Bài giảng Đại số tuyến tính 1 - Chương 3: Không gian vectơ

Chương 3: không gian vectơ I: Khái niệm Không gian vectơ 1. Định nghĩa: Ta nói tập hợp V là một không gian vectơ trên trường K, hay một không gian vectơ, nếu V được trang bị một phép toán đại số (gọi là phép cộng), ký hiệu (+) và một phép nhân vô hướng, ký hiệu (.) thỏa mãn các điều kiện sau: Tính giao hoán của phép cộng: ; Tính kết hợp của phép cộng: ; Tồn tại trong V một phần tử không, ký hiệu là 0 thỏa mãn: tồn tại một phần tử đối, ký hiệu là thỏa mãn: 2: Không gian vectơ con 1. Định nghĩa: Cho V là một K-không gian vectơ và W là một tập con khác rỗng của V. Khi đó W được gọi là một không gian vectơ con của V nếu W là một K-không gian vectơ ứng với những phép toán (+) và (.) của V khi ta hạn chế chúng lên W. 2. Định lý: Tập con của không gian vectơ V là một không gian con của V khi và chỉ khi các điều kiện sau đây được thỏa: i) ii) Nhận xét: Hai điều kiện i) và ii) ở trên có thể được thay thế bằng điều kiện sau: Để chứng minh một tập hợp khác rỗng là không gian vector thì có hai cách hoặc chứng minh tập hợp này với hai phép toán cộng và nhân vô hướng thỏa các tiên đề của không gian vector; hoặc chứng minh rằng tập hợp đó là không gian vector con của một không vector khác. II: Sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính 1. Tổ hợp tuyến tính: 1.1 Định nghĩa: Cho V là một không gian vectơ trên trường K và là các phần tử của V. Ta nói vectơ là tổ hợp tuyến tính của các vectơ nếu tồn tại các vô hướng K sao cho . 2. Hệ vector độc lập tuyến tính – Hệ vector phụ thuộc tuyến tính: 2.1 Định nghĩa: Họ các vectơ của không gian vectơ V trên trường K được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại các vô hướng K không phải tất cả đều bằng 0 sao cho: . Họ vectơ không phụ thuộc tuyến tính được gọi là hệ độc lập tuyến tính. Ví dụ: Trong R4 cho hệ vectơ . Hệ trên độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính? Giải: Xét hệ phương trình vectơ: . Ta có ma trận các hệ số của hệ trên là và rankA = 3, nên hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất (0, 0, 0). Do đó, hệ các vectơ trên độc lập tuyến tính. III.BÀI TOÁN ĐỔI CƠ SỞ 3.1:ví dụ: 1) Trong R3 , cho cơ sở B với các vectơ lần lượt có tọa độ sau: . Hãy lập ma trận và công thức đổi từ cơ sở chính tắc C sang cơ sở B. Tìm tọa độ của u = (5, 4, 3) € R3 trong cơ sở B. Tìm vectơ v € R3 , biết tọa độ của vectơ v trong cơ sở B là . Giải: 1) Ta có cơ sở chính tắc C của R3 là cơ sở gồm các vectơ . Khi đó, . Do đó, ma trận đổi từ cơ sở chính tắc C sang cơ sở B là ■ 2) Giả sử , khi đó áp dụng công thức đổi tọa độ của một vectơ ta có: . Vậy .■ 3) Gọi tọa độ của v trong cơ sở chính tắc V là ta có . Vậy hay v= (3, 4, 5)R3■ IV: BÀI TẬP Bài 1: Trong R3 cho hệ 3 vectơ . a) Chứng minh rằng B là một cơ sở của R3 b) Tìm tọa độ của các vectơ trong cơ sở B. Giải: a, Vì B là hệ gồm 3 vectơ trong không gian hữu hạn chiều R3 , nên để chứng minh B là cơ sở của R3 ta chỉ cần chứng minh B là hệ độc lập tuyến tính. Để chứng minh điều này ta có thể xây dựng ma trận A có các dòng là các vectơ , sau đó chứng minh rankA = 3 hay . Ta có, . Vậy hệ các vectơ là hệ độc lập tuyến tính nên đó là cơ sở của R3 . b) Xét một vectơ tùy ý a=(a1,a2,a3) R3 giả sử , khi đó Vậy với mọi vectơ tùy ýa=(a1,a2,a3)R3 , thì ta có . Lần lượt cho a bằng ta có tọa độ của các vectơ trong cơ sở B lần lượt là: ■ Bài 2) Trong R3 cho 2 cơ sở và như sau: Tìm ma trận chuyển từ cơ sở B sang cơ sở B’. Viết công thức tính tọa độ của vectơ x trong cơ sở B theo tọa độ của x trong cơ sở B’. Giải: a, Giả sử . Khi đó, ma trận chuyển cơ sở B sang cơ sở B’ có dạng: . Để tìm ta phải giải các phương trình vectơ (1), (2), (3). Phương trình (1) tương đương với hệ Phương trình (2) tương đương với hệ Phương trình (3) tương đương với hệ Ta dùng phương pháp Gauss để giải các hệ phương trình trên, lập các ma trận hệ số mở rộng: Vậy với hệ (1) ta có Hệ (2) ta có Hệ (3) ta có Vậy ma trận đổi cơ sở B sang cơ sở B’ là .■ b) Giả sử và . Khi đó, công thức tính tọa độ của x trong cơ sở B theo tọa độ của x trong cơ sở B’ là: ■ BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1: Xét xem các hệ vectơ sau độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính Bài 2: Trong R3 (không gian các đa thức hệ số thực bậc không quá 3), xét các hệ vectơ sau độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính? Bài 3: Trong không gian vectơ V cho 3 vectơ x, y, z. Chứng minh rằng {x+y, y+z, z+x} độc lập tuyến tính khi và chỉ khi {x, y, z} độc lập tuyến tính. Bài 4:Trong R3 chứng minh là cơ sở và tìm tọa độ của u đối với B trong các trường hợp sau: Bài 5: Trong R3 cho hai hệ vectơ và B’ = {(2,1,-1); (3,2,-5); (1,-1,m)}. Chứng minh rằng B là một cơ sở của R3. Tìm m để B’ là một cơ sở củA R3. Trong trường hợp B’ là cơ sở của R3 hãy tìm ma trận chuyển cơ sở từ B sang B’ và tìm tọa độ của vectơ u = (1, 0, 0) trong hai cơ sở đó. Bài 6: Trong R3 cho hai hệ vectơ và B’ = {(0,0,1); (1, -1, 0);(1,1,1)}. Chứng minh rằng B và B’ là các cơ sở của R3.Tìm ma trận chuyển cơ sở từ B sang B’ và từ B’ sang B. Tìm tọa độ của vectơ x = (1, -1, 1) trong hai cơ sở đó Bài 7: Trong R3, cho các vectơ Chứng minh rằng là các cơ sở của R3. Tìm nếu biết u = (1, 2, 3), và Bài 8:các tập sau đây là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính: 1, u1 =(1,2) và u2 =(-3,-6) trong R2 ? 2,u1 =(2,3) , u2 =(-5,8) ,u3 =(6,1) trong R2 ? 3,u1 =2+3x-x2 và u2=6+9x-3x2 trong R2 ? Bài 9: xét trong R3 hai cơ sở B={u1 ,u2 ,u3 } , B’={v1 ,v2 ,v3 }trong đó: u1 =(-3,0,-3), u2 =(-3,2,1), u3=(1,6,-1) v1 =(-6,-6,0), v2=(-2,-6,4), v3=(-2,-3,7) 1, hãy tìm ma trận chuyển cơ sở từ B’ sang B 2,tính ma trận tọa độ[w]B của w =(-5,8,-5) và tính [w]B 3,tính trực tiếp [w]B và kiểm tra kết quả trên Bài 10: làm lại bài tập 9 với u1 =(2,1,1), u2=(2,-1,-1), u3 =(1,2,1) v1=(3,1,-5), v2=(1,1,-3), v3=(-1,0,2)