Bài giảng Đại số tuyến tính 1 - Chương 4.3: Ước lượng khoảng cho trung bình tổng thể

TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH-MARKETING KHOA CƠ BẢN BỘ MÔN TOÁN – THỐNG KÊ BÀI GIẢNG XÁC SUẤT THỐNG KÊ Chƣơng 4 ƢỚC LƢỢNG CÁC THAM SỐ CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN Bài 3 ƢỚC LƢỢNG KHOẢNG CHO TRUNG BÌNH TỔNG THỂ Giảng viên Ths Lê Trƣờng Giang Bài 3. Ước lượng khoảng tham số trung bình tổng thể Bài toán: Giả sử trung bình tổng thể  chưa biết, hãy tìm khoảng (1;2) chứa  sao cho với là độ tin cậy cho trước.  1 2P       Cho tổng thể X có tham số trung bình . Một mẫu lấy ra từ tổng thể có trung bình mẫu là .  1 2, ,X X Xn   E X X Ước lượng khoảng của trung bình tổng thể Trƣờng hợp 1: Phƣơng sai tổng thể đã biết và kích thƣớc mẫu (hoặc kích thƣớc mẫu và X có phân phối chuẩn) 2 30n 30n Xây dựng khoảng ƣớc lƣợng       0,1 X Z N n Theo định lý giới hạn trung tâm, ta có Ta đi tìm z thỏa    1P z Z z     HƢỚNG DẪN XÂY DỰNG KHOẢNG ƢỚC LƢỢNG Ta có Đặt . Khi đó ta suy ra thỏa Vậy từ (1) ta có                                          2 2 0 0 0 0 0 0 0 1 . 1 1 2 2 z x P z Z z z z z z e dx           2 2 0 0 1 2 z x z e dx                                     22 22 P X z X z n z n X P z n 2 z z 0 2 . 2 z        Ước lượng khoảng của trung bình tổng thể Trƣờng hợp 1: Phƣơng sai tổng thể đã biết và kích thƣớc mẫu (hoặc kích thƣớc mẫu và X có phân phối chuẩn) 2 30n f(x)= 1 2π e - x2 2 o z γ 2 -Z γ 2 Z γ 2   2 ; .,       z n X X 30n Khoảng ước lượng của  với độ tin cậy  Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855) 3.2. Khoảng ước lượng một phía 1 2 .x z n      Khoảng tin cậy tối đa của với độ tin cậy  1 2 .x z n       Khoảng tin cậy tối thiểu của với độ tin cậy  Giả sử chiều cao của các bạn nữ sinh viên Trường Đại học Tài Chính –Marketing tuân theo luật phân phối chuẩn với độ lệch chuẩn là 5 cm. Chọn ngẫu nhiên 64 bạn sinh viên nữ, người ta tính được chiều cao trung bình là 160 cm. Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng chiều cao trung bình của các bạn sinh viên nữ UFM. Ví dụ 1 160 c Hướng dẫn tra bảng 2 X .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2,1 0.0000 0389 0793 1179 1554 1915 2257 2580 2881 3159 3413 3643 3849 4032 1492 4332 4452 4554 4641 4713 4772 4821 0.0040 0438 0832 1217 1591 1950 2291 2611 2910 3186 3438 3665 3869 4049 4207 4345 4463 4564 4649 4719 4778 4826 0.0080 0478 0871 1255 1628 1985 2324 2642 2939 3212 3461 3686 3888 4066 4222 4357 4474 4573 4656 4726 4783 4830 0.0120 0517 0910 1293 1664 2019 2357 2673 2967 3238 3485 3708 3907 4082 4236 4370 4484 4582 4664 4732 4788 4834 0.0160 0557 0948 1331 1700 2054 2389 2703 2995 3264 3508 3729 3925 4099 4251 4382 4495 4591 4671 4738 4793 4838 0.0199 0396 0987 1368 1736 2088 2422 2734 3023 3289 3531 3749 3944 4115 4265 4394 4505 4599 4678 4744 4793 4838 0.0239 0636 1026 1406 1772 2123 2454 2764 3051 3315 3554 3770 3962 4131 4279 4406 4515 4608 4686 4750 4803 4846 0.0279 0675 1064 1443 1808 2157 2486 2794 3078 3340 3577 3790 3980 4147 4292 4418 4525 4616 4693 4756 4808 4850 0.0319 0714 1103 1480 1844 2190 2517 2823 3106 3365 3599 3810 3997 4162 4306 4429 4535 4625 4699 4761 4812 4854 0.0359 0753 1141 1517 1879 2224 2549 2852 3133 3389 3621 3830 4015 4177 4319 4441 4545 4633 4706 4767 4817 4857 Bảng 2 : Bảng giá trị tích phân Laplace (hàm phân phối xs Gauss)   2 0 0 1 exp 22 x t x dt           750 0.95  0,475 2 1,96  z z 0 2 0,475 2          z 1. .06 160 ; 5x cm cm  Bước 2: Trên mẫu cụ thể ta có Bước 3: Độ chính xác của ước lượng 0,95 2 5 . 1,96. 1, 225 64 z cm n      Bước 4: Khoảng tin cậy 95% cho chiều cao trung bình    ; 158,775 ;161, 225x x cm cm    Ví dụ 1 Bƣớc 1. Bài toán thuộc trường hợp 1 ( và biết ) 30n 2 Hƣớng dẫn Ước lượng khoảng của trung bình tổng thể Trƣờng hợp 2: Kích thƣớc mẫu phƣơng sai tổng thể chƣa biết 230,n   2 ; .,     s z n X X Khoảng ước lượng của  với độ tin cậy  3.2. Khoảng ước lượng một phía 1 2 . s x z n     Khoảng tin cậy tối đa của với độ tin cậy  1 2 . s x z n      Khoảng tin cậy tối thiểu của với độ tin cậy  Trong một đợt khảo sát về chiều cao (đơn vị m) của các bạn nữ sinh viên Trường Đại học Tài Chính – Marketing (UFM). Người ta chọn ngẫu nhiên 100 bạn sinh viên và nhận được kết quả cho trong bảng sau: Ví dụ 2A Chiều cao (1,4; 1,5] (1,5;1,6] (1,6;1,7] (1,7;1,8] (1,8;1,9] Số SV 10 25 40 15 10 Hãy ƣớc lƣợng chiều cao trung bình của các bạn sinh viên UFM với độ tin cậy 95%? 1,64 ; 0,1096x m s m  Bước 2: Trên mẫu cụ thể ta có Bước 3: Độ chính xác của ước lượng 0,95 2 0,1096 . 1,96. 0,0215 100 s z m n     Bước 4: Khoảng tin cậy 95% cho chiều cao trung bình    ; 1,6185 ;1,6615   x x m m Ví dụ 2A Bƣớc 1. Bài toán thuộc trường hợp 2 ( và chưa biết ) 30n 2 Hƣớng dẫn Theo dõi doanh thu của một đại lý bán xăng dầu qua một số ngày thu được kết quả: Ví dụ 2B Doanh thu(triệu đồng) 11 12 13 14 15 Số ngày 3 7 10 7 4 Ƣớc lƣợng doanh thu trung bình tối thiểu của đại lý trên với độ tin cậy 95%? Ước lượng khoảng của trung bình tổng thể o t γ 1-γ 2 1-γ 2 -t 1-γ 2 (n-1) t 1-γ 2 (n-1)   1 2 ( 1; ).,      s t n n X X Khoảng ước lượng của  với độ tin cậy  Trƣờng hợp 3: tổng thể X có phân phối chuẩn với chƣa biết 230,n 3.2. Khoảng ước lượng một phía  1 1 . s x t n n     Khoảng tin cậy tối đa của với độ tin cậy   1 1 . s x t n n      Khoảng tin cậy tối thiểu của với độ tin cậy  Một hãng sản xuất bóng đèn đã đưa vào thử nghiệm để xác định tuổi thọ trung bình. Chọn một mẫu 20 bóng đèn cùng loại để thực nghiệm. Tuổi thọ của 20 bóng đèn được cho trong bảng sau (đơn vị nghìn giờ): Giả sử tuổi thọ bóng đèn tuân theo luật phân phối chuẩn, hãy ước lượng tuổi thọ trung bình của bóng đèn với độ tin cậy 95%? Tuổi thọ (5 ;5,5] (5,5 ; 6] (6 ; 6,5] (6,5 ; 7] Số bóng đèn 3 6 7 4 Ví dụ 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 n-1 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 3.078 1.886 1.638 1.533 1.476 1.440 1.415 1.397 1.383 1.372 1.363 1.356 1.350 1.345 1.341 1.337 1.333 1.330 1.328 1.325 1.323 1.321 1.319 1.318 1.316 1.315 1.314 1.313 1.311 1.310 6.314 2.920 2.353 2.132 2.015 1.943 1.895 1.860 1.833 1.812 1.796 1.782 1.771 1.761 1.753 1.746 1.740 1.734 1.719 1.725 1.721 1.717 1.714 1.711 1.708 1.706 1.703 1.701 1.699 1.697 12.706 4.303 3.182 2.776 2.571 2.447 2.365 2.306 2.262 2.228 2.201 2.179 2.160 2.145 2.131 2.120 2.110 2.101 2.093 2.086 2.080 2.074 2.069 2.064 2.060 2.056 2.052 2.048 2.045 2.042 31.821 6.965 4.541 3.747 3.365 3.143 2.998 2.896 2.821 2.764 2.718 2.861 2.650 2.624 2.602 2.583 2.567 2.552 2.539 2.528 2.518 2.508 2.500 2.492 2.485 2.479 2.473 2.467 2.462 2.457 63.675 9.925 5.841 4.604 4.032 3.707 3.499 3.355 3.250 3.169 3.106 3.055 3.012 2.977 2.947 2.921 2.898 2.878 2.861 2.845 2.831 2.819 2.807 2.797 2.787 2.779 2.771 2.763 2.756 2.750 66.619 22.326 10.213 7.173 5.893 5.208 4.785 4.501 4.297 4.144 4.025 3.930 3.852 3.787 3.733 3.686 3.646 3.610 3.579 3.552 3.527 3.505 3.485 3.467 3.450 3.435 3.421 3.408 3.396 3.385  ( 1)   P T t n Hướng dẫn tra bảng 4 Bảng 4 Bảng phân vị Student n bậc tự do 95%; 1 19   n 1 0,025 2 (19) (19) t t 0,025(19) 2,093.t  0,025(19) 0,025 P T t 1 0,025 2, 3 Ví dụ 3 Bƣớc 1. Bƣớc 2. Thuộc trường hợp 3 ( , chưa biết và có pp chuẩn) 30n  2 X Từ mẫu tính các giá trị 6,05; 0,497. x s 1 2 0,497 ( 1). 2,093. 0,233 20      s t n n Bƣớc 3. Độ chính xác Bƣớc 4. Khoảng ước lượng cho trung bình với độ tin cậy 95%    ; 5,817;6,283 .x x    Nghìn giờ Hƣớng dẫn Các bƣớc tìm khoảng ƣớc lƣợng cho trung bình tổng thể Bước 1: Nhận dạng bài toán. x s Bước 2: Tính toán dựa trên mẫu , tính nếu chưa biết phương sai. Bước 3: Tính độ chính xác  . Bước 4: Kết luận khoảng tin cậy cho trung bình  ,x x   Bƣớc 1 Trƣờng hợp 1 Biết và Hoặc Biết , và X pp chuẩn Trƣờng hợp 2 Chƣa biết 2 và n  30 Trƣờng hợp 3 Chƣa biết 2, n < 30 và X pp chuẩn Bƣớc 2 Bƣớc 3 Bƣớc 4 Bảng tóm tắt kiến thức z n     2 x 2 s z n   ,x s 1 2 ( 1) s t n n       ;x x ,x s 30n  2 30n  2 T.H Điều kiện Bài toán ước lượng Khoảng ước lượng Giá trị  Biết   30n Hai phía Tối thiểu (pp) Tối đa (pt)                 ; , ; x x x x 2 1 2 1 2 z n z n z n                       2 30 ; n X N Chưa biết   30n Hai phía Tối thiểu Tối đa                 ; , ; x x x x 2 1 2 1 2 s z n s z n s z n                    2 30 ; n X N Hai phía Tối thiểu Tối đa                 ; , ; x x x x       1 2 1 1 1 1 1 s t n n s t n n s t n n                Đề bài: Điều tra năng suất lúa (tấn/ha) trên diện tích 90 hecta trồng lúa của một vùng, người ta thu được bảng số liệu sau: Hãy ước lượng năng suất lúa trung bình ở vùng đó với độ tin cậy 97%? Năng suất 5,5 5,7 5,8 6,0 6,2 6,4 6,5 Số hecta 8 17 25 12 13 10 5 XIN CHÂN THÀNH CẢM ƠN!