2.2. Phương pháp Cramer • Bước 2. Kết luận:  Nếu 0∆≠ thì hệ có nghiệm duy nhất: , 1, . j j x j n ∆ = ∀ = ∆ • Nếu ∆= 0 và { },..., : jj n∃ ∈ ∆ ≠1 0 thì hệ đã cho vô nghiệm. • Nếu ∆= 0 và ... n∆ =∆ = =∆ =1 2 0 thì hệ hoặc vô nghiệm hoặc vô số nghiệm. Để có kết luận chính xác, ta phải giải bằng phương pháp Gauss.
Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính 18
Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính 19 VD 8. Giải hệ bằng phương pháp Cramer : ; ; . x y z y z x y z  + − = + =  + + = − 2 1 3 3 2 1 VD 9. Định m để hệ phương trình sau có nghiệm: ( ) ( ) . m x y m x m y  + + = +  + + = 1 2 1 0
Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính 20
Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính 21 3. Định lý Kronecker – Capelli Hệ AX B= có nghiệm ( ) ( )r A r A⇔ = . Trong trường hợp hệ có nghiệm thì:
( )r A = số ẩn thì hệ có duy nhất nghiệm.
( )r A < số ẩn thì hệ có vô số nghiệm. Số tham số phụ thuộc là: ( )r A − số ẩn.
Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính 22 VD 10. Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất: . mx z t m x my z t m mz t m z mt m  + − = − + + + =   + = − − = + 2 8 7 1 3 2 4 5 1 5 2 2 A. m≠ 0 B. m≠1 C. m≠±1 D. m≠±5. ------------------- Hết chương ------------------