Bài giảng chương 5: Chọn mẫu và phân phối mẫu

Chương 5 CHỌN MẪU VÀ PHÂN PHỐI MẪU 1. Chọn mẫu từ một tổng thể 1.1 Tổng thể Tổng thể là tập hợp tất cả các đối tương mà ta quan tâm nghiên cứu trong một vấn đề nào đó. Số phần tử của tổng thể được ký hiệu là N. - Nếu N là số hữu hạn ta có tổng thể hữu hạn - Nếu N là số vô hạn ta có tổng thể vô hạn 1.2 Mẫu Mẫu là tập hợp con của tổng thể. Số phần tử của mẫu ký hiệu là n (cỡ mẫu). 1.2.1 Mẫu ngẫu nhiên Mẫu được gọi là mẫu ngẫu nhiên nếu nó được chọn một cách nào đó để đảm bảo tính khách quan, ngẫu nhiên. 1.2.2 Phân loại mẫu theo phương pháp chọn mẫu 1.2.2.1 Mẫu không hoàn lại: Là mẫu được chọn bằng cách phần tử đã lấy ra quan sát thì loại khỏi tổng thể rồi mới lấy phần tử tiếp theo 1.2.2.2 Mẫu hoàn lại: Là mẫu được chọn bằng cách phần tử đã lấy ra quan sát được bỏ trở lại tổng thể rồi mới lấy phần tử tiếp theo Ví dụ 1: Khi nghiên cứu về số cá trong một ao cá thì số cá trong ao là kích thước của tổng thể. Nếu từ ao ta bắt lên 5 con cá thì ta được một mẫu không hoàn lại, kích thước 5 Nếu từ ao ta bắt lên một con cá sau đó thả xuống ao mới bắt tiếp con khác, tiến hành như vậy 5 lần thì ta được một mẫu có hoàn lại, kích thước 5. 1.2.3 Phân loại mẫu theo mục đích nghiên cứu 1.2.3.1 Mẫu định tính: Là mẫu mà ta chỉ quan tâm đến các phần tử của nó có một tính chất A nào đó không 1.2.3.2 Mẫu định lượng: Là mẫu mà ta quan tâm đến một yếu tố về lượng của các phần tử như khối lượng, chiều dài, nhiệt độ,… 2. Chọn mẫu ngẫu nhiên đơn giản Đó là cách chọn n phần tử từ tập hợp chính gồm N phần tử sao cho mỗi tổ hợp trong tổ hợp đều có cùng khả năng được chọn như nhau. Kết quả của việc chọn này cho ta các mẫu ngẫu nhiên (random sample). Ví dụ 2: Một kệ chứa các đĩa nhạc với giá như sau Giá ( ngàn VNĐ) 20 25 30 35 40 Số đĩa 35 10 25 17 13 Xét tổng thể về mặt định lượng: *Lấy ngẫu nhiên 1 đĩa nhạc trong kệ Gọi X là giá của đĩa nhạc này. Ta thấy X có quy luật ppxs như sau: X 20 25 30 35 40 P 0.35 0.10 0.25 0.17 0.13 * Lấy ngẫu nhiên ( có hoàn lại) 4 đĩa nhạc từ trong kệ Gọi Xi là giá của đĩa nhạc thứ i lấy được i=1,…,4 Ta thấy các Xi độc lập và có cùng quy luật ppxs giống như X Lập WX= ( X1, X2, X3, X4), gọi là mẫu ngẫu nhiên. 3. Phân phối mẫu Các mẫu đều có các đặc trưng thống kê của mẫu như số trung bình , phương sai Phân phối xác suất của các đặc trưng thống kê của mẫu được gọi là phân phối mẫu 4. Phân phối mẫu của trung bình mẫu Phân phối mẫu của số trung bình của mẫu là phân phối xác suất của đại lượng . 4.1 Kỳ vọng của số trung bình mẫu Là giá trị trung bình của tổng thể . Nói cách khác, phân phối mẫu của có số trung bình là . Với trung bình và phương sai Ví dụ 3: Giả sử tập hợp chính gồm 5 học sinh có số tuổi là 2, 4, 6, 8 và 10. Trong trường hợp này số trung bình của tập hợp chính sẽ là = 1/5(2+4+6+8+10) = 6. Giả sử lấy mẫu ngẫu nhiên không hoàn lại với cỡ mẫu là 2. Ta sẽ có = 10 mẫu khác nhau (với cỡ mẫu là 2). Và mỗi mẫu sẽ có số trung bình của mẫu như sau : Mẫu 2,4 2,6 2,8 2,10 4,6 4,8 4,10 6,8 6,10 8,10 3 4 5 6 5 6 7 7 8 9 Phân phối mẫu của số trung bình là : (Phân phối xác suất của đặc trưng thống kê của mẫu ) Mẫu 3 4 5 6 7 8 9 10 0.1 0.1 0.2 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1 Kỳ vọng của là 4.2 Phương sai của số trung bình mẫu a) Trường hợp tổng thể vô hạn Phương sai của số trung bình mẫu được ký hiệu là b) Trường hợp tổng thể hữu hạn Với là phương sai của tập hợp chính, n là cỡ mẫu. Ví dụ 4: Tính phương sai của trong Ví dụ 3 4.3 Độ lệch chuẩn của số trung bình mẫu Độ lệch chuẩn của được ký hiệu Đối với tổng thể vô hạn Hay Đối với tổng thể hữu hạn 4.4 Lấy mẫu từ tổng thể tuân theo phân phối chuẩn 4.4.1 Luật phân phối của số trung bình mẫu Nếu tổng thể của biến X tuân theo phân phối chuẩn với số trung bình là và phương sai thì số trung bình mẫu sẽ tuân theo phân phối chuẩn với số trung bình là và phương sai là . 4.4.2 Chuẩn hóa số trung bình mẫu Đặt Nếu có số trung bình là và phương sai là thì Z có số trung bình là 0 và phương sai là 1. Nếu 4.4.3 Định lý giới hạn trung tâm Khi n lớn thì sẽ gần đúng phân phối chuẩn chuẩn hóa hay có phân phối chuẩn với số trung bình là và phương sai là Khi n lớn Ví dụ 5: Chiều dài của các cây thước kẻ trong dây chuyền sản xuất thước tuân theo phân phối chuẩn với = 30cm. Độ lệch chuẩn xung quanh số trung trung bình là = 0,1cm. Nhân viên thanh tra lấy mẫu với cỡ mẫu n = 4 và nhận thấy số trung bình của mẫu là X = 29875 cm. Tìm xác suất để số trung bình của mẫu nhỏ hơn hoặc bằng 29875cm. Ví dụ 6: Một nhà sản xuất phụ tùng xe ôtô cho biết tuổi thọ của phụ tùng xe tuân theo luật phân phối chuẩn với số trung bình là 36.000 dặm và độ lệch chuẩn là 4.000 dặm. Đối với một mẫu được chọn một cách ngẫu nhiên với cỡ mẫu là 16 thì tuổi thọ trung bình của mẫu là 34.500 dặm. Nếu nhà sản xuất nói đúng thì xác suất để số trung bình mẫu nhỏ hơn hoặc bằng giá trị của mẫu đã đo là bao nhiêu. 5. Phân phối mẫu của phương sai mẫu 5.1 Kỳ vọng của phương sai mẫu Phương sai mẫu ký hiệu là Kỳ vọng của phương sai mẫu chính là phương sai của tổng thể . Nói cách khác, phân phối mẫu của có số trung bình là . Điều kiện: n <<N 5.2 Phương sai của phương sai mẫu Phương sai của phương sai mẫu được ký hiệu Var().Var() tùy thuộc vào luật phân phối của tổng thể. Nếu tổng thể tuân theo phân phối chuẩn thì Var() 5.3 Luật phân phối của Nếu tổng thể có phân phối chuẩn thì ta có Ví dụ 7: Một nhà sản xuất sữa hộp muốn trọng lượng trung bình của các hộp sữa sản xuất ra phải gần bằng trọng lượng đã được quảng cáo. Giả sử phân phối trọng lượng của tập hợp chính tuân theo phân phối chuẩn. Nếu lấy ngẫu nhiên 20 hộp đem đi kiểm tra. Tìm 2 số K1 và K2 sao cho : a) b) 6. Phân phối mẫu của tỷ lệ mẫu 6.1 Tỷ lệ mẫu Gọi f là tỷ lệ mẫu thì ta có f = m/n n: cỡ mẫu m: số phần tử có tính chất A quan tâm trong mẫu 6.2 Kỳ vọng và phương sai của tỷ lệ mẫu Giả sử F là tỉ lệ mẫu tổng quát, đặt Xi =1 nếu phần tử thứ i có tính chất A và 0 nếu trái lại. Nếu tổng thể có tỷ lệ p thì E(F)= p và Var(F) =. 6.3 Luật phân phối của tỷ lệ mẫu Phân phối mẫu của tỷ lệ mẫu có thể được xẩp xỉ bởi phân phối chuẩn khi cỡ mẫu là đủ lớn