Thường sử dụng mệnh đề 5 để chứng tỏ không tồn tại
giới hạn của dãy:
Nếu tồn tại hai dãy con có giới hạn khác nhau, thì
không tồn tại giới hạn của dãy ban đầu.
Nếu tồn tại một dãy con phân kỳ, thì dãy ban đầu
phân kỳ.
51 trang |
Chia sẻ: thanhle95 | Lượt xem: 471 | Lượt tải: 0
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Bài giảng Giải tích 1 - Chương 1: Giới hạn và liên tục - Đặng Văn Vinh, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh
Bộ môn Toán Ứng dụng
-------------------------------------------------------------------------------------
Giải tích 1
Chương 1: Giới hạn và liên tục
• Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (9/2008)
dangvvinh@hcmut.edu.vn
Môn học cung cấp các kiến thức cơ bản về vi tích phân hàm một
biến và phương trình vi phân.
Mục tiêu của môn học Toán 1
Giúp học viên hiễu lý thuyết, nắm vững các kỹ năng tính toán,
biết vận dụng giải các bài toán cụ thể.
Biết vận dụng các phương pháp và tư duy sáng tạo vào khoa
học kỹ thuật.
Giới hạn và liên tục
Đạo hàm và vi phân
Tích phân hàm một biến
Phương trình vi phân
Nhiệm vụ của sinh viên.
Đi học đầy đủ.
Làm tất cả các bài tập cho về nhà.
Đọc bài mới trước khi đến lớp.
Đánh giá, kiểm tra.
Thi giữa học kỳ: trắc nghiệm (20%), 20 câu hỏi/ 45 phút
Thi cuối kỳ: thi viết (80%), thời gian 90 phút.
liệu tham khảo
Nguyễn Đình Huy, Nguyễn Quốc Lân, Phép tính vi phân hàm một biến
NXBGD, 2005
Ngô Thu Lương, Nguyễn Minh Hằng. Bài tập toán cao cấp 1.
James Stewart. Calculus, fifth edition, 2005.
Công Khanh. Giải tích một biến. NXB Đại học quốc gia
Nội dung
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
0.1 – Giới hạn của dãy số thực
0.2 – Giới hạn của hàm số
0.3 – Liên tục của hàm số
Tập khác rỗng và bị chặn trên có cận trên đúng.
Nguyên lý supremum.
Tập khác rỗng và bị chặn dưới có cận dưới đúng.
trị nhỏ nhất của tập các cận trên của tập hợp A
được gọi là cận trên đúng của A và ký hiệu là supA,
supremum của A)
nghĩa
trị lớn nhất của tập các cận dưới của tập hợp
được gọi là cận dưới đúng của A và ký hiệu là infA,
infimum của A)
I. Giới hạn của dãy số thực
------------------------------------------------------------
Một dãy số là một ánh xạ từ tập số tự nhiên N vào tập
thực R.
Định nghĩa
:u N R
( )n u n
Thường dùng ký hiệu: hay đơn giản 1n nu
nu
được gọi là số hạng thứ n của dãy.nu
dụ:
Dãy số là tập hợp vô hạn các số thực được đánh số
theo thứ tự:
1 2, ,..., ,...nu u u
( 1)
1
n
nu
n
11 1 1
, , ,...., ,...
2 3 4 1
n
nu
n
Ghi ở dạng tường minh, ta có
Nếu giới hạn của dãy là hữu hạn, thì dãy được gọi
dãy hội tụ.
Số được gọi là giới hạn của dãy số , nếu
Định nghĩa
0 00, nn n n u a
Ký hiệu: hay
a nu
lim n
n
u a
n
nu a
Ngược lại, dãy được gọi là dãy phân kỳ.
Dùng định nghĩa chứng tỏ rằng
dụ:
lim 1
1n
n
n
0 1
1
n
n
1
1n
1
1n
Chọn số tự nhiên 0
1
1n
Khi đó 0 :| 1| 1
1
n
n
n n u
n
0
1 1
1 1n n
lim 1
1n
n
n
(theo định nghĩa)
Số không là giới hạn của dãy số , nếu
10 1 00, & nn N n n u a
a nu
a không là giới hạn của dãy , nếu tồn tại số nu
dương để với mọi số tự nhiên n tìm được số tự0
sao cho1 0n n
1
.nu a
Chứng tỏ rằng dãy không có giới hạn
dụ:
1
1
1
n
nn
a R 1 1,
2 2
a a
Xét khoảng
Chứng tỏ: 1| | 1n nu u
2
1
1 1
2
ku
k
Thật vậy, trong hai số hạng kế nhau, có một số hạng với
số chẵn và một số hạng với chỉ số lẻ.
2 1
1
1 0
2 1
ku
k
1| | 1n nu u
Hai số hạng kế nhau không thể cùng nằm trong khoảng
này. Vậy không tồn tại giới hạn.
Ta nói tiến đến (hoặc: nhận làm giới hạn)
khi và chỉ khi:
Định nghĩa
0 00, N nA n n n u A
Ký hiệu: hay
nu
lim n
n
u
n
nu
nói tiến đến (hoặc: nhận làm giới hạn)
khi và chỉ khi:
0 00, N nB n n n u B
Ký hiệu: hay
nu
lim n
n
u
n
nu
Nếu dãy hội tụ đến hai số a và b, thì a = b.
Mệnh đề 1 (tính duy nhất của giới hạn)
nu
:
:
a a n
b b n
n n n u a
n n n u b
Giả sử và .
lim
lim
n
n
n
n
u a
u b
a b Đặt
3
a b
Đặt 0 ,Max a bn n n
n n n na b a u u b u a u b
2
2 | |
3
a b a b Mâu thuẫn.
Tính chất của giới hạn
Ta cóđều hội tụ.
Nếu các dãy hội tụ và , thì ,n nu v ,n nu a v b
; ; ( 0 0); , & nn n n n n n
n
u
u v u v v b u
v
các dãy
1) lim n n
n
u v a b
2) lim n n
n
u v a b
3) lim n
n n
u a
v b
4) lim | |n
n
u a
nói dãy bị chặn trên, nếu
Định nghĩa
nu
: , nA R n N u A
nói dãy bị chặn dưới, nếu
: , nB R n N u B
nu
Một dãy vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới gọi là dãy
chặn.
nói dãy là dãy tăng, nếu
Định nghĩa
nu
1, n nn N u u
Một dãy tăng hay dãy giảm được gọi chung là dãy
đơn điệu.
nói dãy là dãy giảm, nếu nu
1, n nn N u u
0 0: | | 1nn n n u a Giả sử lim nn u a
nu M
Nếu dãy hội tụ, thì bị chặn.
Mệnh đề 2
nu nu
1 1na u a
Đặt: 01 2, ,..., ,1 | |Max nM u u u a
Chú ý: Tồn tại những dãy bị chặn nhưng không hội
Ví dụ.
1
( 1)n
n
Cho 3 dãy sao cho
Mệnh đề 3 (định lý kẹp)
, ,n n nu v w 0 0, n n nn n n u v w
và cùng hội tụ đến a, khi đó ,n nu w
n
nv a
Cho .0 Vì hội tụ đến a, nên ,n nu w 1 2, :n n N
1
2
| |
| |
n
n
n n u a
n n w a
0 1 2,Maxn n nĐặt
Khi đó , ta có0n n
| |
| |
n
n n n
n
u a
u a v a w a
w a
| |nv a
nnv a
Vậy
a
dụ: Tìm giới hạn của dãy 2
1
n
n
k
n
u
n k
2
2 2
1
1
11
n n
n
k
n n
u
n n
2
1
1
1
n n
n
k
n
n
n
u
nn
lim 1n
n
u
nu nw nv
Tìm
dụ.
5
lim
n
nn n
có
5 5
0 , 6
6
nn
n
n
n
0
5
lim 0
n
nn n
Chứng tỏ
dụ.
lim 1, 0.n
n
a a
0 n
a
n
0
lim 0n
n
Đặt 1 0n na 1
n
n na n 1. 1a
lim 1n
n
a
TH2. 0 1a
1 1
lim , 1
lim
n
nn
n
a b
ab
Sử dụng TH1, lim 1.
n
n
b
Dãy tăng và bị chặn trên thì hội tụ.
Mệnh đề 4 (định lý Weierstrass)
Dãy giảm và bị chặn dưới thì hội tụ.
Cho tăng và bị chặn trên. nu
Tập khác rỗng và bị chặn trên. 1 2, ,...S u u
Theo nguyên lý Supremum, có supS = a.
Theo định nghĩa của supS: 000, nn a u a
tăng nên nu
00 n n
n n u u
na u a a nu a
lim n
n
u a
Chứng tỏ dãy truy hồi
dụ.
1 1, 2; 2n n nu u u u
1 2 2 2 2k ku u
là dãy tăng và bị chặn trên.
Suy ra tồn tại giới hạn và tìm giới hạn này.
Dùng qui nạp, chứng tỏ 2nu
Giả sử : 2nn k u Khi đó với 1n k
Vậy dãy bị chặn trên.
2
1 2n n n n n nu u u u u u Vậy dãy tăng.
lim nu a 2a a
2 2 0a a a
Chứng tỏ dãy
dụ.
!
,
2 1 !!
n n
n
u u
n
là dãy giảm và bị chặn dưới.
Suy ra tồn tại giới hạn và tìm giới hạn này.
1 1 1
2 3 2
n
n
u n
u n
Vậy dãy bị chặn dưới.0 nu
Vậy dãy giảm.
lim nu a
1
1 1
lim
2 3 2 3
n n
n
n n
u u a a
n n
1
0a a a
1
2
n
n n
u
u u
!
lim 0
2 1 !!
n
n
Định nghĩa (dãy con)
Cho dãy 1 2, ,..., ,...n nu u u u
kỳ nhưng phải luôn theo thứ tự từ trái qua phải.
của nó được lấy từ dãy theo một cách chọn bất nu
Dãy con của dãy là một dãy mà các phần tử
kn
u nu
(-1) 1 3 1 5 1
-1, , - , , - , ,...
2 8 4 32 142
n
n
n
Một dãy con là:
1 1 1
, , ,...
2 4 14
nv
Nếu dãy có giới hạn là a, thì mọi dãy con của nó
Mệnh đề 5
cũng có giới hạn là a.
nu
lim n
n
u a
0 0, | |nn n n u a 0
Với dãy con , tồn tại knu 0 0.kn n Khi đó
0 | |knk k u a lim knn u a
Chú ý
Thường sử dụng mệnh đề 5 để chứng tỏ không tồn tại
giới hạn của dãy:
/ Nếu tồn tại hai dãy con có giới hạn khác nhau, thì
không tồn tại giới hạn của dãy ban đầu.
2/ Nếu tồn tại một dãy con phân kỳ, thì dãy ban đầu
phân kỳ.
Chứng tỏ rằng dãy không có giới hạn
dụ:
1
2 1
1
3 2
n
n
n
n
2
4 1 4 1 4 2
( 1)
6 2 6 2 6 3
kk
k
k k
u
k k
Xét dãy con với chỉ số chẵn: n = 2k
Tồn tại hai dãy con có giới hạn khác nhau
2 1
2 1
4 3 4 3 4 2
( 1)
6 5 6 5 6 3
kk
k
k k
u
k k
Xét dãy con với chỉ số lẻ: n = 2k + 1
Vậy dãy đã cho không có giới hạn.
Số e
Xét dãy:
1
1
n
nu
n
1 1 1 1 1 2
1 ... 1 1 1 1 1 ...
2! 3!
1 1 2 1
1 1 ... 1 .
!
n
n n n n
n
n n n n
Sử dụng nhị thức Newton:
1 1
1
s s
n n
, nên 1n nu u
Vậy dãy tăng.
e Ta có 1 1s
n
1 1 1
2 ...
2! 3! !
nu
n
Vậy dãy bị chặn ( và tăng), nên dãy hội tụ.
và
1
1 1
, 1,2,3,...
! 2
n
n
n
1
1 1 1
2 ...
2 4 2n
1 1
1 1
2 1 3 3
2 2
n n n
u
Giới hạn của dãy này được ký hiệu là e, và người
chứng minh được e là số vô tỷ, 2.718281828...e
1
lim 1
n
n
e
n
Một số giới hạn cơ bản
1
1) lim 0, 0
n n
1
2) lim 0, 0
lnn n
1
3) lim 0
nn e
4) lim 1,
n p
n
n p
5) lim 1, 0n
n
a a
6) lim 0
p
nn
n
e
7) lim 0,| | 1n
n
q q
1
8) lim 1
n
n
e
n
9) lim 1 ,a
n
a
e a
n
ln
10) lim 0, , 0
p
n
n
p
n
tắc:
ln !( 1)nn a na
dụ.
5ln
lim 0
n
n
n
100
lim 0
2nn
n
4
lim 0
!
n
n n
5
4loglim 0
2nn
n
Các phương pháp tìm giới hạn của dãy:
Dùng các biến đổi đại số ( nhân lượng liên hiệp, sử
dụng các đẳng thức quen biết, )
Dùng định lý kẹp
Dùng định lý Weierstrass: chứng tỏ dãy đơn điệu
chặn.
Dùng giới hạn của số e.
Dùng dãy con để chứng minh không tồn tại.
dụ. Tìm giới hạn của dãy
2lim 1
n
n n
HD. Nhân lượng liên hiệp
dụ. Tìm giới hạn của dãy
1 1 1
lim ...
1 2 2 3 ( 1)n n n
HD. Phân tích
1 1 1
( 1) 1n n n n
dụ. Tìm giới hạn của dãy
2 3sin cos
lim
n
n n
n
HD. Sử dụng định lý kẹp
dụ. Tìm giới hạn của dãy
84 2lim 2 2 2 2
n
n
HD. Phân tích, biến đổi số mũ.
dụ. Tìm giới hạn của dãy
3 2 sin( !)
lim
1n
n n
n
HD. Dùng định lý kẹp.
dụ. Tìm giới hạn của dãy
23 12
2
3
lim
5
n
n
n
n
HD. Sử dụng giới hạn của dãy số e.
dụ. Tìm giới hạn của dãy
2
1 2 3 ...
lim
3 5n
n
n n
HD. Sử dụng đẳng thức
( 1)
1 2 ...
2
n n
n
dụ. Tìm giới hạn của dãy
3 ( 1)
lim
1
n
n
n
n
HD. Tìm hai dãy con
tập.
21) lim 3 4
n n n
n
n
I) Tìm các giới hạn sau:
12) lim ( 1) nn
n
n
4
1
2 32 3
3) lim
2 3
n n
n nn
15 2 3 5
4) lim
100 2 2 5
n n
n nn
1
1
( 1) 6 5
5) lim
5 ( 1) 6
n n n
n n nn
2 3
6) lim
2 3
n n
n nn
2
10
ln( 1)
7) lim
ln( 1)
n
n n
n n
2 3
2
8) lim
1 1
n
n n
n n
4 4
2 2 2 2
( 1) ( 1)
9) lim
( 1) ( 1)
n
n n
n n
2
2
lg 10
10) lim
lg
n
n
n
1
0
27
15
2
1
6
2 3
3
11) lim
3/ 3/ 1/
n
n
n n n
3 32 2
3 3
2 2
3 4 3 4
12) lim
5 6 5 6
n
n n n n
n n n n
100 100 99
98 2
(2 ) 200
13) lim
10 1
n
n n n
n n
2
( 1) 1/
14) lim
1/ ( 1)
n
nn
n
n
2lg 2 cos 1
15) lim
1 lg( 1)
n
n n n
n
1
2
3
19800
1
2
2
) l1 im
1
6
n n n n
2 1
17) lim
1
n
n n
n n
2
0
2
3
1
18) lim
1
n
n n
n n n
4 3
19) lim
2 1
n
n n n
n n
2008
20) lim
n
n n
5 1
) li2 m1
5
n
n
n
n
3
2
7
22) lim
3 3
n n
n nn
n
n n
2
5
2 5 3
23) lim
1
n
n
n n
n
2 4
) lim2
5
4
n
n
nn
n
n
2log ( 3)25) lim
1/ 3
n
n
n
4
5
0
1
2
1
0
0
2 1
)
2
nn
n
u
a v
u
2
1
)
1
nn
n
u
b v
u
2 2
)
1
n nn
n
u u
c v
u
2
2
3 2
)
1
n nn
n
u u
d v
u
II) Cho Tìm1, lim 1.n n
n
u u
lim n
n
v
1
1
2
3
1
2
22 1
1)
5 1
n
n
n
u
n
( 1) /( 1)2
2
2)
1
n n
n
n
u
n
(1 ) /(1 )
1
3)
2
n n
n
n
1
4)
!
n nu n
Tìm lim n
n
u
0
1
1
0
3 /(1 )2
2
3 1
5)
2 1
n n
n
n n
u
n n
sin !
6)
1
n n
n n n
!
7)
n
n
n
2
arctan
8)
2
n n
n
0
0
0
1 1 1
1) ...
1 3 3 5 (2 1) (2 1)
nu
n n
1 1 1
3) ...
1 2 3 2 3 4 ( 1) ( 2)n n n
1
1
4)
( 1)
n
n
k
u
k k
Tìm lim n
n
u
1
2
1
4
1
1
1 1 1 12) ...
1 3 3 5 2 1 2 1
nu
n n n
1 11) 13; 12 n nu u u
1 13) , ; , 0
k k
n nu a u au k N a
2
1 1
1 4
4) ,
2 3
n n nu u u u
Chứng tỏ rằng các dãy sau đây có giới hạn và tìm
hạn này
4
1
3
1 5
2
1 5k1 12) 5, 5 ;
k k
n nu u u k N
1 1
1
5) 1, 1 n
n
u u
u
Xét hai dãy con và 2ku 2 1ku
1k a
CMR không tồn tại các giới hạn lim sin , lim cos
n n
n n