Tóm tắt: Trong chương trình toán phổ thông, phân thức hữu tỷ là một trong những khái niệm cơ bản.
Đã có rất nhiều dạng toán về dãy số, đẳng thức, bất đẳng thức, phương trình, bất phương trình, hệ
phương trình, hệ bất phương trình, liên quan đến các hàm số dạng phân thức. Chính vì thế, việc nắm
bắt các tính chất của các hàm phân thức và vận dụng được tính đặc thù của các biểu thức phân thức đã
cho để giải các dạng toán này là thực sự cần thiết. Bài báo này đề cập đến một lớp hàm số có cấu trúc
đặc biệt, đó là hàm phân thức chính quy. Chứng minh định lý cơ bản về giá trị nhỏ nhất của hàm phân
thức chính quy, đồng thời nêu lên ứng dụng của hàm phân thức chính quy trong việc giải một số dạng
toán thường gặp như các bài toán cực trị, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức
5 trang |
Chia sẻ: thanhle95 | Lượt xem: 453 | Lượt tải: 0
Bạn đang xem nội dung tài liệu Hàm phân thức chính quy và ứng dụng, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
UED Journal of Social Sciences, Humanities & Education – ISSN 1859 - 4603
TẠP CHÍ KHOA HỌC XÃ HỘI, NHÂN VĂN & GIÁO DỤC
10 | Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn & Giáo dục, Tập 6, số 1 (2016),10-14
* Liên hệ tác giả
Nguyễn Thị Sinh
Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng
Email: sinhsp@gmail.com
Nhận bài:
07 – 11 – 2015
Chấp nhận đăng:
01 – 03 – 2016
HÀM PHÂN THỨC CHÍNH QUY VÀ ỨNG DỤNG
Nguyễn Thị Sinh
Tóm tắt: Trong chương trình toán phổ thông, phân thức hữu tỷ là một trong những khái niệm cơ bản.
Đã có rất nhiều dạng toán về dãy số, đẳng thức, bất đẳng thức, phương trình, bất phương trình, hệ
phương trình, hệ bất phương trình, liên quan đến các hàm số dạng phân thức. Chính vì thế, việc nắm
bắt các tính chất của các hàm phân thức và vận dụng được tính đặc thù của các biểu thức phân thức đã
cho để giải các dạng toán này là thực sự cần thiết. Bài báo này đề cập đến một lớp hàm số có cấu trúc
đặc biệt, đó là hàm phân thức chính quy. Chứng minh định lý cơ bản về giá trị nhỏ nhất của hàm phân
thức chính quy, đồng thời nêu lên ứng dụng của hàm phân thức chính quy trong việc giải một số dạng
toán thường gặp như các bài toán cực trị, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức
Từ khóa: Hàm phân thức; hàm phân thức chính quy; hàm phân thức chính quy và ứng dụng; bất đẳng
thức; giá trị nhỏ nhất.
1. Hàm phân thức chính quy một biến [1]
Định nghĩa 1.1. Hàm số 0)( xf xác định trên
tập
+R ,
=
=
n
i
i
ixaxf
1
)(
được gọi là một hàm phân thức chính quy nếu
=
=
=
n
i
ii
i
a
nia
1
0
,1,0
Ví dụ: Hàm số sau đây là hàm phân thức chính quy
3
32 27423)(
xx
xxxxf +++++=
Nhận xét 1.1. Với mọi hàm phân thức dạng
=
==
n
i
ii niaxaxg
i
1
,...,2,1,0,)(
thỏa mãn
1 2
1 1 2 2
...
...
n
n n
a a a p
a a a q
+ + + =
+ + + =
(p > 0)
thì hàm số
p
q
xxgxf
−
= )()( là một hàm phân thức
chính quy.
Chứng minh. Ta có
=
−−
==
n
i
p
q
i
p
q
i
xaxxgxf
1
)()(
Lại có
−++
−+
−
p
q
a
p
q
a
p
q
a nn ...2211
( )nnaaa +++= ...2211
)...( 21 naaa
p
q
+++− = 0
Vậy )(xf là một hàm phân thức chính quy.
Tính chất 1.1. Nếu )(xf là hàm phân thức chính
quy thì 0)( xf với mọi 0.x
ISSN 1859 - 4603 - Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn & Giáo dục, Tập 6, số 1 (2016),10-14
11
Tính chất 1.2. Nếu )(xf và )(xg là các hàm
phân thức chính quy thì với mọi cặp số dương , ,
hàm số
)()()( xgxfxh +=
cũng là một hàm phân thức chính quy.
Tính chất 1.3. Nếu )(xf là một hàm phân thức
chính quy thì hàm số
= mxfxh m ,)()( *N
cũng là hàm phân thức chính quy.
2. Hàm phân thức chính quy nhiều biến [1]
Định nghĩa 2.1. Hàm số ( )nxxxf ,...,, 21 được gọi
là một hàm phân thức chính quy trên tập
+R + R + R nếu nó có dạng
1 2
1 2 1 2
1
( , ,..., ) ... ,i i in
m
n i n
i
f x x x a x x x
=
=
không đồng nhất bằng 0, trong đó miai ,...2,1,0 =
và
=+++
=+++
=+++
0...
...
0...
0...
2211
2222121
1212111
mnmnn
mm
mm
aaa
aaa
aaa
Định nghĩa 2.2. Giả sử ( )nxxxf ,...,, 21 là hàm
phân thức chính quy trong Định nghĩa 2.1, khi đó các
hàm số
1
( ) , 1,2,...,ij
m
j j i j
i
f x a x j n
=
= =
được gọi là phân thức thành phần biến jx của
( )nxxxf ,...,, 21 .
Ví dụ: Hàm phân thức chính quy
7
2
3
2
7
2
3
5
7
1
3
4
22),(
−−−−
++= yxyxyxyxf có các hàm
phân thức thành phần:
3
2
3
5
3
4
1 22)(
−−
++= xxxxf
7
2
7
2
7
1
2 22)(
−−
++= yyyyf
Định lý 2.1. Hàm số ( )nxxxf ,...,, 21 là một hàm
phân thức chính quy khi và chỉ khi các hàm phân thức
thành phần của ( )nxxxf ,...,, 21 cũng đều là các hàm
phân thức chính quy.
Định lý 2.2. Với mỗi hàm phân thức chính quy dạng
=
=
m
i
nin
inii xxxaxxxf
1
2121 ...),...,,(
21 và với
mọi x +R + R + R ta đều có
( )
=
m
i
in axxxf
1
21 ,...,, .
Chứng minh. Vận dụng bất đẳng thức trung bình
cộng - trung bình nhân suy rộng cho hai bộ số dương
1 21
1 1 1
, ,..., ;i i mi
n n n
i i i
i i i
x x x
= = =
1 2, ,..., ;ma a a
ta có:
m
n
aaa
xxxf
+++ ...
),...,,(
21
21
1...
...
1
21
21
11
2
1
1 =
+++
===
m
m
i
ini
m
i
ii
m
i
ii
aaa
a
n
aa
xxx
Từ đó suy ra
( )
=
m
i
in axxxf
1
21 ,...,, .
Dấu đẳng thức xảy ra khi
1...21 ==== nxxx
Hệ quả 2.1. Với mỗi hàm phân thức chính quy
( )nxxxf ,...,, 21 trên tập
+R + R + R , ta đều có
)1,....,1,1(),...,,(min 21 fxxxf n = .
3. Một số ứng dụng của hàm phân thức chính quy
Các kết quả về hàm phân thức chính quy thu được
trong các mục trên có thể ứng dụng để giải các bài toán
về cực trị, chứng minh bất đẳng thức,
Nguyễn Thị Sinh
12
Bài toán 3.1. Tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số
sau trong miền các biến dương
=
+
−
++=
n
i
n
in
x
i
x
xxfa
1
22 32
3 121)()
i
n
i
in
n
n
iy
xxyyxgb
1
),()
1
1
1
1
=
++
−
+=
Giải. a) Ta có
==
+−+
=
− n
i
i
n
i
i
iii
11 2
)32()24(
2
12
=
−
+
−
+
=
n
i
ii
ii
1
1 2
32
2
12
nn
nn
2
32
2
12
...
2
7
2
5
2
5
3
12
+
−
+
++−+−=
−
n
n
2
32
3
+
−=
nên
0
2
12
2
32
3
1
=
=
−
−
+
−
n
i
in
in
Suy ra )(xf là một hàm phân thức chính quy. Vậy giá
trị nhỏ nhất của )(xf là
2
1
2)12(2)1( nif
n
i
+=−+=
=
b) Ta có
==
+
−=
+
n
i
n
i iiii 11 1
11
)1(
1
1
11
...
3
1
2
1
2
1
1
+
−++−+−=
nn
11
1
1
+
=
+
−=
n
n
n
nên
=
=
+
+
+
− n
i iin
n
1
0
)1(
1
1
và
=
=
−
+
n
i i
i
n
1
0
)(
Suy ra ),( yxg là một hàm phân thức chính quy.
Vậy giá trị nhỏ nhất của ),( yxg là
=
+=
n
i i
g
1
1
1)1,1(
Bài toán 3.2. Cho 0, ba và 1
11
=+
qp
với
1, qp . Chứng minh bất đẳng thức sau
( )*
q
b
p
a
ab
qp
+
Giải. Bất đẳng thức ( )* rõ ràng đúng nếu 0=ab ,
do dó ta chỉ cần chứng minh ( )* khi 0,0 ba .
Nhận thấy khi 0,0 ba bất đẳng thức ( )*
tương đương với
1
11 1111 + −−−− qp ba
q
ba
p
Xét hàm
1111 11),( −−−− += qp ba
q
ba
p
baf
Rõ ràng ),( baf là một hàm phân thức chính quy
đối với hai biến ba, vì
=
+−=
−
+
−
=
+−=−
−
0
11
1
11
0
11
1
11
qpq
q
p
qpqp
p
Từ đó suy ra
1
11
)1,1(),( =+=
qp
fbaf
Vậy bất đẳng thức ( )* đã được chứng minh.
Bài toán 3.3. Cho 0, yx Chứng minh rằng
2
1237
238
2
6
−−+
yxy
x
x
Giải. Ta đưa bài toán về dạng phân thức chính quy
để áp dụng các tính chất của nó. Thật vậy bất đẳng thức
cần chứng minh tương đương với
12237 236523 ++ −− yxyxyx
Xét hàm
ISSN 1859 - 4603 - Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn & Giáo dục, Tập 6, số 1 (2016),10-14
13
236523 237),( yxyxyxyxf ++= −−
Nhận xét rằng ),( yxf là một hàm phân thức chính
quy hai biến vì
=+−+
=++−
02.2)6.(32.7
03.25.3)3.(7
Áp dụng định lý 2.2 cho hàm phân thức chính quy
),( yxf , ta thu được
.12)1,1(),( = fyxf
Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh xong.
Bài toán 3.4. Cho cba ,, là ba số thực dương,
chứng minh rằng
( ) 1121112) 222 ++++++
abccabcab
cbaa
42
95
42
95
)
222
2
222
2
bac
b
acb
a
Sb +++++=
39
2
3
42
95 222
2
+++
cba
c
Giải. a) Xét hàm số
( )2222),,( cbacbaf ++=
abccabcab
2111
++++
Dễ dàng kiểm tra được ),,( cbaf là một hàm phân
thức chính quy, vậy nên
11)1,1,1(),,( = fcbaf
Dấu đẳng thức xảy ra khi 1=== cba .
b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz, ta có
42
95
42
95
4
1
2
9
5
222
2
cab
a
acb
a
++++++
42
95
42
95
4
1
2
9
5
222
2
abc
b
bac
b
++++++
42
95
42
95
4
1
2
9
5
222
2
bca
c
cba
c
++++++
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta có
++
cba
S
111
5
2
39
)(
4
1
)(
2
9
cabcabcba ++++++
Đặt
++=
cba
cbag
111
5),,(
)(
4
1
)(
2
9
cabcabcba ++++++
Ta nhận thấy ),,( cbag là một hàm phân thức chính
quy, nên
4
117
)1,1,1(),,( = gcbag
Hay 39
2
3
S .
Dấu đẳng thức xảy ra khi 1=== cba .
4. Kết luận
Bài báo đã giới thiệu một lớp hàm số có cấu trúc
đặc biệt, đó là các hàm phân thức chính quy cùng với
các tính chất của chúng, đồng thời nêu lên ứng dụng của
các hàm phân thức chính quy trong việc giải một số
dạng toán sơ cấp thường gặp.
Tài liệu tham khảo
[1] Trần Đức Huyên (1993), Bất đẳng thức, Nhà xuất
bản Trẻ.
[2] Nguyễn Văn Mậu (2006), Bất đẳng thức - Định lý
và áp dụng, Nhà xuất bản Giáo dục.
[3] Nguyễn Văn Mậu (2007), Các bài toán nội suy và
áp dụng, Nhà xuất bản Giáo dục.
[4] Bộ Giáo dục và Đào tạo – Hội Toán học Việt
Nam (1997), Tuyển tập 30 năm tạp chí Toán học
và tuổi trẻ, Nhà xuất bản Giáo dục.
REGULAR RATIONAL FUNCTIONS AND THEIR APPLICATIONS
Abstract: In the high school mathmatics curriculum, the notion of rational functions is one of the basic concepts. There are many
types of math problems about sequences, equalities, inequalities, equations, inequations, systems of equations, systems of
Nguyễn Thị Sinh
14
inequations, that are related to the rational functions. Therefore, it is really necessary to grasp the properties of the rational
functions and to apply the distinctive character of the given functions in solving these types of maths problems. This paper presents a
class of functions with special structures, which are regular rational functions. We have proved a fundamental theorem on the
minimum values of regular rational functions, and then gived some applications of the regular rational functions in solving a number of
common types of maths problems such as extrema, equalities, inequalities,
Key words: rational function; regular rational functions; regular rational functions and their applications; inequalities; minimum
value.