Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 4: Không gian vec-tơ - Lê Xuân Thanh

Không gian vec-tơ Lê Xuân Thanh Nội dung 1 Khái niệm không gian vec-tơ Không gian vec-tơ phổ thông Định nghĩa không gian vec-tơ tổng quát Không gian vec-tơ con 2 Mô tả không gian vec-tơ Tổ hợp tuyến tính và hệ sinh Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính Cơ sở và số chiều Tọa độ vec-tơ và ma trận chuyển cơ sở 3 Không gian vec-tơ liên kết với ma trận Không gian hàng, không gian cột, hạng của ma trận Không gian hạt nhân, số khuyết Cấu trúc nghiệm hệ phương trình tuyến tính Khái niệm không gian vec-tơ Không gian vec-tơ phổ thông Nội dung 1 Khái niệm không gian vec-tơ Không gian vec-tơ phổ thông Định nghĩa không gian vec-tơ tổng quát Không gian vec-tơ con 2 Mô tả không gian vec-tơ Tổ hợp tuyến tính và hệ sinh Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính Cơ sở và số chiều Tọa độ vec-tơ và ma trận chuyển cơ sở 3 Không gian vec-tơ liên kết với ma trận Không gian hàng, không gian cột, hạng của ma trận Không gian hạt nhân, số khuyết Cấu trúc nghiệm hệ phương trình tuyến tính Khái niệm không gian vec-tơ Không gian vec-tơ phổ thông Vec-tơ trong mặt phẳng tọa độ Descartes R2 Một vec-tơ là một đoạn thẳng có hướng xuất phát từ gốc tọa độ tới một điểm đích nào đó. Mỗi vec-tơ được biểu diễn bởi tọa độ điểm đích: u = (u1; u2): 0 y x 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 u = (2, 3) Phép cộng hai vec-tơ: u+ v = (u1; u2) + (v1; v2) := (u1 + v1; u2 + v2): Phép nhân vec-tơ với vô hướng c 2 R: c
u = c
(u1; u2) := (cu1; cu2): Khái niệm không gian vec-tơ Không gian vec-tơ phổ thông Vec-tơ trong mặt phẳng tọa độ Descartes R2 Một vec-tơ là một đoạn thẳng có hướng xuất phát từ gốc tọa độ tới một điểm đích nào đó. Mỗi vec-tơ được biểu diễn bởi tọa độ điểm đích: u = (u1; u2): 0 y x 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 u = (2, 3) v = (3, 1) u + v = (5, 4) Phép cộng hai vec-tơ: u+ v = (u1; u2) + (v1; v2) := (u1 + v1; u2 + v2): Phép nhân vec-tơ với vô hướng c 2 R: c
u = c
(u1; u2) := (cu1; cu2): Khái niệm không gian vec-tơ Không gian vec-tơ phổ thông Vec-tơ trong mặt phẳng tọa độ Descartes R2 Một vec-tơ là một đoạn thẳng có hướng xuất phát từ gốc tọa độ tới một điểm đích nào đó. Mỗi vec-tơ được biểu diễn bởi tọa độ điểm đích: u = (u1; u2): 0 y x 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 u = (2, 3) 2u = (4, 6) Phép cộng hai vec-tơ: u+ v = (u1; u2) + (v1; v2) := (u1 + v1; u2 + v2): Phép nhân vec-tơ với vô hướng c 2 R: c
u = c
(u1; u2) := (cu1; cu2): Khái niệm không gian vec-tơ Không gian vec-tơ phổ thông Tính chất Cho 0 = (0; 0);u; v;w 2 R2, c; d 2 R. Ta có u+ v 2 R2. u+ v = v+ u. (u+ v) +w = u+ (v+w). u+ 0 = u. 9 u 2 R2 : u+ (u) = 0. c
u 2 R2. c
(u+ v) = c
u+ c
v. (c+ d)
u = c
u+ d
u. c(d
u) = (cd)
u. 1
u = u. Khái niệm không gian vec-tơ Không gian vec-tơ phổ thông Vec-tơ trong không gian tọa độ Descartes R3 Một vec-tơ là một đoạn thẳng có hướng xuất phát từ gốc tọa độ tới một điểm đích nào đó. Mỗi vec-tơ được biểu diễn bởi tọa độ điểm đích: u = (u1; u2; u3): Phép cộng hai vec-tơ: u+v = (u1; u2; u3)+(v1; v2; v3) := (u1+v1; u2+v2; u3+v3): Phép nhân vec-tơ với vô hướng c 2 R: c
u = c
(u1; u2; u3) := (cu1; cu2; cu3): Khái niệm không gian vec-tơ Không gian vec-tơ phổ thông Tính chất Cho 0 = (0; 0; 0);u; v;w 2 R3, c; d 2 R. Ta có u+ v 2 R3. u+ v = v+ u. (u+ v) +w = u+ (v+w). u+ 0 = u. 9 u 2 R3 : u+ (u) = 0. c
u 2 R3. c
(u+ v) = c
u+ c
v. (c+ d)
u = c
u+ d
u. c(d
u) = (cd)
u. 1
u = u. Khái niệm không gian vec-tơ Định nghĩa không gian vec-tơ tổng quát Nội dung 1 Khái niệm không gian vec-tơ Không gian vec-tơ phổ thông Định nghĩa không gian vec-tơ tổng quát Không gian vec-tơ con 2 Mô tả không gian vec-tơ Tổ hợp tuyến tính và hệ sinh Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính Cơ sở và số chiều Tọa độ vec-tơ và ma trận chuyển cơ sở 3 Không gian vec-tơ liên kết với ma trận Không gian hàng, không gian cột, hạng của ma trận Không gian hạt nhân, số khuyết Cấu trúc nghiệm hệ phương trình tuyến tính Khái niệm không gian vec-tơ Định nghĩa không gian vec-tơ tổng quát Định nghĩa không gian vec-tơ Tập hợp V ̸= ∅ là không gian vec-tơ trên R nếu V được trang bị Phép cộng vec-tơ: + : V V! V (u; v) 7! u+v; Phép nhân vec-tơ với vô hướng: ◦ : R V! V (c;u) 7! c◦u; thỏa mãn các tiên đề sau: 1 u+v = v+u 8 u; v 2 V, 2 (u+v)+w = u+(v+w) 8 u; v;w 2 V, 3 9 0 2 V : u+0 = u 8 u 2 V, 4 8 u 2 V 9 u′ 2 V : u+u′ = 0, 5 c◦(u+v) = c◦u+c◦v 8 c 2 R;u; v 2 V, 6 (c+ d)◦u = c◦u+d◦u 8 c; d 2 R;u 2 V, 7 c◦(d◦u) = (cd)◦u 8 c; d 2 R;u 2 V, 8 1◦u = u 8 u 2 V. Khái niệm không gian vec-tơ Định nghĩa không gian vec-tơ tổng quát Ví dụ Tập hợp các số thực R là một không gian vec-tơ với phép cộng và phép nhân thông thường. Tập hợp Rn các hàng n-thành phần thực [x1; : : : ; xn] là một không gian vec-tơ với các phép toán [x1; : : : ; xn]+[y1; : : : ; yn] = [x1 + y1; : : : ; xn + yn]; c◦[x1; : : : ; xn] = [cx1; : : : ; cxn] (với c 2 R): Tập hợp Rn các cột n-thành phần thực 264x1... xn 375 là một không gian vec-tơ với các phép toán264x1... xn 375+ 24y1: : : yn 35 = 264x1 + y1... xn + yn 375 ; c ◦ 264x1... xn 375 = 264cx1... cxn 375 (với c 2 R): Khái niệm không gian vec-tơ Định nghĩa không gian vec-tơ tổng quát Ví dụ Tập hợp các số thực R là một không gian vec-tơ với phép cộng và phép nhân thông thường. Tập hợp Rn các hàng n-thành phần thực [x1; : : : ; xn] là một không gian vec-tơ với các phép toán [x1; : : : ; xn]+[y1; : : : ; yn] = [x1 + y1; : : : ; xn + yn]; c◦[x1; : : : ; xn] = [cx1; : : : ; cxn] (với c 2 R): Tập hợp Rn các cột n-thành phần thực 264x1... xn 375 là một không gian vec-tơ với các phép toán264x1... xn 375+ 24y1: : : yn 35 = 264x1 + y1... xn + yn 375 ; c ◦ 264x1... xn 375 = 264cx1... cxn 375 (với c 2 R): Khái niệm không gian vec-tơ Định nghĩa không gian vec-tơ tổng quát Ví dụ Tập hợp các số thực R là một không gian vec-tơ với phép cộng và phép nhân thông thường. Tập hợp Rn các hàng n-thành phần thực [x1; : : : ; xn] là một không gian vec-tơ với các phép toán [x1; : : : ; xn]+[y1; : : : ; yn] = [x1 + y1; : : : ; xn + yn]; c◦[x1; : : : ; xn] = [cx1; : : : ; cxn] (với c 2 R): Tập hợp Rn các cột n-thành phần thực 264x1... xn 375 là một không gian vec-tơ với các phép toán264x1... xn 375+ 24y1: : : yn 35 = 264x1 + y1... xn + yn 375 ; c ◦ 264x1... xn 375 = 264cx1... cxn 375 (với c 2 R): Khái niệm không gian vec-tơ Định nghĩa không gian vec-tơ tổng quát Ví dụ Tập hợp Mm;n các ma trận thực m hàng, n cột là một không gian vec-tơ với các phép toán thông thường: (aij)mn + (bij)mn = (aij + bij)mn; c◦(aij)mn = (caij)mn (với c 2 R): Tập hợp C[a; b] các hàm thực liên tục trên [a, b] là một không gian vec-tơ với các phép toán thông thường: (f+g)(x) = f(x) + g(x); (c◦f)(x) = cf(x) (với c 2 R): Khái niệm không gian vec-tơ Định nghĩa không gian vec-tơ tổng quát Ví dụ Tập hợp Mm;n các ma trận thực m hàng, n cột là một không gian vec-tơ với các phép toán thông thường: (aij)mn + (bij)mn = (aij + bij)mn; c◦(aij)mn = (caij)mn (với c 2 R): Tập hợp C[a; b] các hàm thực liên tục trên [a, b] là một không gian vec-tơ với các phép toán thông thường: (f+g)(x) = f(x) + g(x); (c◦f)(x) = cf(x) (với c 2 R): Khái niệm không gian vec-tơ Định nghĩa không gian vec-tơ tổng quát Ví dụ Tập hợp Pn(x) các đa thức theo một ẩn x, với hệ số thực, có bậc KHÔNG QUÁ n là một không gian vec-tơ với các phép toán thông thường: (anxn + : : :+ a0) + (bnxn + : : :+ b0) = (an + bn)xn + : : :+ (a0 + b0); c◦(anxn + : : :+ a0) = canxn + : : :+ ca0 (với c 2 R): Chú ý: Khẳng định trên không đúng nếu đặt điều kiện “đa thức có bậc chính xác bằng n”. Khẳng định trên vẫn đúng nếu bỏ điều kiện “đa thức có bậc  n”. Khi đó ta ký hiệu tập hợp P(x) thay cho Pn(x). Khái niệm không gian vec-tơ Định nghĩa không gian vec-tơ tổng quát Ví dụ Cho (V;+;
); (W;+;
) là các không gian vec-tơ. Tập hợp VW := f(v;w) j v 2 V;w 2Wg là một không gian vec-tơ với các phép toán (v;w) + (v′;w′) = (v+v′;w+ w′); c◦(v;w) = (c
v; c
w) (với c 2 R): Khái niệm không gian vec-tơ Định nghĩa không gian vec-tơ tổng quát Một số tính chất Cho (V;+; ◦) là một không gian vec-tơ. Ta có: Phần tử 0 2 V là duy nhất. Với mỗi u 2 V, tồn tại duy nhất phần tử u′ 2 V thỏa mãn u+u′ = 0: Phần tử u′ như vậy được ký hiệu là u. 0◦u = 0 với mọi u 2 V. c◦0 = 0 với mọi c 2 R. c◦u = 0 =) c = 0 hoặc u = 0. (c)◦u = c◦(u) = (c◦u) với mọi c 2 R;u 2 V.( m∑ i=1 ci ) ◦ 0@ n∑ j=1 uj 1A = m∑ i=1 n∑ j=1 (ci◦uj) với ci 2 R;uj 2 V. Khái niệm không gian vec-tơ Không gian vec-tơ con Nội dung 1 Khái niệm không gian vec-tơ Không gian vec-tơ phổ thông Định nghĩa không gian vec-tơ tổng quát Không gian vec-tơ con 2 Mô tả không gian vec-tơ Tổ hợp tuyến tính và hệ sinh Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính Cơ sở và số chiều Tọa độ vec-tơ và ma trận chuyển cơ sở 3 Không gian vec-tơ liên kết với ma trận Không gian hàng, không gian cột, hạng của ma trận Không gian hạt nhân, số khuyết Cấu trúc nghiệm hệ phương trình tuyến tính Khái niệm không gian vec-tơ Không gian vec-tơ con Định nghĩa và một số tính chất Cho (V;+; ◦) là một không gian vec-tơ, và ∅ ̸= W  V. Ta nói W là một không gian vec-tơ con của V nếu u+v 2W 8 u; v 2W; c◦u 2W 8 c 2 R;u 2W: Một số tính chất: (W;+; ◦) cũng là một không gian vec-tơ. 0 2 V \W. Nếu W1;W2 là không gian vec-tơ con của V, thì W1 \W2 cũng là không gian vec-tơ con của V. Khái niệm không gian vec-tơ Không gian vec-tơ con Ví dụ Cho trước x0; y0 2 R. Tập hợp W = f(x; y) j (x; y) = t(x0; y0); t 2 Rg là một không gian vec-tơ con của R2 (với các phép toán thông thường). Tập hợp W = f(x1; 0; x3) j x1; x3 2 Rg là một không gian vec-tơ con của R3 (với các phép toán thông thường). Khái niệm không gian vec-tơ Không gian vec-tơ con Ví dụ Cho trước x0; y0 2 R. Tập hợp W = f(x; y) j (x; y) = t(x0; y0); t 2 Rg là một không gian vec-tơ con của R2 (với các phép toán thông thường). Tập hợp W = f(x1; 0; x3) j x1; x3 2 Rg là một không gian vec-tơ con của R3 (với các phép toán thông thường). Khái niệm không gian vec-tơ Không gian vec-tơ con Ví dụ Nếu V là một không gian vec-tơ thì 0 và V là các không gian vec-tơ con (tầm thường) của V. Pn(x) là không gian vec-tơ con của Pn+1(x). Pn(x) là không gian vec-tơ con của P(x). Tập hợp W = { A 2 Mn;n j A = AT } là không gian vec-tơ con của Mn;n. Cho A 2 Mm;n, và 0 = [0; : : : ; 0]t 2 Rn. Tập hợp W = fx 2 Rn j Ax = 0g là không gian vec-tơ con của Rn. Khái niệm không gian vec-tơ Không gian vec-tơ con Ví dụ Nếu V là một không gian vec-tơ thì 0 và V là các không gian vec-tơ con (tầm thường) của V. Pn(x) là không gian vec-tơ con của Pn+1(x). Pn(x) là không gian vec-tơ con của P(x). Tập hợp W = { A 2 Mn;n j A = AT } là không gian vec-tơ con của Mn;n. Cho A 2 Mm;n, và 0 = [0; : : : ; 0]t 2 Rn. Tập hợp W = fx 2 Rn j Ax = 0g là không gian vec-tơ con của Rn. Khái niệm không gian vec-tơ Không gian vec-tơ con Ví dụ Nếu V là một không gian vec-tơ thì 0 và V là các không gian vec-tơ con (tầm thường) của V. Pn(x) là không gian vec-tơ con của Pn+1(x). Pn(x) là không gian vec-tơ con của P(x). Tập hợp W = { A 2 Mn;n j A = AT } là không gian vec-tơ con của Mn;n. Cho A 2 Mm;n, và 0 = [0; : : : ; 0]t 2 Rn. Tập hợp W = fx 2 Rn j Ax = 0g là không gian vec-tơ con của Rn. Khái niệm không gian vec-tơ Không gian vec-tơ con Ví dụ Nếu V là một không gian vec-tơ thì 0 và V là các không gian vec-tơ con (tầm thường) của V. Pn(x) là không gian vec-tơ con của Pn+1(x). Pn(x) là không gian vec-tơ con của P(x). Tập hợp W = { A 2 Mn;n j A = AT } là không gian vec-tơ con của Mn;n. Cho A 2 Mm;n, và 0 = [0; : : : ; 0]t 2 Rn. Tập hợp W = fx 2 Rn j Ax = 0g là không gian vec-tơ con của Rn. Khái niệm không gian vec-tơ Không gian vec-tơ con Ví dụ Nếu V là một không gian vec-tơ thì 0 và V là các không gian vec-tơ con (tầm thường) của V. Pn(x) là không gian vec-tơ con của Pn+1(x). Pn(x) là không gian vec-tơ con của P(x). Tập hợp W = { A 2 Mn;n j A = AT } là không gian vec-tơ con của Mn;n. Cho A 2 Mm;n, và 0 = [0; : : : ; 0]t 2 Rn. Tập hợp W = fx 2 Rn j Ax = 0g là không gian vec-tơ con của Rn. Mô tả không gian vec-tơ Tổ hợp tuyến tính và hệ sinh Nội dung 1 Khái niệm không gian vec-tơ Không gian vec-tơ phổ thông Định nghĩa không gian vec-tơ tổng quát Không gian vec-tơ con 2 Mô tả không gian vec-tơ Tổ hợp tuyến tính và hệ sinh Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính Cơ sở và số chiều Tọa độ vec-tơ và ma trận chuyển cơ sở 3 Không gian vec-tơ liên kết với ma trận Không gian hàng, không gian cột, hạng của ma trận Không gian hạt nhân, số khuyết Cấu trúc nghiệm hệ phương trình tuyến tính Mô tả không gian vec-tơ Tổ hợp tuyến tính và hệ sinh Tổ hợp tuyến tính Cho (V;+;
) là một không gian vec-tơ trên R. Cho S = fu1; : : : ;ung  V. Vec-tơ v 2 V là một tổ hợp tuyến tính của các vec-tơ trong S nếu v = c1
u1 + : : :+ cn
un; trong đó ci 2 R với i = 1; : : : ; n. Ví dụ 1: Trong không gian M2;2 xét các vec-tơ u1 = [0 8 2 1 ] ; u2 = [0 2 1 0 ] ; u3 = [1 3 1 2 ] ; u4 = [2 0 1 3 ] : Vec-tơ u1 là một tổ hợp tuyến tính của u2;u3;u4 do u1 = u2 + 2u3 u4: Mô tả không gian vec-tơ Tổ hợp tuyến tính và hệ sinh Tổ hợp tuyến tính Cho (V;+;
) là một không gian vec-tơ trên R. Cho S = fu1; : : : ;ung  V. Vec-tơ v 2 V là một tổ hợp tuyến tính của các vec-tơ trong S nếu v = c1
u1 + : : :+ cn
un; trong đó ci 2 R với i = 1; : : : ; n. Ví dụ 2: Mỗi vec-tơ x trong tập hợp W = f(x1; 0; x3) j x1; x3 2 Rg đều là tổ hợp tuyến tính của e1 = [1; 0; 0] và e3 = [0; 0; 1]: x = x1e1 + x3e3: Mô tả không gian vec-tơ Tổ hợp tuyến tính và hệ sinh Tổ hợp tuyến tính Cho (V;+;
) là một không gian vec-tơ trên R. Cho S = fu1; : : : ;ung  V. Vec-tơ v 2 V là một tổ hợp tuyến tính của các vec-tơ trong S nếu v = c1
u1 + : : :+ cn
un; trong đó ci 2 R với i = 1; : : : ; n. Tập hợp các tổ hợp tuyến tính của các vec-tơ trong S: span(S) := fv 2 V j v = c1
u1 + : : :+ cn
un với ci 2 Rg: Tính chất: span(S) là không gian vec-tơ con của V. Mô tả không gian vec-tơ Tổ hợp tuyến tính và hệ sinh Hệ sinh Tập hợp S được gọi là một hệ sinh của V nếu V = span(S): Khi đó ta cũng nói V sinh bởi S. Ví dụ 1: Trong không gian R3 xét các vec-tơ e1 = [1; 0; 0] ; e2 = [0; 1; 0] ; e3 = [0; 0; 1] : Tập hợp S = fe1; e2; e3g là một hệ sinh của R3 vì mỗi vec-tơ v = [v1; v2; v3] 2 R3 đều là tổ hợp tuyến tính của e1; e2; e3: v = v1
e1 + v2
e2 + v3
e3: Mô tả không gian vec-tơ Tổ hợp tuyến tính và hệ sinh Hệ sinh Tập hợp S được gọi là một hệ sinh của V nếu V = span(S): Khi đó ta cũng nói V sinh bởi S. Ví dụ 2: Trong không gian R3 xét các vec-tơ u1 = [1; 0; 0] ; u2 = [0; 1; 0] ; u3 = [0; 0; 1] ; u4 = [0; 0; 2] : Tập hợp S = fu1;u2;u3;u4g là một hệ sinh của R3 vì mỗi vec-tơ v = [v1; v2; v3] 2 R3 đều là tổ hợp tuyến tính của u1; : : : ;u4: v = v1
u1 + v2
u2 + 23v3
u3 + 1 3v3
u4: Mô tả không gian vec-tơ Tổ hợp tuyến tính và hệ sinh Hệ sinh Tập hợp S được gọi là một hệ sinh của V nếu V = span(S): Khi đó ta cũng nói V sinh bởi S. Ví dụ 3: Trong không gian R3 xét các vec-tơ e1 = [1; 0; 0] ; e2 = [0; 1; 0] : Tập hợp S = fe1; e2g KHÔNG là hệ sinh của R3 vì vec-tơ v = [0; 0; 1] 2 R3 không thể là tổ hợp tuyến tính của e1; e2. ̸ 9 c1; c2 2 R : v = c1
e1 + c2
e2: Câu hỏi: Như thế nào là “vừa đủ” để là hệ sinh một không gian vec-tơ? Mô tả không gian vec-tơ Tổ hợp tuyến tính và hệ sinh Hệ sinh Tập hợp S được gọi là một hệ sinh của V nếu V = span(S): Khi đó ta cũng nói V sinh bởi S. Ví dụ 3: Trong không gian R3 xét các vec-tơ e1 = [1; 0; 0] ; e2 = [0; 1; 0] : Tập hợp S = fe1; e2g KHÔNG là hệ sinh của R3 vì vec-tơ v = [0; 0; 1] 2 R3 không thể là tổ hợp tuyến tính của e1; e2. ̸ 9 c1; c2 2 R : v = c1
e1 + c2
e2: Câu hỏi: Như thế nào là “vừa đủ” để là hệ sinh một không gian vec-tơ? Mô tả không gian vec-tơ Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính Nội dung 1 Khái niệm không gian vec-tơ Không gian vec-tơ phổ thông Định nghĩa không gian vec-tơ tổng quát Không gian vec-tơ con 2 Mô tả không gian vec-tơ Tổ hợp tuyến tính và hệ sinh Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính Cơ sở và số chiều Tọa độ vec-tơ và ma trận chuyển cơ sở 3 Không gian vec-tơ liên kết với ma trận Không gian hàng, không gian cột, hạng của ma trận Không gian hạt nhân, số khuyết Cấu trúc nghiệm hệ phương trình tuyến tính Mô tả không gian vec-tơ Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính Định nghĩa Cho (V;+;
) là một không gian vec-tơ trên R. Cho hệ các vec-tơ S = fv1; : : : ; vng  V. Hệ vec-tơ S được gọi là độc lập tuyến tính nếu c1
v1 + : : :+ cn
vn = 0 , c1 = : : : = cn = 0: Hệ vec-tơ S được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu S không phải là hệ độc lập tuyến tính. Mô tả không gian vec-tơ Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính Ví dụ Các vec-tơ e1 = [1; 0]; v2 = [0; 1] trong R2 là độc lập tuyến tính vì c1e1 + c2e2 = 0 , [c1; c2] = [0; 0] , c1 = c2 = 0: Hệ vec-tơ v1 = [1; 2; 3]; v2 = [0; 1; 2]; v3 = [2; 0; 1] trong R3 là độc lập tuyến tính vì hệ thức c1v1 + c2v2 + c3v3 = 0 tương đương với c1 2c3 = 0 2c1 + c2 = 0 3c1 + 2c2 + c3 = 0 và hệ phương trình (tuyến tính thuần nhất) này có nghiệm duy nhất c1 = c2 = c3 = 0: Mô tả không gian vec-tơ Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính Ví dụ Các vec-tơ e1 = [1; 0]; v2 = [0; 1] trong R2 là độc lập tuyến tính vì c1e1 + c2e2 = 0 , [c1; c2] = [0; 0] , c1 = c2 = 0: Hệ vec-tơ v1 = [1; 2; 3]; v2 = [0; 1; 2]; v3 = [2; 0; 1] trong R3 là độc lập tuyến tính vì hệ thức c1v1 + c2v2 + c3v3 = 0 tương đương với c1 2c3 = 0 2c1 + c2 = 0 3c1 + 2c2 + c3 = 0 và hệ phương trình (tuyến tính thuần nhất) này có nghiệm duy nhất c1 = c2 = c3 = 0: Mô tả không gian vec-tơ Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính Ví dụ Trong không gian vec-tơ P2 xét các vec-tơ v1 = 1+ x 2x2; v2 = 2+ 5x x2; v3 = x+ x2: Hệ thức c1v1 + c2v2 + c3v3 = 0 tương đương với c1 + 2c2 = 0 c1 + 5c2 + c3 = 0 2c1 c2 + c3 = 0 Hệ phương trình này có nghiệm không tầm thường c1 = 2; c2 = 1; c3 = 3: Như vậy ta có 2v1 v2 + 3v3 = 0 và do đó v1; v2; v3 phụ thuộc tuyến tính. Nhận xét: Hệ thức c1
v1 + : : :+ cn
vn = 0 tương đương với một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất theo n ẩn số c1; : : : ; cn. Mô tả không gian vec-tơ Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính Ý nghĩa hình học Hai vec-tơ v1; v2 2 R2 là phụ thuộc tuyến tính , v1; v2 đồng phương (i); độc lập tuyến tính , v1; v2 không đồng phương (ii). v1 v2 v1v2 (i) (ii) Mô tả không gian vec-tơ Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính Ý nghĩa hình học Hai vec-tơ v1; v2 2 R3 là độc lập tuyến tính , v1; v2 không đồng phương (a); phụ thuộc tuyến tính , v1; v2 đồng phương (b). Mô tả không gian vec-tơ Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính Ý nghĩa hình học Ba vec-tơ v1; v2; v3 2 R3 là độc lập tuyến tính , v1; v2; v3 không đồng phẳng (hình trái); phụ thuộc tuyến tính , v1; v2; v3 đồng phẳng (hình phải). Mô tả không gian vec-tơ Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính Tính chất Cho (V;+;
) là một không gian vec-tơ. Hệ một vec-tơ v 2 V phụ thuộc tuyến tính , v = 0. Chứng minh ): v phụ thuộc tuyến tính ) tồn tại c ̸= 0 sao cho c
v = 0. Nhân hai vế với c1 ta có v = (c1c)
v = c1(c
v) = c1
0 = 0: Chứng minh (: Do 1
0 = 0 và 1 ̸= 0. Mô tả không gian vec-tơ Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính Tính chất Cho (V;+;
) là một không gian vec-tơ, và n > 1. Hệ vec-tơ v1; : : : ; vn 2 V độc lập tuyến tính , mỗi vec-tơ u 2 V, nếu tồn tại biểu diễn u = c1
v1 + : : :+ cn
vn (với ci 2 R) thì biểu diễn này là duy nhất. Hệ vec-tơ v1; : : : ; vn 2 V phụ thuộc tuyến tính , (ít nhất) một vec-tơ vi là tổ hợp tuyến tính của các vec-tơ còn lại. Nếu S = fv1; : : : ; vng độc lập tuyến tính, thì mọi tập hợp con của S cũng độc lập tuyến tính. Nếu S = fv1; : : : ; vng phụ thuộc tuyến tính, thì mọi tập hợp chứa S cũng phụ thuộc tuyến tính. Mô tả không gian vec-tơ Độc lập tuyến tính và